O Formalismo Matemático da Mecânica Quântica

Transcrição

1 O Formalsmo Matemátco da Mecânca Quântca Márco H. F. Bettega Departamento de Físca Unversdade Federal do Paraná Escola de Verão de Físca de Curtba

2 Introdução Vamos dscutr nesta aula, de forma bastante resumda, o formalsmo matemátco da mecânca quântca. Prmero vamos conversar sobre o espaço de funções de onda e depos sobre o espaço de estados (ambos são espaços vetoras complexos), ntroduzndo o conceto de vetor de estado.

3 Função de onda Espaço F (espaço vetoral complexo): espaço das funções quadratcamente ntegráves. Normalzação: ψ(r, t) F + ψ(r, t) 2 d 3 r = fnto ψ(r, t) F + ψ(r, t) 2 d 3 r = 1 Interpretação de ψ(r, t) (representa o estado de uma partícula sem spn): ψ(r, t) 2 d 3 r fornece a probabldade de encontrar a partícula no elemento de volume d 3 r, no nstante de tempo t. Produto escalar de ψ(r) por ϕ(r) (número complexo): ψ(r), ϕ(r) F (ϕ, ψ) = + ϕ (r)ψ(r)d 3 r Prncípo de superposção: ψ 1(r), ψ 2(r) F λ 1ψ 1(r) + λ 2ψ 2(r) F

4 Função de onda Propredades do produto escalar: (ϕ, ψ) = (ψ, ϕ) ; (ϕ, λ 1ψ 1 + λ 2ψ 2) = λ 1(ϕ, ψ 1) + λ 2(ϕ, ψ 2) (λ 1ϕ 1 + λ 2ϕ 2, ψ) = λ 1(ϕ 1, ψ) + λ 2(ϕ 2, ψ); (ψ, ψ) 0(= 0 ψ = 0)

5 Função de onda Bases dscretas {u (r)} e bases contínuas {v p(r)}: Vamos consderar um conjunto ortonormal dscreto de funções quadratcamente ntegráves {u (r)}: (u, u j) = δ j; ψ(r) = c u (r); c = (u, ψ) O conjunto {u (r)} é completo? ψ(r) = (u, ψ)u (r) = [ u (r )ψ(r )d 3 r ] u (r) ou [ ] ψ(r) = u (r )u (r) ψ(r )d 3 r Desta forma concluímos que: u (r )u (r) = u (r)u (r ) = δ(r r )

6 Função de onda A expressão acma fornece a relação de completeza da base. Para entender sso, podemos escrever ψ(r) como: ψ(r) = δ(r r )ψ(r )d 3 r e escolhemos a base através da completeza va δ(r r ). Vamos agora consderar um conjunto "ortonormal"de ondas planas {v p(r) = exp(p r/ )/(2π ) 3/2 } (não são quadratcamente ntegráves): (v p, v p ) = δ(p p ); ψ(r) = ψ(p) exp(p r/ )/(2π ) 3/2 d 3 p ψ(p) = exp( p r/ )/(2π ) 3/2 ψ(r)d 3 r = (v p, ψ) A completeza da base é: v p(r )v p(r)d 3 p = δ(r r ) Note que ψ(r) e ψ(p) são transformadas de Fourer uma da outra. No caso undmensonal temos que x p x. Isto leva ao prncípo da ncerteza de Hesenberg.

7 Operadores lneares Operador lnear A: Aψ(r) = ψ (r); A[λ 1ψ 1(r) + λ 2ψ 2(r)] = λ 1Aψ 1(r) + λ 2Aψ 2(r) = λ 1ψ 1(r) + λ 2ψ 2(r) Comutador de dos operadores lneares A e B: [A, B] = AB BA Consdere X e P x defndos como: Xψ(r) = xψ(r); P xψ(r) = x ψ(r) Como fca [X, P x]? Vamos atuar o comutador em ψ(r): [X, P x] ψ(r) = (XP x P xx) ψ(r) = X (P xψ(r)) P x (Xψ(r)) = = x ψ(r) + (xψ(r)) = x x

