Um modelo para simulação de ensaios oedométricos pelo método dos elementos finitos

Transcrição

1 Um modelo para smulação de ensaos oedométrcos pelo método dos elementos fntos Macon S. Morera¹, Waldr T. Pnto¹ e Cláudo R. R. Das¹ ¹Programa de Pós-Graduação em Engenhara Oceânca FURG, Ro Grande RS, Brasl macon.morera@best.com.br, waldr.pnto@gmal.com e claudo@dmc.furg.br RESUMO: Ensaos oedométrcos são freqüentemente utlzados no âmbto da Mecânca dos Solos. Podem ser usados para nvestgações de compressão e expansão do solo ou adensamento. A populardade destes ensaos está lgada à sua smplcdade de realzação bem como ao fato das condções de deformação serem smlares às encontradas em problemas reas. Este trabalho apresenta um modelo acoplado de adensamento baseado no método dos elementos fntos para casos com smetra axal dando ênfase à smulação de ensaos oedométrcos. O modelo utlza elementos soparamétrcos e consdera lneardade físca. Do ponto de vsta geométrco, a não-lneardade é consderada através de um processo de atualzação da malha de elementos fntos. Prmeramente, realzou-se uma calbração do modelo através do ajuste dos parâmetros do solo em função de resultados obtdos em ensaos realzados em laboratóro. O trabalho apresenta smulações de stuações com ou sem a consderação da não-lneardade geométrca. Os resultados mostram a nfluênca da nãolneardade e a vabldade do uso do modelo na prevsão do comportamento do solo para dversas stuações de campo bem como para a realzação de análses rápdas com varação dos parâmetros do solo. PALAVRAS-CHAVE: Adensamento, Elementos fntos, Smetra axal, Ensao oedométrco.. INTRODUÇÃO Um dos problemas mas complexos da geotecna é a análse acoplada do adensamento em mas de uma dmensão. Adensamento é a dmnução de volume do solo por expulsão do fludo nterstcal quando este sofre uma sobrecarga um problema que envolve análse transtóra de deformação e análse de escoamento em um meo poroso. A análse acoplada é necessára em solos altamente compressíves e pouco permeáves, ou seja, sujetos a grandes deformações volumétrcas que podem levar muto tempo para ocorrer devdo à baxa permeabldade. O termo acoplamento sgnfca que o campo de tensão efetva não pode ser obtdo sem a obtenção smultânea do campo de pressão neutra. Com a consderação das nãolneardades geométrca e/ou físca a complexdade da obtenção smultânea desses dos campos aumenta. Este trabalho apresenta um modelo numérco para análse acoplada do adensamento para problemas com smetra axal voltados para a smulação de ensaos oedométrcos. O modelo utlza o método dos elementos fntos para ntegração espacal e o método das dferenças fntas para ntegração temporal das equações dferencas de governo. A obtenção dessas equações dferencas dá-se a partr das equações de equlíbro das fases sólda e líquda e da conservação da massa do fludo nterstcal. Admte-se que não exste transporte de partículas sóldas. A não-lneardade geométrca será consderada por meo da atualzação da malha de elementos fntos para cada passo da ntegração ao longo do tempo. A não-lneardade físca

2 não fo consderada. Resultados são apresentados para a smulação de um ensao oedométrco mostrando a nfluênca da não-lneardade geométrca. O artgo apresenta uma breve revsão da formulação acoplada do adensamento, seguda das descrções do ensao e do modelo numérco acoplado, apresentando a segur os resultados e as conclusões do trabalho. 2. FORMULAÇÃO ACOPLADA DO ADENSAMENTO A formulação do adensamento basea-se no equlíbro de um elemento de solo e na conservação da massa de fludo nterstcal. Consdera-se que não há transporte de sóldos. Em casos com smetra axal, as equações dferencas de equlíbro de um elemento são (Tmoshenko e Gooder [4]): σ τ x xy σx σ + + θ + x = x y x f 0 () τxy σy τxy fy = 0 x y x (2) sendo x a coordenada radal, θ a coordenada crcunferencal e y a coordenada vertcal, σ y e σ θ são as tensões normas nas respectvas dreções e xy σ x, τ são as tensões csalhantes nos planos xy e yx. A equação da conservação da massa do fludo nterstcal é dada por (Zenkewcz e Taylor [6]): v x v y εv + = 0 x y t (3) onde ε v é a deformação volumétrca, v x é a componente radal e v y é a componente vertcal da velocdade do fludo nterstcal. As Equações (), (2) e (3) formam um sstema de três equações dferencas, possundo sete ncógntas quatro componentes de tensão, duas componentes da velocdade do fludo e a deformação volumétrca. Para reduzr-se o número de ncógntas, utlza-se relações auxlares que são o prncípo da tensão efetva, a relação consttutva do solo, a le de Darcy e a relação deformação versus deslocamento. O prncípo da tensão efetva relacona o tensor de tensões totas com o tensor de tensões efetvas e a poropressão. Em notação vetoral: σ = σ ' + m p (4) ' sendo σ o vetor de tensões totas, σ o vetor de tensões efetvas, m o vetor equvalente ao delta de Kronecker e p a pressão no fludo nterstcal. A relação consttutva para um materal elástco-lnear em condções de smetra axal é:

