Capítulo 9. Colisões. Recursos com copyright incluídos nesta apresentação:

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1 Capítulo 9 Colsões Recursos com copyrght ncluídos nesta apresentação:

2 Denremos colsão como uma nteração com duração lmtada entre dos corpos. Em uma colsão, a orça externa resultante que atua sobre os corpos poderá ser desprezada em relação às orças enoldas na colsão. Conseracão do momento lnear Analsaremos stuações em que se consdera F ext 0, assm o momento lnear total do sstema se consera (P é constante). P P Vamos supor que os dos corpos que coldem têm massas m 1 e m. p1 + p p1 + p m11 + m m11 + m áldo para toda colsão

3 Conseração da energa (colsões elástcas e nelástcas) A energa total do sstema consera-se em qualquer colsão. Entretanto, a energa mecânca nem sempre se consera. Parte da energa cnétca pode ser transormada em calor ou deormação, por exemplo. Colsão elástca é aquela em que a energa mecânca se consera. Colsão nelástca é aquela em que a energa mecânca não é conserada. Balanço de energa mecânca durante uma colsão: K + K K + K U m11 + m m11 + m U áldo para toda colsão onde U representa a perda de energa mecânca do sstema. Se U > 0, a energa cnétca do sstema dmnu com a colsão. Se U 0, a energa cnétca do sstema não ara e a colsão é elástca. Se U < 0, a energa cnétca do sstema aumenta com a colsão.

4 Colsões em uma dmensão Quando duas partículas sorem uma colsão rontal, todo o momento, tanto antes quanto depos da colsão, ocorre em uma únca dreção. Neste caso as elocdades podem ser manpuladas como escalares. Exemplo Uma bola com massa 100 g é atrada com uma elocdade de 5,00 m/s contra outra bola de massa 50 g que se encontra em repouso. Após uma colsão rontal a bola que estaa parada adqure uma elocdade gual a 1,60 m/s na mesma dreção e sentdo da prmera. a) Calcule a elocdade da prmera bola após o choque. b) Analse o balanço energétco desta colsão. m m m + m m 1 m1 50 g 1 5,00 m/s x 1,60 m/s 1,00 m/s 100 g a) b) K m K m + m m 1 m1 1 0,100 kg x 5,0 m /s 1, 5 J 1 1 0,100 kg x (1,00) m /s + 0,50 kg x (1,60) m /s 0, 740 J K < K, então ocorreu um choque nelástco, pos o sstema perdeu energa mecânca.

5 Exemplo Uma bola com massa de 00 g, com elocdade de 0 m/s, colde rontalmente com outra bola com massa de 400 g, em repouso, e na colsão o sstema perde metade de sua energa cnétca. Calcule as elocdades das bolas após a colsão. p + p p 1 1 K De (1) 1 K m11 + m m11 m1 + m m m + m m 4 (3) (1) () 1 1 (3) em (): (1 ) ± ou Se, 1 0 Se, m/s 10 m/s, a prmera bola não pode ultrapassar a segunda

6 Colsão nelástca com máxma perda de energa Veremos no próxmo capítulo (rotações) que podemos descreer o momento das partículas de um sstema como momento de translação do centro de massa e momento das partículas em relação ao centro de massa do sstema. Denmos colsões como stuações em que se consdera F ext 0, assm o momento lnear total do sstema se consera (P é constante). Como PM CM, se P é constante, CM também o será. Ou seja, uma colsão pode alterar a elocdade das partículas em relação ao CM, mas não tem como alterar a elocdade do própro centro de massa do sstema. Uma colsão com máxma perda de energa será então aquela em que as partículas que compoem o sstema cam juntas com CM após a colsão, pos neste caso toda a energa cnétca deda ao momento das partículas em relação ao CM do sstema terá sdo perdda.

7 Vamos consderar a colsão de duas partículas em um reerencal onde a partícula está ncalmente parada e a partícula 1 tem 1. m + m m No caso de colsão com máxma perda de energa teremos: ( m1+ m) m1 m 1 (1) m1+ m 1 As energas cnétcas ncal e nal serão K 1 m1 (1) em (): 1 K ( m1 + m ) 1 m1 K ( m1 + m ) ( m + m ) e () 1 K 1 m1 ( m + m ) 1 A energa perdda pelo sstema será 1 1 m U K K m1 ( m1+ m) m U K ( m + m ) ( m1 + mm 1 m1) ( m + m ) 1 1 mm 1 ( m + m ) 1