8 Vetor de estado Como representar o estado de uma partícula com spn? O spn não pode ser representado por uma função de coordenadas. Espaços de estado E r (partícula sem spn) e E: Ket (vetor): ψ E r ψ(r) F Produto escalar: ( ϕ, ψ ) = (ϕ, ψ) Espaço E: ψ E. Postulamos: "O estado quântco de qualquer sstema físco é representado por um ket de estado que pertence ao espaço de estado E do sstema." Espaço E : bra ψ Produto escalar: ( ϕ, ψ ) = ϕ ψ ; ϕ ψ = ψ ϕ Propredades do produto escalar: ϕ ψ = ψ ϕ ; ϕ λ 1ψ 1 + λ 2ψ 2 = λ 1 ϕ ψ 1 + λ 2 ϕ ψ 2 λ 1ϕ 1 + λ 2ϕ 2 ψ = λ 1 ϕ 1 ψ + λ 2 ϕ 2 ψ ; ψ ψ 0(= 0 ψ = 0) Normalzação: ψ ψ = 1

9 Operadores lneares A é um operador lnear que atua em E: A ψ = ψ ; A [λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ] = λ 1A ψ 1 + λ 2A ψ 2 = λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 Projetor P ψ = ψ ψ : P ψ ϕ = ( ψ ψ ) ϕ = ψ ( ψ ϕ ) = ( ψ ϕ ) ψ O axoma assocatvo: "Todo o bracket completo representa um número (em geral complexo) e todo o bracket ncompleto representa um vetor, que pode ser bra ou ket, dependendo se a expressão fnal contem a prmera ou a segunda parte dos brackets." ϕ ( ψ ψ ) = ψ ( ϕ ψ ) Operador adjunto Hermtano A de A: A ψ = ψ ψ A = ψ ψ ϕ = ϕ ψ ψ A ϕ = ϕ A ψ

10 Operadores lneares Conjugação Hermtana: E E ψ ψ λ λ A A A ψ ψ A Pode-se mostrar que: (A ) = A; (AB) = B A ; (A + B) = A + B ; (λa) = λ A

11 Operadores lneares Operador Hermtano: A = A.. Funções de um operador lnear A, F (A). n=0 ψ A ϕ = ψ A ϕ = ϕ A ψ F (A) = f na n 1 ; exp A = n! An = 1 + A + A2 + A3 + 2! 3! n=0 Autovetores e autovalores: A ψ = λ ψ No caso da equação de Schrödnger ndependente do tempo: H ϕ = E ϕ H = P2 2m + V (R) onde P é o operaror momentum lnear e R é o operador posção (voltaremos a eles mas tarde). Para um operador Hermtano, os autovalores são números reas e os autovetores assocados à autovalores dferentes são ortogonas. NA MQ as observáves físcas, como energa, momentum lnear, momentum angular, posção etc, são representadas por operadores Hermtanos.

12 Operadores lneares Bases dscretas { u } e contínuas { r }, { p }. Base dscreta: u u j = δ j; ψ = c u ; c = u ψ onde c é a componente do vetor ψ na dreção u. Temos então: ψ = ( u ψ ) u = ( ) u ( u ψ ) = u u ψ onde a relação de completeza é: u u = 1 Aplcações: ( ) ϕ ψ = ϕ 1 ψ = ϕ u u ψ = ϕ u u ψ = d c

13 Operadores lneares Expansão do operador A na base { u }: ( ) ( ) A = 1A 1 = u u A u j u j = j = A j u u j j u A u j u u j = onde A j = u A u j é o elemento de matrz do operador A na base { u }. Se A = A: u A u j = u A u j = u j A u A j = A j. Dagonalzação de operadores. A ψ = λ ψ u A ψ = λ u ψ j ( ) ( ) u A u j u j ψ = λ u u j u j ψ j j j [A j λδ j] c j = 0 Os autovalores e autovetores (em termos das componentes c ) são obtdos da solução da equação secular det(a j λδ j) = 0.

14 Base { r = x, y, z }. Base { r }: r r = δ(r r ); r r d 3 r = 1 ( ψ = 1 ψ = ) r r d 3 r ψ = r r ψ d 3 r = ψ(r) r d 3 r onde r ψ = ψ(r) (a função de onda) é a componente de ψ na base de coordenadas { r }. Produto escalar em E r: ( ( ϕ, ψ ) = ϕ ψ = ϕ ) r r d 3 r ψ = ϕ r r ψ d 3 r = ϕ (r)ψ(r)d 3 r

15 Base { r }. Operador posção R = (X, Y, Z): X r = x r ; Y r = y r ; Z r = z r onde (x, y, z) são as coordenadas da partícula. Em uma forma condensada: R r = r r Operadores: r A r = A(r, r ). Se o operador for local: A(r, r ) = A(r)δ(r r ) = A(r )δ(r r ) A(R): A ψ r A(R) ψ = A(r)ψ(r) Pode-se mostrar que para A(P) temos: A ψ r A(P) ψ = A( )ψ(r) No caso da equação de Schrödnger ndependente do tempo: H ϕ = E ϕ, onde, temos: H = P2 2m + V (R) [ ] P 2 H ϕ = 2m + V (R) ϕ = E ϕ

