Uma estratégia para análise estática de pórticos planos e espaciais utilizando-se o método dos elementos de contorno

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1 Nono Smpóso de Mecânca Computaconal Unversdade Federal de São João Del-Re MG 6 a 8 de mao de Assocação Braslera de Métodos Computaconas em Engenhara Uma estratéga para análse estátca de pórtcos planos e espacas utlando-se o método dos elementos de contorno Raphael Sexas dos Santos ; Fabríco de Mederos Marques ; José Marcílo Flgueras Cru ; Ângelo Vera Mendonça Unversdade Federal da Paraíba, Campus I Departamento de Engenhara Cvl C Cdade Unverstára João Pessoa Paraíba CEP.: 8.-9 e-mal: r_sexasmaa@hotmal.com, fabrco_m_marques@hotmal.com, marclofcru@hotmal.com, mendonça@ct.ufpb.br Resumo: No presente trabalho é apresentada uma análse estátca de pórtcos planos e espacas pelo método dos elementos de contorno. Em prncípo, as equações ntegras para os efetos axas, flexão e torção são escrtas em um sstema local de coordenadas de cada barra. Para vablar o acúmulo de todas as contrbuções das barras na estrutura, uma estratéga convenente é proposta nesse trabalho tanto para transformar as representações ntegras para o sstema global de referênca, como para uma organação efetva do sstema algébrco fnal da estrutura. A proposta aqu descrta é mplementada em Ce a resposta numérca deste trabalho é comparada com resultados de outros autores. Além dsso, fa-se uma dscussão entre a vabldade do MEC em relação ao MEF, para análse de estruturas retculadas. Palavras chave: Pórtco Plano, MEC, C.

2 Nono Smpóso de Mecânca Computaconal Unversdade Federal de São João Del-Re MG ABMEC - INRODUÇÃO A superestrutura de edfícos é composta por dversos componentes, dentre eles: placas que têm a função de receber as ações que atuam nas superfíces horontas da edfcação e transmt-las para o pórtco (sstema retculado formado por barras), que por sua ve transmte os efetos daquelas ações para as fundações. As representações matemátcas dos problemas físcos são, em geral, expressas em equações dferencas e/ou ntegras. Uma das maneras para construr as soluções dessas equações, dtas governantes, é va métodos analítcos, contudo, essas soluções são obtdas aplcando-se exclusvamente essa técnca estando dsponíves para poucos casos, tas como a análse elástca de estruturas aportcadas prsmátcas soladas sob carregamento estátco. Contudo, para um caso em que há nteração do pórtco com outros elementos estruturas do edfíco (tas como placas, paredes estruturas, núcleos de rgde, etc.) as soluções analítcas, em geral, não estão dsponíves, requerendo, portanto, a escolha de procedmentos aproxmados para a construção das soluções: os métodos numércos. Dentre as técncas numércas destaca-se o Método dos Elementos de Contorno (MEC), e a sua aplcação em análse estrutural tem recebdo algumas contrbuções para seu melhor entendmento, sugerem-se como algumas referêncas: Antes (), Baneree e Butterfeld (98), Becker (99), Beskos (99), Manols et al. (986), Provdaks e Beskos (986). MAERIAIS E MÉODOS Uma das prordades dos métodos numércos (tas como, MEF, Dferenças Fntas, Métodos de Elementos de Contorno, etc.) é que modelos os matemátcos dealados seam assocados à estrutura real, conforme sua geometra, carregamentos e vínculos.. IDEAIZAÇÃO E DISCREIZAÇÃO ESRUURA Para uma melhor organação da dscussão, nessa seção far-se-á o estudo ndependente de cada uma dos efetos atvados em problemas de pórtcos (tração axal, flexão e torção). Convém notar que o estudo desses efetos combnados será descrto nas seções.6 e.7. Neste artgo optou-se por separar as hpóteses para os modelos matemátcos para cada um dos efetos atvados em dos grandes grupos: geras e específcos. As hpóteses geras assumdas estão assocadas bascamente à geometra, à reologa e aos campos cnemátcos, a saber: elemento undmensonal prsmátco, carregamentos estatcamente aplcados; materal homogêneo, sótropo e elasto-lnear e campos pequenos (suaves) de deslocamentos, rotações e deformações. Já as hpóteses específcas estão assocadas geralmente à descrção do movmento das seções transversas de acordo com o tpo de solctação. Elas serão descrtas em suas respectvas seções (. para flexão e. para torção).. EFEIO AXIA EM BARRAS NO SISEMA OCA Para uma barra, tem-se a segunte equação algébrca, segundo Marques (9): u u / u u = EA N N p( x) ² EA ()