3 µ µ 0 µ µ µ µ 0 E ( µ ) µ µ C = (5) ( + µ )( 2µ ) µ µ 0 µ µ 2µ ( µ ) onde E é o módulo de Young e µ é o coefcente de Posson. A le de Darcy relacona as velocdades com os gradentes da carga hdráulca total. Essa relação pode ser escrta como: k v = k h = p (6) γ w onde k é a matrz de permeabldade do solo, h é a carga total e p é o excesso de poropressão. Fnalmente, a relação deformação versus deslocamento pode ser escrta a partr da hpótese de pequenas deformações como (Tmoshenko e Gooder, [4]): T v u u u v ε = + y x x y x (7) Neste caso, a deformação volumétrca pode ser escrta como: u v u ε v = ε x + ε y + ε θ = + + x y x (8) Baseando-se nestas relações, as equações de governo podem ser escrtas em função dos deslocamentos nas dreções radal e crcunferencal e do excesso de poropressão, ou seja, o sstema de três equações dferencas passa a ter três ncógntas. 3. O ENSAIO OEDOMÉTRICO Neste ensao, a amostra de solo é um dsco contdo em um clndro rígdo de metal de modo que a deformação radal ou horzontal é gual a zero. Desse modo, a deformação axal é gual à deformação volumétrca. Dscos porosos no topo e no fundo do aparelho agem como drenos. No aparato convenconal, a tensão axal é aplcada através da adção ou remoção de pesos, logo a tensão é controlada e a carga é aplcada em estágos. A deformação axal pode ser faclmente medda. As poropressões no topo são guas a zero. Dependendo do oedômetro, a poropressão no fundo poderá ou não ser medda bastando, para sso, mpedr a drenagem na parte nferor do aparelho.

4 O ensao pode ser utlzado para nvestgar a compressão e expansão do solo ou o seu adensamento. O fato de sua realzação ser bastante smples, contrbu para sua populardade e, também, as condções de deformação são smlares às encontradas em problemas reas. A Fgura traz um esquema da aparelhagem de ensao. Fgura Esquema da aparelhagem para o ensao oedométrco 4. FORMULAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO O modelo numérco é baseado no método dos elementos fntos (MEF) para ntegração espacal e no método das dferenças fntas (MDF) para ntegração temporal. A formulação de elementos fntos utlzada neste trabalho fo obtda a partr da aplcação do método dos resíduos ponderados (MRP) nas equações dferencas usando o método de Galerkn. Esta aplcação transforma as equações dferencas em equações ntegras através da adoção de funções que são combnadas para nterpolar as varáves dependentes do problema. As varáves dependentes podem ser escrtas como: onde ( x, y, t) = ( t) N ( x, y) N são funções de nterpolação conhecdas e u u (9) dependente u. As equações ntegras obtdas pelo MRP podem ser escrtas como: u são os valores nodas da varável σ τ x xy σx σ θ fx W d Ω = 0 Ω x y x (0) τ σ τ xy y xy fy WdΩ = 0 () Ω x y x v v ε x y t x y v + WdΩ = 0 Ω (2)

5 onde W e W são funções de ponderação. No método de Galerkn adota-se as funções de nterpolação como funções de ponderação. Este procedmento alado à formulação fraca do MRP reduz o requermento de contnudade das funções de nterpolação. A formulação fraca é obtda medante a aplcação do teorema da dvergênca de Gauss em combnação com a fórmula de dervação do produto, onde há transformação de uma ntegral de volume numa ntegral de superfíce. As equações ntegras de governo agora são: N N σ x y x θ σ x + τ xy + N dω = F (3) Ω x Ω N N d F x y Ω τ xy + σy Ω = (4) y N N u N v N u v + v dω + + N = P (5) x y x y t x t y x t Ω A ntegração no tempo é efetuada pelo MDF onde as varáves dependentes são aproxmadas por: t k+ k u u u ( x, y, t) = t (6) As varáves dependentes podem ser expressas em função dos seus valores para o tempo t e para o tempo t + t como: k k u ( x, y, t) = ( ζ ) u ( x, y, t) + ζ u ( x, y, t + t) = ( ζ ) u + ζ u + (7) t t0 onde t = k t e ζ =. t Os valores de ζ defnem o algortmo a ser utlzado: ζ = 0 explícto, ζ = mplícto, ζ = 0,5 Crank-Ncholson e ζ = 2 3 Galerkn. No método dos elementos fntos o domíno é dvddo em subdomínos de forma defnda. Os pontos de controle em cada elemento são os nós, através dos quas ocorre a comuncação dos dversos elementos com seus vznhos. Os elementos adotados neste trabalho são do tpo soparamétrco. O elemento é um quadrlátero e as coordenadas dos pontos no seu nteror são nterpoladas a partr das coordenadas nodas e das mesmas funções de nterpolação usadas na aproxmação das varáves dependentes. A adoção deste tpo de elemento é convenente, pos é possível aumentar o número de nós sem alterações de geometra. A formulação de elementos soparamétrcos utlza um mapeamento do elemento através de coordenadas naturas. As coordenadas de um ponto no nteror do elemento são nterpoladas por: j j ( ) x = x N r,s (8)