16 Base { r }. Projetando na base de coordenadas: [ ] ] P 2 r 2m + V (R) ϕ = [ 2 2m 2 + V (r) r ϕ = E r ϕ ou, na forma "popular": 2 2m 2 ϕ(r) + V (r)ϕ(r) = Eϕ(r)

17 Base { p = p x, p y, p z }. Base { p }: p p = δ(p p ); p p d 3 p = 1 ( ψ = 1 ψ = ) p p d 3 p ψ = p p ψ d 3 p = ψ(p) p d 3 p onde p ψ = ψ(p) (a função de onda) é a componente de ψ na base de momenta { p }. Produto escalar em E r: ( ( ϕ, ψ ) = ϕ ψ = ϕ ) p p d 3 p ψ = ϕ r p ψ d 3 p = ϕ (p) ψ(p)d 3 p

18 Base { p }. Operador momentum lnear P = (P x, P y, P z): P x p = p x p ; P y p = p y p ; P z p = p z p onde (p x, p y, p z) são as componentes do momentum lnear da partícula. Em uma forma condensada: P p = p p Operadores: p A p = A(p, p ). Se o operador for local: A(p, p ) = A(p)δ(p p ) = A(p )δ(p p ) A(P): A ψ p A(P) ψ = A(p) ψ(p) Pode-se mostrar que para A(R) temos: A ψ p A(R) ψ = A( p) ψ(p) No caso da equação de Schrödnger ndependente do tempo: H ϕ = E ϕ, onde, temos: H = P2 2m + V (R) [ ] P 2 H ϕ = 2m + V (R) ϕ = E ϕ

19 Base { p }. Projetando na base de coordenadas: [ ] [ ] P 2 p 2 p 2m + V (R) ϕ = 2m + V ( p) p ϕ = E p ϕ ou, na forma "popular": p 2 ϕ(p) + V ( p) ϕ(p) = E ϕ(p) 2m

20 Mudança de base: { p } { p }. Vamos partr de r ψ e nclur o 1 da base p : ( ) r ψ = r 1 ψ = r p p d 3 p ψ = r p p ψ d 3 p Como r p = exp(p r/ )/(2π ) 3/2 temos: 1 r ψ = ψ(r) = ψ(p) exp(p r/ )d 3 p (2π ) 3/2 De forma análoga: p ψ = ψ(p) = 1 (2π ) 3/2 ψ(r) exp( p r/ )d 3 r

21 Observáves: Defnção de um observável A: operador Hermtano cujos autovetores formam uma base em E. A u n = a n u n ; = 1 g n; u n u n = δ nn δ ; n g n =1 u n u n = 1 Observáves A e B que comutam ([A, B] = 0)têm autovetores smultâneos: A u np = a n u np ; B u np = b p u np, = 1 g np Conjunto Completo de Observáves Comutantes {A, B, C, }: a especfcação dos autovalores de cada observável determna uncamente um autovetor. Exemplo: átomo de H {H, L 2, L z} (E n, l(l + 1) 2, m l ) ϕ nlml H ϕ nlml = E n ϕ nlml, L 2 ϕ nlml = l(l + 1) 2 ϕ nlml, L z ϕ nlml = m l ϕ nlml

22 Referêncas: Os "modernos": Quantum Mechancs, Claude Cohen-Tannoudj, Bernard Du, Franck Laloë, Volumes I e II, John Wley & Sons. Prncples of Quantum Mechancs, R. Shankar, 2nd Edton, Plenum Press. Modern Quantum Mechancs, J. J. Sakura e Jm Napoltano, Second Edton, Addson Wesley (as outras edções também estão valendo). Os "da velha guarda": Quantum Mechancs, E. Merzbacher, 3rd edton, Wley. Quantum Mechancs, A. S. Davydov, 2nd edton, Pergamon. Quantum Mechancs, A. Messah, Dover Publcatons (two volumes bound as one). Quantum Mechancs, L. I. Schff, Thrd Edton, McGraw Hll. Quantum Mechancs: Non-Relatvstc Theory, L. Landau, 3nd Edton, Butterworth-Henemann. The Prncples of Quantum Mechancs, P. A. M. Drac, Oxford Unversty Press.