ELEMENTO PARA DISCRETIZAÇÃO DE SAPATAS RÍGIDAS COM BASE NO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

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1 ISSN ELEMENTO PARA DISCRETIZAÇÃO DE SAPATAS RÍGIDAS COM BASE NO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Marco Antono Ramalo & Wlson Sergo Venturn 2 Resumo O presente trabalo trata do desenvolvmento de um elemento para dscretzação de sapatas rígdas com base no Método dos Elementos de Contorno. Esse elemento utlza as soluções fundamentas de Mndln ou Boussnesq- Cerrut vsando uma dscretzação extremamente smples e efcente do solo consderado como um meo elástco sem-nfnto. Todo o desenvolvmento efetuado encontra-se voltado para a sua nserção em um programa tradconal de elementos fntos de modo que se possa consderar a nteração de estruturas com o solo. Palavras-cave: Elementos de Contorno. Elementos Fntos. Interação Estrutura-Solo. Sapata. ELEMENT FOR RIGID FOOTINGS DISCRETIZATION BASED ON BONDARY ELEMENT METHOD Abstract Ts work deals wt te development of an element for dscretzaton of rgd footngs based on te Boundary Element Metod. Ts element was developed usng bot Mdln and Bussnesq-Cerrut fundamental soluton amng a smple and effcent dscretzaton of te sol as a sem-nfnty elastc lnear layer. Te element s to be nserted n a tradtonal fnte element program n order to consder te sol-structure nteracton. Keywords: Boundary Elements. Fnte Elements. Sol-Structure Interacton. Footng. INTRODUÇÃO Quando uma estrutura se encontra apoada sobre elementos de fundação dreta, como por exemplo sapatas, a nteração com o solo adqure grande mportânca. Isso ocorre porque a fundação dreta é usualmente mas deformável e depende mas das condções do solo para um desempeno satsfatóro. Assm sendo, a nteração solo-estrutura para esses casos se reveste de uma mportânca especal. O obetvo deste trabalo é exatamente apresentar um procedmento relatvamente smples e altamente efcente para solução desse tpo de nteração. A superestrutura será dscretzada através do Método dos Elementos Fntos, mas adequado às grandes varações de geometra e rgdez dos componentes estruturas, enquanto o solo será dscretzado através do Método dos Elementos de Contorno, muto mas adequado para a modelagem de macços estratfcados ou não. Para tanto, consderar-se-á a estrutura de fundação será composta de sapatas rígdas, que farão o papel da nterface entre a superestrutura e o solo. Para a defnção do elemento sapata, duas condções foram de fundamental mportânca: o tempo de processamento e a facldade na entrada dos dados. Isso porque o obetvo prncpal deste elemento, realzar a nteração solo-estrutura de edfícos sobre fundação dreta tem um enfoque Professor do Departamento de Engenara de Estruturas - EESC-USP, ramalo@sc.usp.br 2 Professor do Departamento de Engenara de Estruturas da EESC-USP, n memoram Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2 Edção Especal Prof. Wlson Sergo Venturn

