4 Discretização e Linearização

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1 4 Dscretzação e Lnearzação Uma vez defndas as equações dferencas do problema, o passo segunte consste no processo de dscretzação e lnearzação das mesmas para que seja montado um sstema de equações algébrcas que possa ser resolvdo utlzando um processo computaconal. A lnearzação das equações de conservação propostas no Capítulo 3 será feta após a dscretzação das mesmas. Incamos, portanto, pela dscretzação, aplcando a técnca de volumes fntos. Este método de dscretzação garante que as nformações sejam transportadas, garantndo a establdade, com um numero mínmo de acoplamento mplícto entre os nós espacas. Este procedmento é bascamente mplícto e fornece nformações sobre a propagação de ondas de pressão no escoamento. O problema é resolvdo utlzando a técnca de volumes fntos, onde o duto é dvddo em células dscretas, formando-se um sstema especal de duas malhas deslocadas, de acordo com a Fgura 4.. Na malha ABCD são ntegrados as equações de conservação contendo parâmetros escalares, como por exemplo, massa e energa (pressão, temperatura, massa específca, fração de volume, etc). Na malha abcd, deslocada em relação à malha ABCD, são escrtas as equações de quantdade de movmento, contendo as velocdades como ncógnta e defndas no lmte das células da malha ABCD. Este procedmento garante acoplamento perfeto entre o campo de pressão e fluxo de quantdade de movmento, elmnando osclações numércas que outro procedmento podera produzr. Fgura 4. Malhas de dscretzação deslocadas.

2 Dscretzação e Lnearzação 8 Para avalar varáves nos lmtes das células ABCD a partr dos valores conhecdos nos centros dessas, utlzaremos a técnca de peso da célula doadora, que garante a dentfcação da dreção do escoamento. Ou seja, para um grupo de qualquer varável Φ defnda no centro da célula, temos, Φ V =ΦV V Φ V =Φ V V < (4.) Bascamente estas condções garantem que o valor utlzado para qualquer propredade do fludo seja aquele da célula de onde provêm as partículas: se a velocdade na frontera ( + ) for postva, então as propredades no ponto ( ) são empregadas; caso contráro, as nformações do ponto ( + ) são utlzadas. Este procedmento garante compatbldade e establdade numérca, embora em detrmento de maor erro de truncamento (ordem de Δ z ). Com esta notação, a forma de dferença do operador dvergênca é, Φ = Φ Φ ( V) V V + (4.) onde o procedmento sugerdo em (4.) é adotado na avalação dos termos entre colchetes. Com essas consderações passamos ao procedmento para a solução geral das equações de conservação. Para smplfcar a notação, todo o desenvolvmento que se segue será feto para a hpótese de velocdades postvas. Naturalmente os algortmos computaconas podem consderar a possbldade de velocdades nulas ou negatvas, utlzando os concetos de célula doadora descrtos acma. 4.. Equação de conservação de massa para o líqudo Da equação de conservação de massa para o líqudo, α q l Cl + ( ulα) ( α αs) ul( α αs) t z + + = t z A ρ T l

3 Dscretzação e Lnearzação 83 Temos a segunte equação na forma dscretzada, n+ n n+ n+ C ( α α ) + C ( α u ) ( α u ) + Δt l l l + l + Δt Δt n+ n n+ n ( α α ) ( αs αs ) (4.3) q ( α u ) ( α u ) ( α u ) ( α u ) + = z A ρ n n n n l l l s l s l + + Δ T l No processo de lnearzação, foram consderadas as seguntes aproxmações; ( ) k+ k α = α + δα k + k k k αu = αu + α δu+ u δα (4.4) Levando as equações (4.4) na equação (4.3) e após certa álgebra, tem-se a segunte equação na forma lnearzada; D δα + D δu + D δu + L δα + L δu 3 + L δu = F 3 (4.5) Onde os coefcentes D j, L j e F são apresentados no Apêndce A. 4.. Equação de conservação de massa para o sóldo + líqudo Da equação de conservação de massa para o sóldo + líqudo ( C α u ) + ( u α + u α ) + α ( K ) u = z z z A + ql + qs S l l s sl l T Temos a segunte equação na forma dscretzada,