6 As dervadas das varáves dependentes em relação às coordenadas ( x ) estão relaconadas com as dervadas destas funções em relação às coordenadas naturas ( r,s ) por meo da segunte forma matrcal (em duas dmensões): x y r r r x = x y s s s y (9) onde a matrz da Equação (9) é a matrz Jacobana. Usando este procedmento e defnndo o vetor de varáves dependentes nodas como: [ u v... u v p... p ] u = (20) n n n onde n é o número de nós, pode-se escrever as relações a segur. Relação deformação versus deslocamento: Relação consttutva: Gradente do excesso de poropressão: Velocdade do fludo nterstcal: ε = Bu (2) σ = Cε = CBu (22) p = Dp (23) As equações de governo fcam: v = k Dp (24) γ w w k+ A A2 u F k+ A2 A = 22 p F2 (25) onde: Tabela Coefcentes da Equação (25) A A F 2 ϕ 2k ϕ 2k2 2 k 3 ϕ 2k4 F ϕ k u + ϕ k p k 2 P + k u + ϕ k tp k 3 4 k k

7 onde F é o vetor de forças nodas obtdas a partr da ntegração das forças de volume e da aplcação das condções de contorno e P é o vetor obtdo a partr da aplcação da condção de contorno de poropressão. A solução das ntegras para o contorno externo do domíno juntamente com as expressões correspondentes às condções ncas forma um sstema de equações do tpo kel uel = fel (26) A soma da nfluênca de cada elemento no domíno do solo é feta do modo tradconal do MEF de acordo com a conectvdade do elemento (Bathe [2], Zenkewcz e Taylor [4]). 5. NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA A consderação da análse acoplada do adensamento é crítca em solos com alta compressbldade e baxa permeabldade. Esta combnação envolve grandes deformações com redução sgnfcatva do índce de vazos do solo. Ou seja, grandes deformações e não lneardade geométrca. A não-lneardade geométrca é consderada medante a atualzação da malha de elementos fntos para cada passo do tempo. 6. SIMULAÇÕES E ANÁLISES Atknson [], apresenta resultados de um ensao oedométrco com as seguntes característcas: - acréscmo de tensão vertcal σ = 20 kpa ; - altura total da amostra gual a 20 mm ; - drenagem no topo e no fundo da amostra; 2 2 m mm - coefcente de adensamento c = v 2 0, 0634 ano = s ; m mm - coefcente de compressbldade mv = 4,6 0 = 0,46 ; kn N 5 N - peso específco do fludo nterstcal γ w = 0 3 mm A Tabela 2 traz os dados referentes aos resultados que foram obtdos nesse ensao. Tabela 2 Dados do ensao Tempo (mn) Recalque (mm) U t t ( mn 2 ) log t ,25 0,206 0,07 0,5-0,602 0,44 0,26 0 2,25 0,624 0,325,5 0, ,829 0, ,602 9,233 0, ,954 6,497 0,780 4,204 25,685 0,878 5,398 36,807 0,94 6,556 49,872 0,975 7, ,920,

8 O módulo oedométrco é dado por E oed kn N = = 273,9 = 2, (27) m m mm v E o coefcente de permeabldade é dado por k c m γ mm s 7 = v v w = 2,9 0 (28) Fo adotado um coefcente de Posson gual a 0,35 para a análse. Para a malha, adotou-se 5 dvsões tanto na horzontal quanto na vertcal, com uma altura de 20 mm e uma largura de 25 mm correspondente à metade do dâmetro da amostra já que o domíno de análse é smétrco em relação ao exo da coordenada vertcal como mostra a Fgura 2. Malha de Elementos Fntos y (uc) x (uc) Fgura 2 Malha ndeformada para a análse Escolheu-se um ntervalo de tempo de 30 segundos e 00 terações no tempo, totalzando 50 mnutos de tempo de análse. Os resultados obtdos encontram-se dspostos nas Fguras de 3 até 6 nas quas é feta comparação com resultados do ensao e da solução analítca.