2 96 Marco Antono Ramalo & Wlson Sergo Venturn bastante prátco. Este enfoque estara comprometdo se a entrada dos dados requeresse muto trabalo e o tempo computaconal de execução do programa crescesse demas. Deve-se lembrar que exatamente essas condções são que nvablzam a utlzação de um elemento sóldo convenconal na consderação dessa nteração. Assm sendo, procurou-se com a defnção deste elemento, através do Método dos Elementos de Contorno, uma forma smples e, sobretudo, rápda de se consderar a menconada nteração. A característca fundamental do elemento menconado dz respeto à sua adaptação a um programa de Elementos Fntos, sem que aa um comprometmento do desempeno desse programa para todas as suas outras aplcações. Desse modo, optou-se por um processo pouco ortodoxo, mas efcente, de se utlzar o Método dos Elementos de Contorno para a montagem da matrz de rgdez assocada ao ponto onde se lga a sapata. Mas explctamente, os passos prncpas desse processo podem ser resumdos nas seguntes etapas: a) Incalmente defne-se o elemento como composto de uma ou mas sapatas, cada uma lgada a um ponto nodal da superestrutura. Caso o elemento tena mas de uma sapata, automatcamente será consderada a nteração entre elas. Caso apenas uma sapata tena sdo defnda para o elemento, seu comportamento será consderado ndependente das demas. b) O programa automatcamente realza a dscretzação dessas sapatas, calculando todos os parâmetros necessáros para a montagem de um sstema de equações através do Método dos Elementos de Contorno. O solo será consderado como um domíno sem-nfnto, sotrópco, perfetamente elástco e a sapata como sendo perfetamente rígda. c) É calculada, pela defnção, a matrz de rgdez correspondente a cada centróde de sapata. Isso se faz pela aplcação de deslocamentos e rotações untáros em cada um desses centródes, mas sempre em relação ao sstema global de referênca. Esses deslocamentos e rotações são então transformados em deslocamentos para os nós que dscretzam as sapatas, encontrando-se como resposta as forças de superfíce nesses mesmos nós. A ntegração dessas forças de superfíce produz como resultado uma matrz de coefcentes elástcos para cada um dos centródes. d) As matrzes de coefcentes encontradas no tem anteror são então transportadas para os pontos nodas da superestrutura lgados a cada sapata. Depos as matrzes são smetrzadas e montadas nas devdas posções do sstema de equações globas da superestrutura, como e feto com todos os outros tpos de elementos. Então, a estrutura e calculada de forma convenconal, apenas ressaltando-se que nos resultados obtdos se encontra automatcamente consderada a nteração com o solo, da manera menconada. texto. Exatamente essas etapas é que estarão descrtas, com detales, nos próxmos tens deste 2 FORMA E FUNÇÃO APROXIMADORA Pode-se consderar que duas especfcações são fundamentas para a defnção deste elemento. A prmera e sua forma e a segunda a função aproxmadora a ser utlzada. Quanto à prmera, consderando-se que a entrada de dados de manera smples e obetva é uma característca fundamental e que a grande maora das sapatas usualmente utlzadas é Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2

3 Elemento para dscretzação de sapatas rígdas com base no Método dos Elementos de Contorno 97 retangular, fo essa exatamente a forma adotada. Assm, para uma defnção completa da geometra do elemento são necessáros os seguntes parâmetros: dx, dx 2 e dx : dstâncas entre o no da estrutura e o centróde da sapata, segundo os exos globas X, X 2 e X. β : ângulo entre o exo global X e o exo local x, postvo quando em sentdo oráro. C e C2 : dmensões das sapatas segundo os exos locas x e x 2. Todos esses parâmetros são apresentados na Fgura. Como se pode observar na referda fgura, os exos locas são defndos com orgem no centróde da sapata e orentados segundo dreções paralelas aos seus lados. Ressalta-se anda que, pelos parâmetros menconados, a sapata é consderada contda num plano paralelo ao plano formado pelos exos globas X e X2, podendo apenas apresentar-se rotaconada em relação a esses exos. Fgura Geometra da Sapata. Mencona-se anda que, como sstema de referênca omogêneo auxlar, foram adotados os exos r e s, concdentes com o sstema local de referênca x e x 2 e apresentados na Fgura 2. Fgura 2 Numeração de nós e sstema omogêneo. Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2

4 98 Marco Antono Ramalo & Wlson Sergo Venturn Já quanto à função aproxmadora, adotou-se que tanto a geometra como os deslocamentos "u" e forças de superfíce "p" são aproxmados pela mesma função. Além dsso, a sapata é dscretzada por apenas quatro nos, colocados em seus cantos e numerados de acordo com o esquema apresentado na á referda Fgura 2. Qualquer parâmetro de um ponto nterno pode ser calculado em função dos valores desse parâmetro nos nós da sapata. Para sso, basta que se defna funções apropradas a estas transformações. Essas funções são ponderadores cuo valor resulta para o nó base da função e zero para todos os outros. Exste toda uma famíla de funções para os dversos tpos de elementos retangulares de dferentes números de nós. Essa famíla e conecda como famíla Serendípta []. Como fo adotado que o elemento aqu desenvolvdo é dscretzado por apenas quatro nós, o conunto das quatro funções menconadas pode ser escrto, em relação ao sstema omogêneo, da segunte manera, (ZIENKIEWICZ, 98): r s 2 r s r s r s () Grafcamente, as funções () podem ser representadas conforme se mostra na Fgura. Fgura Funções Interpoladoras. PARÂMETROS INTERNOS EM FUNÇÃO DE VALORES NODAIS Em prmero lugar, e nteressante ressaltar que a notação o matrcal, apesar de produzr expressões mas extensas, tem a vantagem de explctar bem as operações desenvolvdas. Assm Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2

