(1) A uma parede totalmente catalítica quanto para uma parede com equilíbrio catalítico. No caso de uma parede com equilíbrio catalítico, tem-se:

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1 1 RELATÓRIO - MODIFICAÇÃO DA CONDIÇÃO DE CONTORNO DE ENTRADA: MODELOS PARCIALMENTE CATALÍTICO E NÃO CATALÍTICO PARA ESCOAMENTOS COM TAXA FINITA DE REAÇÃO 1. Condções de contorno Em escoamentos reatvos, a fração mássca das espéces envolvdas é uma das varáves dependentes. Desta forma, necesstam-se condções de contorno para tal propredade, tal como para as componentes da velocdade e a temperatura. No caso de uma parede, as condções de contorno para as frações másscas merecem alguma dscussão, pos elas envolvem, em geral, a nteração entre os gases e a parede, sendo que esta pode ser consttuída por um materal que tende a catalsar as reações químcas em sua superfíce. Deste modo, as paredes podem ser classfcadas em três grandes grupos (ANDERSON Jr, 2006): 1. Parede com equlíbro catalítco: é uma parede na qual as reações químcas são catalsadas a uma taxa nfnta, ou seja, as frações másscas na parede apresentam os valores correspondentes aos valores do equlíbro químco local, dados à pressão e à temperatura na qual se encontram os gases junto à parede. 2. Parede parcalmente catalítca: é uma parede na qual as reações químcas são catalsadas a uma taxa fnta. 3. Parede totalmente catalítca: é uma parede na qual todos os átomos (espéces monoatômcas) são recombnados, ndependentemente das frações másscas de espéces monoatômcas que poderam exstr para as condções locas de equlíbro químco. No caso de uma parede totalmente catalítca, a condção de contorno é smplesmente: c = 0 (1) A sendo c A as frações másscas das espéces monoatômcas. Deve-se notar que em mutas aplcações, a temperatura da parede é sufcentemente baxa para que as condções de equlíbro químco junto à parede sejam tas que c A = 0. Nesse caso, tem-se c A = 0 tanto para uma parede totalmente catalítca quanto para uma parede com equlíbro catalítco. No caso de uma parede com equlíbro catalítco, tem-se: E no caso de uma parede parcalmente catalítca, tem-se: ) c A = ( c A ) equl. (2) ( w ) ds = ( ρ U ) ds & (3) C sendo ( w& C a taxa de geração da espéce junto à parede. Um caso lmte de parede parcalmente catalítca ocorre quando não há nenhuma taxa de recombnação na parede, ou seja, ( w& ) = 0. Desse modo, tem-se C wall c que se consttu no caso da parede não catalítca. x wall = 0 (4)

