a distribuição de um momento aplicado em um nó de um pórtico por parcelas de momentos fletores equilibrantes nas barras adjacentes (Seção 2);

Transcrição

1 PROCESSO E CROSS os pontos báscos que fundamentam o método: a dstrbução de um momento aplcado em um nó de um pórtco por parcelas de momentos fletores equlbrantes nas barras adjacentes (Seção ); a solução teratva do sstema de equações de equlíbro do método dos deslocamentos para uma estrutura que só tem rotações como deslocabldades (Seção ).. Interpretação físca do método da dstrbução de momentos (a) (b) (c) (d) Fgura Reprodução esquemátca do expermento para nterpretação físca do processo de Cross descrto no lvro de Whte, Gergely e Sexsmth (976). Pode-se salentar alguns aspectos mportantes desse expermento: em cada passo do processo teratvo, apenas um nó tem a rotação lbea, enquanto todos os outros têm as rotações fxadas; quando um nó é equlbo pela lberação de sua rotação, as barras adjacentes ao nó se deformam, mplcando uma redstrbução de momentos fletores nas barras e afetando o equlíbro dos nós adjacentes; após cada passo, a rotação do nó lbeo é fxada com o valor acumulado dos ncrementos de rotação de todos os passos anterores; o equlíbro de um nó que tem a sua rotação travada só é atngdo artfcalmente com a aplcação de um momento externo pela trava; quando os momentos fletores nas seções transversas adjacentes a um nó estão em equlíbro, não é necessáro travar o nó; nesse caso, a trava lbea não exerce momento externo algum no nó. Com base no expermento, pode-se adantar dos pontos-chave do processo de Cross. O prmero é a dstrbução de momentos fletores nas barras adjacentes de um nó que tem a sua rotação lbea. A próxma seção faz uma análse dessa redstrbução de momentos fletores. O outro ponto-chave é o própro processo teratvo e ncremental de determnação das rotações nodas. A Seção analsa a solução ncremental do sstema de equações de equlíbro de uma vga contínua. Após a análse desses dos pontos-chave, o processo de Cross é formalzado na Seção 4.

2 Processo de Cross Luz Fernando artha. strbução de momentos fletores em um nó Para se analsar a dstrbução do momento E por momentos fletores nas barras da estrutura da Fgura, emprega-se o método dos deslocamentos. Como as barras são nextensíves, a estrutura só tem uma deslocabldade: a rotação do nó central. O sstema hpergeométrco (SH) e os casos báscos da solução pelo método estão mostos na Fgura. l EI = const. l E l Fgura Aplcação de um momento externo em um nó com rotação lbea. l 4 Caso () omento externo solado no SH Caso () eslocabldade solada no SH E = β = E = EI/l K = 4EI/l K = 4EI/l K = 4 K = K 4 = EI/l 4 K = 4EI/l x EI/l EI/l Fgura Casos báscos da solução pelo método dos deslocamentos da estrutura da Fgura. Na solução mosta na Fgura, utlza-se a segunte notação: K coefcente de rgdez à rotação da barra. Os valores para rgdez à rotação de barras com EI constante são: K 4EI l barra sem artculação; = K EI l barra com artculação na extremdade oposta à extremdade que sofreo gro. = A equação de equlíbro resultante da solução pelo método dos deslocamentos para essa estrutura é: β + K. = Os valores do termo de carga β e do coefcente de rgdez global K estão ndcados na Fgura. A solução dessa equação resulta no valor da deslocabldade rotação : E =. K A determnação dos momentos fletores fnas nas barras é feta por superposção dos efetos dos casos () e (): = +, sendo que é nulo. Com base nos valores obtdos anterormente, têm-se os valores dos momentos fletores fnas mostos na Fgura 4 nas seções transversas extremas das barras. Esses valores estão defndos em função do parâmetro γ de cada barra, sendo: γ coefcente de dstrbução de momento da barra. O coefcente de dstrbução de momento de uma barra com relação a um nó é a razão entre o coefcente de rgdez à rotação da barra e o somatóro dos coefcentes de rgdez à rotação de todas as barras que convergem no nó: K γ =. () K