5 Elemento para dscretzação de sapatas rígdas com base no Método dos Elementos de Contorno 99 sendo, ela será utlzada em paralelo com a notação ndcal sempre que se consderar necessáro mprmr maor clareza às deduções efetuadas. As coordenadas de um ponto nterno ao elemento podem ser escrtas em função das coordenadas dos pontos nodas através da expressão: X X (2) na qual: X X : coordenada de um ponto da sapata segundo o exo "" : funções nterpoladoras defndas nas Eq. () : coordenada segundo o exo "" do ponto nodal. Em termos matrcas pode-se escrever: X ~ H ~ X ~ n () na qual X é o vetor de coordenadas do ponto: X X ~ X X 2 Assm, H e a matrz de transformação, montada com as funções de nterpolação da manera que se segue: H ~ Já X n é o vetor que agrupa as coordenadas nodas do elemento da segunte manera: Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2

6 Marco Antono Ramalo & Wlson Sergo Venturn X ~ n X 2 X X X.... X 2 X X X na qual X é a coordenada do nó segundo o exo. Para os deslocamentos e forças de superfíce, aproxmações semelantes podem ser utlzadas. Nesse caso, as expressões resultaram em: u p U P () (5) nas quas: u e p : componentes dos deslocamentos e forças de superfíce para um ponto nterno U e P : valores nodas dos deslocamentos e forças de superfíce De forma semelante ao que se mostrou para os valores de coordenadas, em termos matrcas as expressões resultam: U ~ P ~ H ~ H ~ U ~ n P ~ n (6) (7) nas quas: U ~ e P ~ : vetores que contém, respectvamente, os deslocamentos e forças de superfíce segundo os três exos globas para um ponto nteror Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2

7 Elemento para dscretzação de sapatas rígdas com base no Método dos Elementos de Contorno U ~ n e P ~ n : vetores que agrupam, respectvamente, os deslocamentos e forças de superfíce nodas de forma semelante ao vetor X n da Eq. (). Com as aproxmações defndas, pode-se passar à dscretzação da equação ntegral que rege o fenômeno. Essa dscretzação e que resultará no sstema de equações que resolvdo permtrá o conecmento das varáves mportantes do problema. DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO INTEGRAL DO PROBLEMA A equação ntegral completa que relacona deslocamentos e forças para pontos do contorno de um dado domíno, (NAKAGUMA,979), pode ser smplfcada consderando-se algumas condções partculares do problema aqu analsado. Em prmero lugar, pode ser desprezada a parcela referente às forças volumétrcas, sem mportânca para as aplcações a serem aqu consderadas. Depos, deve-se consderar que a parcela que depende de P* será sempre nula para os casos aqu tratados, devdo às consderações que se faz a segur. Quando a sapata a ser consderada se apoar sobre um plano lvre de tensões, solução de Boussnesq-Cerrut, o valor dos componentes do tensor P* será zero. Este, nclusve, é o caso mas comumente encontrado na prátca, no qual a sapata apóa-se na cota do terreno escavado, desprezando-se o efeto de algum possível reaterro por consderar-se que essa provdênca na reconsttu o terreno orgnal. Caso a cota de apoo da sapata sea consderada realmente dentro do domíno sem-nfnto, solução de Mndln, deve-se lembrar que na verdade a defnção do contorno do elemento envolve a defnção de ses planos, de r a r 6, conforme se apresenta na Fgura. Fgura Contorno da sapata. Se for adotada a espessura da sapata gual a zero, sto é, r e r 2 ocupando a mesma posção, as ntegras restantes anulam-se para os contornos de r a r 6. Entretanto, para os contornos r e r 2 anulam-se apenas as parcelas relatvas a P*, pos trata-se da ntegração de funções de mesmo valor e snas contráros na mesma área. Quanto à matrz C k (S), a soma de /2 k de uma superfíce com /2 k da outra produzrá o própro k, ou sea, a matrz dentdade. Portanto, sea usada a solução de Boussnesq-Cerrut ou Mndln, a equação ntegral dscretzada resume-se ao segunte: Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2

8 2 Marco Antono Ramalo & Wlson Sergo Venturn * u (S) U k (S,Q) p (Q) d(q) k (8) Com a utlzação da Eq. () e consderando-se que se tena "L" sapatas para um determnado elemento obtém-se: U L l l U * k p k d l (9) na qual: U : deslocamento do ponto nodal na dreção Retrando-se da ntegral os valores que varam em relação à posção do elemento obtém-se: U L l l U * k d l p k () A ntegral no contorno l pode ser calculada numercamente por Gauss através da consderação de M pontos, (STROUD & SECREST, 966). Desse modo, pode-se escrever: L M U J ll m * m U k pk () na qual: J : é o Jacobano da transformação de coordenadas de d para dr ds. Esse valor, no caos de sapatas retangulares, é gual a C C 2 /. m : é o fator de peso fornecdo pelo processo de ntegração de Gauss. No caso. O ponto m tem a sua posção defnda de acordo com o número de pontos a serem consderados para a ntegração. Aplcando-se a Eq. () a todos os pontos nodas de um elemento, obtém-se um sstema de equações lneares que resolvdo fornece os valores das forças de superfíce para os pontos onde os deslocamentos são conecdos. Para maor clareza, pode-se expressar esse sstema em termos matrcas da manera que se segue: Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2

