Cap. 6 - Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica

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1 Unversdade Federal do Ro de Janero Insttuto de Físca Físca I IGM1 014/1 Cap. 6 - Energa Potencal e Conservação da Energa Mecânca Prof. Elvs Soares 1 Energa Potencal A energa potencal é o nome dado a forma de energa quando está armazenada, sto é, que pode a qualquer momento manfestar-se, por exemplo, sob a forma de movmento. Além dsso, a energa potencal está relaconada com a posção que o determnado corpo ocupa no espaço devdo a sua nteração com outros corpos. 1.1 Energa Potencal Gravtaconal Energa assocada a altura (posção) do corpo com relação à Terra (ou outro corpo gravtaconal). Exemplo: Corpo em Queda Lvre Consderemos um corpo em queda lvre, que ca de uma altura y 1 até uma altura y. W grav = 1 F grav d r = y y 1 ( mg)dy = mg(y y 1 ) de modo que o trabalho da força peso é dado por W grav = mg(y 1 y ) (1) Assm, podemos defnr uma energa assocada com a altura do objeto com relação ao solo como sendo: U grav := mgy () Desta forma, podemos escrever o trabalho da força peso, como vsto no exemplo, na forma W grav = U U f = (U f U ) = U grav 1 { U grav > 0 U grav < 0 subda descda (3)

2 1.1 Energa Potencal Gravtaconal 1 ENERGIA POTENCIAL no caso em que a únca força que atua no corpo é a força peso, então se a força resultante for apenas a força peso, temos então W R = W grav = K = U grav K f K = (U f U ) K + U = K f + U f Ou seja, algo se conserva, sendo essa soma de K + U grav o que denomnaremos de energa mecânca: Voltando... E := K + U grav (4) Durante o movmento de queda lvre, podemos notar que a nerga mecânca é mantda constante durante a descda do corpo desde a altura y 1 até y = 0. Tal resultado é mportantíssmo, uma vez que pode ser entenddo como uma mudança de energa, a energa potencal gravtaconal está sendo convertda em energa cnétca durante a queda!

3 1 ENERGIA POTENCIAL 1. Energa Potencal Elástca 1. Energa Potencal Elástca Energa armazenada num corpo deformável, dto elástco. Obedecendo a famosa le de Hooke. Exemplo: Mola Estcada Consderemos uma mola sendo estcada de uma posção x 1 até x. x ( ) x W el = F el d r = ( kx)dx = k x 1 1 x 1 de modo que o trabalho da força elástca é dado por W el = kx 1 kx (5) Assm, podemos defnr uma energa assocada com a deformação da mola com relação ao seu comprmento natural como sendo: U el := kx (6) Desta forma, podemos escrever o trabalho da força elástca, como vsto no exemplo, na forma W el = U U f = (U f U ) = U el { U el > 0 U el < 0 estcando comprmndo (7) no caso em que a únca força que atua no corpo é a força elástca, então se a força resultante for apenas a força elástca, temos então W R = W el = K = U el K f K = (U f U ) Ou seja, nesse caso a energa mecânca é: K + U = K f + U f E := K + U el (8) 3

4 1. Energa Potencal Elástca 1 ENERGIA POTENCIAL Voltando... Durante a compressão da mola, a energa mecânca fca constante durante todo o processo desde a posção x até x 1. Novamente esse resultado é mportantíssmo, uma vez que pode ser entenddo como uma mudança de forma da energa, a energa potencal elástca está sendo convertda em energa cnétca durante a queda! No caso mas geral, onde há mas forças além da força peso e da força elástca, podemos calcular o trabalho total como W Total = W grav + W el + W demas = K (9) usando que W grav = U grav e W el = U el, podemos escrever K + U grav, + U el, + W demas = K f + U grav,f + U el,f *Mostre! K + U + W demas = K f + U f onde U agora é a energa potencal total, ou seja: U := U grav + U el (10) de modo que a equação anteror pode ser escrta mas compactamente como sendo: W demas = K + U = (K + U) = E (11) Portanto, a varação da energa mecânca de um sstema é resultante do trabalho de forças que são dtas não-conservatvas. 4

5 FORÇAS CONSERVATIVAS Forças Conservatvas Dzemos que uma força F é conservatva quanto o trabalho realzado por ela é ndependente do camnho realzado. Neste caso, ele depende apenas dos extremos (posções ncal e fnal) e representa a dferença de energa potencal entre eles. Exemplo: Movmento sob a ação da gravdade Imagnemos um corpo em movmento sobre um determnado camnho, conforme a fgura. O trabalho da força peso é calculado por W grav = f F peso d r onde F peso = mgŷ e d r = dxˆx + dyŷ + dzẑ, de modo que F peso d r = ( mgŷ) (dxˆx+dyŷ+dzẑ) = mgdy Portanto, o trabalho da força peso pode ser calculado faclmente como W grav = mg yf y dy = mg(y f y ) = U grav Assm, o trabalho da força peso ndepende do camnho percorrdo, sendo ela uma força conservatva! Então, como exemplo de forças conservatvas temos a força peso, a força elástca e a força eletrostátca. Dessa forma, podemos defnr a energa potencal de uma força conservatva como P U(P ) := F d r onde U(P0 ) = 0 (1) P 0 de tal manera que o ponto P 0 é escolhdo como sendo o ponto no qual a energa potencal assocada a força F é nula. 5

