Revisão da mecânica Newtoniana

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1 apítulo Resão da mecânca Newtonana 1 nemátca O objecto da cnemátca é a descrção completa da trajectóra do momento de um corpo em função do tempo pergunta que se coloca aqu é como se moe um corpo, não se nteressando pelas raões do momento (e porque o corpo se moe dessa manera e não de outra; a resposta a esta pergunta procura-se na dnâmca) ssume-se que a forma e as dmensões do corpo não são mportantes e, portanto, este consdera-se como sendo um ponto materal Possíel rotação do corpo durante do momento gnora-se também (não fa sentdo de falarmos de rotação de um ponto) escreer a trajectóra sgnfca saber, em cada nstante do tempo, a posção eacta do corpo (mutos ees fala-se de uma partícula para sublnhar a suposção de ausênca das dmensões do corpo), e ( no caso de momento undmensonal ou, no caso mas geral, omo? nemátca Porque? nâmca r( - se a partícula moe-se num plano ou num espaço de três dmensões ( r ( chama-se ector posção) om a nformação completa sobre a posção de uma partícula em função do tempo, r (, podemos faclmente saber a sua elocdade, (, e a aceleração, a (, em qualquer nstante escrta r sgnfca um ector com dos (no plano) ou três (no espaço) componentes: r ( t ) = (, y(, ( { } do tempo Por defnção temos d( ( = d( d d( d ( a ( = a( = =, numa dmensão 5

2 e ( = ( dmensões d ( d ( d r( a ( = a( = =, no caso de duas ou três Então, se sabemos o ector posção r ( num certo nteralo do tempo (t 1, t ), sempre podemos atraés da deração obter a elocdade e a aceleração do corpo neste nteralo do tempo Por eemplo, efectuando as medções da posção da ua em relação da Terra durante uma semana podemos calcular com este método ( e a( do nosso satélte, mas só durante desta semana nformação a cerca do r ( neste nteralo do tempo não nos permte, em geral, faer presão para a trajectóra da ua no futuro Porquê? Porque a cnemátca só se preocupa com descrção do própro momento em s e não se nteressa pelas factores que o afectam, e, pelas forças que actuam sobre o corpo No nosso eemplo, é a força graítca eercda sobre a ua, prncpalmente pela Terra, é que nfluenca a trajectóra da ua Mas, força não fa parte da lnguagem da cnemátca Este já é assunto da dnâmca de que amos falar, com mas pormenor, na secção a segur Para já só lembremos que a le fundamental da dnâmca (ª le de Newton) relacona a força que actua sobre o corpo com a aceleração deste atraés da equação r( ( a( F = ma, em que m é a d r( derada de um ector, por eemplo, é um outro ector cujas componentes são as deradas das respectas componentes do ector orgnal: d r( d( dy( d( ( =,, e como ( = e ( = { (, y (, ( } d( dy( d( concluímos que ( =, y ( = e ( = a mesma manera para o ector aceleração, ( = { a (, a (, a ( } escreemos d ( ) d ( ( ) t y d t a(,, a, d ( d y( d ( a( =,, = ou y 6

3 massa do corpo No eemplo com a ua, esta força é bem conhecda e é a força graítca o saber a força em função do tempo, pode-se calcular a aceleração, F ( a ( = m Sabendo a aceleração podemos chegar à elocdade utlando a operação nersa a deração, e calculando a prmta e, assm contnuando, ao ector posção ( t ) = a( r ( t ) = ( F ( a( ( r( Eemplo Queda de uma maçã Problema Uma maçã ca de um árore de uma altura H sem elocdade ncal etermne a posção da maçã em função do tempo Solução únca força, que actua sobra a maçã, è a força graítca Esta força é constante em módulo, actua no ertcal e tem sentdo para bao Escolhemos os eos de tal manera que o plano (, y) corresponde ao solo e o eo aponta para cma com a orgem no chão omo a elocdade ncal da maçã é nula e não este nenhuma componente da força a actuar no plano (, y), estamos perante de um momento undmensonal ao longo do eo r Os componentes da força são F = { 0, 0, F } em que F <0 porque o ector força aponta para bao, e no sentdo contráro do eo e acordo com a ª le de Newton F ( a ( = e, então, o ector aceleração a = { 0, 0, a } com m F a = m (m é a massa da maçã) força graítca perto da superfíce da Terra, como se sabe, é gual a F = mg e, então, F = mg = mg Para a componente da aceleração temos a = g, e a aceleração é constante como era de esperar elocdade da maçã calcula-se atraés da prmtação da aceleração H 0 F = -mg 7

