Resumo de Álgebra Linear - parte II

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1 Aula 7 Resumo de Álge Lnear - parte II 7.1 Resumo Nesta aula contnuamos desenvolvendo concetos báscos de álge lnear, aprmorando a famlardade com a notação de Drac. Bblograa: Moysés, 8.7 (em parte), e Cohen-Tannoudj, seç II-B-. Parte do materal pode ser encontrado nas seções A e A6 do Grths (a ed), entretanto com bem menos ênfase na notação de Drac. Obs: não vou no momento fornecer notas sobre a parte de crptograa quântca (vde o blog para referêncas) 7. Operadores em notação de Drac Na seç. 6., vmos três dferentes maneras de encarar um vetor: Abstratamente, representado-o apenas como um símbolo v. Expandndo-o em termos de uma base { e j }, como na eq. (6.1) Representando-o como um `vetor coluna' formado pelas coordenadas obtdas nessa expansão, como na eq. (6.). Vmos anda duas maneras de encarar um Como uma função abstrata, representa apenas como um símbolo T. Vendo o efeto de T sobre cada um dos vetores de uma base { e }, e construndo uma matrz com as coordenadas dos vetores T e j com respeto à base { e }. 0 T 11 T 1n.. T n1 T nn 45 1 C A,

2 46 AULA 7. RESUMO DE ÁLGEBRA LINEAR - PARTE II Note que falta, nessa lsta, uma representação análoga à da eq. (6.1) Denção: O símbolo (7.1) representa o cujo efeto sobre um vetor v qualquer é v φ v vetor ψ vetor (7.) Exercíco: Cheque que este é de fato lnear, devdo à lneardade do produto (v. Lsta I). Os matemátcos chamam esse de o produto externo de ψ por φ (eu costumo me referr a ele, mas prosacamente, como a borboleta desses dos vetores). Vamos ver, através de alguns exemplos, o que ele sgnca. Exemplo: O H V tem o segunte efeto sobre os vetores da base { H, V } H V H = V H H = 0 H V V = V V H = H. (7.) Por lneardade (eq. (6.10)), a ação deste sobre um vetor genérco ψ = a H + b V pode ser escrta como H V (a H + b V ) = b H (7.4) Podemos construr a matrz deste (nesta base), usando essas equações junto com a eq. (6.16) H H V H = 0 H H V V = 1 V H V H = 0 V H V V = 0 (7.5) H V (7.6) 0 0 Com um argumento semelhante, é fácl vercar que V H (7.7) 1 0 Exemplo: Os es H H e V V satsfazem H H (a H + b V ) = a H V V (a H + b V ) = b V (7.8) Comparando com a eq. (6.11) podemos notar que esses es são na verdade os projetores Π H e Π V que vmos anterormente. Como vmos, as matrzes desses es na base { H, V } são H H ; V V (7.9) 0 1

3 7.. VERSATILIDADE DA NOTAÇÃO DE DIRAC 47 Tomemos agora um A qualquer neste espaço -dmensonal, cuja matrz na base { H, V } é A 4 A11 A1 A 1 A Observe agora que podemos sempre escrever essa matrz como A A A (7.10) 5 + A (7.11) 0 1 Comparando com as eqs. (7.5),(7.7), (7.9), vemos que podemos expandr o A em uma base de es, formada pelos quatro produtos { H H, H V, V H, V V }: A = A 11 H H + A 1 H V + A 1 V H + A V V (7.1) Podemos generalzar as consderações acma na segunte forma: Teorema: Qualquer A agndo sobre um espaço de vetores com base ortonormal { e 1,..., e n } pode ser escrto como onde A = A j e e j (7.1) A j = e A e j (7.14) são os elementos da matrz de A na base { e 1,..., e n }. Demonstração: Basta aplcar o A dendo na eq. (7.1) sobre um vetor de base e k, e usar a eq. (7.) A e k = = A j e e j! A j e j e k δ jk e = e k = =1 A j ( e e j e k ) A k e (7.15) Comparando com a eq. (6.1), vemos que de fato A é o com elementos de matrz A j nesta base. Exemplo: Podemos utlzar a denção de produto externo para escrever o projetor na eq. (6.11) Π ψ de forma smples: Demonstração: Basta escolher uma base na qual e 1 = ψ, e usar a eq. (7.1). Π ψ = ψ ψ (7.16) 7. Versatldade da Notação de Drac O símbolo que usamos para os es borboleta na eq. (7.) não é escolhdo ao acaso. Mostraremos agora que, ao combnarmos esse símbolo com aqueles que usamos para s, s e produtos es, obtemos uma notação

4 48 AULA 7. RESUMO DE ÁLGEBRA LINEAR - PARTE II extremamente poderosa e versátl, que permte múltplas nterpretações de uma mesma equação. Fo justamente esta versatldade que motvou Drac a desenvolver esta notação, e é por causa dela que os físcos a utlzam para fazer cálculos em mecânca quântca. Para ter uma déa ncal do que queremos dzer, consdere novamente a eq. (7.). Note que, como o produto de um e um vetor pode ser tomado em qualquer ordem (.e.: a v = v a), podemos reescrever a equação na forma v = ψ vetor vetor φ v (7.17) Observe agora que a mesma seqüênca de símbolos aparece em ambos os lados dessa equação, mas que podemos nterpretá-los de duas formas, dependendo de como os agrupamos. Isto sgnca assm que tanto faz qual das duas nterpretações utlzemos, pos o resultado obtdo é o mesmo. Exemplo: Decomposção do Identdade Decompondo um ψ em uma base ortonormal (usando a eq. (6.1) e eq. (6.7)) e aplcando em seguda a eq. (7.17) temos: ψ = X ψ e = X e ψ e = X e e ψ = X e e ψ = X e e! ψ. (7.18) P Vemos então que, aplcando o dendo pelo somatóro e e (contendo todos os projetores Π = e e sobre os membros de uma base ortonormal) sobre um vetor qualquer, este não é alterado. Em outras palavras X e e = I (7.19) onde I é o Identdade. Essa expressão costuma ser chamada de uma decomposção da Identdade na base { e }. Note que ela vale para qualquer base ortonormal. Por exemplo, no caso de estados de polarzação, podemos escrever I = H H + V V = P P + P P = P 45 P 45 + P 45 P 45 =... (7.0) Podemos estender anda mas essa exbldade da notação dando um segundo sentdo também para uma expressão do tpo v ψ φ. De fato, dado um estado w qualquer, as eqs. (6.1) e (7.17) nos dzem que: v ( ) w = v ( w ) = v ( ψ φ w ) φ w φ w (7.1) de modo que v φ (7.) Juntas, as eqs. (7.17) e (7.) possbltam uma grande exbldade na nterpretação e manpulação de equações envolvendo s, s e es. Por exemplo, a seqüênca de símbolos v ψ φ w pode ser nterpretada de

5 7.. VERSATILIDADE DA NOTAÇÃO DE DIRAC 49 dversas maneras: v φ φ w w w = φ w = φ v ψ w v ψ pela eq. (7.) pos o produto de um com um é (naturalmente) um pos es comutam novamente usando as eqs e 7.. (7.) Exemplo: ponto de vsta alternatvo para a Regra. Podemos usar as propredades da notação de Drac para reescrever a eq. (5.5). Se um fóton com polarzação P ncde sobre um `polarzador P f ', a probabldade de atravessar é p = P P f = P P f P P f = P P f P f P = P P f P f P = P Π Pf P. (7.4) Em outras palavras, podemos nterpretar a probabldade p como um elemento de matrz do de projeção Π Pf, quando este é escrto na base { P, P }.