3 Nono Smpóso de Mecânca Computaconal Unversdade Federal de São João Del-Re MG ABMEC Onde p(x) é o carregamento axal unformemente dstrbuído, u e u, os deslocamentos axas nodas,, o comprmento da barra, EA, a rgde axal e N e N, os esforços normas nas extremdades da barra.. EFEIO DA FEXÃO EM Z EM BARRAS NO SISEMA OCA Para o efeto da flexão neste artgo consderaram-se como hpóteses específcas: Flexão em um dos exos prncpas de nérca, para pórtcos planos; Conservação da plancdade orgnal das seções transversas durante o processo de deformação. Para uma barra tem-se um sstema algébrco através de Baneree e Butterfeld (98), Manols et al. (986) e dado por Marques (9): () ³ / / / / / / / / = EI p M Q M Q EI v v v v Em que, v, v,, são os deslocamentos transversas e rotações nodas,, o comprmento da barra, EI a rgde à flexão na dreção Z, Q, Q, M e M, os esforços cortantes e momentos nas extremdades, respectvamente; p o carregamento dstrbuído em.. EFEIO DA FEXÃO NO EIXO Y EM BARRAS DO SISEMA OCA As representações ntegras para os deslocamentos em Z e rotações em Y tem uma forma análoga ao problema da flexão descrta na seção anteror, bastando permutar I, M e V por I, M e V, respectvamente, resultando em () Marques (9). () ³ / / / / / / / / = EI p M Q M Q EI w w w w. EFEIO DA ORÇÃO EM BARRAS NO SISEMA OCA A torção tem como hpótese específca o modelo de Sant-Venant. De acordo com Marques (9), uma analoga pode ser feta também as equações ntegras dos deslocamentos axas para as rotações axas resultando em (). = ² ) ( / p p x x x x GI x t GI ()

4 Nono Smpóso de Mecânca Computaconal Unversdade Federal de São João Del-Re MG ABMEC Onde t(x) é o torque unformemente dstrbuído, x e x, os ângulos de torção nodas,, o comprmento da barra, GI p, a rgde à torção de Sant-Venant e e, os momentos de torção nas extremdades da barra..6 BARRA DE PÓRICO PANO A representação algébrca no sstema local para o problema de pórtco plano pode ser obtda superpondo-se os efetos axas e de flexão no exo Z, resultando em (). [ I ] { u} [ H ] { u} = [ G] { p} { b} () Onde: { u} = { u v u v }; { } { N Q M N Q M } e as matres [ H ] e [ G ] dadas em Santos (). p = ; Operando para o sstema global de coordenadas chega-se na representação algébrca (6) Santos (), Marques (9). I U Hg U = Gg P B (6) [ ] { } [ ] { } [ ] { } { } Onde [ Hg] [ R] = [ H ] [ R], [ Gg] [ R] = [ G] [ R], [ B] = [ R] [ b].7 Barra de Pórtco Espacal Para representação dos campos na barra de pórtco espacal, dos efetos de flexão, um de tração axal e um de torção devem ser superpostos. As matres de nfluênca dos deslocamentos e dos esforços no sstema local para o pórtco espacal são dadas por [H] e [G] em Marques (9). Analogamente ao caso de pórtco plano para efetuar o acúmulo das contrbuções de cada barra no sstema da estrutura as equações algébrcas devem ser reescrtas no sstema global da barra, conforme (6)..8 Montagem do Sstema da Estrutura Quando duas ou mas barras convergrem para o mesmo nó deve ser levado em conta as condções de contnudade do vetor de deslocamento e das condções de equlíbro no vetor de forças. Por smplcdade e concsão tomar-se-ão duas barras convergentes conforme ndcado na Fgura.. Fgura Barras de pórtco convergndo Para a barra (um) o representação algébrca no sstema global é dado por: [ H]{ U} [ H ]{ U } = [ G ]{ P } [ G ]{ P } [ H ]{ U} [ H ]{ U } = [ G]{ P } [ G ]{ P } (7)

