A redução na pressão sangüínea (mm Hg) em um período de quatro semanas observadas em cães experimentais está tabulada abaixo:

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS E VETERINÁRIAS CAMPUS DE JABOTICABAL ª PROVA DE ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL - MEDICINA VETERINÁRIA NOME: DATA / / ª QUESTÃO (,): A redução da pressão sangüínea sstólca (RPS) depos da admnstração de drogas para hpertensão é um dos ndcadores de como os pacentes estão respondendo às drogas. No tratamento da hpertensão, os efetos colateras assocados com as drogas têm um partcular nteresse. Neste estudo, duas drogas X e Y para a redução dos efetos colateras de uma droga padrão (P) de hpertensão fo avalada. O estudo fo conduzdo em um delneamento nteramente casualzado com cnco tratamentos, assm defndos: T Droga padrão (P) T P combnada com uma dose baxa de X (P+XB) T P combnada com uma dose alta de X (P+XA) T P combnada com uma dose baxa de Y (P+YB) T P combnada com uma dose alta de Y (P+YA) A redução na pressão sangüínea (mm Hg) em um período de quatro semanas observadas em cães expermentas está tabulada abaxo: Tratamentos Repetções T T 9 6 T 0 0 T 8 T Pede-se: a) O modelo matemátco para este expermento, explcando cada termo, as hpóteses que serão testadas e as suposções mpostas ao modelo matemátco para que as nferêncas sejam váldas; Modelo = µ + τ + e, com =,,,, e j =,,, sendo, é a observação na undade expermental que recebeu o - ésmo tratamento na j-ésma repetção; µ é a méda geral comum a todas as observações defnda como k r µ = µ = N, com µ a méda populaconal do -ésmo tratamento; τ o efeto do -ésmo tratamento na varável dependente Y e mede o afastamento da méda µ em relação a µ, sto é, τ = µ µ ; e e é um erro casual não observável. Hpóteses: H : µ = µ H 0 : µ µ j = µ = µ = µ para pelo menos um par j Suposções e são varáves aleatóras ndependentes e dentcamente dstrbuídas com dstrbução N( σ ). Como os são funções lneares dos das suposções sobre os erros decorre que: E ( ) = µ + τ = µ ; e,

2 Var( ) = σ ; são normalmente dstrbuídos e ndependentes, ou, resumdamente que ~ N( µ, σ ). b) A análse de varânca para testar a hpótese geral de gualdade das médas dos tratamentos e apresente as conclusões pertnentes; Resolvendo no R: # entrando com o número de repetções r <- # entrando com os dados rps <- c(7, 6,, 6, # observações do tratamento 9,,, 6, # observações do tratamento,, # observações do tratamento,,, 8, # observações do tratamento 8, 7, 6) # observações do tratamento # entrando com os níves das drogas (Tratamentos) trat <- c(rep("t", r), rep("t", r), rep("t", r), rep("t", r), rep("t", r)) # estabelecendo o objeto trat com fator e guardando no própro objeto trat trat <- factor(trat) trat # fazendo a análse de varânca pelo comando aov() rps.av <- aov(rps~trat) #mprmndo o quadro da anova summar(rps.av) Saída do R: Quadro da Anova: comando aov( ) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat e-0 *** Resduals Sgnf. codes: 0 *** 0.00 ** 0.0 * ANOVA pelo ExpDes # fazendo a análse pelo ExpDes requre(expdes) # requerendo o pacote ExpDes crd(trat,rps,mcomp=f) Analss of Varance Table DF SS MS Fc Pr>Fc Treatament e-0 Resduals Total 9 8. CV =. % Shapro-Wlk normalt test p-value: Accordng to Shapro-Wlk normalt test at % of sgnfcance, resduals can be consdered normal. Conclusão: O teste F é sgnfcatvo ( p=,8 0-0 ), portanto rejeta-se H 0, ou seja, exste uma dferença entre pelo menos duas drogas na redução da pressão sanguínea (rps). (Reparem que o ExpDes já fornece o CV e o teste da normaldade dos resíduos) c) Exste dferença sgnfcatva entre a méda das respostas esperadas das duas doses da droga X e a méda das respostas esperadas para as duas doses de Y? Defnndo o contraste Y como sendo

