AULA EXTRA Análise de Regressão Logística

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1 1 AULA EXTRA Análse de Regressão Logístca Ernesto F. L. Amaral 13 de dezembro de 2012 Metodologa de Pesqusa (DCP 854B)

2 VARIÁVEL DEPENDENTE BINÁRIA 2 O modelo de regressão logístco é utlzado quando a varável resposta é qualtatva com dos resultados possíves. Probabldade de sucesso = p Probabldade de fracasso = 1 p = q Chance = (prob. de sucesso) / (prob. de fracasso) Por exemplo, se a probabldade de sucesso é 0,75, a chance é gual a: p / (1 p) = p / q = 0,75 / 0,25 = 3

3 RAZÃO DE CHANCES 3 Razão de chances para varáves dependentes bnáras é a razão entre a chance de uma lnha (ou coluna) de uma tabela 2x2, dvdda pela chance da outra lnha (ou coluna):

4 EXEMPLO DE CÁLCULO DE RAZÃO DE CHANCES 4 Sexo Dlma Serra Total Homem Mulher Total Chance de votar na Dlma entre homens: p 1 / (1-p 1 ) = (52/91) / (39/91) = 0,57 / 0,43 = 1,33 Chance de votar na Dlma entre mulheres: p 2 / (1-p 2 ) = (43/87) / (44/87) = 0,49 / 0,51 = 0,96 Razão de chances de votar na Dlma entre homens, em relação às mulheres: [p 1 /(1- p 1 )] / [p 2 /(1- p 2 )] = 1,33 / 0,96 = 1,39

5 FUNÇÃO DE RESPOSTA QUANTO VARIÁVEL DEPENDENTE É BINÁRIA Vamos consderar o modelo de regressão lnear smples: Y X Y A resposta esperada é dada por: Y X E 1 0 ) ( Na regressão logístca, Y possu uma dstrbução de probabldade: Y P Y Y P Y 1 0) ( 0 1) ( 1 5

6 LOGITO 6 O logto (logt) equvale ao logartmo natural (base e) da chance: A função logístca é dada pelo logto-nverso (ant-logt) que nos permte transformar o logto em probabldade:

7 RAZÃO DE CHANCES (ODDS RATIO) 7 Compara a chance de sucesso de um grupo em relação a outro grupo: Portanto, a dferença entre os logtos de duas probabldades equvale ao logartmo da razão de chances.

8 RAZÃO DE CHANCES (ODDS RATIO) 8 Razão de chance é dada pela expressão exp(γ): chance de sucesso no grupo A, em relação ao grupo B. Se exp(γ) for maor que uma undade, chance de sucesso em A é maor que em B. Ex.: exp(γ)=1,17, chance de sucesso em A é 1,17 vezes maor do que em B, ou seja, é 17% maor do que em B. Se exp(γ) for menor que uma undade, chance de sucesso em A é menor que em B. Ex.: exp(γ)=0,61, chance de sucesso em A é 0,61 vezes a chance de B, ou seja, é 39% menor do que em B.

9 DEFINIÇÃO DO VALOR ESPERADO 9 Pela defnção de valor esperado, obtemos: E( Y ) X 0 1 Assm, a resposta méda, quando a varável resposta é uma varável bnára (1 ou 0), representa a probabldade de Y = 1, para o nível da varável ndependente X.

10 REGRESSÃO LOGÍSTICA COM UMA VARIÁVEL INDEPENDENTE 10 Consderações teórcas e prátcas sugerem que quando a varável resposta é bnára, a forma da função resposta será frequentemente curvlínea. As funções respostas (valores predtos) das fguras são denomnadas funções logístcas, cuja expressão é: E ( Y) exp( 0 1X ) 1exp( X 0 1 ) Forma equvalente: E( Y ) 1 exp X 1 0 1