3 Luz Fernando artha Processo de Cross O somatóro de todos os coefcentes de dstrbução de momento de todas as barras adjacentes a um nó, com respeto a esse nó, é untáro: γ =. () E γ / E γ / E γ E γ E γ 4 E γ E γ / Fgura 4 omentos fletores fnas nas extremdades das barras da estrutura da Fgura. Na Fgura 4, observa-se também que a dstrbução do momento externo aplcado no nó acarreta momentos fletores nas outras extremdades das barras. O valor do momento fletor na outra extremdade é gual à metade do valor na extremdade adjacente ao nó equlbo, para o caso de barra sem artculação, ou gual a zero, para o caso de barra artculada. efne-se, então, o coefcente de transmssão de momento da barra : t = / coefcente de transmssão de momento para barra com EI constante e sem artculação. t = coefcente de transmssão de momento para barra com extremdade oposta artculada. Para o caso da barra sem artculação, o valor / corresponde à relação entre os coefcentes de rgdez EI/l e 4EI/l devdos a uma rotação untára mposta. Conclu-se que o momento externo E aplcado no nó é dstrbuído nas barras por momentos fletores nas seções transversas adjacentes ao nó, chamados de parcelas equlbrantes, que são proporconas aos coefcentes de dstrbução de momento no nó: = γ. () E Nas seções transversas das barras opostas ao nó, aparecem momentos fletores, chamados de parcelas transmtdas, que são guas ao produto das parcelas equlbrantes pelo coefcente de transmssão de momento de cada barra. No caso de barras que têm seção transversal varável, os coefcentes de rgdez à rotação não correspondem aos valores 4EI/l ou EI/l, assm como o coefcente de transmssão de momento da barra sem artculação não é gual a /. Nesse caso, os parâmetros fundamentas para os coefcentes de rgdez à flexão de uma barra solada devem ser utlzados: KA tab KB tba coefcente de rgdez à rotação na extremdade ncal da barra; coefcente de transmssão de momento da extremdade ncal para a extremdade fnal; coefcente de rgdez à rotação na extremdade fnal da barra; coefcente de transmssão de momento da extremdade fnal para a extremdade ncal.. Solução teratva do sstema de equações de equlíbro Conforme apresentado na Seção, o método da dstrbução de momentos é um processo teratvo de sucessvos passos de travamento de um nó e lberação de outro nó. Esta seção procura dar uma nterpretação matemátca para o processo, mostrando que consttu uma solução teratva do sstema de equações de equlíbro do método dos deslocamentos. Isso é demonsto com o auxílo de um exemplo: uma vga contínua com três vãos, mosta na Fgura 5, e que tem uma nérca à flexão EI =.4x 4 knm. O prmero apoo smples do º gênero está sendo nterpretado como uma artculação na extremdade da barra, sendo que a rotação do nó do prmero apoo não está sendo consdea como ncógnta (Seções 4. e 4.). Portanto, a vga só tem duas deslocabldades, que são as rotações e das seções transversas dos dos apoos nternos.

4 4 Processo de Cross Luz Fernando artha Fgura 5 Vga contínua com duas deslocabldades. A solução da vga da Fgura 5 pelo método dos deslocamentos resulta no segunte sstema de equações de equlíbro: ( ) + ( ) + ( EI /8 + 4EI /6) + ( EI /6) ( EI /6) + ( 4EI /6 + 4EI /6) = = Substtundo o valor fornecdo para EI e passando os termos de carga para o lado dreto do snal de gual, tem-se: = 5 (4) = + (5) A solução dreta do sstema formado pelas Equações 4 e 5 resulta nos seguntes valores para as rotações e : =.5 ; = Uma alternatva para a solução do sstema de equações de equlíbro acma é uma solução teratva do tpo Gauss-Sedel. Essa solução é o segundo ponto-chave para o método de dstrbução de momentos (o prmero é a dstrbução de momentos em um nó mosta na Seção ). A solução teratva é ncada admtndo um valor nulo para e encontrando um valor para com base na Equação 4: () = 5 =.. O segundo passo da solução teratva consste em utlzar esse valor enconto para na Equação 5 para determnar um valor para : + 8 (. ) + 8 = + = No tercero passo, a Equação 4 é utlzada novamente com o últmo valor obtdo para para determnar um novo valor para, resultando em: ( ) = 5 =.46. A Tabela ndca os resultados da solução teratva após quatro cclos completos de passagem pelo par de Equações 4 e 5. Os valores exatos da solução dreta também estão mostos na tabela. Pode-se verfcar que os valores obtdos pela solução teratva são bem próxmos dos valores exatos. Na verdade, a solução exata sempre pode ser atngda, para um determnado grau de precsão desejado, bastando executar um número sufcente de cclos. Tabela Solução teratva das Equações 4 e 5. [] [] Valores ncas Prmero cclo.x +.475x Segundo cclo.46x +.555x Tercero cclo.4968x +.567x Quarto cclo.4997x +.564x Valores exatos.5x +.565x O processo de solução teratva do sstema de equações de equlíbro mosto é uma nterpretação matemátca do expermento mosto na Seção. Esse processo será lusto em seguda, com base na Fgura 6. Pode-se magnar que a stuação ncal, desgnada estágo, corresponde a uma confguração de engastamento dos nós nterores da vga contínua da Fgura 5, sto é, com rotações fxadas com valores nulos. No

