γ = C P C V = C V + R = q = 2 γ 1 = 2 S gas = dw = W isotermico

Transcrição

1 Q1 Um clndro feto de materal com alta condutvdade térmca e de capacdade térmca desprezível possu um êmbolo móvel de massa desprezível ncalmente fxo por um pno. O rao nterno do clndro é r = 10 cm, a altura ncal do êmbolo é h = 10 cm e contém gás hdrogêno H 2 a 27 C e 1,2 atm. Meddas anterores fetas com o gás à mesma temperatura ndcaram valores do expoente adabátco γ = 1, 4. O clndro é colocado em contato com a atmosfera à temperatura ambente de 27 C ao mesmo tempo em que o pno do êmbolo é removdo de forma a mover-se sem atrto ao longo do exo do clndro. O gás sofre então uma expansão muto lenta até que a pressão nterna do gás se guala à pressão atmosférca. ome como estado termodnâmco ncal aquele ocupado pelo gás no momento em que o clndro é colocado em contado com a atmosfera e como estado fnal aquele ocupado pelo gás ao fnal da expansão. a 0,5 Quas os graus de lberdade da molécula de H 2 que foram exctados no processo? Justfque claramente a sua resposta. b 1,5 Calcule a varação de entropa do gás no nteror do clndro e da atmosfera no processo que lga os estados termodnâmcos ncal e fnal do gás; c 0,5 Faça uma análse da varação de entropa do sstema gás + atmosfera e dscuta a natureza do processo em questão quanto a reversbldade ou rreversbldade. SOLUÇÃO Q1 a Pela defnção do expoente adabátco: γ = C P C V = C V + C V, e usando o fato de que a capacdade térmca molar a volume constante depende do número de graus de lberdade q, C V = du mol d = q 2, temos γ = q + 2 q = q = 2 γ 1 = 2 0, 4 = 5 = 3 + 2, em que 3 graus de lberdade correspondem ao movmento de translação do centro de massa das moléculas de H 2 e 2 graus ao movmento de rotação em torno de 2 exos perpendculares entre s e à lnha que une os 2 átomos de hdrogêno. b A varação de entropa do gás é dada por: S gas = e como o processo se realza à temperatura constante gás e atmosfera se encontram à mesma temperatura, não há varação de energa nterna do gás du = dq dw = 0, logo S gas = 1 f dw = W sotermco f dq, = n ln Vf V p = n ln, p f onde na últma passagem usou-se o fato de que num processo sotérmco p V = p f V f. usando a equação de estado de gás deal, podemos escrever n = pv = pπr2 h : S gas = 1, N/m 2 π 10 2 m 2 0, 1 m ln1, K = 0, 23 J /K Por fm,

2 A atmosfera pode ser consderada como um reservatóro térmco, fornecendo calor sem que sua temperatura vare, logo sua varação de entropa é dada: S atm = Q = W sotermco = S gas = 0, 23 J /K, em que o snal negatvo do calor ndca que a atmosfera cede essa energa ao gás. c A varação de entropa do unverso termodnâmco gás + atmosfera é então nula, e como esse sstema pode ser consderado como em solamento térmco, o processo em questão é reversível, como era de se esperar já que se trata da expansão lenta de um gás em contato com um reservatóro à mesma temperatura, ou seja, um processo sotérmco através de uma sucessão de estado de equlíbro. Dessa forma, um agente externo, aplcando uma força sobre o êmbolo de modo a movê-lo lentamente, é capaz de comprmr sotérmcamente o gás a fazendo-o retornar ao mesmo estado termodnâmco ncal, ou seja, volume V e pressão p.

