Um algoritmo heurístico híbrido para criação de modelos com representação explícita de relacionamentos espaciais

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1 Um algortmo heurístco híbrdo para cração de modelos com representação explícta de relaconamentos espacas Adar Santa Catarna 1 Antôno Mguel Vera Montero 2 João Rcardo de Fretas Olvera 2 1 Colegado de Informátca - Unversdade Estadual do Oeste do Paraná - UNIOESTE Rua Unverstára, 2069 Jardm Unverstáro Cascavel PR, Brasl asc@unoeste.br 2 Dvsão de Processamento de Imagens - Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas INPE São José dos Campos SP, Brasl {mguel, joao}@dp.npe.br Abstract. A fundamental dea to analyze and nterpret spatal data s spatal dependence. The spatal dependence results from that everythng s related to everythng else, but near thngs are more related than dstant thngs. Spatal data analyss uses heurstc algorthms as Genetc Algorthms; however, these algorthms gnore the spatal dependence. In ths work we present an archtecture for a Hybrd Heurstc Algorthm (HHA) wth explct representaton of spatal relatonshps. The archtecture proposed ncludes a Generalzed Proxmty Matrx that represents the spatal assocaton between objects n space, n other words the spatal relatonshps. The HHA embody two heurstcs: Genetc Algorthms and Smulated Annealng. It creates two types of models: Smple Lnear Regresson and Weghted Lnear Regresson. The frst type s equal to Statstc Lnear Regresson and the second type s a Lnear Regresson that computes the spatal relatonshps gves by the Generalzed Proxmty Matrx. We tested the HHA producng Lnear and Weghted Lnear Regresson. The two types of models adjusted rghtly show the relatons between dependent and ndependent varables. These results allow us to conclude that HHA can be used as a tool for spatal analyss. Palavras-chave: model breeder, spatal analyss, genetc algorthm, smulated annealng, construtor de modelos, análse espacal, algortmo genétco. 1. Introdução A capacdade para produzr, armazenar e recuperar dados espaço-temporas cresceu sgnfcatvamente nos últmos anos. Contrbuíram para sto o aumento na oferta de magens de satéltes em dferentes resoluções espacas, espectras e temporas, o uso de GPS para coleta dreta de dados e o acesso a bases de dados demográfcas mas detalhadas, como o censo braslero de 2000, que dvdu os muncípos em dversas undades censtáras. Apesar dos SIG atuas ncrementarem nossa capacdade de analsar dados espacas, esses anda estão no começo da efetva ntegração entre métodos de exploração e análse deste tpo de dado. Os métodos para explorar e analsar dados espacas advém de áreas tradconas como a Estatístca e de áreas emergentes como a Intelgênca Computaconal, Sstemas Complexos e outras (Openshaw e Openshaw, 1997; Couclels, 1998; Openshaw e Abrahart, 2000; Câmara e Montero, 2001). A busca por nformações contdas em bancos de dados geográfcos, usando computação ntensva, orgnou uma nova área de conhecmento: a geocomputação [Openshaw e Abrahart 1996]. Os Algortmos Genétcos (AG) são uma classe de algortmos computaconas ntensvos usados em geocomputação. AG são usados em software como os Model Breeders (Openshaw e Openshaw, 1997; Santa Catarna et al., 2005) e GARP (Genetc Algorthm to Rule-set Predcton) (Stockwell e Peters, 1999). A combnação entre um AG e outras técncas heurístcas como o smulated annealng, hll clmblng e busca tabu, por exemplo, defne um algortmo heurístco híbrdo (AHH). A combnação de dferentes algortmos vsa utlzar o 4319

