Aerodinâmica I. Asas Finitas Teoria da Linha Sustentadora Método de Glauert

Transcrição

1 α ( y) l Método de Glauert Γ( y) r ( y) V c( y) β b 4 V b ( y) + r dy dγ y y dy Método de resolução da equação ntegro-dferencal da lnha sustentadora através da sua transformação num sstema de equações algébrco - Asas smétrcas, sem dedro e sem flecha

2 Método de Glauert Substtução de varável ndependente y cos( θ ) b bsen dy ( θ ) θ d α ( θ ) l Γ( θ ) r ( θ ) V c( θ ) β ( θ ) + r 4 V 0 b ( cos( θ ) cos( θ )) dγ dθ dθ

3 Método de Glauert A crculação tem de ser nula nas extremdades θ 0 e θ e smétrca Γ( θ ) Γ( θ ) Nestas condções, o desenvolvmento em sére de Γ θ é dado por ( ) Γ ( θ ) Γ sen( nθ ) n n,3,... Os termos com cosseno são elmnados pelas condções na extremdade e os valores de n par pela condção de smetra

4 Método de Glauert O prmero termo da sére corresponde a uma dstrbução de crculação elíptca Γ ( θ ) Γ sen( θ ) Γ cos ( θ ) ou seja Γ y b Γ Γ y + b

5 ω 4 Aerodnâmca I Método de Glauert Determnação da velocdade descendente 0 b( cos( θ ) cos( θ )) n,3,... ω Para uma sére com termo b sen ( θ ) n,3,... nγ n nγ n sen cos ( nθ ) ( nθ ) d θ ω Γ b

6 Método de Glauert Equação da lnha sustentadora α α eff + α α ( θ ) l Γ n n,3,... sen r ( nθ ) ( θ ) V c( θ ) β ( θ ) + n,3,... nγ r bv n sen sen ( nθ ) ( θ ) Γ sen ( nθ ) r ( θ ) V c( θ ) n n,3,... l bv + ( nθ ) ( θ ) nsen r sen α ( θ ) + β ( θ )

7 + n Aerodnâmca I Método de Glauert Escolhendo um número fnto (N) de termos da sére chegamos a um sstema de equações algébrco, que satsfaz ( N ) ( nθ ) n ( nθ ) sen sen Γ n α θ ( ) ( ) ( ) + β θ r + r l θ V c θ bv θ,3,... sen em N pontos do ntervalo 0 < θ com θ, com,,..., N N ( ) ( )

8 Método de Glauert Exemplo para N3 Γ ( θ ) Γ sen( θ ) + Γ sen( 3θ ) + Γ sen( 5θ ) A A A θ 3 A A A 3, 6 A A A θ Γ Γ Γ 3, θ α α α 3 5 ( θ) + β ( θ) ( θ ) + β ( θ ) ( ) ( ) θ3 + β θ3

9 Método de Glauert A j Exemplo para N3 sen Γ l (( + ( j ) ) θ ) ( + ( j ) ) sen( ( + ( j ) ) θ ) r + r ( θ ) V c( θ ) bv sen( θ ) sen( 5 6) 5sen( 5 6) A3 r + r ( 6) V c( 6) bv sen( 6) ( θ ) Γ sen( θ ) + Γ sen( 3θ ) + Γ sen( 5θ ) θ, 6 l θ 3, 3 θ 3 5

10 Método de Glauert onhecdos os coefcentes da sére, Γ n, pode-se calcular a força de sustentação,, e a força de resstênca nduzda, D r ρ V 0 sen 0 Γ n n,3,... ( mθ ) sen( nθ ) sen dθ b ( nθ ) sen( θ ) 0 m m dθ n n

11 Método de Glauert onhecdos os coefcentes da sére, Γ n, pode-se calcular a força de sustentação,, e a força de resstênca nduzda, D r ρbv Γ 4 A força de sustentação depende apenas do prmero termo da sére. Obvamente, sto não quer dzer que basta utlzar termo da sére para calcular o valor exacto de

12 Método de Glauert onhecdos os coefcentes da sére, Γ n, pode-se calcular a força de sustentação,, e a força de resstênca nduzda, D D 4 ( nθ ) Γ sen( nθ ) ρ nγ n sen 0 n,3,... n,3,... n dθ D ρ nγn 8 n,3,...

13 Método de Glauert onhecdos os coefcentes da sére, Γ n, pode-se calcular a força de sustentação,, e a força de resstênca nduzda, D D δ ργ 8 ( + δ ) Γ n n n 3,5,... Γ

14 Método de Glauert onhecdos os coefcentes da sére, Γ n, pode-se calcular a força de sustentação,, e a força de resstênca nduzda, D Γ 4 r ρbv D r ρ V b ( + δ )

15 Método de Glauert oefcente de sustentação e coefcente de resstênca nduzda ( ) δ ρ ρ + Γ D S V D bv S V r r r

16 Método de Glauert D D r ρ V S ( + δ ) O coefcente de resstênca nduzda é proporconal ao quadrado do coefcente de sustentação e tende para zero quando o alongamento,, tende para nfnto, ou seja b

