4 Análise da Estabilidade - Modelo de Cabos

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1 Análse da Establdade - Modelo de Cabos A Fgura.a apresenta um modelo com dos cabos presos a uma barra rígda de comprmento L, representando uma torre numa confguração perfeta (vertcal), enquanto na Fgura.b apresenta-se a torre numa confguração perturbada. A únca dferença deste para os modelos anterores é o trabalho produzdo pelas cargas externas. As forças dos cabos, que agem sobre a barra, são consderadas como cargas externas. P P α H p y h α L p (a) Fgura.: Torre estaada. Modelo com cabos nextensíves: (a) confguração fundamental de equlíbro; confguração perturbada (perturbação - rotação ).... Varação da energa devda a mudança de confguração dos cabos Ao aplcar-se uma rotação nfntesmal d sobre a barra na posção ncal, tomada como postva no sentdo horáro, as projeções mudam de valor, mplcando em alterações nas forças T x e s x e s y dos cabos T y que os cabos exercem sobre a barra. Como o cabo é consderado nextensível, não há energa nterna de deformação. Durante uma pequena rotação, o trabalho devdo as forças T x e T y, para um cabo genérco tem-se onde dx e dw = T ( ) dx + T ( ) dy (.) x y dy são as dervadas das funções que defnem a posção do ponto de fxação do cabo a barra segundo as dreções x e y. A orgem do sstema de referênca de cada cabo é o ponto de fxação do cabo na base.

2 66 Para os cabos cuja projeção horzontal aumenta durante uma rotação a dervada dx é dado por dx Se a projeção horzontal dmnu, dx é dado por dx d, = γ L cosd (.) = γ L cosd (.) Como a projeção vertcal sempre dmnu, dy é dado sempre por dy = γ L send (.) O trabalho externo devdo às cargas concentradas e às forças dos cabos atuantes sobre a barra, em uma confguração fnal, é dado pela equação W = nc γ L = nc / γ L = ( T ( )cos ) d γ L ( T ( )cos ) x np ( Ty ( )sen ) d + P Γ sen + py sen = nc nc / + x d (.5) onde nc é o número de cabos. As funções T x( ) e T y ( ) não são conhecdas analtcamente, já que representam as componentes da força no cabo que são obtdas numercamente para cada confguração da catenára. Consderando uma rotação postva, o prmero termo da equação (.5) representa o trabalho realzado pelas componentes horzontas das forças nos cabos à esquerda da torre (fgura.b) e o segundo termo representa o trabalho das componentes horzontas nos cabos que estão à dreta da torre. Como observado no Capítulo, o prmero termo sempre é maor que o segundo, já que a componente horzontal da força cresce com o aumento da projeção horzontal do cabo e decresce com o decréscmo dessa projeção. O tercero termo representa o trabalho das componentes vertcas de todos os cabos.... Equação do camnho pós-crítco de equlíbro Consdere o caso geral em que a torre está submetda ao peso própro, a váras cargas concentradas e sustentada por dversos cabos. Dervando π em relação à coordenada generalzada, tem-se para uma carga de referêncap :

3 67 P = Γ sen np = nc / = γ T P Γ sen py sen x ( )cos nc γ T = nc / + x ( )cos nc = γ T y ( )sen (.6) Para traçar o camnho pós-crítco neste caso, ncrementa-se a perturbação em pequenos valores a partr de = e, para cada valor de, encontram-se as forças que os cabos exercem sobre a barra e obtém-se o P necessáro para atender o equlíbro.... Análse da carga crítca A carga crítca é obtda dretamente da equação (.6) fazendo-se a perturbação tender a zero. Na determnação das confgurações ótmas para a carga crítca, foram fetas duas análses: (a) varando a nclnação com o comprmento do cabo mantdo constante, e varando smultaneamente a nclnação e o comprmento do cabo (cabo preso ao solo em um ponto fxo)..... Comprmento do cabo constante Para facltar a análse paramétrca, o comprmento do cabo, s, é dado, como mostrado no Capítulo, por s = f s x + s y, onde f é sempre maor que e x s y s + é o comprmento do segmento de reta que lga os pontos A e B, de fxação do cabo, tendo nclnação α, como lustrado na Fgura.. sx B α y A x Fgura.: Inclnação e projeções da reta que une os pontos de fxação do cabo. s sy A Fgura. apresenta a varação da carga crítca de uma torre sustentada por dos cabos, a medda em que vara-se a nclnação, α, do segmento de reta