4 a ( = ( g) = g = gt + ( = 1, onde 1 é a constante de ntegração Para determnar a constante, precsamos mas uma equação Neste caso, sabemos que a elocdade ncal é nula, e em t = 0 : (0) = g = 1 1 = 0 ssm, ( = gt Para a posção da maçã em função do tempo temos t ( = ( = ( g = g t = g + com a constante de ntegração que se determna pela posção ncal da maçã, = H: 0 em t = 0 : (0) = g + = = H Temos, fnalmente, a posção da maçã em função do tempo gt ( = H Se faermos o mesmo cálculo para as componentes e y da elocdade, erfcamos que estas são nulas Por eemplo, ( a ( = 0 = = 1 e, como (0) = 0, 1 = 0 o que sgnfca que ( = 0 em qualquer nstante do tempo a mesma manera mostra-se que ( = 0 e, também, y (0) = 0 e y( = 0 nâmca 1 Força Na secção anteror, refermos duas abordagens para determnar as característcas do momento baseadas na nformação ncal, que temos ao nosso dspor, dferente No prmero caso, determnamos as característcas do momento (a elocdade e a aceleração) a partr do conhecmento da posção da partícula, medda num dado nteralo do tempo (t 1, t ) Na segunda stuação, faemos o nerso tendo a força (ou a aceleração, porque F = ma ) como o ponto de partda Se no prmero eemplo não nós fo possíel obter ( e a( fora do nteralo do tempo (t 1, t ), no segundo caso a presão do momento no futuro (e no passado remoto) torna-se possíel porque as 8

5 propredades da força graítca são bem conhecdas e pode-se saber, em prncípo, como a força ara ao longo da trajectóra da partícula, e em qualquer nstante do tempo F ( a( ( r( ersus r( ( a( Força é um conceto fundamental da mecânca clássca É por sso mesmo, por ser um conceto prmáro em que se basea a teora, não é fácl dar uma defnção eacta o que é força, embora todos nos temos uma noção ntuta do que é (uma epressão do tpo pua com mas força! entende-se bem por toda a gente) O mas que se pode der, proaelmente, é que força é uma medda de acção de um corpo sobre o outro Uma força caractera-se pela ntensdade, sentdo (sto quer der que é um ector) e pelo ponto em que se aplca le fundamental da dnâmca le fundamental da dnâmca, também conhecda como segunda le de Newton, relacona a aceleração de um corpo com a força eercda sobre ele forma mas comum desta le é F = ma le afrma que a aceleração do corpo é drectamente proporconal à força Se não estsse nenhuma força a actuar sobre o corpo (e F = 0 ), o corpo moa-se sem aceleração (e a = 0 ) omo d( a( = sso sgnfca que ( t ) = const (mas não necessaramente gual a 0) Esta conclusão é muto mportante segunda le de Newton d-nos que um carrnho pode moer-se sem ser puado por alguem estênca de uma força não é uma condção necessára para estr o momento força somente fa com que o ector elocdade ara 1ª e de Newton (le de nérca): Na ausênca de forças, um corpo permanece em repouso ou em momento rectlíneo unforme (e, ( t ) = const, mas não necessaramente gual a 0) 3ª e de Newton (acção = contra-acção): força que um corpo eerce sobre outro corpo é gual em módulo e tem sentdo oposto à força com que o segundo corpo actua sobre o prmero 9

