INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO

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1 Área Centfca Curso Matemátca Engenhara Electrotécnca º Semestre º 00/0 Fcha nº 9. Um artgo da revsta Wear (99) apresenta dados relatvos à vscosdade do óleo e ao desgaste do aço maco. A relação entre estas duas varáves revela-se bastante mportante em mutas aplcações físcas. Os dados da revsta são apresentados na tabela segunte, em que X representa a vscosdade do óleo e Y o desgaste do aço maco (em 0-4 mm 3 ): X Y a) Construa o dagrama de dspersão para os dados. Acha plausível uma relação lnear entre as duas varáves? Justfque. b) Calcule a equação da recta dada pelo método dos mínmos quadrados, e represente-a no dagrama construído na alínea anteror. Comente o ajustamento da recta obtda aos pontos (x, y ),,,...,9. c) Preveja o desgaste sofrdo no aço quando a vscosdade do óleo é de 30. d) Determne se a regressão é estatstcamente sgnfcatva, sto é, se o conhecmento do valor de X é útl para prever o valor de Y. Use um nível de sgnfcânca de e) Usando um nível de sgnfcânca de 0.05, pode conclur que a ordenada na orgem é superor a 00?. O volume de vapor de água despenddo por mês numa fábrca químca parece estar relaconado com a temperatura méda ambental (em ºF) observada nesse mês. O volume de vapor de água e a respectva temperatura méda observadas na fábrca no passado ano são dados na segunte tabela: Mês Temp(ºF) Vapor/000 Mês Temp(ºF) Vapor/000 Jan 85.9 Julho Fev Ago Mar Set Abr Out Mao Nov Junho Dez Págna de

2 º Semestre º 00/0 a) Desenhe o dagrama de dspersão (Temperatura Volume) para os dados da tabela. O dagrama sugere-lhe uma relação lnear entre as duas varáves? Se sm, o grau de relaconamento (lnear) parece-lhe forte ou fraco? Justfque. b) Assumndo que o modelo de regressão lnear smples é aproprado para estes dados, calcule a equação de regressão estmada pelo método dos mínmos quadrados. c) Que alteração se espera no volume de vapor de água usado quando a temperatura méda mensal aumenta ºF? d) Qual é a estmatva esperada de volume de vapor usado quando a temperatura méda mensal é de 4ºF? E de 9ºF? e) Determne se a regressão é estatstcamente sgnfcatva, sto é, a varação do volume de vapor de água dspendda pode ser explcada por varações da temperatura méda ambental. Use um nível de sgnfcânca de f) Usando um nível de sgnfcânca de 0.05, há evdênca de que a constante do modelo (β 0 ) é nferor a -5? 3. Um artgo de um jornal de Engenhara Ambente apresenta os resultados de um estudo acerca da presença de cloreto em váras zonas portuáras que crcundam determnada lha. Os dados apresentados a segur dzem respeto à área destnada à navegação na baca hdrográfca X (em %) e à concentração de cloreto Y (em mg/l) : X Y a) Determne os coefcentes de correlação e determnação. Interprete-os. b) Determne a recta de regressão usando o método dos mínmos quadrados. c) Estme a concentração de cloreto para uma baca que tem % da área para navegação. 4. Calcule e nterprete os coefcentes de correlação e de determnação para os exercícos e. Compare as suas conclusões com as obtdas anterormente da observação do dagrama de dspersão. Págna de

3 º Semestre º 00/0 5. Para um estudo sobre polução atmosférca foram observados num certo local dum centro urbano o volume de tráfego V (nº carros/hora) e a concentração de monóxdo de carbono C (Co). Os resultados de sete leturas são dados a segur: v = 50; v 50500; c 80. 3; c ; v c 330. = = = = Comente a segunte afrmação, apresentando todos os cálculos que achar necessáros: Apenas % da concentração de monóxdo de carbono é explcada por outros factores que não o volume de tráfego exstente. 6. Fo realzado um nquérto a dez alunos para tentar relaconar o número de horas de estudo X e a classfcação obtda em certo exame Y. Obtveram-se os seguntes valores: Horas Cotação a) Construa o dagrama de dspersão correspondente aos valores encontrados. Comente. b) Calcule a equação da recta de regressão da classfcação obtda em função das horas de estudo. Faça a avalação da recta, recorrendo aos coefcentes estudados. c) Cerca de % na varação das notas se deve a outros factores que não as horas despenddas no estudo. Complete a afrmação. Pode avançar outros factores mportantes? d) Determne se a regressão é estatstcamente sgnfcatva, sto é, se o conhecmento do número de horas de estudo (X) é útl para prever a classfcação obtda em certo exame (Y). Use um nível de sgnfcânca de e) Usando um nível de sgnfcânca de 0.05, pode conclur que a constante do modelo (β 0 ) é dferente de 30? f) Usando um nível de sgnfcânca de 0.05, pode-se dzer que um aumento no número de horas de estudo provoca, em méda, um aumento sgnfcatvo na classfcação esperada? Págna 3 de

