ARTIGO ORIGINAL. Comparação Entre os Métodos PSO e Simulated Annealing na Minimização de Funções Não Lineares

Transcrição

1 DOI: / /cereus.v10np <<Recebdo: 05/06/018. Aceto: 05/07/018>> ARTIGO ORIGINAL Mnmzação de Funções Não Lneares Comparson Between PSO and Smulated Annealng Methods n the Mnmzaton of Nonlnear Functons Mateus Braga Olvera 1, Andressa Alves Machado da Slva, Jovana Sartor de Souza 3 RESUMO Este trabalho tem como objetvo a determnação de mnmzadores globas de funções não lneares por meo do método de Otmzação por Enxame de Partículas (PSO) e do método Smulated Annealng (SA). Os dos métodos estocástcos são comparados para verfcação de sua efcênca na mnmzação de funções não lneares. São utlzadas funções não lneares de duas e cnco varáves, com o objetvo de observar o comportamento dos métodos trabalhados para funções de dferentes dmensões. Também são fetas duas hbrdzações, com a nserção do método da Busca Coordenada ao longo das terações dos métodos PSO e Smulated Annealng. Assm, compara-se todos os métodos testados para as funções não lneares, verfcando o tempo gasto na obtenção dos mnmzadores globas das funções. A nserção da Busca Coordenada é feta para verfcar a nfluênca de uma busca nos exos coordenados na localzação dos mínmos globas. Deste modo, o foco deste trabalho é apresentar dos métodos de otmzação e dos métodos híbrdos para a determnação dos mnmzadores globas para funções não lneares de váras varáves. Assm, pode-se analsar a nfluênca do método da Busca Coordenada, de acordo com sua nserção ao longo das terações, no desempenho dos métodos PSO e SA. 1 Mestre em Modelagem Computaconal na Unversdade Federal Flumnense. E-mal: mateus.brol@gmal.com Mestranda em Modelagem Computaconal na Unversdade Federal Flumnense, UFF/MCCT. 3 Doutora em Modelagem Computaconal. Professora adjunta da Unversdade Federal Flumnense, Insttuto do Noroeste Flumnense de Educação Superor Palavras-chave: Funções não lneares, Otmzação por Enxame de Partículas (PSO), Recozmento Smulado (SA), Mnmzadores globas, Busca Coordenada. ABSTRACT The objectve of ths work s the determnaton of global mnmzers of nonlnear functons usng the Partcle Swarm Optmzaton (PSO) method and the Smulated Annealng (SA) method. The two stochastc methods are compared to verfy ther effcency n mnmzng nonlnear functons. Nonlnear functons of two and fve varables are used, n order to observe the behavor of the methods worked for functons of dfferent dmensons. Two hybrdzatons are also done, wth the nserton of the Coordnate Search method over the teratons of the PSO and Smulated Annealng methods. Thus, all the methods tested for the non-lnear functons are compared, checkng the tme taken to obtan the global functon mnmzers. The nserton of the Coordnate Search s done to verfy the nfluence of a search n the coordnated axes n the locaton of the global mnmums. Thus, the focus of ths work s to present two optmzaton methods and two hybrd methods for the determnaton of global mnmzers for nonlnear functons of several varables. Thus, one can analyze the nfluence of the Coordnate Search method, accordng to ts nserton along the teratons, n the performance of the PSO and SA methods. Keywords: Nonlnear Functons, PSO, Smulated Annealng, Global Mnmzers, Coordnate Search. 376