6 Na altura quando Newton tnha feto essa obseração, domnaa o ponto de sta de Galleo que afrmaa que a força era necessára para que um corpo se moa Esta são do Galleo está, de facto, em acordo com a nossa eperênca do da a da Precsamos empurrar constantemente o carrnho de compras para chegar com ele a um lado qualquer Mas também é erdade que se, uma e em momento, deamos emurra-lo, o carrnho contnuará moer-se por uns nstantes eplcação correcta dessa stuação é a do Newton: precsamos, sm, eercer a força para moer o carrnho com uma elocdade constante, mas somente por causa da força de atrto que se oponha ao momento Por sso é que é necessára uma força - a força dos nossos músculos - a actuar no sentdo do momento e gual em módulo à força de atrto este modo, a força resultante ( F = F + F ) é gual a ero e, de acordo res atrto músculos com Newton, a aceleração é nula e o ector elocdade é constante este eemplo com um carrnho, torna-se claro o que se dee escreer do lado esquerdo da ª le de Newton temos que lá pôr a força resultante, e a soma ectoral de todas as forças a actuar sobre o corpo F = ma Mas uma obseração mportante que se pode faer é a cerca de massa Outra e, ntutamente sabemos todos o que é a massa, mas defn-la com rgor já é mas complcado Na segunda le de Newton a massa surge como coefcente de proporconaldade, m, entre a força e a aceleração e essa é a sua defnção eacta mesma força resulta em menor aceleração quando a massa é maor e ce-ersa ostuma-se der que um corpo com uma massa maor tem uma nérca maor massa, portanto, é uma medda de nérca do corpo Na grande maora das stuações prátcas a massa do corpo em momento mantém-se constante ou, pelo menos, a aração da massa em função do tempo é despreáel (como, por eemplo, a massa do carro em agem, embora a massa de combustíel no depósto dmnu) Nestas crcunstâncas, a ª le de Newton na forma F = ma aplca-se drectamente Estem, porém, casos em que a massa não pode ser consderada constante Um lançador espacal sera um bom eemplo massa do combustíel, dos depóstos e dos propulsores, que se separam da cápsula durante o lançamento, atngem 99% da massa ncal do lançador forma da ª le de Newton que toma em conta as stuações em que m const é a segunte 30

7 dp F = onde p é o momento lnear Substtundo p por sua defnção, p = m, e utlando as regras de deração temos dp d( m) dm d dm F = = = + m = + ma Vê-se desta epressão, que para além do componente habtual ma r, aparece mas um termo do mesmo lado da equação que d respeto à aração da massa em função do tempo, dm dm Se a massa for constante, = 0 e a ª le de Newton toma a sua forma mas bem conhecda, F = ma, o que era de esperar le fundamental da dnâmca na sua forma mas geral, portanto, é dp F = forma geral da ª le de Newton: dp F = 3 O círculo coso da mecânca Em grande parte de problemas da mecânca procura-se saber a trajectóra de um corpo, e a posção deste em função do tempo, r ( Já apontamos o camnho conenente: F ( a( ( r( Neste camnho utlamos, smplesmente, ) as defnções da elocdade e da aceleração como deradas do r ( em ordem do tempo, procura-se r ( precsa-se r ( ( d r( ( = e a ( = ; ) a le fundamental da dnâmca que permte estabelecer a lgação entre precsa-se r ( t ) os parâmetros cnemátcos e a força, F ( a ( = e m ) o facto que em mutas stuações as forças a precsa-se a r ( actuar no sstema são conhecdas Parece estar resoldo o problema! deslusão em quando apercebemos que precsa-se F r ( MS sabe-se r F (r r )! 31

8 precsamos prmtar em ordem do tempo, mas para sso necesstamos de saber a força em função do tempo, também No entanto, não é sso que se sabe Sabemos, geralmente, a força não em função do tempo, mas sm em função da posção como, por eemplo, no caso da força graítca que determna o momento dos corpos celestes, F (r) o percorrer o camnho todo oltamos ao ponto de partda: para determnar r ( precsamos saber r ( Há duas maneras de quebrar este círculo coso prmera é compor uma equação dferencal usando a ª le de Newton e tentar resole-la: d r m a = F m = F ( r), sendo r ( a função ncógnta (no caso de momento d undmensonal temos m = F( ) com ncógnta = ( ) Em algumas stuações esta equação dferencal da segunda ordem pode ser resolda, dependendo muto da forma da função F (r) omo amos er no capítulo a segur, este é um bom camnho para descreer o momento osclatóro, por eemplo No caso quando não este atrto e a únca força a actuar no sstema é a força elástca F( ) = k (um bloco fo numa das etremdades de uma mola a osclar no plano horontal), a equação toma uma forma bastante smples: d m = k, sendo k a constante elástca da mola Esta equação pode ser resolda analtcamente resultando numa solução k ( = cos t + δ em que e δ são constantes de ntegração que só podem m ser determnadas com base numa nformação adconal (o estado do sstema num determnado nstante do tempo) Este, no entanto, um outro camnho que, embora não resole o problema na totaldade, mas lea à le de conseração da energa mecânca um dos mas poderosos les de conseração que conhecemos Este camnho, que amos eplorar na secção segunte, passa pelo conceto do trabalho de uma força 3

