Análise Dinâmica de uma Viga de Euler-Bernoulli Submetida a Impacto no Centro após Queda Livre Através do Método de Diferenças Finitas

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1 Proceedng Seres of the Brazlan Socety of Appled and Computatonal Mathematcs, Vol. 4, N., 06. Trabalho apresentado no DINCON, Natal - RN, 05. Proceedng Seres of the Brazlan Socety of Computatonal and Appled Mathematcs Análse Dnâmca de uma Vga de Euler-Bernoull Submetda a Impacto no Centro após Queda Lvre Através do Método de Dferenças Fntas Bruno Cont Franco Grupo de Mecânca Aplcada, Programa de Pós Graduação em Engenhara, Unversdade Federal do Pampa - UNIPAMPA, Alegrete, RS. Wang Chong Grupo de Mecânca Aplcada, Programa de Pós Graduação em Engenhara, Unversdade Federal do Pampa - UNIPAMPA, Alegrete, RS. Resumo. O presente trabalho apresenta análse dnâmca do movmento transversal de uma barra, submetda a mpacto provocado por queda lvre, pelo método de dferenças fntas (MDF). Os resultados do algortmo desenvolvdo são comparados aos do método de elementos fntos, confrmando que é correto e confável. Palavras-chave. Análse dnâmca, Vga de Euler-Bernoull, Método de Dferenças Fntas, ANSYS LS, Elementos Fntos. Introdução O Brasl é hoe um dos maores produtores de mnéro de ferro do mundo. A extração é realzada em dversas etapas, as prncpas são a lavra, a brtagem e a moagem. A moagem é a operação de fragmentação fna, após essa etapa o mnéro está pronto para ser utlzado em outros processos ndustras. O equpamento mas comum nesse processo é o monho de Barras, nele a moagem ocorre pelo mpacto entre as barras de aço (Fgura ) e as pedras de mnéro. Essas máqunas apresentam elevado custo de manutenção devdo a constante quebra das barras nternas devdo aos esforços causados pelo choque com as pedras de mnéro. Para reduzr o custo de manutenção do equpamento é necessáro análse matemátca de mecânca da fratura na barra. O mpacto entre as pedras e as barras dfculta a modelagem matemátca, por que a propagação de trnca nduzda por mpacto é complexa e dfícl de ser modelada matematcamente. bruno.franco@bruba.frs.edu.br wangchong@unpampa.edu.br DOI: / SBMAC

2 Proceedng Seres of the Brazlan Socety of Appled and Computatonal Mathematcs, Vol. 4, N., 06. Fgura : Undade de processamento de um monho de Barras O movmento transversal de vgas tem sdo amplamente estudado com város trabalhos publcados sobre esse assunto. Em estudo apresentado em [] sobre o efeto de uma trnca na establdade dnâmca de uma vga de Tmoshenko com extremdades lvre submetda a uma força constante ou ntermtente, as frequêncas naturas e os módulos de vbração transversal foram obtdos pelos métodos de elementos fntos e das escalas múltplas. Na mesma lnha, em [] fo desenvolvda uma técnca numérca para análse de vbrações de vgas de seção transversal crcular contendo trncas, porém também é utlzado o método de elementos fntos. O método numérco mas usado para o estudo da propagação dnâmca de trnca é o Método de Elementos Fntos (MEF). Atualmente os prncpas softwares comercas como ANSYS e ABAQUES apresentam custo elevado e exgem alto nível de trenamento para os usuáros, e anda não são capazes de analsar propagação dnâmca de trnca causada por mpacto. Por outro lado o MDF é um método numérco smples de fácl aplcação e muto utlzado em pesqusas centífcas. O obetvo deste trabalho é desenvolver um algortmo de dferenças fntas para modelar a vbração de uma barra do monho de barras submetda a mpacto. Esse algortmo deve ser aplcado para análse da propagação dnâmca de trnca em trabalhos futuros. Fundamentação matemátca. Equação governante Consdera-se uma vga unforme que choca ao centro dela com um suporte rígdo após queda lvre. A teora clássca de Euler-Bernoull ou da flexão pura consdera vgas prsmátcas unformes (de seção transversal constante) com comprmento longtudnal como dmensão predomnante. Nesse modelo não é consderado a deformação de csalhamento presente nas seções transversas. Para essas vgas o nteresse de estudo são as ações de movmento chamadas de ações de flexão, conforme mostra Fgura. A equação geral para a vbração lateral forçada de uma vga unforme [3], é dada por: M (, t) w(, t) A f (, t) L t com x, 0 () L DOI: / SBMAC

3 Proceedng Seres of the Brazlan Socety of Appled and Computatonal Mathematcs, Vol. 4, N., onde M é o momento fletor, L é a metade do comprmento total da barra (devdo a smetra), t é o tempo, é a densdade do materal, A é a área da seção transversal, w é o deslocamento transversal, f(, t) é a força corporal externa [N/m] e x é a posção no exo longtudnal admensonalzado por. Fgura : Flexão transversal A vga é dscretzada unformemente em n+ pontos, a dstânca entre cada ponto é chamado de passo h=/n, um valor admensonal, representado na Fgura 3. Fgura 3: Malha A expressão M / L na Equação (), corresponde à segunda dervada de M sobre x, pode ser representada pela fórmula de dferenças fntas centrada: 4 M w E ( EI I w w w I w w w L L L h I w w w ) com n e m () Onde I é o momento de nérca, m o número de ncrementos temporal e utlzando-se da segunte relação: M ( x, t) EI w( x, t) x (3) Ou sea DOI: / SBMAC