9 Elemento para dscretzação de sapatas rígdas com base no Método dos Elementos de Contorno u~ u~ u~.. u~ 2 n ~ 2 n p ~ ~ n p ~.. G 2.. G.. n p ~ n. n. n2... n... nn p ~ (2) sea: Os vetores u~ contêm os deslocamentos do nó segundo as três dreções coordenadas, ou u~ U U2 U () Os vetores p ~ são semelantes a u~, só que contendo as forças de superfíce do nó. Já G é uma matrz de ordem três que pode ser escrta como: M * m U ~ J m m () na qual: * U ~ : matrz de ordem três que contém a solução fundamental calculada do nó ao ponto de Gauss m. Após as deduções aqu colocadas deve estar perfetamente claro que se pode, através da mposção de deslocamentos para os pontos nodas, calcular as forças de superfíce para esses mesmos pontos. Esse procedmento permtrá o cálculo da rgdez das sapatas pela defnção, o que se encontra explctado no próxmo tem. 5 CÁLCULO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DAS SAPATAS Após a montagem do sstema de Eq. (2), o obetvo deste trabalo é o de calcular coefcentes que smulem a presença do solo e possam ser montados na matrz de rgdez global da superestrutura. Mas especfcamente, para o sstema computaconal aqu desenvolvdo, trata-se de determnar os referdos parâmetros de rgdez assocados aos ses graus de lberdade de cada nó com sapata assocada. Isso produz uma matrz de ordem 6N, sendo "N" o número de nós da superestrutura ou de sapatas, presentes no elemento. Incalmente a rgdez será determnada sempre em relação ao centróde da sapata, mas de acordo com o sstema global de referênca. Portanto, a transferênca dessas rgdezes para o nó da Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2

10 Marco Antono Ramalo & Wlson Sergo Venturn superestrutura envolverá apenas as transformações relatvas às translações entre o centróde e o nó. Essas transformações serão realzadas em estágo posteror e encontram-se detaladas no próxmo tem. Como fo menconado, exstem ses graus de lberdade a serem consderados para cada sapata: três translações segundo X, X 2 e X e três rotações em torno desses mesmos exos. Para o cálculo dos coefcentes de rgdez deve-se mpor a cada um desses graus de lberdade, de forma ndependente, um movmento untáro, conforme mostrado na Fgura 5. Fgura 5 Movmentos untáros de uma sapata. Cada movmento será então transformado em três deslocamentos para cada um dos quatro nós que defnem a sapata. Os vetores para os ses carregamentos menconados podem ser expressos, em sua forma transposta. da manera que se segue: U ~ T U ~ T 2 U ~ T U ~ U ~ T A A 2 A A T 5 B B 2 B B U ~ T 6 C D C2 D2 C D C D (5) nas quas: U ~ : vetor correspondente ao -ésmo carregamento de uma determnada sapata. Já os parâmetros A, B, C e D são dstâncas dadas pelas expressões: Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2

11 Elemento para dscretzação de sapatas rígdas com base no Método dos Elementos de Contorno 5 A = X 2 (nó ) X 2 (centróde) B = X (centróde) X (nó ) C = X 2 (centróde) X 2 (nó ) D = X (nó ) X (centróde) Após essa etapa, o conunto formado pelos deslocamentos obtdos para os nós da sapata consderada e mas três valores nulos para cada nó de outras sapatas consttu um vetor que deve ser levado ao sstema (2). Quando todos os movmentos untáros tverem sdo consderados, ter-se-á um total de 6N vetores. A solução do sstema é realzada pelo processo de trangularzação de Gauss, com os 6N vetores consderados smultaneamente. Assm, pode-se ndependentes consderados smultaneamente. Assm, pode-se conecer os valores das forças de superfíce para cada nó de todas as sapatas, valores esses organzados em um vetor para cada movmento untáro. A ntegração numérca desses valores, sempre em relação ao centróde e tendo como referenca o sstema global, produz a matrz de rgdez do elemento. Após o procedmento aqu descrto, resta apenas operar as ultmas transformações na referda matrz e realzar sua montagem na matrz de rgdez global da superestrutura. 6 TRANSLAÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ Uma rgdez calculada para um determnado ponto pode ser transferda para outro através de transformações convenentes, (MEEK,97). Supondo os pontos O e O separados por dstâncas dx, dx 2 e dx e referencados, respectvamente, pelos sstemas X, X 2 e X e X, X2 e X, conforme se mostra na Fgura 6, pode-se escrever para a transferênca de forças e momentos atuantes dos pontos O para O: S T S T T (6) na qual: S : matrz de rgdez transladada T : matrz de translação S : matrz de rgdez orgnal Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2