2 DOI / /cereus.v10np ANO V.10/N. 1. INTRODUÇÃO Neste trabalho, serão comparados algortmos de otmzação na busca de mnmzadores globas de funções não lneares de váras varáves, com o objetvo de verfcar qual dos métodos abordados é mas efcente na resolução do problema proposto. Os métodos utlzados são o método PSO e o método Smulated Annealng. Além dsso são utlzadas duas hbrdzações, as hbrdzações PSO/Busca Coordenada e Smulated Annealng/Busca Coordenada. Deste modo, o foco deste trabalho é apresentar métodos de otmzação para a determnação dos mnmzadores globas para funções não lneares. Com os resultados apresentados, será realzada uma comparação, verfcando qual metodologa fo mas robusta na determnação dos pontos mínmos globas para os problemas testados. Assm, pode-se analsar a nfluênca do método da Busca Coordenada no desempenho do método PSO e do método Smulated Annealng Funções Não Lneares A partr de agora, apresentam-se as funções não lneares testadas. As funções estão presentes em BACK (1996) e MOLGA (005). Foram realzados testes com funções de e de 5 varáves. Função Ackley A função Ackley é amplamente utlzada para testes de algortmos de otmzação. Na sua forma bdmensonal, caracterza-se por uma regão externa quase plana, e um grande orfíco no centro. A função representa um rsco para algortmos de otmzação, partcularmente algortmos de subda, por fcar preso em um de seus mutos mínmos locas. A função geralmente é avalada no hpercubo x 3,786 3,786 =1,...,d, embora possa também ser restrto a um domíno menor. f ( x) a exp b onde a=0, b=0,, 1 d d 1, para todo d 1 x exp cos( ) b exp(1) cx a (1) d 1 c e d é a Dmensão da função. O Mínmo global da função Ackley é: f ( x * ) 0 em x (0,...,0). 377

3 DOI / /cereus.v10np ANO V.10/N. Fgura 1. Função Ackley e seu mínmo global. Função Grewank Esta função possu mutos mínmos locas com dstrbução regular. Possu d x 600, 600 para =1,...,d. dmensões. Esta função é normalmente calculada na regão d d x x f ( x) cos 1. () O Mínmo global da função Grewank é: f ( x * ) 0 em x (0,...,0). A função Grewank pode ser vsta de dferentes modos, de acordo com a regão que seu gráfco é feto. Fgura. Função Grewank e suas varações. 378

4 DOI / /cereus.v10np ANO V.10/N. Função Levy Nesta função fo consderada 0 e 30 dmensões. Ela é normalmente calculada na regão 10,10 f ( x) sen x para =1,...,d. ( ) d 1 1 ( 1) 1 10sen ( 1) ( 1) 1 sen ( ) x 1 onde 1. 4 O Mínmo global da função Levy é dado por: f ( x * ) 0 em x (1,..., 1). d d, (3) Fgura 3. Função Levy e seu ponto de mínmo global. Função Rastrgn Esta função possu mutos mínmos locas. É altamente multmodal, mas as localzações x 5.1, 5.1 para =1,...,d. são regularmente dstrbuídas. Calculada na regão d x 10 cos x f ( x) 10d (4) 1 O Mínmo global da função Rastrgn é: f ( x * ) 0 em x (0,...,0). A segur, na Fgura 4, é possível observar o gráfco da função Rastrgn. 379

5 DOI / /cereus.v10np ANO V.10/N. Fgura 4. Função Rastrgn e seu mnmzador global. Função Styblnsk-Tang Esta função possu d dmensões. Neste trabalho, foram consderados d=0 e d=30. A função usualmente é calculada no hpercubo 5, 5 1 x para =1,...,d. d 1 4 f ( x) ( x 16x 5x ) (5) O Mínmo global é dado por: f ( x * ) 39,16599 d em x ( ,..., ). Fgura 5. Função Styblnsk-Tang.. MATERIAIS E MÉTODOS Fo utlzado neste trabalho, para a mnmzação das funções não lneares apresentadas, os seguntes métodos de otmzação: O Método de Otmzação por Enxame de Partículas (PSO) e o método Smulated Annealng (Recozmento Smulado SA). Também mostra-se o método da Busca Coordenada, que fo utlzado na montagem de 380