5 Nono Smpóso de Mecânca Computaconal Unversdade Federal de São João Del-Re MG ABMEC Para a barra (dos) o representação algébrca no sstema global é dado por: [ H ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } U H U = G P G P [ H ]{ U } [ H ]{ U } = [ G ]{ P } [ G ]{ P } (8) Aplcando-se as condções de compatbldade de deslocamento nas seções à esquerda e à dreta no nó, tem-se: { U } { U } = { } = (9) U Além dsso, devem-se satsfaer também as equações de equlíbro nesse nó (vde Fgura ), dado por: { } { P } { F} { } P () = Onde: { F } é o vetor que contém as cargas e momentos dretamente aplcados no nó; { P } e { P } são os vetores que contém os esforços à esquerda e à dreta do nó, respectvamente. Fgura Condção de Equlíbro no nó. Substtundo-se as condções de compatbldade de deslocamento (9) e condções de equlíbro () nas representações algébrcas (7) e (8), o sstema de equações da estrutura geral pode ser reagrupado como: [ H ] [ H ] [ ] [ ] [ G ] [ H ] [ H ] [ ] [ ] [ G ] [ ] [ H ] [ H ] [ G ] [ ] [ ] [ H ] [ H ] [ G ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ I] [ I] { U } { U } { U } { P} { P} = [ G ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ G ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ G ] [ ] [ ] [ ] [ G ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ I] { P} { } { P} { } { } F () RESUADOS Nas seções. e. observa-se a sgnfcânca, em relação à lteratura, dos resultados obtdos com a análse estátca em método dos elementos de contorno para pórtcos planos e espacas, respectvamente.

6 Nono Smpóso de Mecânca Computaconal Unversdade Federal de São João Del-Re MG ABMEC. PÓRICO PANO Sea um pórtco plano bengastado, proposto por Weaver e Gere (98), que será submetdo à análse estátca, formado por duas barras, lustrado na Fgura, sendo P =,8 kn e cuas propredades mecâncas e geométrcas arbtráras são dadas por: Módulo de elastcdade E = 6,867 x MPa, área A = 6, x - m, momento de nérca I =,6 x -7 m e comprmento =, m. Fgura (a) Esquema estrutural de pórtco plano modelo para a análse estátca e (b) graus de lberdade de barra de pórtco plano, no sstema local de coordenadas. Desta forma, procede-se a análse estátca no software mplementado em MEC em C. Sea a barra horontal denomnada de barra e orentada para dreta, e os resultados ndcados na abela. abela Comparatvo entre resultados do software em MEC e da lteratura Barra Deslocamentos/Rotações (m, rad) Força/Momento (kn,knm) Grau de berdade Resultados Obtdos Resultados Obtdos Weaver & Gear, (MEC) (MEC) (98) 6,E,E,E -,6E- -.E- -,798E- 9,6E,87E,9E -9,6E,8E -,6E 9,6 8,7 9, -9,6 8, -6,. Pórtco Espacal Sea um pórtco espacal bengastado, proposto por Weaver e Gere (98), que será submetdo à análse estátca, lustrado na Fgura, sendo P =, kn cuas propredades mecâncas e geométrcas arbtráras são dadas por: Módulo de elastcdade longtudnal E =,6 x MPa, Módulo de elastcdade transversal G = 8, x MPa, área A = 7,97 x - m, momentos de nérca I x =, x - m, I =, x - m, I =, x - m, e comprmento =,8 m.