9 3 Trabalho e Energa 31 Trabalho de uma força Energa cnétca Vejamos se se consegue aproetar de alguma manera o facto de conhecer F (r r ) (e não F ( ) efnmos uma grandea físca, chamada trabalho de uma força, do segunte modo O trabalho realado por uma força F ao longo de uma trajectóra, que amos desgnar por, com níco no ponto e fm no ponto defna-se como epressão = F ( ) Fd r sgnfca produto escalar (também chama-se produto nterno) dos ectores F e d r e defna-se como Fd r = F cosα, onde α é o ângulo entre os dos ectores (er a caa) O símbolo debao do símbolo de ntegral sgnfca que a ntegração (pode ser substtuída por um somatóro er a caa) dee ser feta ao longo da cura que descree a trajectóra da partícula frma-se, por esse meo, que o resultado da ntegração, em geral, depende da forma partcular da trajectóra que a partícula segue no camnho do ponto para o ponto e não somente das coordenadas destes dos pontos Repare, que a ntegração no cálculo de fa-se em ordem do r e não em ordem do tempo como precsáamos faer na secção anteror Esta é uma grande antagem do conceto de trabalho de força porque, como já obseramos, a força é normalmente conhecda em função da posção e não do tempo Também pode-se escreer a defnção do trabalho em forma dferencal, e para um deslocamento nfntamente pequeno, d r : d = F ( r) (se anda lhe fa confusão esta forma de escrta, podera pensar em termos de deslocamentos fntos, = F ( r) r ) r em e de d r ; assm, a epressão em cma transforma-se a plcando a ª le de Newton defnção do trabalho, temos d F = m (amos consderar m = cons e usando a 33

10 ( ) = d F = m = m = m = m d = m d = d d m d (outra e: tudo pode tornar-se muto mas claro se pensarmos em, d e como se fossem r, e t er a caa) ntes de contnuar, calcularemos prmero a derada do produto escalar (já amos er para quê) e acordo com a regra de deração do produto de duas funções temos Se d d d d ( ) = + = d( ) d =, também é erdade que d( ) = d (pensando em d-s como se fossem -as, podemos cortar O produto escalar é gual a Então, 1 d( ) = d ou d = d( ) Podemos agora oltar ao nosso ntegral e substtur d por 1 d ( ) : m ( ) m = = T T m m m = ( ) d( ) = = em que desgnamos m por T que, para já, é apenas uma função - uma estranha O produto escalar de dos ectores a, a, a b = b, b, b é defndo a = { } e { } como y y ab = a b + a b + a b Pode-se mostrar que ab é gual ao produto de módulos dos dos ectores ees o coseno do ângulo entre eles, α: ab = ab cosα (para sso basta escolher os eos de tal manera que um dos dos ectores concdsse com um eo) b r α y y nterpretação do ntegral F d r torna-se mas clara se lembrarmos que este pode ser substtuído pela soma F r ao longo de toda a cura : F r 1 1 r r r F r F r b cosα α = 0 ab = ab α =π/ ab = 0 α = π ab = ab a r r r 34

11 combnação de aráes dnâmcas aqu ê-se claramente qual o efeto das forças sobre um corpo em momento: as forças, efectuando trabalho, obrgam o corpo arar a sua elocdade Se o trabalho for posto, ( ) > 0, a elocdade aumenta; se for negato dmnu Embora sto não dea surpreender-nos (já a segunda le de Newton F = ma da que se este uma força a actuar sobre um corpo, o corpo moe-se com aceleração e, então, a elocdade não pode ser constante) temos aqu uma noa relação entre a força e o seu efeto em que não apareça nenhuma aráel temporal equação = T T m m ( ) = não é sensíel ao desenolmento do processo no tempo e nclu só aráes espacas (trabalho efectuado ao longo de uma dada trajectóra não nteressa como esta fo percorrda em termos do tempo e dos alores da elocdade: no níco e no fm do percurso) Esta é uma grande antagem porque não nos obrga saber como aram as forças em função do tempo, como sera necessáro se aplcássemos ao processo a segunda le de Newton (er Secção 3 deste apítulo) Empregando o conceto de trabalho, só precsamos de saber como as forças dependem da posção no espaço o que é, normalmente, acessíel mas faclmente aqu, também, segue uma m mportânca muto especal da função T = que se costuma chamar energa cnétca uma grandea já nos conhecda desde prmeros passos na cênca, mas que só aqu, e no conteto do trabalho das forças, adqura o seu sgnfcado físco E é precsamente aqu, da sua relação com o trabalho, a energa cnétca materala-se matematcamente como ½ do produto da massa do corpo e do quaado da elocdade lberdade com que manpulamos os dferencas (,, d ) na deração da equação = T T pode ser justfcada se, mas uma e, pensarmos neles como nas pequenas arações ( t, r, ) e lembrarmos a defnção da derada como sendo o lmte da raão entre essas arações Por eemplo, por defnção r d = lm Isso eplca a passagem = d : pensando em -s em e t 0 t r r dos d-s temos r = = t t t 35

