13. Oscilações Eletromagnéticas (baseado no Halliday, 4 a edição)

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1 13. Osclações Eletromagnétcas (baseado no Hallday, 4 a edção) Nova Físca Velha Matemátca Aqu vamos estudar: 1) como a carga elétrca q vara com o tempo num crcuto consttuído por um ndutor (), um capactor () e um resstor (R). ) como a energa é transferda do campo elétrco do capactor para o campo magnétco do ndutor e, vce-versa, sendo dsspada gradualmente no resstor osclador amortecdo. O que já fo vsto: 1) em um sstema mecânco osclante, consttuído por um bloco de massa m, uma mola de constante elástca k com a massa mersa em um fludo vscoso (tal como óleo) o deslocamento x vara no tempo. ) neste sstema a energa oscla entre a cnétca da massa osclante e a energa potencal da mola, sendo dsspada gradualmente (fludo vscoso) em energa térmca osclador amortecdo. Então exste um paralelo entre os dos sstemas dealzados: a) as equações dferencas são dêntcas, e b) vamos smplesmente trocar os símbolos das varáves prestando atenção à stuação físca. [rstóvão R M Rncosk] p. 001

2 Osclações : Estudo Qualtatvo Elementos de crcuto: resstênca R, capactânca e a ndutânca destes elementos estudamos até agora o crcuto R e R. R e R a carga e a corrente elétrca crescem e decrescem exponencalmente no tempo constantes de tempo capactvas ( = R) e ndutvas ( = /R). Nos falta portanto estudar e R. a carga e a corrente elétrca não varam exponencalmente (com uma constante de tempo ), mas senodalmente (com uma frequênca angular ). A carga e a corrente elétrca, no crcuto, osclam o crcuto oscla. rcuto A) Incalmente o capactor está totalmente carregado com carga elétrca q, e a corrente elétrca no ndutor, é zero (a corrente no crcuto é zero) E U B U E [rstóvão R M Rncosk] p. 00

3 a) A energa armazenada no campo elétrco do capactor: q U E B) O capactor começa a se descarregar no ndutor ( = dq/dt). ou u E 1 0 E b) A energa armazenada no campo magnétco do ndutor é zero pos a corrente é zero: 1 1 U B ou u B B 0 B E U B U E a) A energa armazenada no campo elétrco do capactor dmnu (q dmnu). b) Esta energa é transferda para o campo magnétco do ndutor ( está crescendo). o campo elétrco dmnu, o campo magnétco aumenta e a energa é transferda do campo elétrco para o campo magnétco. [rstóvão R M Rncosk] p. 003

4 ) Agora, o capactor está totalmente descarregado. a) Então, q = 0, E = 0 N/, e a energa assocada ao campo elétrco U E = 0 J. b) A energa fo totalmente transferda ao campo magnétco do ndutor e a corrente elétrca é máxma ( = dq/dt). B U B U E D) A corrente ntensa do ndutor, contnua a transportar carga para o capactor. a) A carga postva começa a acumular na parte nferor do capactor (portanto a negatva fca na parte superor) aumentando o campo elétrco e a energa no capactor. b) A energa agora flu do ndutor para o capactor. [rstóvão R M Rncosk] p. 004

5 B E U B U E E) O capactor fca totalmente carregado, e a corrente elétrca do ndutor cessa ( = 0 A). Quase voltamos à condção ncal, pos agora, o capactor está carregado nversamente, e ele começa a descarregar novamente no ndutor (no sentdo contráro ao anteror) E U B U E F) O capactor começa a se descarregar novamente no ndutor. a) Agora a corrente está no sentdo contráro do caso B. b) O campo magnétco cresce no ndutor, mas no sentdo contráro do caso B. [rstóvão R M Rncosk] p. 005

6 B E U B U E G) O capactor descarregará totalmente (q = 0, E = 0 N/, U E = 0 J), e a corrente elétrca (mas com sentdo contráro) e a energa do campo magnétco no ndutor será máxma. B U B U E H) O ndutor volta a carregar o capactor com a mesma polardade do caso A, rencando o processo, novamente. Assocado a esta repetção (cclo), podemos defnr uma freqüênca f ( = f). Uma vez ncada as osclações, numa stuação deal, estas se manteram ndefndamente contínua troca de energa entre o campo elétrco e o magnétco. [rstóvão R M Rncosk] p. 006