6 3 FORÇAS NÃO-CONSERVATIVAS Vamos agora nvestgar o fato que para uma força conservatva o trabalho ndepende do camnho realzado. Para sso, vamos magnar um bloco de massa m sobre a superfíce de dos planos C 1 e C, conforme fgura. Então, consderando uma força conservatva (como a força peso), podemos dzer que P F d r = P F d r = U (13) P 1 (C 1 ) P 1 (C ) e lembrando que b = a, podemos dzer que a b P F d r + P1 F d r = 0 P 1 (C 1 ) P (C ) que equvale a percorrer o camnho fechado (C) = (C 1 ) (C ), de modo que podemos escrever essa ntegral numa forma mas compacta, usando o conceto de ntegral fechada, como F d r = 0 (14) C Assm, uma força conservatva deve respetar essa relação acma, ou seja, o trabalho de uma força conservatva num crcuto fechado é nulo! 3 Forças Não-Conservatvas O trabalho de uma força não-conservatva depende do camnho percorrdo. De modo que, para esse tpo de força, podemos dzer que o trabalho realzado num crcuto fechado é não-nulo, de fato F d r 0 (15) C Como exemplo de forças não-conservatvas temos a força de atrto e a força de restênca do ar. 6

7 5 FORÇA COMO GRADIENTE DA ENERGIA POTENCIAL 4 Conservação da Energa Mecânca Vamos consderar o caso de um sstema (ou corpo) sujeto à ação de dversas forças, então sabemos que podemos escrever W total = W (C) + W (NC) = K ou seja, separamos os trabalhos das forças conservatvas e das forças não-conservatvas. Essa separação é útl uma vez que podemos escrever W (C) = U e anda, escrevemos a energa potencal total assocada às forças conservatvas como U = U, e então *Mostre! que é faclmente ndentfcada como W (NC) = K + U = (K + U) W (NC) = E M onde E M = K + U (16) Logo, a varação da energa mecânca é gual ao trabalho das forças não-conservatvas. 5 Força como Gradente da Energa Potencal Vamos lembrar que a energa potencal é uma função da posção dada por x U(x) = F (x)dx x 0 (17) e usando o teorema fundamental do cálculo 1, podemos nverter a ntegral usando F (x) = du dx (18) que no caso trdmensonal passa a ser uma gradente F = U = U U ˆx x y ŷ U z ẑ (19) 1 O teorema fundamental do cálculo dz que F (x) = f(x )dx quando f(x) = df/dx. 7

8 6 DISCUSSÃO QUALITATIVA DO MOVIMENTO SOB À AÇÃO DE FORÇAS CONSERVATIVAS Exemplo: Força Elástca No caso da força elástca temos como energa potencal elástca U(x) = kx /, então F (x) = d(kx /) dx = kx Exemplo: Força Peso No caso da força peso temos como energa potencal gravtaconal U(y) = mgy, então F = (mgy) = (mgy) x ˆx (mgy) y ŷ (mgy) ẑ = mgŷ z 6 Dscussão Qualtatva do Movmento sob à Ação de Forças Conservatvas Vamos analsar a relação entre a energa potencal e a força, à ela assocada, grafcamente. Fgura 1: Um exemplo de gráfco da energa potencal e da força, que é dada pela dervada desse potencal F x = du/dx. 8

9 6 DISCUSSÃO QUALITATIVA DO MOVIMENTO SOB À AÇÃO DE FORÇAS CONSERVATIVAS 6.1 Sentdo da Força 6.1 Sentdo da Força Para determnar o sentdo da força F = F xˆx, podemos utlzar a relação entre essa componente F x e o potencal U, dada por F x = du dx (0) Como exemplo, na posção x 3 o sentdo da força F é negatvo, enquanto que na posção x 5 o sentdo é postvo. 6. Posções de Equlíbro As posções de equlíbro são aquelas nas quas a força assocado ao potencal é nula, ou seja, devemos ter F (x eq ) = du dx = 0 (1) xeq Podemos classfcar as posções de equlíbro quanto ao tpo de equlíbro presente estável: na posção x o equlíbro é estável, uma vez que, a força na vznhança desse ponto é restauradora, sempre fazendo com que a partícula volte a posção orgnal x (assocada a um mínmo de energa potencal). nstável: na posção x 4 o equlíbro é nstável, uma vez que, a força na vznhança desse ponto faz sempre com que a partícula se afaste da posção orgnal x 4 (assocada a um máxmo de energa potencal). ndferente: na posção x 6 o equlíbro é dto ndferente, uma vez que, a força na vznhança desse ponto é nula (assocada a um platô de energa potencal). 6.3 Trabalho realzado Para determnarmos o trabalho realzado por essa força assocdada a essa energa potencal, podemos utlzar a relação W = U () Como exemplo, no delocamento da partícula de x 1 para x o trabalho realzado W 1 pela força é postvo, enquanto que no delocamento da partícula de x 3 para x 4 o trabalho realzado W 3 4 pela força é negatvo. 9

10 6 DISCUSSÃO QUALITATIVA DO MOVIMENTO SOB À AÇÃO DE FORÇAS 6.4 Movmentos possíves CONSERVATIVAS 6.4 Movmentos possíves Para uma partícula com uma dada energa mecânca E M, e com energa potencal dada por U(x), a energa cnétca pode ser obtda por mv = E M U(x) 0 (3) A últma condção vem do fato que a energa cnétca é sempre postva, de modo que, para que a partícula se mova numa regão sujeta a esse potencal, devemos ter sempre Vamos voltar ao nosso gráfco exemplo: E M U(x) (4) quando a partícula tem energa mecânca E M,1, ela só pode se mover entre as posções x 1 e x 3, pos para x > x 3 a energa cnetca desta partícula sera negatva, e chamamos essa regão de regão probda classcamente. quando a partícula tem energa mecânca E M,, ela só pode se mover para as posções x x 3.5 e também para x x 5, de modo que a regão probda classcamente é x 3.5 < x < x 5. quando a partícula tem energa mecânca E M,3, ela só pode se mover em todas as posções desde x 1 até x 6, de modo que não há regão probda classcamente para essa energa. 10