12 equação energa cnétca é uma grandea que caractera o momento e, deste modo, a = d nos como uma força afecta o momento Se uma força T T efectua um trabalho posto, fa aumentar a energa cnétca do corpo ou, seja, a elocdade deste Um eemplo desta stuação é um eículo modo a motor: o trabalho da força motr do motor é posta em qualquer parte da trajectóra porque o ector força F é paralelo ao ector deslocamento d r (ou r ) e ambos têm o mesmo sentdo e, assm, dee resultar (de acordo com a equação) em que a energa cnétca do eículo aumenta E é sto que aconteça, como todos nós sabemos o eículo acelera (despreamos o atrto neste eemplo) Um eemplo oposto empurramos um carrnho de compras e largamos a seguda Sabemos mutíssmo bem que ao percorrer uma certa dstânca o carrnho para e também sabemos que a raão dsso é a estênca da força de atrto Em termos do trabalho e da energa cnétca este processo eplca-se de segunte manera força de atrto efectua um trabalho negato (porque F tem sempre sentdo oposto ao momento, e F ( r) d r < 0 em qualquer parte da a trajectóra) e sto resulta em que a energa cnétca do corpo dmnu E se o ector força for perpendcular ao ector deslocamento r? equação d que neste caso o trabalho da força é gual a ero (porque o produto escalar F ( r) d r = 0 ) e, então, a energa cnétca dee manter-se constante É sto que acontece no caso de um momento crcular: a força centrípeta (tensão do fo, por eemplo) não efectua trabalho e o módulo da elocdade do corpo mantém-se constante (O efeto da força centrípeta é a alteração da drecção do ector da elocdade, mas este efeto não está ncluído na energa cnétca a energa cnétca é uma grandea escalar e é uma função do quaado da elocdade = ) presentaremos em bao os cálculos mas detalhados do trabalho para estes três eemplos Eemplo 1 Trabalho da força de atrto omeçaremos por calcular o trabalho que efectua a força de atrto Um corpo de massa m desloca-se ao longo de uma superfíce plana do ponto até o ponto com força de atrto dada pela equação F a = kneˆ onde k é uma constante (coefcente de atrto), N é o módulo da força da reacção F a dl N mg dl 36

13 normal da superfíce, N = mg, e elocdade, ê = ê representa o ersór (ector untáro) do ector O snal menos na equação para a força de atrto sgnfca que o ector da força tem sentdo contráro ao do ector elocdade Vamos comparar o trabalho efectuado pela força de atrto em duas trajectóras dferentes, e (er a fgura) Para a trajectóra (recta) calculamos ( ) = Fadl = ( kne ) dl = kn eˆ dl ˆ omo o sentdo do ector deslocamento, elocdade em qualquer parte da trajectóra, dl concde com o sentdo do ector e ˆ d l = eˆ dl cos0 = dl (repare, que dl é um escalar e representa o comprmento do ector dl ) Então, ( ) kn ê dl = kn dl = kn = em que corresponde ao comprmento da lnha Para a trajectóra curlínea, escreemos ( ) Fadl = ( kneˆ ) dl = kn eˆ dl = kn dl = kn = (para o produto trajectóra, porque e ˆ d l = eˆ dl cos0 = dl ) ê dl são áldas as mesmas consderações, que para o caso da e ˆ dl em qualquer parte da trajectóra e, portanto, o omo já era de esperar, o trabalho efectuado pela força de atrto é negato qualquer que seja a trajectóra do corpo e facto, sto é áldo para qualquer força que resste ao momento, e que actua no sentdo contráro ao momento Outra obseração mportante é que o trabalho da força de atrto depende da forma concreta da trajectóra que lga os dos pontos omo ( ) < ( ) <, obamente Eemplo Trabalho da força motr onsderemos um carro de massa m a deslocar-se ao longo de uma superfíce plana e horontal do ponto até o ponto Suponhamos que não este atrto no sstema e a ntensdade da força motr é constante durante todo o processo O dagrama das forças a actuar no sstema está representada na fgura força da 37

