Dinâmica Estocástica. Instituto de Física, outubro de Tânia Tomé - Din Estoc

Transcrição

1 Dnâmca Estocástca Insttuto de Físca, outubro de

2 Dnâmcas estocástcas para o modelos defndos em redes Sstema defndo em um retculado em um espaço de d dmensões Exemplo: rede quadrada d=2 em que cada síto pode estar em 2 estados 1 1 Rede tem N sítos =1, 2,..., N Cada síto pode estar em um número de 2 de estados varável estocástca assocada ao síto -> assume 2 valores Valor assumdo por fornece o estado do síto 1 Estado do sstema,,...,,..., 1 2 N 2

3 Dnâmcas estocástcas em redes com mudança de um únco síto Transção ' com mudança de um únco síto e 1,...,,..., 1 N ', 2,...,,..., 1 N O síto mudou do estado para o estado Todos os outros sítos permaneceram no mesmo estado 3

4 Equação mestra para dnâmcas em rede com mudança de um únco síto Equação Mestra Obtda na aula passada d dt P, t N 1 P P = taxa de transção por síto Caso: 1 1,...,,..., N 1,...,,..., N 4

5 Regme estaconáro dp / dt 0 N 1 P P 0 P dstrbução de probabldades estaconára 5

6 Balanceamento detalhado Condção de balanceamento detalhado BD P P 0 para qualquer par, Se BD é obedecda P é a probabldade de equlíbro assocada ao estado 6

7 Balanceamento detalhado Condção de balanceamento detalhado BD P P para qualquer par, P 1,...,,..., N é a probabldade de equlíbro assocada ao estado 1,...,,..., N 7

8 Dnâmcas com mudança de um únco síto e algortmo de Metropols Duas das dnâmcas famosas que levam o modelo para o estado estaconáro que é de equlíbro são: Dnâmca de Metropols para o modelo de Isng Dnâmca de Glauber para o modelo de Isng 8

9 Dnâmca de Metropols 9

10 Método de Monte Carlo Algortmo de Metropols Algortmo de Metropols O algortmo de Metropols fo apresentado em 1953 em artgo de Ncholas Metropols, Aranna Rosenbluth, Marshal Rosenbluth, Augusta Teller e Edard Teller [1]. [1] N. Metropols, A. Rosenbluth, M. Rosenbluth, A. Teller, E. Teller, Equaton of State Calculatons by Fast Computng Machnes, Journal of Chemcal Physcs 21,

11 Algortmo de Metropols Taxa de transção por síto - Dnâmca de Metropols,...,,...,,...,,..., 1 N 1 N mn 1, exp E E E E se E 0 exp E se E 0 Taxa de transção por síto 11

12 Dnâmca de Metropols & Balanceamento detalhado Dnâmca de Metropols estado estaconáro possu balanceamento detalhado -> demonstração a segur Seja E E E E exp[ E E Nesse caso, na transção nversa a energa dmnu E E 12

13 13 Dnâmca de Metropols & Balanceamento detalhado ] exp[ E E Se E E exp[ E E A razão entre as taxas de transção é: exp 1 E E

14 14 Dnâmca de Metropols & Balanceamento detalhado A razão entre as taxas de transção é: exp 1 E E exp exp 1 E E exp exp E E

15 Dnâmca de Metropols & Balanceamento detalhado Mas, exp E P Z dstrbução de probabldades de Gbbs assocada ao estado exp E P Z Z é a função de partção dstrbução de probabldades de Gbbs assocada ao estado Portanto, P P exp E exp E 15

16 16 Dnâmca de Metropols estado estaconáro possu balanceamento detalhado demonstração fnalzada. Dnâmca de Metropols & Balanceamento detalhado exp exp E E exp exp E E P P P P

17 Modelo de Isng & Dnâmca de Metropols 17

18 Modelo de Isng E J j j H Energa de um estado 1, 2,...,,..., N 1 varável assocada ao síto da rede =1, 2, 3,..., N J H j... constante relaconada à nteração entre dpolos magnétcos constante proporconal ao campo soma sobre os pares de átomos vznhos na rede 18

19 Modelo de Isng a campo nulo Energa assocada ao estado campo nulo E J j j 19

20 Dnâmca de Metropols para o modelo de Isng a campo nulo E Taxa de transção por síto J j j - Dnâmca de Metropols 1,...,,..., N 1,...,,..., N mn 1, exp E E E E const. 1/ k B T 20

21 Dnâmca de Metropols para o modelo de Isng E E E E J j j Modelo de Isng / energa do estado campo nulo Portanto, na transção a varação de energa é Obtda na últma aula E E E 2J... soma sobre os prmeros vznhos do síto 21

22 Dnâmca de Metropols para o modelo de Isng E 2J... soma sobre os prmeros vznhos do síto mn 1, exp 2 J 1/ k B T Taxa de transção por síto / Metropols / Isng 22

23 Smulação do modelo de Isng 23

24 Smulação do modelo de Isng taxa de transção -Dnâmca de Metropols 2J mn 1, exp kbt Transformar processo markovano a tempo contínuo em processo markovano a tempo dscreto dscretzar em ntervalos de tempo t e p tal que 0 p 1 24

25 p Smulação do modelo de Isng Probabldade de transção p -Dnâmca de Metropols p mn 1,exp E E 2J... soma sobre os prmeros vznhos do síto 25