11 VARIÁVEL DEPENDENTE ESTIMADA PELA VARIÁVEL INDEPENDENTE OBSERVADA 11 E ( Y) exp( 0 1X ) 1exp( X ) 0 1

12 VARIÁVEL DEPENDENTE ESTIMADA PELA VARIÁVEL INDEPENDENTE OBSERVADA 12 E exp( 0 1X ) ( Y) 1exp( X ) 0 1

13 REGRESSÃO LOGÍSTICA COM MAIS DE UMA VARIÁVEL INDEPENDENTE 13 Função com uma varável ndependente: E( Y) exp( 0 1X ) 1exp( X ) Função com uma sére de varáves ndependentes: E( Y ) E( Y) (1 0 exp( β X) 1exp( β X) Uma forma equvalente é dada por: exp( β ' ' ' 1 X)) 1

14 EQUAÇÃO DE REGRESSÃO 14 A parte lnear da equação da regressão logístca é usada para encontrar a probabldade de estar em uma categora, baseado na combnação de varáves ndependentes. Os coefcentes de regressão e seus erros padrões são estmados com métodos de máxma verossmlhança.

15 AJUSTANDO O MODELO A função log-verossmlhança estende-se dretamente para o modelo de regressão logístca múltpla, dada por: log L(β) n e Y 1 ' ( β X ) n 1 log e (1 exp( β Métodos numércos devem ser utlzados para encontrar os valores de 0, 1,..., p-1 para maxmzar a expressão. As estmatvas de máxma verossmlhança serão denotadas por b 0, b 1,...,b p-1. A função resposta logístca ajustada e os valores ajustados são dados por: ˆ exp( b X) 1 ' exp( b X) ˆ exp( b X ) 1 ' exp( b X ) ' ' (1 (1 exp( b ' exp( X)) b ' X -1 )) ' X -1 )) 15

16 ESTIMADORES DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA Não exste uma solução analítca para os valores 0 e 1 que maxmzam a função de verossmlhança. Métodos numércos são necessáros para encontrar as estmatvas de máxma verossmlhança, b 0 e b 1. Encontradas as estmatvas b 0 e b 1, substtu-se esses valores para encontrar os valores ajustados. O valor ajustado para o -ésmo valor é dado por: ˆ exp( b0 b1 X ) 1exp( b b X ) Se usarmos a transformação logt, a função é: ˆ A função de resposta ajustada é dada por: ' ˆ b0 b1 X onde: ' ˆ ˆ log 0 1 exp( b0 b1 X ) 1exp( b b X ) 0 1 e 1 ˆ 16

17 TESTE DE QUI-QUADRADO DA RAZÃO DE VEROSSIMILHANÇA Logartmo da verossmlhança (Log-lkelhood): N log lkelhood [ Y ln( Y ) (1 Y )ln(1 Y )] Modelos são comparados com uso dos logartmos das verossmlhanças dos modelos: ou 1 X 2 = 2 [(log-lkelhood do modelo restrto) (log lkelhood do modelo rrestrto)] X 2 = 2 [(log-lkelhood do modelo rrestrto) (log lkelhood do modelo restrto)] 17 Modelos precsam ser annhados para comparação, ou seja, todas varáves ndependentes do menor modelo (restrto) devem estar ncluídas no maor modelo (rrestrto).

18 MAIS TESTE DE QUI-QUADRADO O teste de qu-quadrado da razão da verossmlhança é gual ao ajuste do modelo restrto ( 2*log. da verossmlhança do modelo anteror) menos o ajuste do modelo rrestrto ( 2*log. da versossmlhança do modelo atual). O logartmo da verossmlhança multplcado por 2 é usado para testar hpóteses entre modelos annhados, sendo que seu valor não tem um sgnfcado específco. Esta razão é testada em uma dstrbução de qu-quadrado, levando em consderação a dferença entre os graus de lberdade (número de varáves ndependentes do modelo rrestrto menos o número de varáves ndependentes do modelo restrto). Se o teste de qu-quadrado é sgnfcante, é afrmado que o modelo rrestrto não pode ter redução de varáves ndependentes, dado um nível de sgnfcânca específco. 18

19 TESTE DE WALD 19 Cada coefcente é avalado usando o teste de Wald, que é smplesmente um teste de escore z: Os testes dos coefcentes são aproxmadamente escores z, os quas são posterormente elevados ao quadrado, fazendo com que esta estatístca tenha dstrbução de qu-quadrado. Esse teste é usado para avalar a sgnfcânca de cada coefcente (β) no modelo. O teste de Wald é conhecdo por ser conservador (aumenta o erro II).