2 que de melhor há neles. Espera-se, então, que o novo algortmo seja capaz de produzr melhores resultados do que aqueles encontrados pelos algortmos aplcados soladamente. Um prncípo essencal para compreender e analsar problemas espacas é orgnado da Prmera Le da Geografa 1 (Tobler, 1970). A expressão quanttatva deste prncípo é o efeto da dependênca espacal (Câmara e Montero, 2001). Este prncípo mostra a mportânca em consderar o espaço próxmo ao problema em estudo. Entretanto o espaço próxmo, e portanto a dependênca espacal, é neglgencada nos Model Breeders e no GARP. Esta neglgênca ocorre não apenas nestes softwares; ela deve-se a ausênca de um AG que ncorpore, em seu mecansmos evolutvos, os relaconamentos espacas. O objetvo prncpal deste trabalho é apresentar a arqutetura de um Algortmo Heurístco Híbrdo (AHH) com representação explícta de relaconamentos espacas. Os relaconamentos espacas serão representados numa matrz de proxmdade generalzada (MPG) que permtrá o cômputo dos efetos da dependênca espacal. O AHH será empregado na análse de dados espacas, construndo modelos que capturem os relaconamentos entre varáves. Além dsso, através de representação explícta dos relaconamentos espacas, é possível nserr o conhecmento prévo sobre os elementos naturas e artfcas presentes no espaço, cujos efetos são sgnfcatvos para o problema em estudo. 1.1 Algortmos Genétcos AG é um algortmo de busca que smula o mecansmos evoluconáro dos sstemas bológcos naturas, onde os ndvíduos mas aptos têm maor probabldade de se reproduzr gerando descendentes. Em problemas de otmzação os AG tem apresentado boas soluções naqueles problemas onde as técncas tradconas de busca falham (Holland, 1975; Goldberg, 1989). Incalmente um AG gera um conjunto de soluções aleatóras codfcadas em cadeas de dígtos bnáros, chamado população. Cada ndvíduo da população é chamado de cromossomo, representando uma solução canddata para o problema. A avalação de cada cromossomo determna seu índce de aptdão; ndvíduos mas aptos têm maor probabldade de gerarem flhos. Os cromossomos evoluem através de terações sucessvas chamadas de gerações. O processo de seleção e os operadores de cruzamento e mutação são os responsáves por crar as novas gerações. O processo de seleção vsa seleconar ndvíduos, de acordo com seu índce de aptdão, para combná-los através do operador de cruzamento, gerando novos ndvíduos que mantém característcas de seus pas. Posterormente estes novos ndvíduos podem ser modfcados pelo operador de mutação. Após váras gerações o AG pode produzr soluções acetáves para um problema. A Fgura 1 mostra o fluxograma básco de um AG. 1.2 Smulated Annealng Esta heurístca é uma metáfora de um processo térmco utlzado para obtenção de estados de baxa energa num sóldo. O processo consste de duas etapas: na prmera a temperatura do sóldo é aumentada para um valor máxmo no qual ele se funde; na segunda o resframento deve ser realzado lentamente até que o materal se soldfque. Quando a temperatura baxa, os átomos gradualmente movem-se em dreção a uma estrutura regular; somente com pequena probabldade ncrementarão suas energas. Esse processo fo smulado em computador, com sucesso, por Metropols et al. (1953). Krkpatrck 1 Everythng s related to everythng else, but near thngs are more related than dstant thngs [Tobler, 1970, p.236]. 4320

3 et al. (1983) desenvolveram um algortmo de utlzação genérca análogo ao de Metropols, denomnado Algortmo Smulated Annealng, apresentado na Fgura 2. Fgura 1. Fluxograma básco de um Algortmo Genétco Ler e NR; //Constante de resframento ( < 1) e número de repetções S = S(); //Conjunto aleatóro de soluções ncas T = LS; //Lmte superor TMIN = LI; //Lmte nferor Enquanto (T > TMIN) faça Para = 1 até NR faça Gerar uma solução S a partr de S; //perturbação de S Avalar a varação de energa; // E = g(s ) g(s); Se (varação de energa <= 0) então S = S Senão Gerar aleatoramente Rnd; //no ntervalo [0, 1] Se (Rnd < exp(-varação de energa / T) então S = S ; Fm se; Fm Para; T = T * ; Fm enquanto; Fgura 2. O algortmo Smulated Annealng Segundo o algortmo apresentado na Fgura 2, se uma solução canddata S é melhor que a solução corrente S, ou seja g(s ) g(s), esta é aceta com probabldade 1. Caso contráro a solução canddata é aceta com uma dada probabldade. Essa probabldade é maor à medda em que for menor a varação de energa, defnda por E. Ao mesmo tempo, à medda que há um decréscmo da temperatura T, o algortmo torna-se mas seletvo, passando a acetar, com menor freqüênca, soluções que apresentem grande aumento na varação de energa, sto é, soluções que sejam muto pores que a solução corrente. Essa probabldade tende a zero à medda que a temperatura se aproxma do ponto de congelamento defndo por TMIN. O algortmo Smulated Annealng pode ser consderado como uma extensão do método orgnal de busca local. Porém, dspõe de um mecansmo que permte sua escapada de um ótmo local. O acete de uma nova solução não depende únca e exclusvamente do seu valor; mesmo apresentando um valor por que o da solução corrente, uma nova solução pode ser aceta de forma probablístca. 