Medidas e resultados em um experimento.

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1 Meddas e resultados em um expermento. I- Introdução O estudo de um fenômeno natural do ponto de vsta expermental envolve algumas etapas que, mutas vezes, necesstam de uma elaboração préva de uma seqüênca de trabalho - um projeto. Antes de tudo, deve-se ter clareza sobre o problema que se pretende estudar, ou seja, ter um entendmento da proposta de estudo. Para sto é fundamental que se consga elaborar os objetvos pretenddos. Obvamente, antes de se começar o expermento propramente, o materal necessáro à sua realzação equpamentos e nstrumentos, ferramentas de cálculo e tratamento de meddas, etc. deve ser preparado e colocado em um ambente adequado. Após a determnação das etapas a serem desenvolvdas e a manera de desenvolvê-las, ou seja, o procedmento a ser segudo, passa-se à sua execução. É comum, sobretudo em cêncas naturas, a obtenção de nformações através da realzação de um conjunto de meddas. O resultado dessas meddas passa por uma análse devendo, posterormente, ser preparado para apresentação (tabelas, gráfcos, tratamento matemátco). Chega-se, então, à parte onde a partcpação de quem está trabalhando no expermento, o expermentador, é das mas sgnfcatvas: a nterpretação dos resultados e a conclusão e análse crítca geral de tudo o que fo feto. Geralmente, escreve-se um relatóro de manera a dexar regstrado todo o trabalho realzado. Ao se escrever o relatóro, o expermentador deve consderar que ele tem que ser sufcentemente claro e completo de manera a permtr que uma pessoa com um nível de formação semelhante ao seu compreenda o quê, como e por que fo feto o trabalho, e qual a relevânca dos resultados encontrados. O presente texto pretende servr como um gua ntrodutóro, resumdo e de rápdo acesso, para os estudantes de dscplnas expermentas de Físca básca. ão se tem aqu a ntenção de ser completo e exaustvo; algumas referêncas bblográfcas serão dadas, no sentdo de permtr um aprofundamento maor em alguns pontos, caso seja do nteresse do estudante. II.- Meddas: os resultados e seus desvos ou erros Conforme fo dto anterormente, em cêncas naturas a coleta de nformações é comumente feta através da realzação de um conjunto de meddas de grandezas relaconadas dreta ou ndretamente com a análse do fenômeno em questão. II.- Meddas dretas e ndretas, algarsmos sgnfcatvos e valor mas provável Medr uma grandeza sgnfca compará-la com uma outra de mesma natureza, escolhda como undade. O resultado dessa comparação denomna-se medda da grandeza e nela estão contdas três nformações: - o valor numérco, que é um número ntero ou fraconáro; - a precsão, expressa pelo número de algarsmos sgnfcatvos e pelo desvo; - a undade correspondente utlzada. O sstema de undades normalmente utlzado é o Sstema Internaconal (SIU); o APÊDICE SIU traz uma lsta das undades fundamentas neste sstema. Em expermentos realzados com uma qualdade acetável, as meddas são fetas com nstrumentos calbrados tas como réguas, paquímetros, cronômetros, voltímetros, termômetros e mutos outros. A menor graduação do nstrumento representa o menor valor que ele é capaz de medr com confança. Por exemplo, não faz sentdo querer medr o dâmetro de um fo de cabelo usando uma régua graduada em mlímetros; a maor precsão que se pode ter de uma medda