5 Luz Fernando artha Processo de Cross 5 estágo, ocorre uma lberação da rotação, enquanto a rotação é mantda nula. Esse estágo corresponde ao resultado do prmero passo da solução teratva, resultando no prmero valor enconto para. No estágo, a rotação é fxada com o valor obtdo no estágo anteror, e a rotação é lbea exatamente como no segundo passo da solução teratva. O estágo corresponde a um congelamento da rotação com o valor obtdo no estágo anteror e uma lberação da rotação. No estágo 4, a rotação é fxada, e a rotação é lbea. Esse processo contnua até atngr a convergênca das rotações dos nós, que ocorre quando os ncrementos de rotação dos nós são desprezíves. Estágo Estágo Estágo Estágo Estágo 4 = = =. = =. = =.46 = =.46 = Fgura 6 Interpretação físca da solução teratva do sstema de equações de equlíbro da vga da Fgura 5 (confgurações deformadas com fator de amplfcação gual a 5). eve-se observar que, em cada estágo da solução teratva mosta na Fgura 6, os momentos fletores nas barras da vga poderam ser determnados com base nos valores correntes das rotações e. Isso ocorre porque uma confguração deformada cnematcamente determnada defne os esforços nternos e externos em um modelo estrutural. essa forma, pode-se acompanhar a evolução da dstrbução dos momentos fletores nas barras e o desequlíbro de momentos fletores nos nós ao longo do processo. A analoga da solução teratva ndcada na Fgura 6 com o expermento mosto na Seção é evdente. Em cada estágo do processo teratvo, apenas um nó tem a rotação lbea. O nó lbeo gra até atngr um estado de equlíbro. O ncremento de rotação está assocado ao valor do desequlíbro de momentos fletores no nó. Com o gro do nó, as barras adjacentes se deformam, ocorrendo uma redstrbução de momentos fletores nessas barras e afetando o equlíbro do nó adjacente. No estágo segunte, a rotação do nó lbeo é fxada com o valor acumulado de rotação de todos os estágos anterores. O equlíbro de momentos fletores no nó fxado é alteo pela lberação da rotação do nó adjacente. O nó que tem a sua rotação fxada artfcalmente só fca equlbo com a aplcação de um momento externo. O processo teratvo contnua até que a estrutura atnja uma stuação de equlíbro global, na qual não é necessáro aplcar momentos externos nos nós nterores. 4. Formalzação do processo de Cross O método da dstrbução de momentos pode ser vsto como a junção de duas deas apresentadas nas Seções e. A solução do método segue a mesma lnha do processo teratvo mosto na seção anteror. A dferença é que as rotações não são calculadas em cada estágo do processo. Em vez dsso, é feto um acompanhamento detalhado da evolução dos valores dos momentos fletores nas extremdades de todas as barras. Os valores dos momentos fletores nas barras são determnados em cada estágo com base na dstrbução de parcelas equlbrantes, estudada na Seção. Incalmente, o processo de Cross é mosto para uma estrutura que tem apenas um nó a equlbrar. Em seguda, na Seção 4., o processo é formalzado com auxílo da vga contínua estudada na Seção.