12 6 Marco Antono Ramalo & Wlson Sergo Venturn Fgura 6 Translação da matrz de rgdez. A Eq. (6) mostra como transladar uma matrz de rgdez calculada ncalmente num ponto O para o ponto O. Aqu a expressão será utlzada para transladar a matrz de rgdez do elemento montada em relação ao centróde de cada sapata para os nós da superestrutura. Somente após essa translação ela será adconal à matrz de rgdez global da superestrutura. Para se realzar essa translação é necessáro se recordar que a matrz total é composta de N 2 submatrzes, sendo N o número de sapatas ou de nós da superestrutura. Nesse caso, a transformação de rgdez para os nós da superestrutura pode ser realzada através da expressão: S ~ T T ~ T ~ S ~ (7) na qual: S ~ : são as sub-matrzes á transladadas para os pontos da superestrutura S ~ : são as sub-matrzes anda referdas ao centróde de cada elemento sapata T ~ : são as matrzes de transformação que relaconam as rgdezes no centróde com as rgdezes no nó da superestrutura para a sapata. 7 SIMETRIZAÇÃO DA MATRIZ DE RIGIDEZ A matrz obtda para o elemento sapata através do Método dos Elementos de Contorno (MEC.) tem a característca de não apresentar smetra em relação à dagonal prncpal. Já a matrz da superestrutura, obtda através do Método dos Elementos Fntos (MEF), tem como uma das suas prncpas característcas exatamente essa smetra. O problema de como realzar a compatblzação Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2

13 Elemento para dscretzação de sapatas rígdas com base no Método dos Elementos de Contorno 7 entre as matrzes obtdas através desses dos métodos dstntos tem se caracterzado numa preocupação constante para os pesqusadores que trabalam com o acoplamento do MEC com o MEF. Exstem dversas maneras de resolvê-lo, (RAMALHO, 99), mas o procedmento aqu adotado é o que se encontra em (BREBBIA & GEORGIOU, 979) e pode ser consderado o mas smples e, provavelmente, o menos precso. Trata-se de smetrzar a matrz após a sua montagem utlzando-se a méda dos valores de um lado e de outro da dagonal. Portanto, é um procedmento que procura otmzar o camado erro médo, não sendo consderado o mas convenente em alguns casos. Entretanto, para este caso aqu estudado, no qual os valores obtdos para a dagonal são muto preponderantes em relação aos demas, ele pode ser realmente defensável, prncpalmente levando-se em conta a sua smplcdade e o fato de não necesstar de modfcações no algortmo de solução do sstema de equações. Sendo assm, esse fo o procedmento de smetrzação adotado, podendo-se escrever smplesmente: S = ½ (S + S ) (8) na qual: S : elementos da matrz de rgdez para a lna e coluna. Após esse processo de smetrzação a matrz de rgdez do elemento sapata pode ser montada de forma tradconal na matrz de rgdez da superestrutura. 8 REFERÊNCIAS BREBBIA, C. A; GEORGIOU, P. Combnaton of Boundary and Fnte Element n Elastostatcs. Appled Matematc Modellng. V MEEK, J. L. Matrx Structural Analyss. Tokyo: McGraw-Hll Kogakusa Ltd., 97. NAKAGUMA, R. K. Tree Dmensonal Elastostatcs Usng te Boundary Element Metod, P.D. Tess. Unversty of Soutampton RAMALHO, M. A. Sstema para Análse de Estruturas Consderando a Interação com o Meo Elástco. Tese de Doutoramento. ESSC Unversdade de São Paulo. 99. STROUD, A. H.; SECREST, D. Gaussan Quadrature Formula. New York: Prentce Hall, 966. ZIENKIEWICZ, O. C. El Método de los Elementos Fntos. Barcelona: Ed. Reverté, 98. Cadernos de Engenara de Estruturas, São Carlos, v. 2, n. 57, p. 95-8, 2

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