DESENVOLVIMENTO DE UM PRÉ-PROCESSADOR PARA ANÁLISE ISOGEOMÉTRICA

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1 DESENVOLVIMENTO DE UM PRÉ-PROCESSADOR PARA ANÁLISE ISOGEOMÉTRICA Pedro Luz Rocha Evandro Parente Junor Laboratóro de Mecânca Computaconal e Vsualzação, Unversdade Federal do Ceará Campus do Pc Bloco 78, , Fortaleza - CE, Brasl Resumo. A Análse Isogeométrca (AIG) é uma alternatva recente para a solução de problemas de engenhara, nclundo a análse de tensões em sóldos e estruturas. Esta abordagem tem mutas característcas em comum com o Método dos Elementos Fntos (MEF), mas tem como vantagem sobre este a capacdade de representar de forma exata geometras complexas. Isso se deve à AIG utlzar na solução numérca das equações governantes do problema as mesmas funções utlzadas pelos sstemas CAD para a modelagem geométrca, como as B-Splnes e NURBS (Non-Unform Ratonal B-Splnes). Os modelos gerados pelas NURBS são defndos em função de um conjunto de pontos de controle, pesos e de ntervalos paramétrcos (knot vector), representando exatamente tanto formas lvres quanto círculos, clndros e quádrcas. O refnamento das NURBS utlzadas na AIG é realzado utlzando os algortmos de nserção de knot e elevação de grau, bastante utlzados na modelagem geométrca. Consderando estes aspectos, neste trabalho fo desenvolvda uma nterface que realza o pré-processamento para AIG baseado no refnamento de NURBS. A partr de uma geometra ncal, o programa permte a geração de um modelo para a AIG com o grau de refnamento escolhdo pelo usuáro. Os atrbutos do modelo, como materal, carregamento e condções de contorno, são aplcados na geometra e depos assocados à malha. Desta forma, o programa desenvolvdo é capaz de gerar modelos completos para a AIG, possbltando a vsualzação destes, e escrevê-los no formato requerdo pelo programa de análse numérca. Este programa fo utlzado na análse de váras estruturas de forma complexa obtendo-se excelentes resultados. Palavras-chave: Análse Isogeométrca, NURBS, Interface Gráfca Proceedngs of the XXXVII Iberan Latn-Amercan Congress on Computatonal Methods n Engneerng Suzana Morera Ávla (Edtor), ABMEC, Brasíla, DF, Brazl, November 6-9, 016

2 Desenvolvmento de um Pré-Processador para AIG 1 INTRODUÇÃO A grande maora dos problemas de engenhara atualmente é soluconada utlzando-se o Método dos Elementos Fntos (MEF), desde a análse de tensões e deslocamentos até o escoamento de fludos. A Análse Isogeométrca (AIG) é uma alternatva recente ao MEF, que utlza na solução numérca das equações governantes do problema as mesmas funções utlzadas pelos sstemas CAD para a modelagem geométrca, como as B-Splnes e as NURBS (Cottrell et al., 009). As NURBS (Non Unform Ratonal B-Splnes) são modelos matemátcos amplamente utlzados atualmente para modelagem geométrca sendo ferramenta essencal tanto em CAD como nas ndústras cnematográfca e do entretenmento. Smlar ao MEF, também é possível realzar o refnamento do modelo NURBS, preparando-o para a AIG. Com base nesses concetos, o foco da pesqusa fo o desenvolvmento de uma nterface gráfca capaz de realzar o pré-processamento para AIG baseado no refnamento de NURBS. A partr de uma geometra ncal, o programa permte a geração de modelos para a AIG refnados de acordo com as defnções do usuáro, escrevendo-os no formato requerdo pelo programa de análse numérca, facltando a entrada de dados e mnmzando o tempo necessáro para a realzação da análse. ANÁLISE ISOGEOMÉTRICA O MEF consste na dscretzação do modelo analsado em pequenos elementos, possbltando somente soluções aproxmadas para o problema. A prncpal vantagem da AIG em comparação ao MEF é sua capacdade de representar de forma exata geometras complexas, como placas e cascas (Cottrell et al., 009). A AIG vem sendo cada vez mas utlzada não somente por sua capacdade de representação, como também por sua facldade de modfcação e avalação do modelo, possbltando o refnamento do mesmo enquanto sua geometra permanece ntacta, propredades nerentes às NURBS (Hughes et al., 005). De acordo com Pegl e Tller (1997), as NURBS são curvas defndas ao longo de ntervalos paramétrcos, em função de um conjunto de pontos de controle, pesos, assocados a cada um desses pontos e vetores de knots, conjuntos de valores paramétrcos crescentes e nãonegatvos delmtados pelos ntervalos paramétrcos do modelo. C(ξ) = A equação para o cálculo de um ponto qualquer de uma curva NURBS é expressa por: n 1 n 1 w N, p w N, p (ξ)p (ξ) onde p é o ponto de controle, w é o peso assocado e N,p é a função de base do ponto, defnda pela fórmula recursva de Cox-de Boor: (1) Proceedngs of the XXXVII Iberan Latn-Amercan Congress on Computatonal Methods n Engneerng Suzana Morera Ávla (Edtor), ABMEC, Brasíla, DF, Brazl, November 6-9, 016