4 Proceedng Seres of the Brazlan Socety of Appled and Computatonal Mathematcs, Vol. 4, N., 06. (, w t ) EI M M (, t ) EI ( w w w ) L L h (4) A expressão w( L, t) / t corresponde à aceleração. Para calculá-la utlzamos a formula de movmento lnear de um ponto materal consderando aceleração como constante com ncremento temporal muto curto: t = t t, =,,, m. Assm, pela relação Obtêm-se: s vt a t (5) ( s vt) a t (6) Na forma dcretzada: v ( s t) a t (7) Substtundo s w w, então, temos: w(, t ) A A w w v t t t (8) Substtundo as Equações () e (8) na Equação () e f(, t) Ag, temos: E 4 4 I w w w I w w w I w w w Lh A w w v t Ag t (9) Após obter w, pode-se calcular a pela Equação (7) e em seguda:. Condções Incas v = v + a t (0) A prmera condção ncal é dada por w( x,0) w(,0) 0, assm temos w 0. A outra condção ncal é a velocdade ncal da barra no momento em que toca o mnéro de ferro, dada por quada lvre de altura H: v 0 gh () 0 DOI: / SBMAC

5 Proceedng Seres of the Brazlan Socety of Appled and Computatonal Mathematcs, Vol. 4, N., Condções de contorno 5 Conforme a Fgura, a barra encontra-se com uma extremdade engastada e a outra lvre assm tem duas condções de contorno em cada extremdade. Na extremdade engastada ( x L 0 ou 0 ), a deflexão é w(0, t ) = 0 e a nclnação é dada por w(0, t ) / x ( w w ) / h 0, então, as condções de contorno para deflexão e nclnação são respectvamente: e w0 0 () w w (3) Na extremdade lvre ( ou n), temos o momento: pela Equação (4): n n n w(, t ) EI() 0. Isto é L w w w (4) Pela força cortante: w(, t ) EI() 0, temos: L L w w 4w 4w (5) n n n n.4 Matrz dos coefcentes de deslocamento A resolução das equações do sstema lnear para o cálculo dos coefcentes de deslocamentos é realzada através das matrzes: w 7 4 w 4 (6 ) 4 w 4 (6 ) (6 ) 4 w (6 ) 4 w (6 ) 4 wn n 0 4 (5 ) w n n ( ) wn n (6) EI A onde, 4 4 Lh t e A g v t. DOI: / SBMAC

6 Proceedng Seres of the Brazlan Socety of Appled and Computatonal Mathematcs, Vol. 4, N., Resultados e dscussões Os dados de entrada estão lstados na Tabela. Tabela Dados de entrada para as smulações Parâmetro Valor Módulo de Elastcdade (E) 80 GPa Rao (R) m Comprmento da metade da barra (L). m Densdade ( ) 7850 Kg/m³ Altura da queda (H) m Intervalo de tempo ( t ) μs Número de dscretzação (n) A smulação fo realzada pelo Matlab. Para comparação, usou-se o software ANSYS Mechancal APDL.0., no módulo LS-DYNA. O elemento seleconado fo o BEAM6, confgurado para seção transversal crcular. A fgura 4 mostra a comparação dos resultados do deslocamento transversal do últmo nó da barra, = n. Os resultados obtdos pelo MDF e pelo ANSYS são quase dêntcos. Isso confrma que o algortmo desenvolvdo é confável. Fgura 4 Deslocamento no últmo nó da barra = n, tempo de 0 a 0.5 s. A Fgura 5 apresenta o momento fletor máxmo na barra e o ponto em que ele ocorre. O pco entre 700 e 800 μs pode ser nterpretado que exstem dos locas (a 8% e a 50% do comprmento) na vga onde os momentos fletores são quase dêntcos e máxmos no nstante 707 μs, ou sea, as tensões máxmas poderão ocorrer nestes dos lugares no mesmo nstante de tempo. Isto mplca que a barra poderá ser quebrada nestes lugares. DOI: / SBMAC

7 Proceedng Seres of the Brazlan Socety of Appled and Computatonal Mathematcs, Vol. 4, N., Fgura 5 Posção de Momento Máxmo vs Tempo. 4 Conclusão A análse dnâmca do efeto de choque numa estrutura em geral é complexa. O desenvolvmento do programa baseado no MEF para esse fm requer alto nível de conhecmento em MEF. O uso de software comercal pode custar caro além de requer ntenso trenamento. O algortmo desenvolvdo baseado no MDF para análse da vga de Euler-Bernoull é efcente e confável, mas relatvamente smples em relação ao MEF. Pelo programa desenvolvdo, pode-se obter os perfs de deslocamento, velocdade e aceleração da vga em qualquer nstante e em qualquer ponto da vga. Analsando os resultados obtdos, é possível perceber mas de um local na vga onde poderá ocorrer mesma tensão máxma no mesmo nstante de tempo. Isso revela que a barra pode ser quebrada em pedaços. O algortmo desenvolvdo poderá ser utlzado em trabalhos futuros para análse de propagação de trnca provocado por choque. Referêncas [] K. H. Km and J. H. Km, Effect of a crack on the dynamc stablty of a free-free beam subected to a follower force, Journal of Sound and Vbraton, vol, 9-35, (000). [] M. Ksa and M. A. Gurel, Free vbraton analyss of unform and stepped cracked beams wth crcular cross sectons, Internatonal Journal of Engneerng Scence, vol, , (007). [3] S. S. RAO, Mechancal Vbratons, Pearson Prentce Hall, vol. 5, (0). DOI: / SBMAC