4 6 que une os pontos de fxação dos cabos. O comprmento do cabo e do segmento A-B foram mantdos constantes e varou-se em cada caso a nclnação α. O modelo apresentado possu uma barra, cujo peso fo desprezado, e cabos com m comprmento e peso w = 7,N / m. A torre tem L=m. Na Fgura.a tem-se f=,5, enquanto na Fgura.b, tem-se f=, (cabo muto mas tenso)..5.5 p=; f=,5; s=m; L=m; w=7,n/m p=; f=,; s=m; L=m; w=7,n/m P crítco [kn].5 P crítco [kn] α [ ] (a) f=,5 Fgura.: Varação da carga crítca em função da nclnação α α [ ] f=, No caso exbdo na Fgura.a, em que o cabo está em uma confguração de catenára completa, a máxma carga crítca para o modelo de cabos é obtda com uma nclnação de trnta graus. Pode-se notar que as nclnações maores que setenta graus levam a cargas crítcas negatvas. Isto sgnfca que, para manter o equlíbro na posção fundamental, é necessára uma força atuando de baxo para cma. Em.b, com o cabo bem mas tenso, a carga crítca máxma ocorre para α=9 o. Deve-se observar que há uma grande dferença no valor da carga crítca em ambos os casos, mostrando a grande nfluênca que tem a protensão ncal no cabo, que é ntmamente lgada a geometra do mesmo, sobre a carga crítca da estrutura.... Influênca do comprmento do cabo na carga crítca Um aspecto nteressante a consderar é a nfluênca do comprmento do cabo na carga crítca. Para sto, mantém-se fxo o ponto de ancoragem no solo e vara-se a posção em que o mesmo é fxado à torre, mantendo-se constante o fator de protensão f. Espera-se que o máxmo não ocorra mas nas posções já encontradas, já que um cabo mas longo é também mas pesado e o ângulo que o cabo faz com a torre também vara.

5 69 Na Fgura., mostra-se à varação da carga crítca da torre estaada em função da nclnação, α, e do comprmento do cabo, s, mantendo-se constante o ponto de fxação ao solo. Na Fgura.a têm-se os resultados para f=,5, enquanto na Fgura.b, tem-se os resultados para f=,. A máxma carga crítca fo obtda com uma nclnação de aproxmadamente quarenta e nove graus para o caso (a) e cnqüenta e cnco para o caso. Novamente observa-se a grande nfluênca da protensão ncal no cabo sobre a carga crítca da torre P crítco [kn] -. P crítco [kn] 6 -. p=; f =, 5; sx=,75m ; L=m; w=7, N/m α [ ] α [ ] (a) Fgura.: Varação da carga crítca em função da nclnação e do comprmento do cabo. - p=; f=,; sx=, 75m; L= m; w=7,n/m Ao comparar as Fguras. e. para cada valor de f, percebe-se que a prmera apresenta valores bem mas elevados para a carga crítca, sto porque o comprmento do cabo, para a maora das nclnações, é maor na análse apresentada na Fgura.. A nfluênca do comprmento do cabo pode ser melhor observada na seção segunte.... Influênca do peso e comprmento do cabo A Fgura.5a apresenta a varação da carga crítca em função da seção transversal do cabo, para um cabo com uma nclnação constante de sessenta graus (α=6 o ). As seções adotadas foram retradas da Fgura.7. A Fgura.5b apresenta a varação da carga crítca quando o comprmento do cabo é varável, mantendo-se constantes a nclnação, o fator de protensão f e o peso do cabo. Pode-se perceber que, quanto mas pesado e mas comprdo for o cabo, maor será a carga crítca, sto porque o momento restaurador, devdo aos cabos, é maor.