26 Smulação do modelo de Isng Probabldade de transção -Dnâmca de Metropols p mn 1,exp E E 2J p 1 se E 0 sto é, E E p exp[ 2J ] se E 0 sto é, E E 26

27 Dnâmca de Metropols para o modelo de Isng Smulação de Monte Carlo para o modelo de Isng com a dnâmca de Metropols Vamos supor que o sstema esteja no estado Gera-se um número aleatóro e escolhe-se um síto para ser atualzado Calcula-se E 2 J Se: 0 p exp E Gera-se um número aleatóro no ntervalo [0,1] p síto fo escolhdo ao acaso Se então o estado em que a varável está nvertda é o novo estado do sstema p E E E Se então a varável não é nvertda e o sstema e o estado do sstema é 1,...,,..., N 1,...,,..., N E então o estado em que a varável é nvertda será o novo estado do sstema Se: E 0 calcula-se E 2 J 27

28 Dnâmca de Glauber para o modelo de Isng Modelo de Glauber-Isng 28

29 Dnâmca de Glauber para o modelo de Isng Modelo de Glauber-Isng E J j Dnâmca de Glauber Modelo de Glauber-Isng j 1 2 tanh J... 1/ k B T const. soma sobre os prmeros vznhos do síto R. J. Glauber, J. Math. Phys. 4,

30 30 Estado estaconáro: possu balanceamento detalhado para essa dnâmca em que é a probabldade estaconára assocada ao modelo de Isng: P P Dnâmca de Glauber Dnâmcas com mudança de um únco síto para o modelo de Isng P P Z e P j j J, P J tanh 1 2 MOSTRAR!

31 Smulação do modelo de Isng taxa de transção -Dnâmca de Glauber 1 tanh J 2 Transformar processo markovano a tempo contínuo em processo markovano a tempo dscreto dscretzar em ntervalos de tempo t e p tal que 0 p 1 31

32 Dnâmca de Glauber para o modelo de Isng Modelo de Glauber-Isng Smulação de Monte Carlo para o modelo de Glauber-Isng Vamos supor que o sstema esteja no estado Gera-se um número aleatóro e escolhe-se um síto para ser atualzado síto fo escolhdo Calcula-se p tanh J k B T Gera-se um número aleatóro no ntervalo [0,1] p Se então o estado em que a varável está nvertda é o estado do sstema p Se então a varável não é nvertda e o estado do sstema é,...,,...,,...,,..., 1 N 1 N 32

33 Consderações sobre o método de Monte Carlo 33

34 Método de Monte Carlo Realzação computaconal de um processo estocástco markovano Smulação computaconal de um modelo defndo por uma dnâmca estocástca Trajetóra estocástca no espaço de confgurações gerado pela dstrbução de probabldades estaconára 34

35 Método de Monte Carlo Médas de grandezas de estado F 1, 2,..., k,..., R Estados confgurações do sstema R número total de estados gerados pela dnâmca * F F F... F... F k R * descartados os estados ncas 35

36 Método de Monte Carlo Médas de grandezas de estado F Se o número de estados gerados R for muto grande então espera-se que 1 R 1 2 k R F F... F... F F * Deve-se sempre descartar os estados ncas. Portanto R aqu sgnfca o número de estados gerados depos de descartar os passos ncas. 36

37 Se R Método de Monte Carlo for muto grande então espera-se que 1 R R 1 F F Ou seja se gerarmos, por meo de smulações de Monte Carlo, uma sequênca de confgurações então muto grande a soma acma é uma estmatva para a méda de F valor esperado 37

38 Método de Monte Carlo Problema: como gerar estados com probabldade P? Método de Monte Carlo Construr um processo estocástco em que a probabldade estaconára é atngda para tempos longos regme estaconáro P Processo markovano: no regme estaconáro a dstrbução de probabldades obedece: P T, ' P ' ' T, ' probabldade de transção do estado ' para o estado 38

39 Método de Monte Carlo gerar estados com probabldade P No regme estaconáro teremos uma sére de confgurações estados A probabldade assocada a um estado qualquer deve ser a probabldade estaconára P Se escolhermos ao acaso uma delas então estaremos escolhendo essa confguração com a probabldade estaconára P 39

40 Método de Monte Carlo Relaxação para o equlíbro termodnâmco Nesse caso estado estaconáro de equlíbro a construção do processo markovano deve se basear no fato de que no regme estaconáro: a probabldade estaconára é dada por uma dstrbução de probabldades de equlíbro a condção de balanceamento detalhado deve ser obedecda 40

41 Dstrbução de probabldades de Gbbs Dstrbução de Gbbs de equlíbro P e E Z Probabldade do estado 41

42 Dstrbução de probabldades de Gbbs P e E Z Dstrbução de Gbbs 1/ k B T kb constante de Boltzmann T temperatura E energa do estado Z e E função de partção... soma sobre todos os possíves estados mcroscópcos 42

43 Método de Monte Carlo Construção do processo markovano para um sstema que relaxa para o equlíbro termodnâmco Estado estaconáro descrto por uma dstrbução de Gbbs P e E Z A condção de balanceamento detalhado T, ' P ' T ', P deve ser obedecda T, ' P T ', P ' 43

44 FIM 44