4 º Semestre º 00/0. Num estudo para determnar de que modo a habldade para executar uma determnada tarefa complexa é nfluencada pela quantdade de treno, foram usados 5 ndvíduos aos quas fo dado um treno que varava de 3 a horas. Depos do treno foram regstados os tempos que cada um deles gastou a executar a tarefa. Representando por X a duração do treno (em horas) e por Y o tempo gasto na execução da tarefa (em mnutos), os resultados obtdos resumem-se segudamente: x =. y = x 8. 5 = 5 y = x y = SSE=6.84 SST=60. a) Determne a equação de regressão estmada pelo método dos mínmos quadrados. b) Interprete o coefcente de regressão b. c) Calcule o coefcente de correlação e nterprete o valor encontrado. d) O que pode dzer relatvamente ao tempo de execução da tarefa de um ndvíduo que tenha sdo sujeto a 35 horas de treno? e) Determne se a regressão é estatstcamente sgnfcatva, sto é, se a duração do treno (em horas) é útl para prever o tempo de execução de determnada tarefa. Use um nível de sgnfcânca de f) Usando um nível de sgnfcânca de 0.05, pode conclur que a constante do modelo (β 0 ) é sgnfcatvamente dferente de 60? Págna 4 de

5 º Semestre º 00/0 SOLUÇÕES.a) Por análse do dagrama de dspersão, parece razoável assumr um relaconamento lnear entre X e Y, pos os pontos do dagrama de dspersão concentram-se com pequenos desvos à volta de uma recta magnára..b) yˆ = x ;.c) Quando a vscosdade do óleo é 30, prevê-se que o desgaste sofrdo no aço seja, em méda, 8.8. d) [ F] Rejeta-se H 0 F obs = 5.04 RC = [5.59; + [ [ T] Rejeta-se H 0 t obs = -.44 RC = ] - ; -.365] [.365; + [ e) Rejeta-se H 0 pos t obs =,48 RC = [.895; + [.a) O dagrama de dspersão sugere uma relação lnear entre as duas varáves, já que os pontos se concentram bastante à volta de uma recta. Uma vez que a concentração dos pontos à volta da recta é bastante acentuada concluímos que o grau de relaconamento lnear é forte..b) yˆ = x.c) Quando a temperatura méda mensal aumenta ºF, espera-se um acréscmo no volume de vapor de água usado de 9...d) Para uma temperatura de 4ºF, estma-se que, em méda, o volume de vapor usado seja de Para uma temperatura de 9ºF, é arrscado usar a recta de regressão para estmar o volume de vapor usado, já que aquele valor de temperatura está fora do âmbto dos dados. De facto, fora do âmbto dos dados não há qualquer evdênca de que a mesma relação lnear seja anda adequada para descrever o relaconamento entre X e Y. e) [ F] Rejeta-se H 0 F obs = RC = [4.965; + [ [ T] Rejeta-se H 0 t obs =.64 RC = ] - ; -.8] [.8; + [ f) Não se rejeta-se H 0 pos t obs = -0.8 RC = ]- ; -.8] Págna 5 de

6 º Semestre º 00/0 3.a) r =0.6 6% da varação na concentração de cloreto está relaconada lnearmente com a varação na área destnada a navegação; r=0.8 exste um relaconamento lnear forte entre a concentração de cloreto e a área destnada a navegação. 3.b) yˆ = x 3.c) Para uma baca que tenha % de área de navegação, estma-se que a concentração de cloreto seja, em méda,.09 mg/l. 4. Para o exercíco : r =0.88 e r=-0.94 sendo r muto próxmo de e r muto próxmo de -, podemos conclur que há um bom ajustamento dos dados à recta estmada,.e, o modelo lnear consderado é um modelo adequado. De facto, o coefcente de determnação r, ndca que cerca de 88% das varações no desgaste do aço maco são explcadas pelo modelo,.e., por varações na vscosdade do óleo. Fcam por explcar apenas % das varações no desgaste do aço maco, e portanto, podemos dzer que o modelo consderado explca grande parte das varações na varável dependente. Estas conclusões estão de acordo com as obtdas por análse do dagrama de dspersão. Para o exercíco : r = e r= Os valores muto próxmos de de ambos os coefcentes, ndcam haver um relaconamento lnear forte entre as duas varáves e, portanto, o modelo lnear consderado é bastante adequado para traduzr o relaconamento entre as duas varáves. Estas conclusões estão de acordo com as obtdas por análse do dagrama de dspersão. 5. r = cerca de 98% das varações na concentração de monóxdo de carbono são explcadas lnearmente por varações no volume de tráfego. Fcam por explcar apenas % das varações na concentração de monóxdo de carbono que resultam de outros factores não consderados no modelo. Págna 6 de

7 º Semestre º 00/0 6. b) yˆ = x ; r =0.89; r= c) Cerca de % na varação das notas se deve a outros factores que não as horas despenddas no estudo. Outros factores que podem ter nfluênca na classfcação no exame: assdudade às aulas, gosto pela matéra,. 6d) [ F] Rejeta-se H 0 F obs = 6.09 RC = [5.38; + [ [ T] Rejeta-se H 0 t obs = 8.9 RC = ] - ; -.306] [.306; + [ 6e) Não se rejeta H 0 pos t obs = RC = ] - ; -.306] [.306; + [ 6f) Rejeta-se H 0 t obs = 8.9 RC = [.860; + [.a) ŷ = x;.b) b =-.038 estma-se que um acréscmo na duração do treno de uma hora, conduza, em méda, a um decréscmo no tempo de execução da tarefa de. mnutos;.c) r=-0.9;.d) Não é sensato utlzar a equação de regressão obtda para predzer o tempo de execução da tarefa para as 35 horas de treno, uma vez que 35 está fora do âmbto dos dados. e) [ F] Rejeta-se H 0 F obs = 0.5 RC = [4.66; + [ [ T] Rejeta-se H 0 t obs = RC = ] - ; -.60] [.60; + [ f) Rejeta-se H 0 pos t obs = 0.5 RC = ] - ; -.60] [.60; + [ Págna de