4 Dscretzação e Lnearzação 84 C u u + u u ( α + ) ( α + ) ( α ) ( α ) n+ n+ n+ n+ S l l ( u α ) ( u α ) + ( α K u ) ( α K u ) (4.6) n+ n+ n+ n+ l l s sl l s sl l + + ( α u ) ( α u ) = q + q ρ s n+ n+ l s s l s l + AT ρs ( ) As mesmas correlações apresentadas acma foram utlzadas para a lnearzação da equação (4.6). Assm, tem-se a forma dscretzada e lnearzada, D δα + D δu + D δu + L δα L δu + L δu = F 3 (4.7) Onde os coefcentes D j, L j e F são apresentados no Apêndce A Equação de quantdade de movmento para a regão A equação de conservação de quantdade de movmento para a regão, t + = z * * ( αu) ( αu ) α p α gsenθ + ( τ + τ ) P F τ P ρ * * b C wl wl z ρa T As equações de conservação de quantdade de movmento serão ntegradas no bloco representado pelo volume de controle abcd, da Fgura 4.. Consderando a segunte aproxmação para a lnearzação da equação que representa o quadrado da velocdade, n + k k + k vv v v v (4.8) Os termos convectvos e acumulatvos foram mantdos nas equações de quantdade de movmento. Os termos convectvos foram calculados no tme step anteror. As velocdades e dferenças de velocdades que surgem nos termos de

5 Dscretzação e Lnearzação 85 força nas paredes e de nterface são mantdas mplíctas. Os dversos coefcentes que multplcam estas velocdades são calculados no tme step anteror, explíctos, também. As forças csalhantes devdo ao salteamento do cascalho (Bagnold) são calculadas também na teração anteror A equação fnal na forma lnearzada e dscretzada para a equação de conservação de quantdade de movmento para o leto, assume então, a segunte forma, D δα + D δu + D δu + D δ p R δ p = F (4.9) 4.4. Equação de quantdade de movmento para a regão Para a dscretzação e lnearzação da equação de quantdade de movmento para a suspensão, fo utlzado o mesmo processo apresentado acma para a equação de conservação de quantdade de movmento para o leto. Da equação abaxo, t + = z * * ( αu) ( αu ) α p α gsenθ ( τ + τ ) P + τ P ρ * * b wl wl z ρ A T A equação fnal na forma lnearzada e dscretzada para a equação de conservação de quantdade de movmento para a suspensão, assume então, a segunte forma, D δα + D δu + D δu + D δ p R δ p = F (4.0) Onde os coefcentes D 4 j, R 4 j e F 4 são apresentados no Apêndce A.

6 Dscretzação e Lnearzação Condções Incas Condção na entrada (broca) para o líqudo Fluxo no leto G l Clα Ql = C α + C α A l l T (4.) Fluxo na suspensão G l Clα Ql = C α + C α A l l T (4.) Onde G representa a vazão por undade de área. Somando as equações (4.) e (4.) temos a velocdade do fludo na entrada da broca, dada pela relação, u Q l l = ul = (4.3) AT Condção na entrada (broca) para os sóldos A almentação de sóldos é dada pela broca, defnndo a taxa de penetração como Γ (m/s) então, b Q = Γ A (4.4) S b b onde Q S é a vazão de sóldos e A b é a área da broca, dada pela relação, π Db Ab = (4.5) 4

7 Dscretzação e Lnearzação Solução do Modelo Após a dscretzação e lnearzação das equações o segunte sstema trdagonal é obtdo, D R V F L D R 0 0 V F 0 L3 D3 R3 0 V 3 F 3 = 0 0 L4 D4 R4 V3 F LN DN VN FN (4.6) Onde N representa o número de elementos que o tubo será dvddo. Para cada elemento, tem-se, D D D D D D D D D = D3 D3 D33 D34 D D D D (4.7) L L L L L L L L L = L3 L3 L33 L34 L L L L (4.8) R R R R R R R R R = R3 R3 R33 R34 R R R R (4.9) V δα δu = δu δ p (4.0)

8 Dscretzação e Lnearzação 88 F F F = F3 F4 (4.) Cada um dos termos d j, l j, r j e f das equações (4.7), (4.8), (4.9) e (4.) são defndos pelos termos, na forma lnearzada, apresentado nos tens anterores. O sstema de equações acma é resolvdo smultaneamente, para V, para todos os elementos através de algortmos para solução de matrzes tr-dagonas blocadas algortmo de Thomas (Tenkolkg et al., 99).