3 Método Numérico. 3.1 Discretização da Equação Diferencial

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1 3 Método Numérco O presente capítulo apresenta a dscretação da equação dferencal para o campo de pressão e a ntegração numérca da expressão obtda anterormente para a Vscosdade Newtonana Equvalente possbltando a avalação do campo de velocdade no espaço anular com excentrcdade varável para um fludo com comportamento reológco não Newtonano. Além dsso o processo teratvo que acopla a solução da equação dferencal e o método da vscosdade Newtonana equvalente também será descrto com detalhes permtndo a compreensão completa do modelo proposto. 3. Dscretação da Equação Dferencal A equação dferencal modfcada pelo método da Vscosdade Newtonana Equvalente que descreve o campo de pressão de um fludo com comportamento não Newtonano fo resolvda numercamente utlando o método das dferenças fntas dferença central [7]. Fo utlada uma malha bdmensonal retangular com NZ nós na dreção axal do escoamento e N nós na dreção amutal para dscretar o domíno da equação defndo no capítulo anteror de acordo com a fgura 3.. É mportante observar que a confguração trdmensonal do espaço anular responsável pela exstênca do escoamento amutal é descrta pela folga radal δ que vara ao longo de todo o domíno.

2 53 Fgura 3. - Domíno da Equação do Campo de ressão A dscretação permte obter equações algébrcas para cada nó do domíno resultando em um sstema de equações relaconando a pressão do nó em questão com os nós adacentes onde o índce representa a dreção axal e o índce representa a dreção amutal. Cada termo da equação dferencal modfcada para o campo de pressão representada pela eq. -5 é dscretado conforme é mostrado a segur: p 3- p g g g ρ ρ ρ 3-4

3 54 ρg 3 ρg 3 ρg onde e são os tamanhos dos elementos na dreção axal e amutal respectvamente. Apenas a pressão para um dado nó do domíno é desconhecda para uma dada equação algébrca. O erro numérco da dscretação realada acma depende do tamanho dos elementos utlados na dreção axal e amutal [7] onde o tamanho de cada elemento é uma função do número de nós na respectva dreção de acordo com a eq. 3-6 e a eq. 3-7: L NZ 3-6 π N 3-7 A fm de avalar o erro numérco da solução e o número de nós que deve ser utlado na dscretação fo realado um estudo durante a fase de valdação do modelo proposto. Isso permtu verfcar que para os casos com excentrcdade constante ao longo do comprmento do poço a solução é pratcamente ndependente da dscretação utlada na dreção axal uma ve que o escoamento é completamente desenvolvdo nessa dreção. orém o aumento do número de nós na dreção amutal provoca uma melhora na qualdade dos resultados sendo que a solução parece convergr para N 6 e com sso o aumento do número de nós provocara apenas aumento no custo computaconal. Já para os casos estudados com excentrcdade varável ao longo do comprmento do poço a dscretação na dreção axal é extremamente mportante e dependente da magntude da dervada da função excentrcdade em relação à coordenada axal. Quanto maor a varação da excentrcdade entre duas seções do espaço anular maor o número de nós necessáros para se obter uma boa solução. Dversos casos foram estudados e fo verfcado que para um poço com L 50m é necessáro utlar NZ 0 para o caso totalmente excêntrco ampltude da função excentrcdade vale R o R para esse caso sendo que a dmnução da

4 55 ampltude da função excentrcdade permte utlar um menor número de nós na dreção axal. A dscretação necessára nesse caso na dreção amutal é semelhante ao caso com excentrcdade constante ao longo do comprmento do poço que á fo descrto anterormente. A utlação das dscretações ctadas acma obtém uma solução para o problema com precsão compatível com outros modelos mas complexos dsponíves na lteratura sendo que a utlação de elementos menores tende a gerar pratcamente o mesmo resultado com custo computaconal superor. No presente trabalho todos os resultados utlaram a dscretação ctada acma para a equação dferencal NZ 0 e N 6. O sstema lnear de equações obtdo a partr da dscretação da equação dferencal modfcada pelo método da Vscosdade Newtonana Equvalente descrta acma pode ser representado na forma matrcal pela eq. 3-8 e deve então ser resolvdo para que a pressão em cada nó do domíno possa ser encontrada determnando o campo de pressão do escoamento no espaço anular. a a L an b a a a L N b M M M M M a N an a NN N b L N { { A X B 3-8 Na equação acma N representa o número total de nós utlados no domíno e é dada pelo produto do número de nós na dreção axal NZ e o número de nós na dreção amutal N a matr X com a pressão em cada nó é a ncógnta do problema e os coefcentes das matres A e B são conhecdos e determnados a partr das eq. 3- eq. 3- eq. 3-3 eq. 3-4 e eq A varação do índce K de até N nas matres acma representa a numeração global dos nós do domíno sendo relaconada com o índce na dreção axal e o índce na dreção amutal através da eq. 3-9: K * NZ 3-9