6 6 Processo de Cross Luz Fernando artha 4.. Processo de Cross para um pórtco com uma deslocabldade O processo de Cross é formulado nesta seção para um pórtco que só tem uma rotação nodal lvre. O objetvo é mostrar que, utlzando o prncípo básco de dstrbução de momento externo aplcado a um nó, dado pela Equação, pode-se determnar dretamente os valores das parcelas equlbrantes de momentos fletores nas barras, sem ser necessáro calcular a rotação do nó. Consdere o pórtco mosto na Fgura 7, que tem barras nextensíves e rgdez à flexão EI constante para todas as barras. As barras estão numeas conforme mostra a fgura, sendo que a barra tem uma artculação na base. Fgura 7 Pórtco com uma deslocabldade nterna (Süsseknd 977-). Os coefcentes de rgdez à rotação das três barras do exemplo com relação ao nó central (nó que tem a deslocabldade nterna) são: K = EI 5, K = 4EI 4 e K = 4EI 6. Utlzando a Equação, pode-se determnar os coefcentes de dstrbução de momento das três barras no nó central: K K K γ = =.6, γ = =. 44 e γ = =.. K + K + K K + K + K K + K + K A Fgura 8 mostra o estágo ncal do processo de Cross para o pórtco estudado. A fgura também ndca os valores dos coefcentes de dstrbução de momento das três barras com relação ao nó central. Nesse estágo, o nó tem a rotação fxada com valor nulo, sto é, o nó está completamente engastado. Nessa stuação, as barras descarregadas não apresentam momentos fletores, e a barra carregada tem momentos fletores de engastamento perfeto. Observa-se que os momentos fletores nas seções transversas adjacentes ao nó central não estão equlbos. +.. [knm] Fgura 8 Estágo ncal do processo de Cross para o pórtco da Fgura 7. No segundo estágo do processo, o nó central tem a rotação lbea (Fgura 9). e acordo com o que fo vsto na Seção, o momento total desequlbrante no nó (com valor de +. knm) é equlbo por parcelas equlbrantes de momentos fletores nas três barras adjacentes ao nó.

7 Luz Fernando artha Processo de Cross 7 [knm] t = t = / 4.5 Parcelas Equlbrantes: t = / (+.).6 = 7.8 (+.).44 =. 6.6 (+.). = 9. Fgura 9 Estágo fnal do processo de Cross para o pórtco da Fgura 7. As parcelas equlbrantes (ndcadas na Fgura 9) são proporconas aos valores dos coefcentes de dstrbução de momento e têm sentdo contráro ao momento desequlbrante. O sentdo contráro é ndcado pelo snal contráro das parcelas equlbrantes em relação ao momento desequlbrante, o que é consstente com a convenção de snas adotada no processo de Cross, a mesma do método dos deslocamentos. Também conforme vsto na Seção, o equlíbro do nó central acarreta um transporte de momentos fletores para os outros nós das barras. As parcelas transmtdas de momentos fletores são determnadas pelos coefcentes de transmssão de momento (t) ndcados na Fgura 9. As parcelas equlbrantes e transmtdas de momentos fletores nas barras, que são obtdas no segundo estágo do processo, se acumulam aos momentos fletores do estágo ncal de engastamento perfeto. Esse acúmulo é consstente com o acúmulo de rotações nodas, que é uma característca do processo teratvo mosto na Seção. Os valores fnas acumulados de momentos fletores nas extremdades das barras do pórtco estudado são mostos na Fgura. O dagrama de momentos fletores, desenhado com ordenadas do lado da fbra traconada, também está ndcado na fgura [knm] Fgura agrama fnal de momentos fletores para o pórtco da Fgura 7. Pela análse do pórtco desta seção, observa-se que a aplcação do processo de Cross para uma estrutura com apenas uma deslocabldade é muto smples. Os momentos fletores nas barras são determnados sem que seja necessáro calcular rotações. Essa smplcdade é mantda para o caso de mas de uma deslocabldade, conforme será vsto em seguda. 4.. Processo de Cross para uma vga com duas deslocabldades No exemplo da seção anteror, após o estágo ncal, é necessáro apenas um passo para equlbrar o nó e termnar o processo teratvo. Isso ocorre porque só exste um nó a equlbrar. Quando a estrutura tem mas de uma deslocabldade, sto é, quando tem mas de um nó a equlbrar, aplca-se a mesma metodologa de equlíbro nodal baseado nos coefcentes de dstrbução de momento. Nesse caso, entretanto, as parcelas transmtdas de momentos fletores no equlíbro de um nó acarretam o desequlíbro de nós adjacentes já equlbos. Portanto, para atngr a convergênca fnal do processo, é necessáro repetr cclos de equlíbro nodal até que as parcelas transmtdas sejam desprezíves. Esse é justamente o processo teratvo que fo mosto na Seção. A únca dferença é que, no processo de Cross formalzado nesta seção, as rotações dos nós equlbos não são calculadas. Em vez dsso, os valores dos momentos fletores nas barras são determnados em cada estágo.