1.3 Matrz de Proxmdade Generalzada A MPG é uma varação da matrz de proxmdade. Estas matrzes expressam quanto dos objetos geográfcos são vznhos, consderando suas posções no espaço. Geralmente esta medda de vznhança é estmada em termos de adjacênca topológca ou dstânca Eucldana. 4321

4 Representamos a relação de vznhança entre dos objetos O e O j por W j. As opções mas comuns para defnr W j são: W j = 1, se O é topologcamente adjacente a O j ; W j = 0 nos outros casos; W j = 1, se a dstânca (O, O j ) < d; W j = 0 nos outros casos. A MPG é composta por um conjunto de objetos geográfcos O, um grafo G e uma matrz de proxmdade V. Células regulares ou polígonos, de acordo com a representação espacal empregada, representam o conjunto de objetos geográfcos O. Nós e arcos compõem o grafo G; cada nó representa um objeto e os arcos representam as relações espacas entre dos nós (Pedrosa, 2003). 2. Arqutetura do Algortmo Heurístco Híbrdo com Representação Explícta de Relaconamentos Espacas Na arqutetura proposta a representação explícta dos relaconamentos espacas dá-se pela ncorporação de uma MPG e um peso assocado a cada varável ndependente. A Fgura 3 mostra a arqutetura proposta. Fgura 3. Arqutetura do AHH com representação explícta de relaconamentos espacas A MPG atende a dos objetvos: ncorporar os relaconamentos espacas exstentes entre os objetos geográfcos e a representação do conhecmento sobre os elementos naturas e artfcas presentes no espaço. Os pesos W j na MPG são responsáves por representar o conhecmento pré-exstente sobre os elementos no espaço. Os pesos, representados pelas layers de pesos, quantfcam o efeto das varáves ndependentes sobre a varável dependente. 2.1 Dados de Entrada e sua Representação Esta subseção mostra a estrutura dos dados de entrada e exemplfca como os relaconamentos espacas são representados. Os dados de entrada são: objetos geográfcos e seus relaconamentos espacas (MPG), as varáves dependente e ndependentes. Para cada objeto geográfco haverá um conjunto de dados de entrada conforme apresentado na Fgura 3. IdPol NRE RelEsp W j X 0 X 1 X 2... X n Fgura 3. Estrutura dos dados de entrada 4322

5 onde: IdPol: número que dentfca o objeto geográfco; NRE: Número de objetos aos quas o objeto IdPol está relaconado RelEsp: conjunto com os NRE objetos espacalmente relaconados com o objeto IdPol ; W j : conjunto com NRE pesos, correspondendo à relação de vznhança entre dos objetos O e O j ; X 0 : varável dependente; X k : varáves ndependentes. k = 1..n; n: número de varáves ndependentes; A Fgura 4 mostra um exemplo de entrada de dados para o objeto geográfco da Fgura 2, cujo IdPol = , 8, 9, 10, 11 1, 2, 1, 1, 2 1,318 0,508 0,705 1,1 Fgura 4. Exemplo de uso da estrutura de dados de entrada Esta fgura mostra que o polígono com Id = 10 tem NRE = 5 relaconamentos de vznhança com os polígono 7, 8, 9, 10 e 11 e W j = {1; 2; 1; 1; 2}. O valor da varável dependente (X 0 ) para o polígono 10 é 1,318 e os valores das varáves ndependentes X k = {0,508; 0,705; 1,1}. 2.2 Codfcação, Avalação da Aptdão e Operadores Genétcos Num AG o processo evolutvo ocorre sobre os cromossomos. Os cromossomos codfcam as soluções possíves para o problema. Na arqutetura proposta o processo evolutvo ocorre sobre os pesos assocados às varáves ndependentes; portanto são estes pesos que devem ser codfcados nos cromossomos. A MPG é um dado de entrada estátco; ela representa o conhecmento sobre os relaconamentos espacas que não mudam durante o processo evolutvo. A codfcação utlzada é decmal; cada gene do cromossomo corresponde a um peso assocado à uma varável ndependente. O últmo gene do cromossomo corresponde à constante do modelo. A Fgura 5 mostra a estrutura geral de um cromossomo. PesoX 1 PesoX 2 PesoX n Const 1,453 2,317-2,112 0,015 Fgura 5. Estrutura geral de um cromossomo Os cromossomos são avalados por duas equações dferentes, de acordo com o tpo de modelo que se está ajustando. No caso de regressão lnear smples o objeto geográfco O está relaconado apenas consgo mesmo e com relação de vznhança W j = 1. Os cromossomos para este tpo de modelo são avalados pela Equação 1. n Xˆ PesosX X Const (1) 0 k 1 No caso de regressão lnear ponderada os cromossomos são avalados pela Equação 2. n NRE k k NRE Xˆ PesosX W X W Const (2) 0 k j kj k 1 j 1 j 1 j 4323