6 7 5 p=; f=,; s=m; L=m; α=6 ; 6 p=; f=,; L=m; α=6 ; w=7,n/m P crítco [kn] P crítco [kn] 6 w [ N/m ] 6 s [ m ] (a) Fgura.5: (a) Varação da carga crítca em função do peso do cabo. varação da carga crítca em função do comprmento cabo.... Influênca do fator de protensão f A Fgura.6 apresenta a varação da carga crítca para um modelo de dos cabos. Os pontos de fxação dos cabos são mantdos constantes, apenas varase o comprmento do cabo, através do fator de protensão f. Nota-se que, à medda que f aumenta, o cabo se torna mas longo, dmnundo paulatnamente a carga crítca da torre que tende assntotcamente a zero. À medda que o cabo se torna mas longo neste caso, dmnu a sua força sobre a coluna e o ângulo entre esta força e a torre, dmnundo assm as forças de restauração do equlíbro face a uma perturbação. p=; L=m; w=7,n/m P crítco [kn] α= α= f Fgura.6: Varação da carga crítca em função do pré-tensonamento.

7 7... Análse do camnho pós-crítco de equlíbro Novamente o estudo é realzado em um modelo com apenas dos cabos, já que o comportamento apresentado fornece uma boa prevsão para modelos com mas cabos e dmnu o número de varáves na análse paramétrca. 9 7 p=; f=,; s=m; L=m; α= ; w=7,n/m P [kn] 6 P [kn] [ ] (a) α= o [ ] α= o P [kn] P [kn] [ ] [ ] (c) α=6 o (d) α=75 o Fgura.7: Camnhos pós-crítcos de equlíbro para dferentes nclnações. - A Fgura.7 exbe o camnho pós-crítco de equlíbro (eq. (.6)), no caso em que há somente uma carga axal P, localzada no topo de uma coluna de m altura, sustentada por dos cabos, para quatro valores dferentes de α. Os pontos assnalados ndcam em cada caso onde uma das catenáras passa de completa a ncompleta, ou vce-versa. Verfca-se que em todos os casos a estrutura apresenta uma bfurcação smétrca estável. Entretanto a curvatura ncal do camnho pós-crítco é quase nula, tal como acontece na coluna de Euler. Nota-se que, após a rotação de alguns graus, há um crescmento consderável da rgdez efetva assocada ao camnho pós-crítco. Isto se explca

8 7 pelo crescmento acentuado da força no cabo que alonga. Como pode-se observar na Fgura., mas adante, a força no cabo, dada pela equação da catenára, cresce ncalmente a uma taxa pequena a medda que o cabo alonga, mas, a partr de um determnado valor de alongamento, depos que a catenára se torna ncompleta, a força de tração no cabo passa a crescer a uma taxa cada vez maor, tendendo a nfnto.... Establdade do camnho pós-crítco A Fgura.7 exbe camnhos pós-crítcos para determnadas nclnações que seguramente seram nstáves, caso fossem usadas molas lneares no lugar dos cabos. Acredtava-se que os cabos também apresentaram este comportamento para determnadas confgurações, porém em todas as análses aqu realzadas a curvatura ncal do camnho pós-crítco fo sempre postva. Entretanto, em alguns casos, a carga crítca pode chegar a zero ou se tornar negatva, o que não é certamente desejável. A Fgura. exbe para cada valor de f os valores lmtes do ângulo α para o qual a carga crítca se torna nula. Portanto valores entre as duas curvas, correspondem a confgurações que possuem carga crítca postva e camnho pós-crítco estável. As duas curvas correspondem exatamente aos pontos onde a torre perde o equlíbro em vrtude somente das forças exercdas pelos cabos sobre a mesma. α [ ] p=; L=m; w=7,n/m f Fgura.: Curvas lmte para o qual o sstema apresenta camnhos pós -crítcos estáves com carga crítca postva. Para a obtenção dos valores apresentados na Fgura., fo desprezado o peso própro da torre. Pela equação (.6), a consderação do peso própro