2 2 No Relatóro Técnco 3 do projeto CFD-5/UFPR, estudaram-se soluções numércas de escoamentos undmensonas com taxa fnta de reação. Em tal relatóro, contudo, foram realzadas smulações envolvendo apenas o caso de equlíbro catalítco na entrada da tubera. Neste relatóro, duas outras condções de contorno são abordadas para a entrada da tubera, de forma a completar o estudo anterormente realzado: entrada parcalmente catalítca e entrada não catalítca. Para ambos os casos as smulações foram realzadas no computador CFD-11 (2 processadores Intel Xeon QC, 2,66 GHz, 16 GB RAM) do Laboratóro de Expermentação Numérca 2 (LENA-2) do Departamento de Engenhara Mecânca da Unversdade Federal do Paraná. 2. Resultados obtdos São apresentados, nas Tabelas 1 a 5, resultados para dversas propredades do escoamento reatvo com taxa fnta de reação, empregando-se as três condções de contorno prevamente ctadas. Para todos os casos, os resultados referem-se a uma malha de 80 volumes de controle com as respectvas estmatvas de erro numérco, obtdas através do estmador GCI (ROACHE, 1994). As condções de entrada na tubera são os mesmos apresentados no Cap. 7 do Relatóro Técnco 3, ou seja, temperatura de estagnação de 3420,33 K e pressão de estagnação de 2,0 MPa; o par propelente LH 2 /LO 2 é njetado à razão mássca (OF) estequométrca, ou seja, aproxmadamente gual a 7,9367. Tabela 1: Coefcente de descarga. Malha de 80 volumes de controle. Modelo químco Equlíbro Catalítco Parcalmente Catalítca Não Catalítca Modelo 31 1,008 ± 3x10-3 0,891 ± 5x10-3 0,891 ± 4x10-3 Modelo 32 1,007 ± 3x10-3 0,891 ± 5x10-3 0,890 ± 3x10-3 Modelo 5 1,007 ± 3x10-3 0,890 ± 5x10-3 0,890 ± 3x10-3 Modelo 10 1,008 ± 3x10-3 0,891 ± 5x10-3 0,891 ± 4x10-3 Tabela 2: Empuxo admensonal. Malha de 80 volumes de controle. Modelo químco Equlíbro Catalítco Parcalmente Catalítca Não Catalítca Modelo 31 1,012 ± 5x10-3 1,013 ± 5x10-3 1,013 ± 5x10-3 Modelo 32 1,014 ± 5x10-3 1,013 ± 5x10-3 1,013 ± 5x10-3 Modelo 5 1,015 ± 5x10-3 1,013 ± 5x10-3 1,014 ± 5x10-3 Modelo 10 1,013 ± 5x10-3 1,013 ± 5x10-3 1,013 ± 5x10-3 Tabela 3:Temperatura na saída da tubera. Malha de 80 volumes de controle. Modelo químco Equlíbro Catalítco Parcalmente Catalítca Não Catalítca Modelo ± 1x ± 2x ± 1x10 1 Modelo ± 1x ± 1x ± 8 Modelo ± ± 1x ± 8 Modelo ± 1x ± 2x ± 1x10 1

3 3 Tabela 4:Velocdade axal na saída da tubera. Malha de 80 volumes de controle. Modelo químco Equlíbro Catalítco Parcalmente Catalítca Não Catalítca Modelo ± ± ± 1x10 1 Modelo ± ± ± 2 Modelo ± ± ± 2 Modelo ± ± ± 2 Tabela 5:Fração mássca (H 2 O) na saída da tubera. Malha de 80 volumes de controle. Modelo químco Equlíbro Catalítco Parcalmente Catalítca Não Catalítca Modelo 31 0,812 ± 1x10-3 0,668 ± 3x10-3 0,6679 ± 5x10-4 Modelo 32 0,824 ± 2x10-3 0,675 ± 3x10-3 0,6747 ± 3x10-4 Modelo 5 0,862 ± 1x10-3 0,708 ± 4x10-3 0,7075 ± 8x10-4 Modelo 10 0,812 ± 1x10-3 0,668 ± 3x10-3 0,6679 ± 5x10-4 Observando-se as Tabelas 1 a 5, verfca-se que a condção de entrada apresenta nfluênca sobre os resultados das varáves de nteresse estudadas, em especal ao se comparar as condções de equlíbro catalítco e de parede parcalmente catalítca. Exceto para o empuxo admensonal, nota-se que a varação dos resultados numércos é superor ao erro numérco estmado, de modo que se pode atrbur as dferenças entre tas resultados à condção de contorno empregada. Nota-se, contudo, que os resultados numércos obtdos para as condções de parede parcalmente catalítca e de parede não catalítca são essencalmente os mesmos, uma vez que, tomando-se em consderação os erros numércos estmados, não há dferença sgnfcatva entre os resultados. Outros resultados referentes às dferentes modaldades de condções de contorno são mostradas nas Fguras 1 e Temperatura [K] Equlíbro catalítco Parcalmente catalítca Não catalítca Perfl ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Posção [m] Fgura 1: Perfl de temperaturas ao longo da tubera. Malha de 80 volumes. Modelo químco 31.