7 Este problema (crcuto deal) é smlar ao que acontece com o sstema massamola (sem amortecmento). Podemos determnar a carga e a corrente elétrcas em função do tempo a) arga elétrca: usando um voltímetro medmos a d.d.p. v (varável no tempo) entre as placas do capactor, então 1 q e v é proporconal a q assm, podemos calcular q. v b) orrente elétrca: nserndo uma pequena resstênca R, em sére no crcuto, podemos medr a d.d.p v R (varável no tempo) nesta resstênca v R R e v R é proporconal a assm, podemos calcular. Aqu supomos R muto pequena para que seu efeto sobre o comportamento do crcuto seja desprezível. [rstóvão R M Rncosk] p. 007

8 v R (= R ) v (= q/) 13. Osclações Eletromagnétcas apítulo 13 A E G A E G A E G Ao lado as varações de q e (ou mas precsamente de v e v R ) no tempo. A,, E e G dferentes estágos de osclação conforme o exposto anterormente. Num crcuto real, as osclações não contnuam ndefndamente, pos exste uma resstênca presente que retra gradualmente a energa dos campos elétrco e magnétcos dsspando sob a forma de energa térmca. ompare esta fgura, decamento das osclações, com as osclações mecâncas amortecdas, de um sstema bloco-mola (massa-mola) causado pelo atrto. [rstóvão R M Rncosk] p. 008

9 Analoga com o Movmento Harmônco Smples Aqu vamos estudar a analoga entre o sstema e o sstema bloco-mola. Analoga sob o ponto de vsta matemátco (tabela abaxo): Sstema Mecânco Sstema Eletrônco () Elemento Energa Elemento Energa Mola U = k x / Bloco K = m v / v = dx / dt apactor U E = q / Indutor U B = / = dq / dt Mola estendda ou comprmda energa potencal elástca. Bloco em movmento energa cnétca. Sob o ponto de vsta matemátco: O capactor é o análogo a uma mola e, um ndutor a uma massa, bem como as algumas grandezas eletromagnétcas correspondem a certas grandezas mecâncas q corresponde a x, corresponde a v, corresponde a 1 / k, corresponde a m. [rstóvão R M Rncosk] p. 009

10 A frequênca angular natural de osclação de um sstema bloco-mola k m corresponde a 1 Este resultado está correto como veremos a segur. Osclações : Estudo Quanttatvo Aqu vamos deduzr a equação para a frequênca angular das osclações. E estretar a analoga entre as osclações e as osclações bloco-mola. O Osclador Bloco-Mola Equação dferencal que governa a transferênca de energa do osclador bloco-mola. (onde vamos fazer uma mudança de letras das varáves para smplfcar a comparação) 1 1 U Ub U k m v k x U U b U k energa mecânca total (antes era usado E, mas para comparação...) energa cnétca do bloco em movmento energa potencal da mola estcada ou comprmda [rstóvão R M Rncosk] p. 010

11 Para sstemas sem atrto (sstemas conservatvos) U permanece constante, logo du d 1 1 dv dx dx dv d x m v k x m v k x 0 onde v e. dt dt dt dt dt dt dt Equação dferencal fundamental que governa as osclações bloco-mola m om deslocamento x(t) dada por d x k x 0 dt x( t) X cos( t ) (osclações bloco-mola) X ampltude das osclações mecâncas frequênca angular das osclações constante de fase O Osclador U U B U E Vamos analsar crcuto sem resstênca, da mesma forma que acma. 1 q U U B U E energa em qualquer nstante no crcuto energa potencal armazenada no campo magnétco do ndutor energa potencal armazenada no campo elétrco do capactor [rstóvão R M Rncosk] p. 011

12 omo não temos resstênca no crcuto (sstema conservatvo) U permanece constante, logo du dt d 1 dt q d q dt dq 0 dt dq d d q onde e. dt dt dt Equação dferencal fundamental que descreve um crcuto d q 1 dt q 0 (osclações ) omo as equações são matematcamente dêntcas, sua solução também deve ser q( t) Q cos( t ) Q ampltude das varações da carga frequênca angular das osclações eletromagnétcas constante de fase Para testar a resposta, podemos fazer dq Q sen( t ) e dt 1 Q cos( t ) Q cos( t ) 0 e d q Q cos( t ) dt 1 então [rstóvão R M Rncosk] p. 01