3 P. L. Rocha, E. Parente Jr. N,0 1, (ξ) 0, ξ ξ ξ 1 caso contráro ξ - ξ ξ - ξ p1 N, p ( ξ) N, p1(ξ) N 1, p1(ξ) () ξ ξ ξ - ξ p p1 1 para certo vetor de knots delmtado pelo ntervalo paramétrco [ξ 1, ξ n+p+1 ], onde n é o número de funções de base e p é o grau da curva. Superfíces e sóldos NURBS são formados por produto tensoral de duas e três funções de base unvarantes, respectvamente. Após a geração da NURBS, a geometra da mesma pode ser refnada, utlzando os algortmos de nserção de knots e elevação de grau, bastante utlzados na modelagem geométrca (Pegl e Tller, 1997). Estes algortmos alteram a descrção da NURBS sem alterar sua geometra. A nserção de knots subdvde os ntervalos paramétrcos ncas do modelo em regões denomnadas knot spans. Essa dscretzação (refnamento h) garante maor controle local do modelo. A elevação de grau é realzada nas dferentes dreções paramétrcas, aumentando assm o grau das funções base do modelo (refnamento p) e garantndo melhor solução numérca da análse. Aplcando ambos os algortmos ao modelo (refnamento k), resulta em um modelo de maor grau e maor contnudade entre os elementos (knot spans). 3 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL Fgura 1. Interface gráfca para o pré-processamento de NURBS. A nterface gráfca, mostrada na Fgura 1, fo mplementada no software MATLAB, que possu uma base de ferramentas para este fm (Chapman, 011). Fo utlzada uma bbloteca de NURBS desenvolvda ncalmente para o programa Octave. Proceedngs of the XXXVII Iberan Latn-Amercan Congress on Computatonal Methods n Engneerng Suzana Morera Ávla (Edtor), ABMEC, Brasíla, DF, Brazl, November 6-9, 016

4 Desenvolvmento de um Pré-Processador para AIG O programa recebe ncalmente os dados da geometra a ser modelada (pontos de controle, pesos e vetores de knots), montando o modelo ncal e dsponblzando sua vsualzação. Em seguda o usuáro escolhe qual o refnamento (h, p ou k) a ser aplcado e a ntensdade do mesmo. Ao executá-lo, o modelo refnado é gerado e representado grafcamente, como lustrado na Fgura. Em seguda são nserdos os dados do materal e as restrções e carregamentos a serem aplcados. Com essas nformações o arquvo de entrada é gerado com as nformações necessáras para a análse. A AIG então é realzada pelo programa de análse, gerando um arquvo contendo os dados de deslocamentos e tensões aplcadas sobre a malha refnada. 4 RESULTADOS A fm de lustrar a capacdade da AIG e do programa desenvolvdo, será utlzado como exemplo a análse de tensões em um clndro espesso submetdo à pressão nterna (problema de Lamé), como lustrado na Fgura. A solução analítca desse problema para o deslocamento radal é dada por: 1 v R u r) E R 1 v R Re r E ( R R ( e R e p ) r onde u(r) é o deslocamento radal, R é o rao nterno do clndro, R e é o rao externo do clndro, E é o Módulo de Elastcdade, v é o Coefcente de Posson e p é a pressão nterna. (3) Fgura. Modelo ncal e modelo após refnamento h. Foram realzados refnamentos de dferentes ntensdades, de forma a avalar a convergênca dos resultados obtdos. Para tal, calculou-se o erro de deslocamento (e) do ponto de controle com coordenada x = 0. e y = 0, localzado no rao nterno do clndro, comparando o valor obtdo pela análse (u IGA ) com o analítco (u): u u e (4) u IGA Proceedngs of the XXXVII Iberan Latn-Amercan Congress on Computatonal Methods n Engneerng Suzana Morera Ávla (Edtor), ABMEC, Brasíla, DF, Brazl, November 6-9, 016

5 P. L. Rocha, E. Parente Jr. Os resultados mostram que à medda que os erros são progressvamente reduzdos à medda que aumenta a dscretzação e o grau do modelo. Verfca-se que tanto o aumento do grau dos polnômos (refnamento p) quando a redução no tamanho dos elementos (refnamento h) contrbuem para a redução do erro. É nteressante notar que os erros obtdos no caso de polnômos de graus elevados são mutos pequenos, mesmo utlzando poucos elementos. Fgura 3. Convergênca dos resultados para dferentes refnamentos. 5 CONCLUSÃO Neste trabalho fo desenvolvdo um pré-processador para Análse Isogeométrca (IGA) de modelos bdmensonas. Este programa possu uma nterface gráfca smples e ntutva que faclta a aplcação dos refnamentos h e p a um modelo plano e geração dos dados necessáros para à análse numérca, mnmzando o tempo necessáro para a realzação da AIG. O programa fo valdado através de análse de um problema cuja solução analítca é conhecda, o que permtu o estudo da convergênca da resposta com a dscretzação. Excelentes resultados foram obtdos. REFERÊNCIAS Chapman, S. J., 011. Programação em MATLAB para Engenheros. Cengage Learnng. Cottrell, J. A., Hughes, T. J. R., & Bazlevs, Y., 009. Isogeometrc analyss: Toward ntegraton of cad and fea. John Wley & Sons, Inc. Hughes, T. J. R., Cottrell, J. A., & Bazlevs, Y., 005. Isogeometrc analyss: Cad, fnte elements, nurbs, exact geometry and mesh refnement. Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng, vol. 194, n , p , 005. Pegl, L., & Tller, W., The NURBS Book. Sprnger Publshng. Proceedngs of the XXXVII Iberan Latn-Amercan Congress on Computatonal Methods n Engneerng Suzana Morera Ávla (Edtor), ABMEC, Brasíla, DF, Brazl, November 6-9, 016