14 reacção normal da superfíce dedo ao peso do corpo anula-se com a força graítca de modo que a N força motr torna-se a únca força releante para descrção do processo drecção e o sentdo desta mg F m força concdem com ector elocdade em qualquer parte da trajectóra e, portanto, podemos escreer para ela F = ˆ onde Fm = Fm e ê m Fm e dl dl representa, como antes, o ersór do ector, ê = omo já femos para a força de atrto, amos comparar o trabalho efectuado pela força motr em duas trajectóras dferentes, e (er a fgura) Para a trajectóra (recta) temos ( ) = Fmdl = Fm edl Fm eˆ dl = ˆ omo o sentdo do ector deslocamento, elocdade em qualquer parte da trajectóra, dl concde com o sentdo do ector e ˆ d l = eˆ dl cos0 = dl (repare, que dl é um escalar) Então, ( ) Fm ê dl = Fm dl = Fm = em que corresponde ao comprmento da lnha Para a trajectóra curlínea, escreemos (para o produto trajectóra, porque ( ) Fmdl = Fm eˆ dl = Fm eˆ dl = Fm dl = Fm e ˆ d l = eˆ dl cos0 = dl ) = ê dl são áldas as mesmas consderações, que para o caso da e ˆ dl em qualquer parte da trajectóra e, portanto, o Vê-se claramente que o trabalho da força motr é posto qualquer que seja a trajectóra e, deste modo, contrbu para aumento da energa cnétca do corpo omo <, ()< () e daqu concluímos que o trabalho da força motr depende da forma concreta da trajectóra que lga o ponto de partda e o ponto 38

15 de chegada e, mesmo se no fm da agem o carro olta ao mesmo ponto a força a efectuar um trabalho não nulo nossa eperênca do da a da d nos que nas stuações reas gastamos a gasolna mesmo que o carro andasse com uma elocdade constante Em termos físcos sto sgnfca que apesar de a força motr efectuar trabalho posto, a energa cnétca (e a elocdade) do eículo não aumenta Isto está em aparente contradção com as equações que escreemos em cma solução desta contradção é smples e óba: numa stuação real sempre este resstênca ao momento Se adconássemos uma força de atrto (er a fgura), torna-se claro que a raão para não aumento da energa cnétca é que a força de atrto anula a força motr e a força resultante, então será nula Em termos de trabalho, podemos der que o trabalho da força motr (posto) anula-se pelo trabalho da força de atrto (negato) de modo que o resultado é gual a ero Matematcamente, sto é possíel porque trabalho é uma função lnear em relação a força e, então, se F = F + F, é erdade que resul tan te m a ( motr) ( atrto) ( F + F ) = F + F = ( ) ( ) ( ) = Fresul tan te = m a m a + F a N mg Fm Eemplo 3 Trabalho da força de reacção normal Um corpo moe-se numa superfíce plana (er a fgura do eemplo anteror) etermnemos o trabalho efectuado pela força da reacção normal força de reacção normal é sempre perpendcular ao ector elocdade Portanto ( ) = N = N = 0 Utlamos aqu a defnção da elocdade = = e, também, o facto de π N = N cos = 0 Eemplo 4 Trabalho da força de tensão do fo Um corpo fo na etremdade de um fo fa momento crcular tensão do fo é a força que obrga o corpo segur uma trajectóra crcular, e alterar a drecção do ector elocdade e, portanto, moer-se com uma aceleração Mas como esta força é 39

16 π perpendcular ao ector elocdade, F T = FT = FT cos = 0 e, portanto, o trabalho da força é gual a 0 equação É mportante de sublnhar que na deração da = não utlamos nenhuma T T restrção a cerca das propredades da força Portanto, a equação é álda para qualquer tpo de força = T T para qualquer força 3 Forças conseratas Energa potencal Se consegur calcular o trabalho efectuado por uma dada força numa dada trajectóra, que lga o ponto de partda ao ponto de chegada, podemos saber como ara a energa cnétca do corpo O cálculo do trabalho nem sempre é uma tarefa fácl Em geral, o trabalho depende da forma concreta da trajectóra, como já temos possbldade de notar quando o calculámos para as forças de motr e de atrto Felmente acontece, que nem todas as forças são assm Este um grupo de forças cujo trabalho não depende da forma concreta do camnho percorrdo mas é uma função das coordenadas de apenas de dos pontos ponto ncal e ponto fnal: = F = u r ) u( r ), ( onde u (r) é usado para desgnar uma função (genérca) de coordenadas espacas Um eemplo da força deste tpo é a força graítca: Eemplo 5 Trabalho da força graítca Um corpo de massa m deslocase no campo graítco do ponto com coordenadas ( 1, 1 ) ao ponto com coordenadas (, ) ao longo de uma trajectóra curlínea como se mostra na fgura (suponhamos que o momento ocorre no plano y = 0) 1 r r F = -mg r r