8 Colsões elástcas em uma dmensão Vamos consderar duas partículas de massas m 1 e m que sorem uma colsão elástca rontal em um reerencal onde a partícula está ncalmente parada e a partícula 1 tem 1. Dedo à conseração do momento lnear e da energa mecânca neste caso teremos: m + m m (1) m11 + m m1 () m1 ( 1 ) m (3) m1 m1 1 + ( ) m1 m De (1) (3) em (): m + m m + m m ( m + m ) m + ( m m ) ( m1 m) ( m + m ) 1 e m1 ( m + m ) 1 equações com ncógntas, 1 e eq. de o grau em 1

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10 1 ( m1 m) ( m + m ) 1 e m1 ( m + m ) 1 Analsando as equações acma emos que tem sempre o mesmo sentdo de 1 tem o mesmo sentdo de se m 1 > m 1 tem sentdo oposto de se m 1 < m partícula 1 colde e olta 1 0 e se m 1 m partícula 1 colde e pára Casos em que as massas são muto derentes Se m 1 << m, 1 e 0 Se m 1 >> m, 1 e bola de snuca na tabela carro que colde com pedestre A colsão de dos corpos de massas muto derentes pode ser usada para aumentar a elocdade de uma nae ao passar perto de um planeta.

11 No reerencal da Terra No reerencal do planeta ( +V) V ( +V) +V Vsta da Terra, a nae se aproxma do planeta com elocdade oposta à do planeta. A nae contorna o planeta sob o eeto da gradade deste e retorna na dreção oposta àquela em que se aproxmou do planeta. Trata-se de uma colsão como denmos no começo do capítulo, ela é elástca e pode ser tratada como undmensonal. No reerencal do planeta (partícula ncalmente parada, como as eqs. que deduzmos), a nae tem elocdade ncal +V. Como m 1 << m, ( +V) e a elocdade do planeta não se altera. No reerencal da Terra, a nae retorna com elocdade V ( +V).

12 Analsamos colsões elástcas em uma dmensão para stuações em que 0. Neste caso as elocdades nas das partículas são dadas por ( m m ) ( m1+ m) m e (1) 1 1 ( m1+ m) Para stuações em que ambas as partículas estão ncalmente em momento, basta mudar o reerencal das equações acma. Seja R 1 o reerencal onde 0 e R um reerencal onde a partícula tem elocdade V. O reerencal R tem elocdade V em relação a R 1. R 1 R V em relação a R V 1 V As elocdades meddas em R 1 ( n ) relaconam-se com as meddas em R (V n ): n Vn V Vamos usar esta transormação nas equações (1)

13 Em R 1 : ( m m ) ( m1+ m) e m 1 1 ( m1+ m) As elocdades meddas em R 1 ( n ) relaconam-se com as meddas em R (V n ): n Vn V Em R : m m V V (V V ) m1+ m V V m (V V ) 1 1 m1+ m m m m V V + V m1+ m m1+ m m m m V V + V m1+ m m1+ m Velocdades das duas partículas após a colsão em um reerencal (R ) onde ambas têm elocdade ncal.

14 Colsões elástcas em duas dmensões No caso geral de colsão entre duas partículas, o eento ocorre em três dmensões. Se a segunda partícula ester ncalmente parada, a colsão pode ser descrta em duas dmensões. O momento ncal da partícula 1 dene uma reta e a posção ncal da partícula dene um ponto. Os dos juntos denem um plano. Colsão elástca, não rontal, entre a partícula 1 de massa m 1 e 1 1 e a partícula de massa m, ncalmente em repouso. 1 1 θ y b φ x b parâmetro de mpacto Se b0, colsão rontal

15 1 y 1 1 b θ φ y x θ φ x Usando as les de conseração da energa e do momento lnear temos: m m + m m11 m11 cosθ + m cosφ m11 m11 + m 0 m senθ m senφ 1 1 No exo x No exo y Temos 4 ncógntas, 1,, θ, φ, e apenas 3 equações. Para resoler o problema, neste caso, uma das ncógntas tem que ser ornecda.

16 Caso partcular: partículas de massas guas Neste caso as equações de conseração da energa e do momento tornam-se θ φ 1 1 é a soma etoral de 1 e 1 é a soma dos quadrados dos módulos de 1 e Pelo teorema de Ptágoras conclu-se que esses três etores ormam um trângulo retângulo e 1 e são ortogonas entre s. π θ + φ Com esta condção extra é possel resoler o sstema de equações de momento e energa e determnar 1,, θ e φ.

17 Exemplo Uma bola de snuca, com elocdade de 10,0 m/s, colde com outra de massa gual, e sua trajetóra sore um deso de 60 o,0. Calcule as elocdades das duas bolas após a colsão. Partículas de massas guas e colsão elástca, então θ + φ π/. Como θ60 o, então φ30 o. m m cosθ + m cosφ m senθ m senφ (1) () De () (3) 1 5,0 m/s y 10 m/s x (3) em (1) 1 8,7 m/s 3 8,66 m/s 3 5,00 m/s 3 1