6 DOI / /cereus.v10np ANO V.10/N. duas hbrdzações a serem testadas no presente trabalho. A prmera hbrdzação acrescenta o método da Busca Coordenada (BC) em conjunto com o método PSO formando o método híbrdo PSO/BC. O segundo método híbrdo, parte do mesmo prncípo, mas nclu o método da Busca Coordenada em conjunto com o método Smulated Annealng (SA/BC)..1 O Método PSO O método de otmzação estocástca Enxame de Partículas (PSO) fo desenvolvdo por EBERHART e KENNEDY (1995), e basea-se em uma população, o enxame de s partículas. A cada partícula assoca-se um deslocamento, que no contexto heurístco, smbolza o movmento da partícula. A nova posção da -ésma partícula no nstante t+1 é representada por: x t 1 x t v t 1, sto é, tal posção é calculada adconando-se à antga posção v t 1. x t (6) o vetor deslocamento Segundo a versão do PSO usada por VAZ e VICENTE (007), para cada partícula, os componentes do vetor v v ) T n ( v 1,..., vn R são atualzados pela equação escalar t 1) ( t) v ( t) ( t) ( t)( y ( t) x ( t)) ( t)( yˆ ( t) x ( t)), j 1,..., n (7) j ( j 1 j j j j j j Sendo (t) o fator de nérca, os parâmetros e números reas postvos chamados de parâmetro cogntvo e parâmetro socal, respectvamente. Para todo j=1,...,n, os números ( ) e ( ) são números aleatóros gerados de manera unforme no 1 j t j t ntervalo (0,1). O valor y j (t) é o componente j do vetor posção y (t) ocupado pela partícula com o -ésmo melhor valor da função objetvo calculado antes. Fnalmente, yˆ j ( t) é o componente j do vetor posção y ˆ( t) ocupado pela partícula que possu o menor valor da função objetvo, dentre as s partículas. A posção y ˆ( t) pode ser descrta como ˆ 1 s y( t) arg mn f ( z), onde z y,..., y ( t) (8) A segur, o algortmo do método PSO é mostrado na Fgura

7 DOI / /cereus.v10np ANO V.10/N. Fgura 6. Algortmo do Método PSO.. O Método Smulated Annealng O Método Smulated Annealng (Recozmento Smulado) (SA), fo um método proposto por KIRKPATRICK et al. (1983). Este método smula o recozmento de metas, fazendo assm uma analoga termodnâmca. É descrto em COSTA (01), que o prncípo do método sugere que, quando ocorre o resframento rápdo, o produto gerado terá maor energa nterna, e em um resframento lento, esta energa nterna do produto gerado será menor. Assm, com uma redução rápda de temperatura, os produtos gerados são metaestáves, e com uma redução lenta de temperatura, os produtos são mas estáves e estruturalmente fortes. Portanto, o método Smulated Annealng funcona do segunte modo: emprega-se o Algortmo de METROPOLIS (1953) em uma sequênca de temperaturas decrescentes para gerar soluções de um problema de otmzação; ncalmente, o método nca-se com uma temperatura elevada, e a cada temperatura, geram-se soluções até que se alcance o equlíbro àquela temperatura; a temperatura é então rebaxada e o processo prossegue até que não se obtenha mas uma dmnução de custo. A sequênca de temperaturas empregada, juntamente com o número de terações a cada temperatura, consttu uma prescrção de Annealng que deve ser defnda emprcamente. Assm, o método Smulated Annealng permte a acetação de soluções de pora, quando se tem temperaturas mas altas. Este fator auxla para que o método não se prenda a mnmzadores locas de uma função. O algortmo a segur lustra a fundamentação do Método Smulated Annealng: 38

8 DOI / /cereus.v10np ANO V.10/N. Fgura 7. Algortmo do Método Smulated Annealng..3 O Método da Busca Coordenada O método da Busca Coordenada é um método de busca dreta. Este método pode ser utlzado para resolver problemas de otmzação. Uma característca dos métodos de busca dreta, como o método da Busca Coordenada, é o fato dele não utlzar dervadas em seus cálculos, e também utlzar somente nformações da função objetvo, na verfcação do melhor ponto obtdo. Exemplfcando, para funções reas de duas varáves, segue-se o procedmento a segur: efetua-se a busca nas dreções paralelas aos exos coordenados, ou seja, utlzando pontos ao norte, sul, leste e oeste do valor ncal. 383