13 Energa 13. Osclações Eletromagnétcas apítulo 13 Obs.: 1) notar que obtvemos o mesmo valor de que o obtdo por comparação. ) a constante de fase é determnada pelas condções ncas para t = 0s. Ex.: se = 0 para t = 0 s, temos q = Q e = 0 A. (stuação A) Energa elétrca armazenada no crcuto U E q Q cos ( t ) Energa magnétca armazenada no crcuto U B Q sen ( t ) como U B Q sen ( t ) Q / U (= U B +U E ) 0 T/ T U B (t) U E (t) Tempo Note: 1) a soma das energas permanece constante e T é o período da osclação. ) para o caso de = 0 a) U E e U B têm como valor máxmo Q /. b) U E + U B = constante. c) Quando U E é máxmo, U B é zero, e vce-versa. [rstóvão R M Rncosk] p. 013

14 Osclações Amortecdas num rcuto R Quando uma resstênca R está presente em, um crcuto, a energa eletromagnétca total não é mas constante transformada em energa térmca no resstor. 1 q A energa total é dada por U U B U E omo U não é mas constante, sto é, ela dmnu com o tempo, numa taxa Dervando a energa total omo dq d d q e dt dt dt du R dt du d q dq R dt dt dt d dt q R dq dt 1 q 0 (equação do crcuto R) Equação dferencal que descreve as osclações amortecdas, no domíno do tempo. Fazendo R = 0, temos a equação dferencal do crcuto não amortecdo. [rstóvão R M Rncosk] p. 014

15 A solução geral da equação dferencal, do crcuto R amortecdo Na qual q Q e R t / cos( ' t ) ' ( R / ) e 1 A equação q = q(t), acma, é dêntca à equação para o deslocamento em função do tempo num movmento harmônco smples (MHS) amortecdo x( t) x m e b t / m cos( t ) a k b k Na qual a e para b 0 m 4 m m Onde a a frequênca do osclador harmônco amortecdo b constante de amortecmento ampltude máxma x m Q e -Rt/ q(t) 1 0 ) A frequênca angular é sempre menor que (ver Q e -Rt/ equações acma). 0 ) onsderaremos apenas os casos onde R é muto pequeno a ponto de podermos fazer =, sem cometer erro aprecável. [rstóvão R M Rncosk] p. 015

16 Osclações Forçadas e Ressonânca Dscutmos osclações lvres de um crcuto. osclações amortecdas de um crcuto R. para amortecmento pequeno ambos os tpos de osclações têm frequênca angular dada por: 0 1 (chamaremos de frequênca angular natural do sstema osclante) A mudança 0, porque agora o crcuto está submetdo a uma fem: m sent m ampltude da fem frequênca angular propulsora 1) Osclações forçadas: osclações resultantes de carga, corrente e potencal neste crcuto. ) orrentes transentes: assm que essa fem é aplcada, surgem no crcuto as correntes transentes. Estamos nteressados na corrente senodal que se estabelece no crcuto depos que as correntes transentes cessam. [rstóvão R M Rncosk] p. 016

17 Qualquer que seja a frequênca natural 0, as osclações da carga, da corrente e da dferença de potencal no crcuto, ocorrem com a frequênca angular propulsora. F =F m sent V k = m sent G F V k m b força externa alternada (senodal) elemento vbrador externo constante elástca da mola massa constante de amortecmento m b R G R fem alternada (senodal) externa à R gerador de fem externo à R capactânca ndutânca resstênca As correspondêncas são pratcamente as mesmas de antes: F V G k m b R [rstóvão R M Rncosk] p. 017

18 As osclações forçadas em um crcuto R serão examnadas no próxmo capítulo (orrente Alternada). Agora vamos apenas analsar alguns resultados gráfcos. Assm como a fem podemos afrmar que a corrente também segue uma equação parecda I sen ( t ) I I ampltude da corrente medda da resposta do crcuto à fem aplcada frequênca angular propulsora ondção de ressonânca: I será máxmo quando a frequênca propulsora,, for gual à frequênca natural, 0 : 0 (ressonânca) e fxos 1,0 R = 10 R = 30 R = 100 / ) Gráfcos de I = I (/ 0 ). 0 ) ada gráfco corresponde a um valor de R dferente, mas para os mesmos valores de e. 3 0 ) ada curva apresenta um pco na condção de ressonânca. 4 0 ) A medda que R dmnu, o pco fca mas acentuado. [rstóvão R M Rncosk] p. 018

19 As curvas de ressonânca explcam como sntonzamos uma estação de rádo: Ao grarmos o botão de sntona, estamos ajustando a frequênca natural 0 do crcuto (nterno do rádo) à frequênca, do snal externo transmtdo pela emssora estamos buscando a ressonânca. Numa regão metropoltana, onde exstem mutas frequêncas próxmas a agudeza da sntonzação torna-se muto mportante (largura méda mas estreta). [rstóvão R M Rncosk] p. 019