8 8 Processo de Cross Luz Fernando artha Para exemplfcar a metodologa de cálculo do processo de Cross para estruturas com mas de uma deslocabldade, será feta a análse da mesma vga contínua estudada na Seção (Fgura 5). A Fgura ndca todos os estágos dessa solução. Apenas os dos nós nterores são equlbos (a prmera barra é consdea artculada na extremdade esquerda). Adota-se uma precsão de. knm para momentos fletores, sto é, uma casa decmal para representar os valores dos momentos fletores. A B C Estágo Estágo Estágo Estágo Estágo Estágo Estágo Fnal Fgura Processo de Cross para a vga contínua da Fgura 5 (momentos em knm). Os coefcentes de dstrbução de momento estão ndcados em cada nó na Fgura. Os cálculos desses coefcentes para o prmero nó são: EI/8 4EI/6 γ BA = =.6 e γ BC = =. 64. EI/8 + 4EI/6 EI/8 + 4EI/6 Para o segundo nó, tem-se: 4EI /6 γ CB = γ C = =.5. 4EI/6 + 4EI/6 O processo mosto na Fgura nca no estágo, que corresponde a uma stuação de engastamento perfeto. Os valores dos momentos fletores ncas nas barras são determnados com base na Fgura 9.7. Observa-se que exste um desequlíbro no prmero nó de = +5. knm. O segundo nó tem um desequlíbro de =. knm. No estágo, o prmero nó é equlbo. No caso geral de uma estrutura com váras deslocabldades, não exste uma ordem preferencal para o equlíbro dos nós: qualquer nó desequlbo pode ser o próxmo a ser equlbo. Entretanto, o processo converge mas rapdamente se, em cada estágo, o nó que tver o maor desequlíbro em módulo naquele nstante for o nó a ser equlbo (Süsseknd 977-). O equlíbro do prmero nó resulta nas seguntes parcelas equlbrantes: (+5.).6 = 8. knm; (+5.).64 =. knm. Conforme mostra a Fgura, após o equlíbro do nó, as parcelas equlbrantes são sublnhadas para ndcar que os momentos fletores acma naquele nó estão em equlíbro (somados resultam em um valor nulo). O equlíbro desse nó não transmte momento fletor para a esquerda, pos a extremdade oposta da barra à esquerda é artculada. A parcela transmtda para a dreta é gual à metade da parcela equlbrante (t = /):. / = 6. knm. Essa parcela transmtda va se somar ao momento fletor na seção transversal à esquerda do segundo nó. Como este anda não fo equlbo, o seu desequlíbro total é: = 46. knm. No estágo, o equlíbro do segundo nó resulta em parcelas equlbrantes guas (estas aparecem sublnhadas na Fgura ): ( 46.).5 = +. knm. As parcelas transmtdas nesse equlíbro também são guas: +. / = +.5 knm.