17 e acordo com a defnção, o trabalho é gual a = F ( ) em que a força é a força graítca, neste caso, d r é um elemento (nfntamente pequeno) do ector de deslocamento e a ntegração tem de ser feta ao longo da cura, cuja forma é ndcada na fgura O ector da força graítca só tem um componente - o componente, e F = { 0, 0, mg} representando o ector r e, para o trabalho Utlando a defnção do produto escalar e d em componentes também d r = { d, dy, d} F = 0 d + 0 dy mg d = mg d, temos ( mg) d = mg d= mg( 1 ) = ( mg 1 ) 1 1 ( ) = mg Usando a desgnação ntroduda no níco desta secção, ê-se claramente que no caso da força graítca a função u(r ) = mg Este resultado pode ser compreenddo se lembrarmos o sgnfcado do ntegral F d r como soma F r calculada no lmte r 0 Os elementos r são pequenas deslocações, tão pequenas que a trajectóra curlínea pode ser apromada por uma soma de traços rectlíneos ( d r é um elemento nfntamente pequeno; os são pequenas mas fntas) O produto r F r calcula-se para cada elemento rectlíneo, r, e os resultados somam-se Segundo esta lógca e representando agora o deslocamento deslocamento no ertcal, r como soma de um deslocamento no horontal e de um r = + (er a fgura), ê-se logo que a força efectua o trabalho só na parte do deslocamento ertcal e este trabalho é posto ( F F = F ) Na parte do deslocamento horontal, a força é perpendcular ao deslocamento e, portanto, o trabalho é gual a ero gora lembremos que uma força (qualquer, não necessaramente conserata!), ao efectuar trabalho sobre um corpo, fa com que a energa cnétca do corpo se altera: temos = T T ombnando esta equação com a equação = u r ) u( r ), T T = u( r ) u( r ) ( 41

18 ou, anda, T u r ) = T u( r ) ( Estamos apenas um passo a uma grande descoberta Vamos substtur a função u (r) recentemente ntroduda por uma outra função u( r) = U ( r) ou, smplesmente, U Temos, então ou T + U = T + U T + U = const, e, qualquer que seja o camnho percorrdo entre o pontos e, a soma de duas grandeas T + U consera-se omo m T = é a energa cnétca, é óbo, por raões dmensonas, que U também tem sgnfcado de energa E aqu está a le de conseração da energa mecânca Só nos resta chamar todas as grandeas enoldas com os nomes a que temos habtuado: T energa cnétca, U energa potencal, E = T + U energa mecânca Os sstemas em que a energa mecânca consera-se chamam-se sstemas conseratos e as forças, cujo efeto não altera a energa mecânca do sstema, chamam-se forças conseratas É mportante de lembrarmos que para chegar à conclusão sobre a conseração da energa mecânca num sstema, temos assumdo ncalmente que o trabalho efectuado pela força a actuar no sstema não depende da forma da trajectóra mas é uma função de apenas das coordenadas dos pontos ncal e fnal: ( cons) = ( U U ) e facto, podemos usar esta propredade para defnr o que é uma força conserata Mas o mas mportante é que sto nos dá a compreensão de o que é, realmente, a energa potencal: a energa potencal (mas precsamente, o smétrco da aração desta) é nada mas nada menos que o trabalho efectuado pela força conserata Segue daqu uma sére de conclusões mportantes relaconadas com o conceto da energa potencal: 1 energa potencal é defnda eclusamente para uma força conserata 4

