Método do limite superior

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1 Introdução método do lmte superor é uma alternata analítca apromada aos métodos completos (e. método das lnas de escorregamento) que possu um domíno de aplcabldade muto asto e que permte obter alores de potênca guas ou superores à potênca real dos processos tecnológcos. método do lmte superor basea-se num campo generalzado de elocdades cnematcamente admssíel/compatíel (que pode ser obtdo a partr das etensões, deslocamentos lneares ou rotação angular), respetando as condções de frontera. S S D σ ε& d + j j SD k ds ST t ds SU t ds S T t = t du = du S U Teorema do lmte superor: A aplcação de um campo de elocdades cnematcamente admssíel tem assocado uma potênca de deformação plástca gual ou superor à que é despendda pela acção das tensões eterores aplcadas ao longo da superfíce S U, onde as elocdades estão mpostas. No caso concreto dos processos tecnológcos de deformação plástca, estas tensões eterores são orgnadas, na sua generaldade, pela acção eercda pelas ferramentas sobre as peças. Introdução enquadramento stórco desenolmento do método do lmte superor remonta aos anos 5 atraés dos trabalos de Hll, Prager, Hodge e Drucker. A utlzação do método do lmte superor na resolução de problemas de deformação plástca só fcou defntamente estabelecda após Kudo, Hallng, Mtcell, Atzur e Jonson o terem empregue em estudos de natureza teórca-epermental relaconados com operações de forjamento, etrusão e lamnagem. Te Matematcal Teory of Plastcty y Rodney Hll, 95 s prmeros programas de computador destnados à smulação numérca de processos tecnológcos de deformação plástca foram desenoldos no decurso dos anos 7, tendo por base o método do lmte superor. Embora nos anos 8, e prncpalmente na década de 9, se tena assstdo à substtução do método do lmte superor pelo método dos elementos fntos, enquanto técnca prncpal de análse de processos de deformação plástca a sua utlzação contnua a apresentar um conjunto sgnfcato de antagens que deram, não só da sua facldade de utlzação, como da capacdade que possu na nterpretação eplícta dos fenómenos físcos assocados. Estes factos eplcam a mportânca que dee ser dada a este método na área formata/educata das tecnologas de fabrco. Hdeak Kudo etzalel Atzur

2 Introdução póteses smplfcatas materal é omogéneo e sotrópco materal tem um comportamento rígdo perfetamente plástco, desprezando-se todos os efetos assocados à componente elástca da deformação e ao encruamento do materal Deem apenas ser consderadas duas condções de atrto tntas nas nterfaces de contacto entre o materal e a ferramenta; ausênca de atrto e estênca de atrto mámo As póteses smplfcatas atrás enuncadas correspondem às egêncas epressas no teorema do lmte superor na sua forma orgnal. ontudo, é mportante salentar que mutas das aplcações conecdas do método do lmte superor, no domíno das tecnologas de fabrco, ultrapassam os requstos teórcos e as póteses smplfcatas egdas pelo teorema do lmte superor. É frequente contablzar-se o efeto do encruamento, nclur-se o atrto atraés de dferentes modelos e consderar-se a eolução geométrca das peças nos casos em que os processos de deformação plástca não são estaconáros. Este facto, tem leado mutos nestgadores a encararem a técnca do lmte superor como um balanço energétco assente em campos de elocdade cnematcamente admssíes. Teorema do lmte superor sgnfcado físco-geométrco Dstorção nstantânea do materal sobre uma lna de descontnudade de elocdade ' A' A θ ' D t ' t = n n φ θ D' φ A construção do odógrafo fo efectuada com base nas propredades que caracterzam uma lna de descontnudade de elocdade: As componentes normas da elocdade em cada um dos sub domínos crados pela lna descontnudade de elocdade (LD) têm que ser guas = n n A dferença entre os ectores de elocdade absoluta, e, tem que concdr em módulo, drecção e sentdo com o ector da descontnudade de elocdade,, o qual, por seu lado, tem que ser tangente à lna de descontnudade de elocdade. ' = t t

3 Teorema do lmte superor sgnfcado físco-geométrco Incremento de trabalo plástco necessáro à modfcação nstantânea da geometra do paralelogramo quando atraessa uma lna de descontnudade de elocdade ' ' ' A' A ' θ d D θ A=A' D=D' τ γ D' φ = F d = k = = k = k k t t No caso geral... = k 5 ampos de elocdades Estem dos tpos de campos de elocdades que estão na base da grande maora das soluções lmte superor utlzadas na análse de processos de deformação plástca: locos rígdos campos de elocdade construídos a partr da subdsão da regão em deformação plástca atraés de blocos rígdos, delmtados por lnas de descontnudade de elocdade rectlíneas. A E 6º D = k σ ε d = j & j ampos de elocdade contínuos campos de elocdade defndos a partr de funções matemátcas e que podem egr ou não a delmtação da regão em deformação plástca atraés de lnas de L descontnudade de elocdade. y d = = y = y z 6

4 Eemplo de aplcação onsdere a operação de ndentação sem atrto em condções de deformação plana que se encontra representada na fgura. A 6º E D a) Determne o campo de elocdades e proceda à sua representação no odógrafo. b) alcule o alor da pressão de compressão admensonalzada com a tensão lmte de elastcdade do materal p/k. c) ompare o alor obtdo na alínea b) com o que tna sdo calculado atraés do método das lnas de escorregamento. 7 Tópcos aançados cálculo de temperaturas Se a deformação plástca for realzada de um modo sufcentemente rápdo para que prealeçam condções adabátcas no nteror da regão em deformação plástca, sto é, para que sejam nsgnfcantes as perdas de calor para as ferramentas, lubrfcantes e ambente, pode-se calcular o aumento da temperatura assocado ao atraessamento de uma descontnudade de elocdade fazendo o segunte equlíbro energétco: = k = & ρ c T k = d ρ c T & = ' d T = α k ρc n = α σ ρc n α =.9.95 Em face do eposto é lícto afrmar-se que as lnas/superfíces de descontnudade de elocdade são gualmente lnas/superfíces de descontnudade térmca, responsáes por acréscmos nstantâneos da temperatura do materal. 8

5 Auto estudo Resoler os eercícos 9. e