6 De acordo com a Equação 2, para cada objeto geográfco as varáves ndependente X k são estmadas através de uma méda ponderada, consderando os pesos advndos das relações de vznhança descrtas na MPG. A aptdão fnal de um cromossomo é calculada pela soma dos erros ao quadrado, de acordo com a Equação 3, onde m é o número total de objetos geográfcos. O objetvo fnal do AHH é mnmzar o valor de Aptdão. Aptdão m 1 X 0 2 Xˆ (3) Os operadores genétcos usados são a seleção, o cruzamento artmétco de Mchalewcz (1994) e a mutação. A probabldade de seleção é proporconal a aptdão de cada cromossomo. Os parâmetros tamanho da população, taxas de cruzamento e mutação, temperatura mínma, temperatura máxma e a constante de resframento são defndos emprcamente. O algortmo pára após a realzação de um número pré-defndo de cclos. A Fgura 6 apresenta o núcleo de otmzação do AHH, mostrando a hbrdzação de um AG com SA. 0 vod AGSA::Run(){ CreatePop(); //Crando a população ncal EvalPopAG(); //Avalando a população ncal for ( = 0; < NumCclos; ++){ EvolPopAG(); //Gerando uma nova população através de uma teração do AG EvalPopAG(); //Avalando a nova população gerada } } whle (TAtual > TMnma){ //Núcleo do SA EvolPopSA(); //Executando uma teração do SA EvalPopSA(); //Avalando o resultado obtdo na teração do SA } Populacao[0] = GBest; //Restaura o melhor ndvíduo obtdo até o momento ResetTAtual(); //Rencalza temperatura no SA --> TAtual = TMax Fgura 6. O núcleo de otmzação do AHH 3 Testes Realzados com o AHH Para testar o AHH utlzamos um conjunto de dados obtdos de Os dados provêm do Censo Demográfco 2000 e são apresentados na Tabela 1. Os testes aqu realzados vsam encontrar um modelo que relacona a varável dependente X 0 = número de flhos nascdos vvos, com as varáves ndependentes X 1 = número de domcílos com banhero, X 2 = número de domcílos cujo responsável tem 8 ou mas anos de estudo e X 3 = número de domcílos onde a renda é maor que 3 saláros mínmos. Para utlzação com o AHH os dados da Tabela 1, referentes às varáves dependente e ndependentes, foram padronzados através da Equação 4. X x X p (4) s Os dados apresentados na Tabela 1 ncluem nformações sobre a MPG. Para o teste com o modelo de regressão lnear smples basta desconsderar as nformações da MPG, assumndo que cada objeto relacona-se apenas consgo mesmo, com W j = 1. Os parâmetros do AHH foram ajustados com os seguntes valores: tamanho da população = 50, número de cclos = 10, temperatura mínma = 0,001, temperatura máxma = 3, constante de resframento = 0,9, número de repetções para cada cclo do SA = 3, tamanho da elte da população = 1, taxa de cruzamento = 80% e taxa de mutação = 1%. 4324

7 Tabela 1. Dados utlzados nos testes do AHH Estado Id NRE RelEsp W j X 0 X 1 X 2 X 3 Rondôna Acre Amazonas Rorama Pará Amapá Tocantns Maranhão Pauí Ceará Ro Grande do Norte Paraíba Pernambuco Alagoas Sergpe Baha Mnas Geras Espírto Santo Ro de Janero São Paulo Paraná Santa Catarna Ro Grande do Sul Mato Grosso do Sul Mato Grosso Goás Dstrto Federal Modelo de Regressão Lnear Smples O modelo de regressão lnear smples ajustado pelo AHH para os dados da Tabela 1, padronzados pela Equação 4, é apresentado na Equação 5. Este modelo apresentou aptdão mínma gual a 0,9298. A aptdão medda corresponde à soma dos desvos quadrátcos. Xˆ 1,5605 X1 2,7114 X2-3,3185 X3 0,0025 (5) Comparando este resultado com o modelo ajustado através do método dos mínmos quadrados (Equação 6) percebemos que são smlares. A soma dos desvos quadrátcos deste modelo fo