9 Luz Fernando artha Processo de Cross 9 A parcela transmtda para a dreta va para a seção transversal do engaste. A únca consequênca é que essa parcela se soma ao momento fletor ncal na seção do engaste (que absorve qualquer valor de momento fletor). A parcela transmtda para a esquerda, por sua vez, desequlbra o prmero nó já equlbo. Não há problema: basta começar um novo cclo de equlíbro nodal, terando até convergr. O desequlíbro de +.5 knm no prmero nó é resolvdo no estágo. As parcelas equlbrantes são: (+.5).6 = 4. knm; (+.5).64 = 7.4 knm. Esses valores são aproxmados de manera que, utlzando uma casa decmal, resultam em uma soma exatamente gual a.5 knm, forçando, dessa forma, o equlíbro de momentos fletores conforme a precsão desejada. Observa-se que um procedmento semelhante é feto no estágo 4, que equlbra a parcela transmtda de.7 knm. Os valores das parcelas equlbrantes de +.9 knm e +.8 knm foram obtdos de manera a somar exatamente +.7 knm, mesmo que, em prncípo, eles devessem ser guas (os dos coefcentes de dstrbução de momento no nó são guas a.5). Com esse procedmento, os momentos fletores fnas do processo satsfazem o equlíbro com o número de casas decmas especfcado para a precsão. No estágo 4, as parcelas transmtdas para a esquerda e para a dreta são guas (+.9 knm). Como se está utlzando apenas uma casa decmal para representar os valores de momentos, o arredondamento da metade de +.9 knm podera ser para cma ou para baxo. Optou-se por arredondar para baxo porque sso faz o processo teratvo convergr mas rapdamente. Observe que as dferenças de valores são muto pequenas (da ordem da precsão especfcada). No últmo estágo, o estágo 6, ocorre o mesmo que no estágo 4: as parcelas equlbrantes de +. knm e +. knm não são guas, mas equlbram o momento desequlbrante de. knm com uma casa decmal. Nesse estágo, a parcela transmtda para a esquerda (metade de +. knm) fo arredondada para um valor nulo a fm de que o prmero nó permaneça em equlíbro e o processo termne. eve-se observar que as parcelas transmtdas sempre decrescem em módulo, o que garante a convergênca do processo teratvo. Isso se deve a dos motvos: prmero, as parcelas equlbrantes decrescem em módulo em relação ao momento desequlbrante em cada nó, pos os coefcentes de dstrbução de momento são no máxmo guas a uma undade (em geral, menores que uma undade); e, segundo, porque os coefcentes de transmssão de momento também são menores que uma undade. Os valores dos momentos fletores fnas nas extremdades de todas as barras, mostos no fnal da tabela da Fgura, são determnados com base no acúmulo (soma com snal) dos momentos fletores de todos os estágos do processo. A Fgura mostra o dagrama de momentos fletores na vga contínua, desenhado do lado da fbra traconada. [knm] Fgura agrama de momentos fletores da vga contínua da Fgura Aplcação do processo de Cross a quadros planos A metodologa do processo de Cross apresentada na seção anteror pode ser aplcada dretamente para pórtcos planos ndeslocáves (sem translações nodas). Isso é exemplfcado nesta seção com a solução do quadro plano mosto na Fgura. O objetvo dessa solução é obter o dagrama de momentos fletores do quadro pelo processo de Cross utlzando uma precsão de KNm, sto é, sem nenhuma casa decmal. Todas as barras do pórtco são nextensíves e têm a mesma nérca à flexão EI para todas as seções transversas.

10 Processo de Cross Luz Fernando artha E A B F C G Fgura Exemplo de pórtco plano para solução pelo processo de Cross. O pórtco da Fgura só tem deslocabldades nternas (rotações nodas). As deslocabldades do nó E não são consdeas, pos o nó corresponde a uma extremdade lvre de balanço. A rotação do nó F não está sendo consdea como deslocabldade, pos a barra superor da dreta é nterpretada com uma artculação no nó F (Seções 4. e 4.). essa forma, o quadro tem quatro deslocabldades nternas, que são as rotações dos nós A, B, C e. A solução teratva do processo de Cross do quadro da Fgura está mosta na Fgura 4, que ndca os coefcentes de dstrbução de momento de cada barra para cada nó a ser equlbo. No nó A, somente as barras AB e AC são consdeas para a determnação dos coefcentes, pos a barra AE é um balanço (sem rgdez à rotação em relação ao nó A). Os cálculos dos coefcentes para esse nó são: 4EI/ γ AB = = e γ AC = =. 4EI/ + 4EI /+ Para o nó B, os cálculos dos coefcentes são: 4EI/ EI/ γ BA = =.7, γ BF = =. e 4EI/+ EI/ + 4EI/+ EI/ + γ B = =.5. 4EI/+ EI /+ No nó C, tem-se: 4EI/ γ CA = γ CG = =.4 e γ C = =.. + 4EI /+ + 4EI/+ Fnalmente, os coefcentes de dstrbução de momento para o nó são: 4EI/ γ B = = e γ C = =. 4EI/+ 4EI/ / / / Fgura 4 Processo de Cross para o quadro plano da Fgura (momentos em knm)..5 /