3 Q2 Um mol de um gás monoatômco deal realza o cclo mostrado na fgura. O processo A B é uma expansão sotérmca reversível. São conhecdas P C e V C e sabe-se que P A = 5P C e V B = 5V C. Calcule: a 0,7 o trabalho líqudo feto pelo gás; b 0,8 o calor recebdo pelo gás em cada uma das etapas do cclo; c 0,5 o rendmento do cclo. d 0,5 Compare o rendmento do ítem c com o de uma máquna de Carnot operando entre as mesmas temperaturas. SOLUÇÃO Q2 a O trabalho líqudo é: b W = W AB + W BC + W CA = A ln VB V A + P C V C V B + 0, já que o trecho AB é sotérmco, BC é a sobárco e CA é socórco. Escrevendo todas as temperaturas e volumes em termos de P C e V C, temos A = 5P CV C = B, temos W = 5 ln 5 4P C V C Q AB = W AB = ln VB V A Q BC = C P C B = 5 2 PC V C Q CA = C V A C = 3 2 5PC V C = 5 ln 5P C V C 5P CV C = 10P C V C P CV C = 6P C V C, onde usou-se que as capacdades térmcas molares a volume C V e a pressão C P constantes de um gás deal monoatômco são C V = 3/2 e C P = 5/2, respectvamente. c A efcênca do cclo é dada por η = W Q recebdo = 1 Q ceddo Q recebdo = 1 Q BC, Q CA + QAB onde deve-se tomar cudado com o snal dos calores, já que em nossa convensão, calor que sa do sstema como Q BC é negatvo. Logo η = , 288 = 28, 8% ln 5 A efcênca de uma máquna de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas F = C e Q = A = B depende apenas de F e Q η Carnot = 1 F = 1 1 = 80% > η. Q 5 Como era de se esperar, a máquna de Carnot é mas efcente que a máquna operando pelo cclo acma. Dadas as temperaturas da fonte fra e da fonte quente, a 2a Le da ermodnâmca mpede que se obtenha uma máquna mas efcente que a de Carnot operando entre essas duas temperaturas.

4 SOLUÇÃO Q3 Q3 2,5 Um gás de moléculas datômcas rígdas.e., cujo espaçamento nter-atômco não pode varar está ncalmente nas condções normas de temperatura e pressão CNP. O gás é então comprmdo adabatcamente até que seu volume ncal é reduzdo por um fator f = 5. Determne a energa cnétca méda de rotação de uma molécula no estado fnal tomado como um estado de equlíbro, assm como a velocdade angular méda de rotação no mesmo estado, adotando como momento de nérca em relação a um exo passando pelo seu centro de massa e perperdcular à lnha que une os átomos I = 2, g cm 2. a Numa compressão adabátca, temos a segunte relação entre temperatura e volume V γ 1 = cte = γ 1 f V =. V f No estado fnal de equlíbro, as moléculas podem transladar e grar, de forma que aplcando o eorema da Equpartção da Energa a esse estado, sabemos que a energa méda por molécula e por grau de lberade é k B /2. Para os graus de lberdade de rotação em torno de 2 exos perpendculares entre s 1 e 2 e ao exo que une os 2 átomos, a energa cnétca méda de rotação é a soma das energas cnétcas médas < τ 1 > e < τ 2 >: < τ >=< τ 1 > + < τ 2 >= 1 2 I < ω2 1 > I < ω2 2 >= I < ω 2 >= 1 2 k B f k B f = k B f, onde usou-se que ω 2 = ω ω 2 2. Então, [ ] γ 1 V < τ >= k B f = k B = 1, J/K 5 2/5 273 K = 7, J, V f já que graus de lberdade são exctados no estado fnal γ = q+2 q = 7 5. A velocdde angular de rotação méda é então: < ω 2 >= < τ > I = 7, J 2, kg m 2 34, rad /s 2 = < ω > 5, rad/s

5 SOLUÇÃO Q4 Q4 Um mol de gás deal com capacdade térmca molar C V sofre um processo em que a entropa S vara com a temperatura na forma S = α, onde α é uma constante. A temperatura do gás vara de a 2. Calcule em função de α, C V, e 2 : a 1,5 a quantdade de calor transferda ao gás no processo; b 1,0 o trabalho realzado pelo gás. a O calor transferdo ao gás é Q = f Q = 2 ds = 2 dq. Lembrado-se de que dq = ds, temos ds d d = 2 [ ] α 2 d = α 2 d = α ln b Pela prmera le da ermodnâmca U = Q W e, além dsso, sabemos que U = C V = C V 2, logo 2 W = Q U = α ln C V 2 2