20 ERROS TIPO I E TIPO II 20 Ao testar H 0, chegamos a uma conclusão de rejetá-la ou de dexar de rejetá-la. Tas conclusões pode estar corretas ou erradas. α: probabldade de erro tpo I (probabldade de rejetar hpótese nula quando ela é verdadera). β: probabldade de erro tpo II (probabldade de dexar de rejetar hpótese nula quando ela é falsa).

21 PSEUDO R 2 21 Há váras meddas de assocação que pretendem servr como um R 2 na regressão logístca. Porém, nenhuma destas meddas é realmente o R 2. A nterpretação não é a mesma, mas eles podem ser vstos como uma aproxmação da varação na varável dependente, devdo à varação nas varáves ndependentes. Para comparação de grau de ajuste entre modelos é mas aproprado fazer o teste de qu-quadrado da razão da verossmlhança.

22 MODELO LOGÍSTICO MULTINOMIAL 22 É possível estmar uma regressão logístca em que a varável dependente tem mas de duas categoras. Ou seja, o modelo logístco pode ser estenddo quando a varável resposta qualtatva tem mas do que duas categoras. Por exemplo, posconamento deológco: esquerda, centro, dreta. São geradas k 1 equações, sendo k o número de categoras. As equações geram probabldades para predzer se uma categora está acma/abaxo da categora de referênca.

23 EXEMPLO DE MODELO LOGÍSTICO 23

24 IMPACTO DO BOLSA FAMÍLIA SOBRE ABANDONO ESCOLAR Banco de dados de Avalação de Impacto do Programa Bolsa Famíla (AIBF) de 2005 do Mnstéro do Desenvolvmento Socal e Combate à Fome (MDS). 24 Modelos logístcos foram estmados para três grupos de domcílos, segundo lmtes máxmos da renda domclar per capta: 1) R$50,00: população com pores condções sócoeconômcas. 2) R$100,00: lmte ofcal de renda defndo para elegbldade ao PBF. 3) R$200,00: garante representatvdade amostral em todos grupos.

25 VARIÁVEL DEPENDENTE 25 Varável dependente ndca se a crança abandonou a escola entre 2004 e 2005: No ano passado, frequentava escola ou creche? Frequenta escola ou creche atualmente? Fo realzada análse multvarada, controlando as estmatvas por característcas do domcílo, mãe e crança.

26 VARIÁVEIS INDEPENDENTES DE DOMICÍLIO 26 Número de membros da famíla. Presença de dosos. Presença de rede geral de água. Ilumnação elétrca. Servço de coleta de lxo. Domcílo em zona urbana ou rural. Regão de resdênca (Sul/Sudeste; Norte/Centro-Oeste; Nordeste).

27 VARIÁVEIS INDEPENDENTES DA MÃE 27 Indcação se mãe é chefe do domcílo. Cor/raça. Anos de escolardade. Idade. Resda há menos de 10 anos no muncípo. Partcpação em organzações socas. Horas de trabalho por semana. Tempo gasto em cudados com a casa por da.

28 DEMAIS VARIÁVEIS INDEPENDENTES 28 Varáves ndependentes da crança: Idade da crança. Indcação se crança trabalha. Mãe resde no domcílo. Benefcáro do Programa Bolsa Famíla: Indcação se crança resde em domcílo que recebe o benefíco.