3 Y Yˆ = ( 0) µ + ( ) µ + ( ) µ + ( ) µ + ( ) µ = ( 0) + + ( ) + ( ) + ( ) e + ( ) H0 Y = 0 vs H : Y + sua = estmatva como Temos que testar : 0 utlzando o teste de Scheffé Scrpt no R # aplcando o comando tappl ao objeto nsulna para o cálculo das # médas dos tratamentos m.trat <- tappl(rps, trat, mean) m.trat #defnndo os coefcentes do contraste c<-c(,,-,-) # estmatva e mpressão do contraste <-sum(c*m.trat); # obtenção do QMR no quadro da anova qmr <- anova(rps.av)[,] qmr # obtenção dos gl dos tratamentos no quadro da anova gltr <- anova(rps.av)[,] gltr # obtenção dos gl do resduo no quadro da anova glr <- anova(rps.av)[,] glr # calculo da varanca do contraste var.c<-qmr/r*sum(c^) # cálculo da estatístca S de Scheffé s<- sqrt(gltr*qf(0.9,gltr,glr)*var.c) s o valor da estatístca s de scheffé é 8,867. Logo, Yˆ > s + = 9, mm Hg e o teste é sgnfcatvo a %, portanto rejeta-se a H 0 do contraste ser gual a zero, ou seja, a redução na rps provocada pela méda das doses baxa e alta da droga X é 9, mm Hg em méda menor que a méda das doses baxa e alta da droga Y. Assm as doses baxa e alta da droga Y provocam uma maor redução na pressão sstólca. d) Exste efeto sgnfcatvo das drogas X e Y combnadas? Dê uma estmatva deste contraste e faça as conclusões pertnentes. : Defnndo o contraste Y como sendo Y Yˆ = µ µ µ µ µ e sua estmatva como sendo = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + = = 6 mm Hg Temos que testar : Y = 0 vs H : Y 0 utlzando o teste t-student H0 # defnndo os coefcentes do contraste c <- c(, -,-,-,-) # estmatva e mpressão do contraste <-sum(c*m.trat); #calculo da varânca do contraste var.c<- qmr/r*sum(c^) # cálculo da estatístca tc da estatístca t-student tc <- sum(c*m.trat)/sqrt(var.c)

4 tc # cálculo do valor de p assocado à estatstca t calculada anterormente valor.p<- -pt(abs(tc),glr) valor.p o valor de p = 6.77e-06 assocada à estatístca t = 6,7 é sgnfcatvo portanto rejeta-se a H 0 do contraste ser gual a zero, ou seja, a droga padrão P provoca uma redução de 6 mm Hg em méda na rps quando comparada com a méda das doses baxa e alta das drogas X e Y. e) Dê os valores dos estmadores de mínmos quadrados dos termos especfcados abaxo: ˆ µ = 7, 8 mm Hg ; ˆ 6, 0 ; ˆ ˆ + + = τ = = ε = =, Resolvendo no R mean(rps) # cálculando a méda geral m.trat-mean(rps) # estmando o efeto dos tratamentos res<-aov(rps.av)$res # obtendo os resíduos (e ) res[8] # mprmndo o 8º resíduo (º do T) f) Calcule os coefcentes de determnação (R ) e de varação (C.V.) do expermento e comente sobre seus valores (apresente os resultados); 0 CV R = SQ = QMR ++ x00 = 6, 7, 8 do modelo x00 = SQT x00 =, 9% SQTr SQT 88, 7 X00 = 8, X00 = 8 9% Comentáros: O coefcente de varação de,9% pode ser consderado baxo ndcando que o expermento fo bem conduzdo. Pelo valor de R sgnfca que 8% da varabldade dos dados em torno de sua méda geral (7,8) esta sendo explcada pelo modelo matemátco do DIC descrto no tem a) Resolvendo no R # # calculo do CV # cv <- sqrt(qmr)/mean(rps)*00 cv sqtr <- anova(rps.av)[,] # obtenção da soma de quadrados dos tratamentos do quadro da anova sqtr sqr <- anova(rps.av)[,] # obtenção da soma de quadrados do resíduos quadro da anova sqr r <- sqtr/(sqtr+sqr)*00 # calculo do R r g) Teste as hpóteses da normaldade dos erros e da homogenedade das varâncas dos tratamentos (apresente os resultados). Teste das hpóteses de normaldade e homogenedade das varâncas H0 : ε ~ N( σ ) H : ε não tem N( σ ) Shapro-Wlk normalt test data: res W = 0.999, p-value = 0.9 Conclusão: o teste de Shapro Wlks é não sgnfcatvo ( p = 9 ), portanto não rejetamos H 0, podemos conclur que os dados expermentas suportam a hpótese de normaldade. Estes resultados são fornecdos pelo comando crd( ) do pacote ExpDes (ver scrpt no tem b)