17 Asa de resstênca nduzda mínma O coefcente de resstênca nduzda é dado por D D ρ V r ( + δ ) com S δ Γ n n n 3,5,... Γ Por defnção δ 0, logo a resstênca nduzda mínma corresponde a δ 0, ou seja Γ n 0 para n >

18 Asa de resstênca nduzda mínma Sére com termo corresponde a uma dstrbução de crculação elíptca y Γ( θ ) Γ sen( θ ) Γ cos ( θ ) Γ b A velocdade nduzda, ω, é constante ao longo da envergadura e gual a ω Γ b

19 Asa de resstênca nduzda mínma As forças e coefcentes de sustentação e de resstênca nduzda são dados por Γ Γ ρ ρ,, 4 D b V D bv bv r r r

20 Asa de resstênca nduzda mínma O ângulo de ataque nduzdo é constante ao longo da envergadura α Γ bv r Se admtrmos que a asa não tem torção o ângulo de ataque geométrco é constante ao longo da envergadura, pelo que α α é ndependente de y eff α

21 Asa de resstênca nduzda mínma O coefcente de sustentação da asa,, pode ser calculado de b b b l dy Para uma asa com dstrbução de crculação elptca ( e α ct ) sem torção ( e e com o α ct ) mesmo perfl ao longo da envergadura, temos b l dy l b b

22 Aerodnâmca I Asa de resstênca nduzda mínma Quando l, podemos escrever como ou seja α α α eff + α l l β + + ( α + β )

23 Asa de resstênca nduzda mínma A razão entre os declves da varação do coefcente de sustentação com o ângulo de ataque da asa fnta e da sua secção (perfl) é dada por l l + Se admtrmos l temos l +

24 Aerodnâmca I Asa de resstênca nduzda mínma l l

25 Aerodnâmca I Asa de resstênca nduzda mínma Uma dstrbução de crculação elíptca pode ser obtda para uma asa sem torção com secção constante ao longo da curvatura α sen( θ ) r β + V c( θ ) ( θ ) c sen( θ ) Γ Γ r l bv c r em que a corda no plano de smetra (root chord), c r, está relaconada com a sustentação pretendda e as característcas geométrcas da asa (espessura e curvatura do perfl)

26 Asa de resstênca nduzda mínma

27 Asa de resstênca nduzda mínma

28 Asa de resstênca nduzda mínma

29 Aerodnâmca I Asa de resstênca nduzda mínma Uma asa elíptca em planta tem uma construção mas dfícl do que uma asa rectangular em planta Uma asa com aflamento pode aproxmar uma dstrbução de crculação elíptca com uma construção mas smples Aflamento (taper rato) é a razão entre a corda na extremdade da asa (tp chord, c t ) e no plano de smetra (root chord, c r )

30 Asa de resstênca nduzda mínma AR e δ Γ n n n 3,5,... Γ

31 Asa de resstênca nduzda mínma

32 Aerodnâmca I Introdução dos efetos da vscosdade O coefcente de sustentação da asa fnta depende do alongamento e do coefcente de sustentação das secções da asa (perfs) l ( y) ( y) α ( y) + β ( y) l b b b ( ) eff ( y) Se l e β forem determnados em fludo real os efetos da vscosdade estão ncludos na determnação do coefcente de sustentação da asa l dy

33 Aerodnâmca I Introdução dos efetos da vscosdade O coefcente de resstênca das secções da asa (perfs) em fludo real não é nulo, pelo que D com d + D d d perfl atrto pressão perfl b b ( ) b ( y) d atrto perfl ( ) b d d ( y) pressão ( ) + + ( + δ ) perfl b b d τw δ * dy dy

34 Aerodnâmca I Introdução dos efetos da vscosdade Na realdade, temos apenas resstênca de atrto e de pressão D em que pressão + D D atrto D pressão ( ) b ( y) b b ( ) b + ( + δ ) ( y) dy + ( + δ ) d pressão D atrto perfl d atrto perfl b b d d δ * τw dy

35 Fórmulas de Transformação de Prandtl As fórmulas de transformação de Prandtl permtem transformar curvas D ( ) e (α) obtdas (expermentalmente ou numercamente) para um alongamento, para curvas referentes a asas de alongamento dferente, mas com o mesmo perfl - Admte-se que os efetos da extremdade são exclusvamente função do alongamento,, e que a resstênca e ângulo de ataque nduzdos correspondem aos valores obtdos para uma dstrbução de crculação elíptca

36 Aerodnâmca I Fórmulas de Transformação de Prandtl Hpóteses assumdas: - O coefcente de resstênca nduzda é gual a - O ângulo de ataque nduzdo é gual a - O coefcente de resstênca é obtdo pela soma dos coefcentes de resstênca de perfl e nduzdo - Assume-se que, β e são ndependentes de l d perfl -O coefcente de sustentação das secções da asa é ndependente de y e gual a

37 Fórmulas de Transformação de Prandtl + + d D d D perfl perfl D D D d D d D perfl perfl D em função de : Para duas asas de alongamento dferente com o mesmo

38 Fórmulas de Transformação de Prandtl D em função de :

39 Fórmulas de Transformação de Prandtl + + β α α α α l eff α α α β α β α l l α em função de : Para duas asas de alongamento dferente com o mesmo

40 Fórmulas de Transformação de Prandtl α em função de :