5 56 O método utlado para obter a solução do sstema lnear de equações fo a decomposção LU da matr A sendo o problema redudo a solução de dos sstemas trangulares [8] de acordo com o apresentado abaxo na eq. 3-0: AX B LUX { B Y 3-0 onde LY B é um sstema trangular nferor que pode ser faclmente resolvdo sendo o sstema trangular superor UX Y resolvdo posterormente. Após a resolução dos dos sstemas trangulares a pressão em cada nó do domíno é conhecda sendo possível avalar o campo de velocdade do escoamento no espaço anular com excentrcdade varável. 3. Integração Numérca O método da Vscosdade Newtonana Equvalente permtu obter uma expressão que descreve o caráter não Newtonano do fludo durante o escoamento no anular porém a vscosdade Newtonana equvalente obtda de acordo com a eq. -45 não pode ser avalada analtcamente devdo à ntegral que se encontra no denomnador. ara que a vscosdade Newtonana Equvalente possa ser calculada é necessáro avalar a ntegral representada pela eq. 3- numercamente através da regra do trapéo [9]. τo 3- τo I f τ dτ onde o resultado obtdo com a ntegral acma representa a área abaxo da curva descrta por f τ de acordo com a fgura 3. que é representada pela eq. -46.

6 57 Fgura 3. - Representação eométrca da Integral A faxa de ntegração é dvdda em NI ntervalos com tamanho τ como é mostrado na eq. 3-: τ τ o 3- NI A ntegral é calculada através de um somatóro dos valores do ntegrando em cada ponto do ntervalo de ntegração sendo que a regra do trapéo reala uma nterpolação lnear em cada ntervalo de acordo com a eq. 3-3: NI I [ f τ τ f τ τ ] o o τ 3-3 onde a função f τ é avalada apenas nos pontos de ntegração. A precsão da aproxmação descrta acma é uma função do número de ntervalos utlados na faxa de ntegração sendo necessára uma nvestgação do número de ntervalos para obter baxo custo computaconal e pequeno erro numérco. Um estudo fo realado durante a fase de valdação do modelo e fo possível verfcar que se a faxa de ntegração for dvdda em mas de 50 ntervalos o erro não tende a dmnur porém o custo computaconal contnuará a aumentar por sso todos os resultados foram obtdos consderando NI 50.

7 rocesso Iteratvo ara calcular o campo de pressão no anular através da dscretação da equação dferencal é necessáro conhecer a vscosdade em cada nó do domíno porém a vscosdade é uma função do gradente de pressão na dreção axal e não é constante ao longo do domíno ou sea o problema estudado é não lnear para um fludo com comportamento não Newtonano. É necessára a utlação de um processo teratvo que acople a solução da equação dferencal com o método da Vscosdade Newtonana Equvalente até a convergênca para uma únca solução para o campo de pressão. Cada passo do processo teratvo será descrto com detalhes a segur. O prmero passo do processo teratvo é calcular o campo de pressão no espaço anular para um fludo Newtonano sendo o gradente de pressão na dreção axal obtdo utlado para calcular a Vscosdade Newtonana Equvalente através do método proposto. A partr da nova vscosdade obtda é possível calcular um novo campo de pressão para o escoamento sendo que este á consdera o comportamento não Newtonano do fludo. O novo campo de pressão encontrado pode ser comparado com a solução obtda anterormente sendo a convergênca do processo analsada através do resíduo que é defndo de acordo com a eq. 3-4: Resduo X X Antes 3-4 onde X representa a atual solução do campo de pressão e X Antes representa a solução obtda na teração anteror. Se o resíduo encontrado for maor que o máxmo erro admssível para a solução do campo de pressão dado de entrada do problema o método da Vscosdade Newtonana Equvalente é utlado novamente e posterormente um novo campo de pressão é calculado sendo esse processo repetdo até que o resíduo encontrado sea menor que o erro admssível convergênca do método é alcançada. O processo teratvo descrto acma é representado pela fgura 3.3.

8 59 Chute ncal o Cálculo do Campo de ressão rocesso Iteratvo Cálculo da Vscosdade Newtonana Equvalente Cálculo do Campo de ressão Se Resduo > erro Resduo Antes Avalação do erfl de Velocdades Fgura rocesso Iteratvo do Modelo roposto Ao fnal do processo teratvo a solução do sstema de equações algébrcas convergrá para o campo de pressão do escoamento de um fludo não newtonano no espaço anular com excentrcdade varável permtndo a avalação do campo de velocdade do escoamento. Também será possível analsar o comportamento reológco do fludo ao longo do espaço anular a partr das vscosdades obtdas com o método da vscosdade Newtonana Equvalente.