5 H H 0 : σ = σ = σ = σ = σ : σ σ j j Bartlett test of homogenet of varances data: rps b trat Bartlett's K-squared = 0.99, df =, p-value = 0.9 Conclusão: o teste de Bartlett é não sgnfcatvo ( p = 9 ), portanto não rejetamos H 0, podemos conclur que as varâncas dos tratamentos são homogêneas. Resolvendo no R shapro.test(res) # teste da normaldade dos resíduos bartlett.test(rps~trat) # teste da homogenedade das varâncas ª QUESTÃO (,0): A Tabela da ANOVA abaxo fo obtda de um DIC balanceado Fonte de var. g.l. SQ QM F c valor de p Tratamentos 6, Resíduo TOTAL 6 a) Preencha as lacunas na tabela acma, determne o número de tratamentos, o número de repetções por tratamentos. Num. de tratamentos: k = ; num. de repetções: r = 6 Comando no R para calcular o vapor de p : pf(.6,, 0) b) Faça um teste estatístco para ver se exste uma dferença entre as verdaderas médas das respostas dos tratamentos (Faça um desenho da dstrbução com as áreas de rejeção e não rejeção). Tre as conclusões pertnentes. Conclusão baseada nos valores da dstrbução F: Das tabelas das dstrbuções F, temos que = 098 e F 98. O valor da estatístca calculada com base nos F(, 0 ), (, 0) =, dados fo F c =,6 a qual é menor do que os valores das estatístcas F teórcas, cau na regão

6 de não rejeção, assm não rejetamos a hpótese nula H 0 de gualdade das médas dos tratamentos para α = 0, ou % de probabldade (se não é sgnfcatvo a %, óbvo que também não é sgnfcatvo a %). Conclusão baseada no valor de p o teste F é não sgnfcatvo (p = 078), ou seja, não se rejeta H 0 : as médas dos tratamentos são guas, logo conclu-se que não exste dferença entre as médas esperadas dos tratamentos. Obtenção dos valores F teórcos no R qf(0.9,, 0) # valor de F(, 0) qf(0.99,, 0) # valor de F(, 0) ª QUESTÃO (,): Abaxo estão os resultados de um teste de Tuke de comparações de médas duas a duas fornecdas pelo R. Escreva as hpóteses estatístcas que são testadas, e com base nos resultados abaxo monte o quadro de médas com as letras para representar as dferenças sgnfcatvas entre as médas. Tre as conclusões Tuke multple comparsons of means 9% faml-wse confdence level Ft: aov(formula = pa ~ trat) Tratamentos A B C D E F Médas $trat Dff lwr upr p adj B-A C-A D-A E-A F-A C-B D-B E-B F-B D-C E-C F-C E-D F-D E-06 F-E Tratamentos Médas Letras * D 9 a A a b E b c C 0 b c B 8 c F c * Médas segudas pelas mesmas letras não dferem entre s pelo teste de Tuke a % Conclusão: O tratamento D apresentou a maor méda, a qual dfere sgnfcatvamente (p<0) dos outros tratamentos, exceto do tratamento A. Por sua vez o tratamento A dfere sgnfcatvamente (p<0) dos tratamentos B e F, mas não dfere sgnfcatvamente (p>0) dos tratamentos E e C. Também não exste dferença sgnfcatva (p>0) entre os tratamentos E, C, B e F quando comparados a entre s.