4 4 0,80 Fração mássca [adm.] 0,75 0,70 0,65 0,60 Equlíbro catalítco Parcalmente catalítca Não catalítca Perfl 0,55 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Posção [m] Fgura 2: Fração mássca de H 2 O ao longo da tubera. Malha de 80 volumes. Modelo químco 31. As Fguras 1 e 2 apresentam os perfs de temperatura e de fração mássca de H 2 O ao longo da tubera para as três condções de contorno empregadas. Conforme já observado nas Tabelas 1 a 5, os resultados para as condções de parede parcalmente catalítca e não catalítca são pratcamente os mesmos. Com relação à condção de parede com equlíbro catalítco, os resultados dos modelos anterores dferem consderavelmente: observa-se que não ocorrem as descontnudades de propredades na regão de entrada da tubera. Tas descontnudades se devem ao fato de que, na condção de parede com equlíbro catalítco, na regão de entrada é consderada a composção de equlíbro químco local; na regão vznha, entretanto, ocorrem as reações de dssocação, que resultam em taxas de geração de espéces bastante negatvas para o H 2 O, através de reações endotérmcas. Desta forma, há uma dmnução consderável tanto em relação à temperatura quanto em relação à fração mássca de H 2 O, conforme observado nas Fguras 1 e 2. Com relação aos outros dos modelos, nota-se, no entanto, que a varação de propredades se faz de modo mas suave, uma vez que não é mantda a condção de equlíbro químco local para a entrada da tubera. Apesar de os resultados numércos serem pratcamente os mesmos para as condções de parede parcalmente catalítca e parede não catalítca, nem todos os parâmetros empregados nas smulações são os mesmos, conforme pode ser vsto na Tabela 6. O maor dferencal entre os modelos está no número de terações necessáras, em especal para os modelos químcos 31 e 32. Como a condção de parede não catalítca necesstou um total de terações muto superor ao da parede parcalmente catalítca, o tempo de CPU demandado fo bastante afetado, conforme pode ser observado na Tabela 7. Tomando-se, como exemplo, o modelo 31, nota-se que o passo de tempo empregado em ambos os casos é o mesmo (1x10-8 ); o número de terações, contudo, é muto maor no caso da parede não catalítca que no caso da parede parcalmente catalítca (1x10 8 no prmero caso contra 2x10 7 no segundo), resultando em um tempo de CPU bastante dferente (4,376 horas contra 52,92 mnutos). Nos casos em que foram empregados a mesma quantdade de terações, entretanto, os tempos de CPU foram bastante semelhantes, como ocorrdo para os modelos químcos 5 e 10. Comparando-se, anda, os modelos com parede com equlíbro catalítco e com parede parcalmente catalítca, nota-se que no prmero caso conseguu-se empregar passos de tempo de maor magntude, o que representa um menor número de terações necessáras e, possvelmente, um menor tempo de CPU.

5 5 Tabela 6: Comparação entre as dversas condções de contorno - passo de tempo e número de terações empregadas. Malha de 80 volumes de controle. Equlíbro catalítco Parcalmente catalítca Não catalítca Modelo Passo de Passo de Passo de químco Iterações Iterações Iterações tempo tempo tempo Modelo 31 4x10-8 5,00x10 6 1x10-8 2,00x10 7 1x10-8 1,00x10 8 Modelo 32 3x10-8 8,00x10 6 1x10-8 3,00x10 7 1x10-8 5,00x10 8 Modelo 5 9x ,00x10 8 3x ,50x10 8 3x ,50x10 8 Modelo 10 2x ,20x10 9 1x ,50x10 9 1x ,50x10 9 Tabela 7: Tempo de CPU demandado para smulações com condções de entrada de parede parcalmente catalítca e parede não catalítca. Malha de 80 volumes de controle. Modelo químco Parcalmente catalítca Não catalítca Modelo 31 52,92 mn 4,376 h Modelo 32 1,338 h 22,05 h Modelo 5 1,628 da 1,627 da Modelo 10 3,462 das 3,440 das Com o ntuto de melhorar a convergênca dos modelos químcos para as novas condções de contorno estudadas, fo modfcada a estmatva ncal para o campo de temperaturas ao longo do escoamento. Para tanto, ao nvés de estabelecê-lo como sendo gual à dstrbução obtda com a solução do escoamento monoespéce sentrópco (solução analítca), empregou-se uma dstrbução de temperaturas alternatva, na qual a temperatura ncal da regão à montante da garganta da tubera fo gualada à temperatura da garganta (sendo esta calculada para o caso de escoamento sentrópco). Alguns resultados obtdos são apresentados na Tabela 8. Tabela 8: Comparação entre estmatvas ncas para o perfl de temperaturas, executando-se o mesmo número de terações da Tabela 6. Malha de 80 volumes de controle. Parede parcalmente catalítca. Estmatva ncal para o campo de temperaturas Modelo Escoamento Isentrópco Estmatva ncal modfcada químco Iterações necessáras à convergênca Algarsmos sgnfcatvos Iterações necessáras à convergênca Algarsmos sgnfcatvos Modelo 31 1,92x ,42x Modelo 32 2,42x ,74x Modelo 5 6,60x ,94x Modelo 10 1,32x ,43x Pode-se notar, a partr dos dados mostrados na Tabela 8 que a modfcação proposta não apresentou bons resultados: houve uma redução do número de algarsmos sgnfcatvos, sem uma tendênca clara à dmnução do número de terações necessáras à convergênca dos modelos. Com relação aos resultados numércos para as varáves de nteresse, apesar de não