29 DESCRIÇÃO DA AMOSTRA Dstrbução percentual de cranças por grupos de renda domclar per capta e recebmento do benefíco. 29 Programa Bolsa Famíla Lmte de renda domclar per capta R$50,00 R$100,00 R$200,00 Sm 68,39% 64,71% 59,75% Não 31,61% 35,29% 40,25% Nº casos (n) Fonte: AIBF/MDS (2005).

30 DISTRIBUIÇÃO DA VARIÁVEL DEPENDENTE 30 Percentual de cranças que abandonaram a escola entre 2004 e 2005 por grupo de renda e recebmento do benefíco. Programa Bolsa Famíla Lmte de renda domclar per capta R$50,00 R$100,00 R$200,00 Sm 1,10% 1,42% 1,30% Não 2,39% 1,97% 1,80% Dferença 1,28%*** 0,55%*** 0,50*** ***Sgnfcatvo ao nível de confança de 99%. Fonte: AIBF/MDS (2005).

31 RAZÕES DE CHANCES DA CRIANÇA TER ABANDONADO A ESCOLA ENTRE 2004 E Varáves ndependentes R$50,00 R$100,00 R$200,00 Varáves de domcílo Nº de membros da famíla 1,122 1,124*** 1,108*** Idosos no domcílo 1,454 1,678 1,331 Rede de água 1,066 0,767 0,694* Ilumnação elétrca 1,270 1,106 1,293 Coleta de lxo 0,994 0,756 0,621** Rural ref. ref. ref. Urbano 1,729 1,910* 2,309*** Sul/Sudeste ref. ref. ref. Norte/Centro-Oeste 2,536** 1,889** 1,630** Nordeste 3,035** 2,248*** 2,064***

32 RAZÕES DE CHANCES DA CRIANÇA TER ABANDONADO A ESCOLA ENTRE 2004 E 2005 (cont.) 32 Varáves ndependentes R$50,00 R$100,00 R$200,00 Varáves da mãe Mãe é chefe do domcílo 1,974*** 1,445* 1,508** Preta/Parda ref. ref. ref. Branca 2,248** 2,029*** 1,465** 0 anos de estudo ref. ref. ref. 1-4 anos de estudo 1,267 1,195 1, anos de estudo 0,701 0,898 0, anos de estudo 0,251* 0,440* 0,481* 0-24 anos 1,507 4,757*** 4,534*** anos ref. ref. ref anos 1,170 1,111 1, anos 0,053*** 0,532 0,645

33 RAZÕES DE CHANCES DA CRIANÇA TER ABANDONADO A ESCOLA ENTRE 2004 E 2005 (cont.) 33 Varáves ndependentes R$50,00 R$100,00 R$200,00 Varáves da mãe <10 anos no muncípo 1,325 1,411 1,838*** Partcpa org. socal 0,731 0,643* 0,565*** 0 hora/semana trabalho ref. ref. ref horas/semana trabalho 0,257* 0,920 1, horas/semana trabalho 0,736 0,744 0, horas/semana trabalho 0,904 1,790** 1,529* 0-2 hora/da trab. casa ref. ref. ref. 3-4 hora/da trab. casa 2,975 1,089 0, hora/da trab. casa 2,399 1,241 1, hora/da trab. casa 2,084 1,563 1,443

34 RAZÕES DE CHANCES DA CRIANÇA TER ABANDONADO A ESCOLA ENTRE 2004 E 2005 (cont.) 34 Varáves ndependentes R$50,00 R$100,00 R$200,00 Varáves da crança Idade 1,174** 1,226*** 1,194*** Crança trabalha 1,417 1,177 1,465 Mãe resde no domcílo 0,218*** 0,455** 0,610* Benefcáro do Programa Bolsa Famíla 0,428*** 0,662** 0,666** Número de casos (cranças) *Sgnfcatvo ao nível de 90%; **Sgnfcatvo ao nível de 95%; ***Sgnfcatvo ao nível de 99%. Fonte: AIBF/MDS (2005).