9 DOI / /cereus.v10np ANO V.10/N. Fgura 8. Passos do Método da Busca Coordenada. Coordenada: De DINIZ-EHRHARDT et al. (010), temos um algortmo para o Método da Busca Fgura 8. Algortmo do Método da Busca Coordenada..4 Métodos Híbrdos de Otmzação Os métodos híbrdos aqu testados, acrescenta-se o método da Busca Coordenada ao longo das terações dos métodos PSO e Smulated Annealng. 384

10 DOI / /cereus.v10np ANO V.10/N. Método PSO/Busca Coordenada O algortmo PSO Busca Coordenada (PSO/BC) é um algortmo que adcona o método da Busca Coordenada ao fm das terações do algortmo PSO. Realzam-se os passos do algortmo PSO e encontra-se uma solução. Então é feto a busca coordenada nesta solução. Se a busca retornar uma melhor solução, o valor é atualzado e a função retorna ao PSO, até que a tolerânca seja atendda, encontrando o mnmzador da função. A busca coordenada é feta ao fnal de cada teração do método PSO. Método Smulated Annealng/Busca Coordenada O algortmo Smulated Annealng - Busca Coordenada (SA/BC) é um método híbrdo que adcona o método da Busca Coordenada ao fm das terações do algortmo Smulated Annealng. Esse método funcona da segunte forma: realzam-se os prmeros passos do Smulated Annealng, quando uma melhor solução é encontrada, ele atualza esse ponto e realza uma busca coordenada ao seu redor, melhorando este novo ponto, ou não. Fnalzada a busca coordenada, o método retorna para o SA e verfca se a solução encontrada satsfaz a tolerânca desejada. Caso essa tolerânca seja alcançada, o algortmo é encerrado. 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO Agora, apresenta-se os resultados da execução dos métodos na determnação dos mínmos globas das funções não lneares aqu apresentadas. Os resultados trazem o tempo computaconal que cada um dos métodos levou para obter o ponto de mínmo global de cada função. O tempo computaconal refere-se ao tempo médo necessáro para obtenção dos mnmzadores globas, tendo sdo realzadas 50 execuções de cada método. A tolerânca utlzada como crtéro de parada fo o valor de Assm, o mínmo obtdo fo o valor do mínmo global, dentro desta tolerânca desejada. Assm, as Tabelas com os resultados numércos trazem uma aproxmação para o valor do mínmo obtdo. Para uma melhor comparação, fo utlzado o mesmo gerador de número aleatóros para todos os métodos trabalhados. Assm, garantu-se a obtenção dos mesmos resultados nas 50 execuções geradas. Mesmo modfcando este gerador de números aleatóros, os resultados obtdos não sofreram varação. Logo, não apresenta-se aqu, os melhores e pores resultados de cada método, apenas o resultado que fo obtdo em todas as execuções. 385

11 DOI / /cereus.v10np ANO V.10/N. A Tabela 1 traz os resultados para as funções não lneares, referentes ao tempo computaconal para mnmzação das funções. Tabela 1: Tempo computaconal para obtenção dos mínmos globas das funções. Metodologa SA PSO SA/BC PSO/BC Funções Tempo Computaconal (s) Ackley varáves 0,030 0,030 0,0310 0,0310 Ackley 5 varáves 0,0780 0,030 0,060 0,180 Grewank varáves 0,0310 0,030 0,030 0,0310 Grewank 5 varáves 0,0680 0,170 0,0600 0,1870 Levy varáves 0,0470 0,0310 0,0310 0,0310 Levy 5 varáves 0,1090 0,3600 0,0780 0,380 Rastrgn varáves 0,0150 0,0160 0,0150 0,0160 Rastrgn 5 varáves 0,0630 0,1880 0,0470 0,1710 Styblnsk-Tang varáves 0,0310 0,0780 0,0310 0,0310 Styblnsk-Tang 5 varáves 0,0780 0,340 0,060 0,190 Percebe-se, na Tabela 1, que o método Smulated Annealng e sua hbrdzação SA/BC foram efcentes, assm como o método PSO e a hbrdzação PSO/BC, pos todos os pontos de mínmo global das funções testadas foram obtdos. No entanto, o método SA obteve melhores resultados, consumndo um menor tempo computaconal na resolução do problema proposto. A hbrdzação SA/BC teve ótmos resultados, melhores que o método PSO e sua hbrdzação com o método da Busca Coordenada. Também fo analsado o número de terações dos métodos trabalhados. A Tabela mostra esses resultados. Tabela 1: Tempo computaconal para obtenção dos mínmos globas das funções. Metodologa SA PSO SA/BC PSO/BC Funções Número de Iterações Ackley varáves Ackley 5 varáves Grewank varáves Grewank 5 varáves Levy varáves Levy 5 varáves Rastrgn varáves Rastrgn 5 varáves Styblnsk-Tang varáves Styblnsk-Tang 5 varáves