9 7 dmnu a regão de equlíbro estável, deslocando a curva superor para baxo e a nferor para cma. Os casos que não estão stuados entre as duas curvas da Fgura., apresentam cargas crítcas negatvas. O momento de tombamento, causado por algumas componentes das forças dos cabos é maor que o momento establzador.... Afrouxamento de cabos e establdade Na confguração ncal perfeta, =, os cabos de ambos os lados têm as mesmas característcas e exercem sobre a coluna as mesmas componentes de força horzontal e vertcal. Quando uma perturbação é mposta ao sstema, os cabos de um lado estcam e os do outro lado afrouxam, as componentes das forças se modfcam, gerando um desequlíbro nos momentos em torno da base. Verfca-se que este momento tende a trazer a estrutura para a confguração orgnal de equlíbro. Isto permte haver um ncremento para a carga externa, a fm de atender o equlíbro, o que explca a exstênca de uma bfurcação smétrca estável. A Fgura.9 exbe o camnho pós-crítco de um modelo com cabos, mpondo uma perturbação postva, para duas hpóteses: (a-c) consderando-se os dos cabos; e (d-f) o mesmo camnho, só que desprezando o cabo que sofre um afrouxamento durante o ncremento da perturbação, ou seja, apenas o cabo esquerdo é mantdo. Comparando-se as partes (a) com (d), com (e) e (c) com (f), pode-se verfcar que, na presença de um únco cabo, não há mas equlíbro na posção vertcal. Se a coluna tomba na dreção do cabo, não é possível haver equlíbro com cargas postvas (para baxo). Se a coluna tomba no sentdo oposto, podem exstr duas confgurações de equlíbro, uma nstável, assocada a um pequeno valor de, e outra estável, assocada a um ângulo maor, ver Fgura..9g. Este estudo permte prever o que ocorre quando há em um acdente ou colapso de um dos cabos. Dependendo das mperfeções ncas, ou a torre ca ou só alcança o equlíbro para uma confguração bem afastada da orgnal. Em uma estrutura com mas de dos cabos, o colapso de um deles sempre leva a uma mudança brusca na confguração de equlíbro, podendo nclusve causar o colapso de toda a estrutura. Também, qualquer assmetra no sstema de cabos tem o mesmo efeto de uma mperfeção ncal.

10 cabos s = m; p=,57kn; y=,m; f=,; w = 7,N/m; α=5 ; 9 cabos α=5 6 cabos α=5...6 [ ] 6 cabo α=5 (a) [ ] cabo α=5 6 cabo α=5...6 [ ] (c) [ ] (d) [ ] (e)...6 [ ] (f) Equlíbro Instável Equlíbro Estável Fgura.9 (a-f) Camnhos de equlíbro consderando dos ou somente um cabo. (g) análse qualtatva do equlíbro. (g)..5. Camnhos de equlíbro consderando mperfeções ncas Consderando o modelo mperfeto exbdo na Fgura., em que a barra está em uma confguração ncal com uma rotação, sujeta a uma carga lateral q, e a cargas axas P excêntrcas, o camnho de equlíbro é dado por nc / nc P = Γ + γ Tx ( )cos γ T (sen ecos) = = nc / + np P Γ (sen + e cos) py sen qlcos = x ( )cos nc = γ T y ( )sen (.7)

11 75 P P q e q e (a) Fgura.: Modelo mperfeto. Quando a torre está ncalmente em uma confguração não perturbada, como na Fgura.a, sgnfca que exste uma assmetra no sstema de cabos, por exemplo, comprmentos dferentes. A Fgura. apresenta o camnho póscrítco estando o modelo com mperfeções ncas para dos dferentes valores de α ( o e 7 o ). Neste caso os cabos possuem comprmentos lgeramente dferentes (s =,m e s =m). s =,m; p=; s = m; f=,; w = 7,N/m; α=7 ; s =,m; p=; s = m; f=,; w = 7,N/m; α= ; [ ] (a) Fgura.: modelo com cabos com comprmentos dferentes - - [ ] Pode-se observar que o comportamento é típco de um sstema mperfeto, apresentando um camnho não lnear de equlíbro onde as rotações crescem em uma taxa maor na vznhança da carga crítca e um camnho complementar de equlíbro. A nclusão da carga lateral q e da excentrcdade das cargas axas, provocarão o mesmo efeto do exbdo na Fgura., como já vsto no estudo do modelo de molas.