6 6 ter sdo feta uma análse completa envolvendo as estmatvas de erro, observou-se que os resultados são dêntcos àqueles obtdos quando a solução sentrópca era empregada como solução ncal para o campo de temperaturas. Como o número máxmo de terações empregado fo o mesmo nas stuações de estmatva ncal sentrópca e modfcada, é possível comparar os tempos de CPU. Nota-se, contudo, que à exceção do modelo 32 tas tempos são smlares, conforme pode ser notado na Tabela 9. Deste modo, não se mostra muto atraente modfcar a estmatva ncal para o campo de temperaturas. Tabela 9: Tempo de CPU demandado para smulações com estmatvas ncas dferentes. Malha de 80 volumes de controle. Parede parcalmente catalítca. Modelo químco Estmatva ncal para o campo de temperaturas Escoamento sentrópco Estmatva ncal modfcada Modelo 31 52,92 mn 52,72 mn Modelo 32 1,338 h 53,25 mn Modelo 5 1,628 da 1,625 da Modelo 10 3,462 das 3,463 das 3. Conclusões Foram apresentadas soluções numércas para duas novas condções de contorno de entrada na tubera: parede parcalmente catalítca e parede não catalítca. Para todos os resultados, foram fetas estmatvas de erro baseadas no estmador GCI. Verfcou-se que as dferenças entre os resultados numércos da condção de contorno orgnal (parede com equlíbro catalítco) em relação às novas condções de contorno são sgnfcatvas. Entre as novas condções de contorno, no entanto, as soluções numércas obtdas, com suas respectvas faxas de erro numérco estmadas, mostramse sobrepostas, de modo que não se pode afrmar que os resultados sejam dferentes. Para as novas condções de contorno empregadas, não fo verfcado a descontnudade no perfl de propredades como a temperatura ou frações másscas, como era observado no caso da condção de parede com equlíbro catalítco. Isto se deve ao fato de que para as novas condções empregadas, não é necessáro que se tenha equlíbro químco local junto à parede, sem qualquer reação de dssocação. Mesmo que os resultados numércos das condções de parede parcalmente catalítca e parede não catalítca sejam os mesmos, nota-se que a prmera necessta, em geral, de um menor número de terações para se obter a convergênca. Mesmo quando o número de terações realzado é o mesmo, a parede parcalmente catalítca anda apresenta como vantagem o fato de a solução numérca possur um maor número de algarsmos sgnfcatvos em relação à parede não catalítca. Embora o número de terações seja menor no caso da condção de parede parcalmente catalítca em relação à parede não catalítca, para ambas as condções de contorno o número de terações necessáro para a convergênca é superor ao da parede com equlíbro catalítco. Modfcar a estmatva ncal para a dstrbução de temperaturas ao longo da tubera, contudo, não apresentou bons resultados em relação à estmatva ncal anteror, baseada na solução analítca do escoamento undmensonal monoespéce sentrópco.

7 7 4. Referêncas Bblográfcas ANDERSON Jr., J. D. Hypersonc and Hgh-Temperature Gas Dynamcs, 2ed., Reston (Vrgna): AIAA Educaton Seres, ROACHE, P. J. Perspectve: A method for unform reportng of grd refnement studes. Journal of Fluds Engneerng, v. 116, pp , 1994.