7 Nono Smpóso de Mecânca Computaconal Unversdade Federal de São João Del-Re MG ABMEC Fgura (a) Esquema Estrutural de Pórtco Espacal modelo para análse estátca e (b) graus de lberdade de barra de pórtco espacal no sstema local de coordenadas Sea barra horontal denomnada de barra e orentada para dreta, e os resultados ndcados na abela, sendo comparados com os resultados da lteratura. abela Comparatvo entre resultados do software em MEC e da lteratura Barra Deslocamentos/Rotações (m, rad) Resultados Obtdos Grau de berdade Weaver & Gear, (98) DISCUSSÃO (MEC) -,88E- 6,86E-6,9E- 7,6E- -,6E-,67E-,97E-,9E-,9E-,8E-,78E- -,7E- -,88E- 6,86E-6,9E- 7,6E- -,6E-,67E-,97E-,9E-,9E-,8E-,78E- -,7E- A análse numérca desenvolvda nesse trabalho ndca que fo possível recuperar os resultados analítcos para problemas estátcos de pórtcos planos e espacas aplcando-se a técnca do MEC. CONCUSÕES Neste artgo, foram fetas dscussões sobre uma estratéga de montagem do sstema algébrco para análse estátca de pórtcos planos e espacas utlando-se a técnca de elementos de contorno. Essa estratéga mostrou-se efca e envolveu um sequencamento convenente de sstemas de referêncas com ntuto de organar as ncógntas em forças e deslocamentos do problema.

8 Nono Smpóso de Mecânca Computaconal Unversdade Federal de São João Del-Re MG ABMEC Convém notar que um sstema algébrco correspondente em elementos fntos possu menor dmensão e é mas faclmente construído, á que os esforços não precsam ser equaconados explctamente na representação algébrca. Isso naturalmente mplca em uma desvantagem do MEC em relação ao MEF em estruturas retculares, prncpalmente para análses estátcas. No entanto, o desenvolvmento desse sstema de montagem para o problema estátco vsa uma futura extensão para análses dnâmcas e, para esses casos, a aparente desvantagem do MEC/MEF torna-se menos sgnfcatva, uma ve que o MEF requer necessaramente uma dscretação mas rca. BIBIOGRAFIA Antes, H., Fundamental soluton and ntegral equatons for moshenko beams, Computers & Structures,. Baneree, P. K., Butterfeld, R., Boundar element methods n engneerng scence, McGraw-Hll, 98. Becker, A.A., he boundar element method n engneerng: a complete course, McGraw-Hll, 99. Manols, G. D., Beskos, D. E., Pneros, M. F., Beam and plate stablt b boundar elements, Computers & Structures, Volume, No, pp. 97-9, 986. Marques, F.; Mendonça, A.; Menees Junor, R.; Quero, P. AutoCAD customado para análse vbratóra de trelças. Revsta ecnológca, Edção Especal ENECA 9, p. 7-6, 9, Brasl. Dsponível em: < Acesso em: feverero de. Marques, F. M. Análse de estruturas retculares utlando-se o método dos elementos de contorno em C. Relatóro Fnal, PIBIC/CNPq/UFPB Vgênca 8/9, 9 Santos, R. S. Análse de estruturas retculares utlando-se o método dos elementos de contorno em C. Relatóro Parcal, PIBIC/CNPq/UFPB Vgênca 9/,. Provdaks, C. P., Beskos, D. E., Dnamc analses of Beams b the boundar element method, Computers & Structures, Volume, No 6, pp , 986. Weaver, W. e Gere, J. M., Análse de Estruturas Retculadas, Guanabara, DIREIOS AUORAS Os autores são os úncos responsáves pelo conteúdo do materal mpresso ncluído no seu trabalho.