12 76.. Representação de cabos por molas não-lneares Em mutos trabalhos sobre o projeto de torres estaadas recomenda-se modelar os cabos como molas lneares []. Em alguns trabalhos de pesqusa (ver, por exemplo, referênca []), os cabos são modelados como molas nãolneares, facltando assm o estudo analítco do modelo não-lnear. O únco problema é encontrar as constantes de molas adequadas para representar cada cabo. Se para um determnado cabo, faz-se varar em pequenos ncrementos, de zero até 5, por exemplo, para cada valor de obtém-se um valor dferente para a força T do cabo que atua no ponto de fxação do cabo à barra. O conjunto de pontos obtdo corresponde a uma curva que pode ser representada por um polnômo com coefcentes ajustados, por exemplo, através do método dos mínmos quadrados. Para um dado ângulo de rotação pode-se obter o correspondente alongamento l da hpotenusa do trângulo cujos catetos são as projeções horzontal e vertcal do cabo (equações (.) e (.9)), sto é, o segmento de reta que passa pelos pontos de fxação do cabo ao solo e do cabo a coluna. Assm, se ao nvés de cabos, forem consderadas molas conectadas à barra, onde a força em cada mola rá varar segundo um polnômo determnado a partr da curva T versus equvalentes. l, os modelos de cabos e molas deverão ser pratcamente... Funções que representam a varação da força do cabo A força no cabo agndo sobre a torre é substtuída pelo polnômo T a + a + a + a = (.) A força T do cabo é conhecda para cada l, que por sua vez é determnado em função da perturbação, restando os coefcentes como ncógntas. O método dos mínmos quadrados [5], usado para determnar os coefcentes de (.), consste na resolução do sstema

13 77 n smétrca 5 6 a a a a = T T T T (.9) Os dados da curva T versus l são manpulados de forma a garantr um comportamento gual na tração e compressão para a equação (.), dessa forma o coefcente a acaba se anulando. Fazendo F = a, k = a e k = a, a força na mola é dada pela equação + k + k F = F (.) Fazendo a ntegral da equação (.), obtém-se a energa nterna de deformação para o modelo de molas U = F + k + k (.) Neste trabalho, na determnação das constantes de mola, varou-se a perturbação de zero até em pequenos ncrementos. Nos casos em que não fo possível resolver a catenára até a perturbação de, os dados que foram levados em conta na hora de calcular as constantes foram aqueles referentes ao ntervalo de perturbação de zero até a metade do valor de perturbação que desse orgem a uma confguração em que não era possível resolver a catenára. Isto resultou na determnação de constantes que representam melhor o cabo, quando comparadas com as determnadas a partr de um ntervalo ncado em zero e que va até a perturbação que causa uma confguração em que não é possível resolver a catenára. A Fgura. apresenta uma comparação entre a curva T versus l, obtda pela catenára e a mola não-lnear dada pela equação (.), para váras nclnações e dos níves de pré-tensonamento. Pode-se perceber que a aproxmação por molas apresenta bons resultados, porém, quando o cabo está numa confguração muto estcado a sua força tende para nfnto, enquanto que a da mola permanece bem nferor.

14 7 p= ; f =, ; s= m; L= m; α= ; w=7, N/m k =, 9 kn; k = 7,6 5kN/m ; k = ,9 5kN/m ³; catenára 5 p =; f=, ; s=m ; L = m; α= ; w=7, N/m k =,5 kn; k =7,5 9kN/m ; k = 6, kn/ m³; 5 catenára T [kn] T [kn] k+k +k³ 5 k+k +k³ L [ m ] (a) p= ; f =, ; s= m; L= m; α= ; w=7, N/m k =.7 95 kn; k =9.6 kn/m ; k = 55,5 9kN/m ³; catenára p =; f=, ; s=m ; L = m; α= ; w=7, N/m k =,9 kn; k =, 5kN/m ; k = 9,7 6 kn/ m³; L [ m ] catenára T [kn] T [kn] k +k +k ³ k+k +k³ L [ m ] (c) p = ; f =, ; s= m; L =m ; α= ; w=7, N/m k =, kn; k =,9 kn/ m; k = 9 5 6, kn/ m³; catenára (d) p =; f=, ; s=m ; L = m; α= ; w=7, N/m k =,77 kn; k =, kn/m ; k = 7,9 6kN/m ³; L [ m ] catenára T [kn]. k +k +k³ T [kn].. k +k +k³ L [ m ] L [ m ] (e) Fgura.: Comparação entre a força dada pela catenára e a equação (.) com as constantes determnadas pelo método dos mínmos quadrados.