12 DOI / /cereus.v10np ANO V.10/N. Com os resultados da Tabela vemos que as terações têm pequenas varações em relação a cada método e sua hbrdzação com o método da Busca Coordenada. Anda assm, destaca-se a efcênca de toda a metodologa proposta na resolução da mnmzação de funções não lneares. Todos os métodos obtveram os mínmos globas das funções trabalhadas. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Verfca-se que os resultados numércos para todas as funções foram encontrados, obtendo seus mnmzadores globas. É possível perceber uma smlardade entre os métodos testados, ao se tratar de funções de duas varáves. Para estas funções, os quatro métodos obtveram os mnmzadores globas das funções em um pequeno tempo. É mportante destacar que todos os métodos encontraram todos os mnmzadores globas das funções testadas, mostrando seu bom desempenho. É possível ver que as hbrdzações foram superores aos métodos testados, na maora dos resultados obtdos, mostrando a boa nfluênca do método da Busca Coordenada em conjunto com os métodos PSO e SA. Assm, pode-se conclur que os métodos PSO e SA são efcentes na mnmzação de funções não lneares, assm como as hbrdzações PSO/BC e SA/BC aqu mostradas. Estes métodos híbrdos foram melhores, quando comparadas aos métodos não híbrdos, tendo gasto um tempo menor na resolução do problema proposto. REFERÊNCIAS BACK, Thomas. Evolutonary algorthms n theory and practce: evoluton strateges, evolutonary programmng, genetc algorthms. Oxford unversty press, COSTA, M. F. Aplcação de Meta-heurístcas no Escalonamento de Motorstas para o Transporte de Madera. 01. Dssertação de Mestrado. Unversdade Federal do Espírto Santo. DINIZ-EHRHARDT, Mara Aparecda; LOPES, Véra Luca da Rocha; PEDROSO, Lucas Garca. Métodos sem dervadas para mnmzação rrestrta. Notas em Matemátca Aplcada, v. 49, n. 3, p. 87, 010. EBERHART, Russell; KENNEDY, James. A new optmzer usng partcle swarm theory. In: Mcro Machne and Human Scence, MHS'95., Proceedngs of the Sxth Internatonal Symposum on. IEEE, p KIRKPATRICK, Scott; GELATT, C. Danel; VECCHI, Maro P. Optmzaton by smulated annealng. scence, v. 0, n. 4598, p ,

13 DOI / /cereus.v10np ANO V.10/N. METROPOLIS, Ncholas et al. Equaton of state calculatons by fast computng machnes. The journal of chemcal physcs, v. 1, n. 6, p , Molga, M., \& Smutnck, C. (005), Test functons for optmzaton needs. Dsponível em: < Acesso em junho 017. SOUZA, J. S. Análse global da establdade termodnâmca de msturas: um estudo com o método do conjunto gerador Tese de Doutorado. Tese de Doutorado, IPRJ- Uerj. VAZ, A. Ismael F.; VICENTE, Luís N. A partcle swarm pattern search method for bound constraned global optmzaton. Journal of Global Optmzaton, v. 39, n., p ,