11 Luz Fernando artha Processo de Cross O processo de Cross mosto na Fgura 4 é ncado com o cálculo dos momentos de engastamento perfeto das barras carregadas. Observa-se que os momentos fletores ncas da barra C são arredondados para a precsão desejada. O momento de engastamento no nó A da barra EA é calculado conforme ndca o detalhe no canto superor esquerdo da Fgura 4 (cálculo sostátco de reações de engastamento de uma barra em balanço com uma carga unformemente dstrbuída). O momento fletor dessa barra em A é negatvo, pos atua na extremdade da barra no sentdo horáro. Em cada passo do processo, procura-se equlbrar o nó que tem o maor momento desequlbrante em módulo. No estágo ncal, os nós C e têm o valor máxmo em módulo de momento desequlbrante e se optou por equlbrar o nó (momento desequlbrante gual a 67 knm) no prmero passo. Consderando os coefcentes de dstrbução de momento nesse nó, tem-se como parcelas equlbrantes + knm, na barra B, e +56 knm, na barra C. As parcelas transmtdas são +55 knm (arredondada para baxo), para o nó B, e +8 knm, para o nó C. No passo segunte, o nó C é o que tem o maor momento desequlbrante em módulo ( = +95 knm). O equlíbro desse nó acarreta a transmssão de momentos para os nós A e (este passa a fcar desequlbo novamente). O próxmo nó a ser equlbo é o nó B, em seguda o nó A, e assm sucessvamente até que os momentos transmtdos sejam menores do que knm (a precsão desejada). A Fgura 4 mostra os momentos fletores fnas nas extremdades de todas as barras. Os valores fnas são calculados superpondo os valores dos momentos de todos os estágos do processo. O dagrama de momentos fletores fnas desse exemplo é ndcado na Fgura [knm] 8 Fgura 5 agrama de momentos fletores do quadro plano da Fgura. 6. Aplcação do processo de Cross a quadros com apoo elástco rotaconal Esta seção descreve, através de um exemplo, os procedmentos necessáros para consderar apoos elástcos em uma análse de um pórtco plano pelo processo de Cross. Um apoo elástco rotaconal entra na dstrbução de parcelas equlbrantes de momentos quando um nó é equlbo em um estágo do processo. O coefcente de dstrbução de momento do apoo elástco, que defne a sua parcela equlbrante, é calculado com base no seu coefcente de rgdez rotaconal. Isso é explcado para o pórtco mosto na Fgura 6, que tem dos apoos elástcos rotaconas. E A EI = 4 knm F EI = knm B EI = 4 knm C Fgura 6 Exemplo de pórtco plano com apoos elástcos rotaconas.

12 Processo de Cross Luz Fernando artha A Fgura 6 ndca os valores dos parâmetros de rgdez à flexão EI das barras do pórtco e os valores dos coefcentes de rgdez rotaconal dos dos apoos elástcos. Observe que as barras horzontas são mas rígdas do que as vertcas. Nesse exemplo, os nós estão dentfcados por letras. Os nós equlbos no processo de Cross são os nternos, A e B, e os dos apoos elástcos, C e. A determnação dos coefcentes de dstrbução de momentos desses nós é ndcada a segur. Esse cálculo consdera, para cada nó, o coefcente de rgdez à rotação de uma barra (4EI/l ou EI/l, sendo l o comprmento da barra) e o coefcente de rgdez rotaconal ( knm/ ou 8 kn/) de um apoo elástco. Os coefcentes de dstrbução de momentos do nó A são: 4 /5 4 γ AB = = ; 4 /5 + 4/ 7 4/ γ AF = =. 4 /5 + 4/ 7 Para o nó B, tem-se os seguntes coefcentes de dstrbução de momentos: 4 /5 γ BA = γ B = = ; 4 / /+ 4 /5 4 4/ γ BC = =. 4 / /+ 4 /5 Abaxo estão os coefcentes de dstrbução de momentos do nó C: 4 4/ γ CB = =.4 ; 4 4/+ γ C mola = = /+ Fnalmente, os coefcentes de dstrbução de momentos do nó são: 4 /5 γ B = =.5 ; 4 / γ mola = =.5. 4 /5 + 8 A solução do processo de Cross para o pórtco com apoos elástcos segue o procedmento-padrão descrto nas seções anterores. Essa solução é mosta na Fgura 7, e a Fgura 8 lustra o dagrama de momentos fletores resultante.

13 Luz Fernando artha Processo de Cross / / 4/7 / / Fgura 7 Processo de Cross para o quadro plano da Fgura 6 (momentos em knm). [knm] Fgura 8 agrama de momentos fletores do quadro plano da Fgura 6.