gual a 0,9282. Xˆ 1,5931 X 2,6806 X -3,3269 (6) 3.2 Modelo de Regressão Lnear Ponderado 1 2 X3 O modelo de regressão lnear ponderado ajustado pelo AHH para os dados da Tabela 1, padronzados pela Equação 4, consderando os relaconamento de vznhança representados pela MPG, é apresentado na Equação 7. A soma dos desvos quadrátcos deste modelo fo gual a 1,0946. Xˆ 1,4262 X1 3,4663 X2-4,0000 X3 0,0312 (7) Os relaconamentos e pesos apresentados na Tabela 1, correspondentes à MPG, foram defndos arbtraramente. Imagnamos que alguns Estados da Federação exercem algum tpo de nfluênca sobre seus vznhos mas próxmos. Por exemplo, São Paulo exerce nfluênca 4325

8 sobre os Estados de Mnas Geras, Ro de Janero e Paraná, bem como é nfluencado por estes. Apesar deste modelo não ser comparável ao modelo lnear smples, observamos que a aptdão do mesmo não é muto dferente àquela apresentada pelo modelo lnear smples, mostrando que pode também ser utlzado para estmar adequadamente os valores de X a partr do conjunto de varáves ndependentes. 4. Conclusões O Algortmo Heurístco Híbrdo (AHH) proposto apresentou bons resultados, tanto ajustando modelos lneares smples quanto modelos lneares ponderados. A comparação do modelo lnear smples com o modelo ajustado pelo método dos mínmos quadrados confrma que o AHH apresenta resultados confáves. Entretanto, a prncpal vantagem apresentada pelo AHH é o fato dele trabalhar com dferentes tpos de modelos utlzando a mesma estrutura de codfcação. Ou seja, mostrou-se uma solução genérca para o problema de analsar dados espacas procurando relações exstentes entre varáves dependentes e ndependentes, com e sem relaconamentos espacas. O AHH apresenta outra característca favorável; ele é extensível. Os testes realzados ajustaram apenas modelos lneares, mas ele pode ser utlzado para ajustar modelos não lneares. Para tanto basta mudar a estrutura do cromossomo (Fgura 5) nclundo um número maor de coefcentes e a escrever uma função de avalação do cromossomo, consderando termos não lneares. Como trabalho futuro aplcaremos o AHH no processo de modelagem de dstrbução de espéces. A ncorporação da MPG representa uma novação que permtrá computar os efetos dos relaconamentos espacas sobre a dstrbução potencal das espéces estudadas. 5. Referêncas Bblográfcas Câmara, G.; Montero, A. M. V. Geocomputaton technques for spatal analyss: are they relevant to health data? Cadernos Saúde Públca, v. 17, n. 5, p , Couclels, H. Geocomputaton n context. In: Longley, P. A.; Brooks, S. M.; McDonnell, R.; MacMllan, B. Geocomputaton: a prmer. New York : John Wley & Sons, Goldberg, D. E. Genetc algorthms n search, optmzaton & machne learnng. Readng : Addson-Wesley, Holland, J. H. Adaptaton n natural and artfcal systems. Ann Arbor : Unversty of Mchgan Press, Krkpatrck, S.; Gellat, D. C.; Vecch, M. P. Optmzaton by smulated annealng. Scence. v. 220, n p , Metropols, W.; Rosenbluth, A.; Rosenbluth, M.; Teller, A.; Teller, E. Equaton of state calculatons by fast computng machnes. Journal of chemcal physcs. v. 21, n. 6, p , Jun Mchalewcz, Z. Genetc algorthms + data structures = evoluton programs. 3.ed. Sprnger-Verlag, Openshaw, S.; Abrahart, R. J. Geocomputaton. In: 1st. Internatonal Conference on Geocomputaton, 1996, Leeds. Proceedngs Leeds : Unversty of Leeds, Openshaw, S.; Openshaw, C. Artfcal ntellgence n geography. West Sussex : John Wley & Sons, Openshaw, S.; Abrahart, R. J. Eds. GeoComputaton. London : Taylor & Francs, Pedrosa, B. M. Ambente computaconal para modelagem dnâmca. 2003, 71 p. Tese (Doutorado em Computação Aplcada) Insttuto Naconal de Pesqusas Espacas, São José dos Campos Santa Catarna, A.; Olvera, J. R. F.; Montero, A. M. V. Model Breeder: um algortmo genétco para cração de modelos. Dsponível em: doc/model%20breeder%20-%20worcap2005.pdf. Acesso em: 01.set Stockwell, D. e D. Peters. The GARP modelng system: problems and solutons to automated spatal predcton. Internatonal Journal of Geographcal Informaton Scence, v. 13, n. 2, p , Tobler, W. R. A computer model smulaton of urban growth n the Detrot regon. Economc Geography, v. 46, n. 2, p ,