9 0 0. Comparação entre Ensao, Programa e Solução Analítca Resultados do Ensao Resultados do Programa Solução Analítca Ut t (mn) Fgura 3 Comparação entre solução analítca, dados do ensao e método dos elementos fntos com atualzação da malha (curvas smples) Como é possível observar, os resultados são satsfatóros, ocorrendo uma dferença máxma de 6% para valores maores de tempo. O motvo para tal ocorrênca está na utlzação de uma malha atualzável para a smulação da não-lneardade geométrca. A não utlzação de tal aspecto acarretara em resultados concdentes com a solução analítca como mostra a Fgura Comparação entre Ensao, Programa e Solução Analítca Resultados do ensao Resultados do programa sem atualzação Solução analítca Resultados do programa com atualzação Ut t (mn) Fgura 4 Comparação entre solução analítca, dados do ensao e método dos elementos fntos com e sem atualzação da malha (curvas smples)

10 Outro aspecto mportante também é o tpo de módulo de Young utlzado. Um módulo não-lnear torna o comportamento mas próxmo do real já que, com o aumento da deformação, o módulo tende a dmnur, o que aproxmara os comportamentos. Também pode ser decorrênca da fluênca do materal ou adensamento secundáro. A segur, são apresentados gráfcos de percentagem de adensamento versus logartmo do tempo (Fgura 5) e versus raz do tempo (Fgura 6), representações usuas da Mecânca dos Solos Comparação entre Ensao, Programa e Solução Analítca Resultados do Ensao Resultados do Programa Solução Analítca Ut log t (mn) Fgura 5 Comparação entre solução analítca, dados do ensao e método dos elementos fntos com atualzação (versus logartmo do tempo) 0 Comparação entre Ensao, Programa e Solução Analítca 0. Resultados do Ensao Resultados do Programa Solução Analítca Ut t /2 (mn) Fgura 6 Comparação entre solução analítca, dados do ensao e método dos elementos fntos com atualzação (versus raz do tempo)

11 Outro ponto mportante da análse é o gráfco de dstrbução de pressões ao longo do tempo na seção central da amostra (sobre o exo de smetra). Os resultados estão na Fgura 7. 0 Dstrbução de poropressão ao longo do tempo z/h p/p0 7. CONCLUSÕES Fgura 7 Dstrbução de poropressão ao longo do tempo Este artgo apresentou um modelo para a análse acoplada do adensamento voltado para a smulação de ensaos oedométrcos. Apresentou-se a comparação dos resultados do modelo com resultados expermentas de um ensao oedométrco. Os resultados oferecdos pelo modelo foram bastante satsfatóros. A performance do modelo pode ser melhorada a partr da consderação da não-lneardade físca, sobretudo no que se refere à varação do coefcente de permeabldade. As prncpas constatações às quas chegou-se após as análses são lstadas a segur: - a consderação ou não da não-lneardade geométrca nflu de manera consderável nos resultados. Sua consderação na modelagem do ensao oedométrco tende a aproxmar os resultados daqueles obtdos em um ensao real. Sua não consderação aproxma os resultados daqueles obtdos na solução analítca. Isso era esperado e fo consderado satsfatóro; - é bastante smples alterar parâmetros de análse como o ntervalo de tempo, o tempo total de análse e o valor de ζ produzndo uma grande gama de resultados sem maores dfculdades com um só programa. Como comentáro fnal pode-se afrmar que o objetvo fo atngdo com sucesso e que o modelo pode ser bastante útl na análse da nfluênca dos dversos parâmetros e fatores em um ensao oedométrco.

12 REFERÊNCIAS. ATKINSON, J.H., An Introducton to the Mechancs of Sols and Foundatons. London: McGraw-Hll, BATHE, K-J., 982, Fnte Element Procedures n Engneerng Analyss, Prentce-Hall, New Jersey. 3. LAMBE, T.W. & WHITMAN, R.V., 979, Sol Mechancs, SI Verson, John Wley & Sons, New York. 4. MOREIRA, M.S., 2006, Um Modelo de Elementos Fntos para a Análse Acoplada de Problemas de Adensamento com Smetra Axal, Dssertação de Mestrado em Engenhara Oceânca, FURG, Ro Grande, RS, Brasl. 5. TIMOSHENKO, S.P., GOODIER, J.N., Teora da Elastcdade. 3.ª Edção. Ro de Janero: Guanabara Dos, p. 6. ZIENKIEWICZ, O.C. & TAYLOR, R.L., 99, The Fnte Element Method, vol. Basc Formulaton and Lnear Problems, 4th ed., McGraw-Hll, London.