19 energa potencal é defnda até uma constante (só sabemos defnr U e não U e U em separado) 3 O conceto da energa potencal está fortemente lgado ao conceto da força embrando a defnção da energa potencal como o trabalho efectuado pela força conserata F = U + const e, também, a defnção da prmta de uma função, podemos dedur que sgnfcado da escrta temos du ( ) F( ) = ) d mportânca desta últma equação consste em que ela mostra que, de ponto de sta físco, a força e a energa potencal são ambas as característcas do mesmo fenómeno Este du ( r) F ( r) = (er a caa para du ( r) ; no caso de momento numa só dmensão fenómeno é a nteracção nteracção entre os objectos físcos (corpos, partículas, átomos etc) é que dá orgem às forças energa potencal, em sua e, também só fa sentdo quando houer uma nteracção Por eemplo, no caso da bem conhecda força graítca, a nteracção graítca entre duas massas está na orgem dessa força Sabemos, que à superfíce da Terra a energa potencal graítca U() = mg, se escolhermos o eo a apontar para cma derada da U() em ordem do é gual a mg força é o smétrco dsso, du ( ) F( ) = = mg, como era de esperar O d snal menos sgnfca que o ector da força aponta para bao du ( r) F ( r) = para uma força conserata r du ( ) No caso de duas ou três dmensões a epressão r tem o sgnfcado de gradente, grad (U ), ou r U Reparem, que o argumento desta função é uma grandea escalar mas o resultado é um ector Por defnção, o gradente é um ector U U U com os seguntes componentes grad ( U ) =,, O ector grad(u ) y ndca o sentdo em que a função U (r r ) cresce mas rapdamente Para uma função undmensonal, U (), gradente posto d nos que a função cresce no sentdo posto enquanto grad ( U ( )) < 0 sgnfca que a função U () dmnu quando aumenta 43

20 Na físca clássca, ambos os concetos (tanto o da força como da energa potencal) são gualmente usadas para descreer a nteracção no sstema: sabendo a força em função das coordenadas espacas, podemos sempre determnar a função de energa potencal e ce-ersa Já na físca quântca, da que amos falar no apítulo 6, não é bem assm s nteracções num sstema quântco caracteram-se eclusamente pela energa potencal e o conceto da força não tem lugar no formalsmo quântco É a função de energa potencal que entra na equação de Schrödnger na parte correspondente a nteracção - equação que tem um papel semelhante à ª le de Newton na mecânca clássca Eemplo 6 Trabalho da força elástca onsderemos um sstema em que a únca força releante é a força elástca, por eemplo, uma mola de constante elástca k força elástca, como é sabdo, é proporconal ao elongamento (ou à compressão) e actua no sentdo contráro a este: F( ) = k (aqu supõe-se que = 0 corresponde a posção de um ponto qualquer da mola não estendda à etremdade lre da mola, por eemplo) O trabalho que a força elástca efectua quando estendemos a mola do 1 a é calculado como k k = ( k) d = k d = k = omparando este resultado com a defnção para a energa potencal, e ( cons) = ( U U ), ê-se claramente que a energa potencal relaconada com a k força elástca é gual a U ( ) = 33 Sstemas com forças conseratas e não conseratas s forças não conseratas são aquelas que não conseram a energa mecânca (um eemplo clássco deste tpo de força é a força de atrto) Num sstema físco com as forças não conseratas já não podemos utlar a le de conseração da energa mecânca, tão útl em resolução de mutos problemas Mas será que este uma manera de nclur o efeto dessas forças na equação de conseração da energa para que seja possíel contnuar a usa-lo? 44

21 Vamos representar a força resultante num sstema físco como a soma de duas componentes, uma sendo a soma de todas as forças conseratas, a soma de todas as forças não conseratas, O trabalho dessas forças todas é ( n c ) F : ( cons) ( n c) F = F + F ( cons) ( n c) ( F + F ) ( ) = F = = F + F = ( cons) + ( n c) ( ) ( cons) ( n c) ( ) = + ( ) ( cons) (cons) F, e a outra ( n c) = O trabalho das forças conseratas, já sabemos, não depende da trajectóra concreta seguda pelo corpo e é gual ao smétrco da aração da energa potencal ( cons) = ( U U ) O trabalho das forças não conseratas depende, em geral, da trajectóra,, e não este uma manera unersal de determna-lo a não ser atraés da ntegração drecta n c F ) ( tomando em conta todos os pormenores do percurso e orentação mútua dos ectores da força e de deslocamento em cada ponto deste Por outro lado, também sabemos que o trabalho de todas as forças, ndependentemente de serem conseratas ou não conseratas, resulta em aração da energa cnétca: respectas epressões, temos ( Substtundo () e ) = T T ( n c) T T = ( U U ) + (cons) pelas ou ( n c) T + U = T + U + e, fnalmente, ( n c) E = E + Esta últma equação oferece-nos a sada Sm, podemos contnuar a utlar a dea de conseração da energa mecânca mas, no caso de um sstema com forças não conseratas, temos que nclur no balanço energétco o trabalho efectuado por estas ( n c) E = E + 45

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