2 realzada com esta régua, é a precsão de um mlímetro, podendo-se estmar o valor entre duas dvsões. Ao se medr o dâmetro de uma moeda de real com a régua graduada em mlímetros, uma pessoa pode escrever como resultado d = 7, mm. Aqu o valor numérco da grandeza é 7, e a undade é o mlímetro; esse resultado tem 3 algarsmos sgnfcatvos sendo que o últmo é ncerto ou duvdoso. Analsemos um pouco mas esse resultado. Prmeramente, é claro que se trata de uma medda dreta: fo feta uma comparação dreta do dâmetro da moeda com uma régua graduada em mlímetros. O resultado tem 3 algarsmos sgnfcatvos sendo um duvdoso (em qualquer resultado tem-se, em geral, apenas um algarsmo duvdoso!). Essa pessoa podera querer escrever seu resultado usando outra undade de comprmento, como por exemplo o metro; nesse caso ela devera escrever d = 0,07 m ou d =,7 x 0 - m e, em ambos os casos, contnuaríamos tendo 3 algarsmos sgnfcatvos, com um duvdoso, e com a precsão na casa dos décmos de mlímetro. Ou seja, o smples fato de mudar a undade escolhda para descrever um resultado não pode alterar a sua precsão. Os algarsmos zero que aparecem antes do prmero algarsmo dferente de zero não são sgnfcatvos; depos, sm. Sendo assm, não é correto escrever d = 7,0 mm pos, nesse caso, teríamos 4 algarsmos sgnfcatvos com o algarsmo duvdoso sendo o zero; nessa stuação o resultado expressara uma precsão centésmo de mlímetro que a régua não tem! Poder-se-a dzer que numercamente é a mesma cosa mas do ponto de vsta centífco não é: não se pode alterar a precsão de um resultado acrescentando algarsmos sgnfcatvos a ele. O perímetro p da moeda de real pode ser calculado a partr da medda do seu dâmetro, usando a relação p = πr sendo r o rao da moeda. Assm, tem-se p = 85,5 mm podendo-se dzer que fo feta uma medda ndreta do perímetro da moeda uma vez que a grandeza medda dretamente fo o dâmetro e a partr dele é que se encontrou o perímetro. Sera possível medr dretamente o perímetro da moeda utlzando-se uma fta métrca flexível, mas não fo esse o caso. Outra grandeza que podera ser encontrada a partr da medda do dâmetro da moeda é a área da sua face S = πr. Assm, teríamos S = 58 mm que é a área da face da moeda, obtda ndretamente. Observa-se que fo mantdo o número de algarsmos sgnfcatvos gual a 3 nos resultados obtdos tanto para o perímetro quanto para a área. Sempre que se opera com meddas o resultado também deverá conter apenas um algarsmo duvdoso. O valor do dâmetro da moeda apresentado é o resultado de uma únca medda feta por uma únca pessoa. É possível, e provável, que outras pessoas encontrem valores lgeramente dferentes. Mesmo a própra pessoa, ao realzar a medda váras vezes, pode encontrar um conjunto de valores dferentes entre s, dstrbuídos em torno de um determnado valor. Em stuações desse tpo, o que se faz comumente é encontrar o valor médo e utlzá-lo como o valor mas provável para a grandeza. Supondo que quatro meddas do dâmetro d da moeda tenham fornecdo os valores 7, mm; 7,0 mm; 7, mm e 7, mm, o valor numérco mas provável sera d = 7,5 mm. (Atenção: por enquanto, está sendo apresentado apenas o valor numérco; o resultado correto, consderando-se o número de algarsmos sgnfcatvos, é apresentado na próxma seção.) Aqu fo feta uma méda artmétca smples para se encontrar o valor mas provável. Há stuações em que são utlzados métodos estatístcos mas complexos; alguns casos serão apresentados durante o curso.

3 II.- Incerteza ou desvo de uma medda II..- Meddas dretas: erro de letura e desvo médo Como no caso que fo descrto anterormente, repetndo-se a medda de uma grandeza váras vezes, são encontrados valores nem sempre guas. Os valores dferentes encontrados podem ser devdos tanto à habldade de quem realzou as meddas quanto ao nstrumento utlzado, ao método empregado, às dfculdades ntrínsecas ao processo, etc. As flutuações nos valores meddos são chamadas de erro, ou ncerteza ou desvo. Durante um processo de medda podem ocorrer erros sstemátcos e erros aleatóros. Os erros sstemátcos são devdos a problemas de calbração ou fabrcação de um aparelho ou a um erro de procedmento; quando acontece esse tpo de erro os valores encontrados nas meddas são afetados sstematcamente para mas ou sstematcamente para menos. Os erros aleatóros, também chamados erros estatístcos, afetam desordenadamente a medda, às vezes para mas, às vezes para menos. Esse tpo de erro é ntrínseco a qualquer processo de medda e é mportante saber calculá-lo ou estmá-lo para que o resultado fnal de um trabalho expermental seja expresso corretamente. o caso de meddas dretas, os desvos podem ser faclmente encontrados. Quando se realza uma únca medda de uma grandeza, o desvo pode ser encontrado usando dferentes procedmentos mas é sempre mportante usar o bom senso. Uma regra amplamente dfundda é a de que, no caso de medda únca, o desvo (erro de letura) deve ser a metade da menor dvsão da escala do nstrumento de medda. Por exemplo, para se medr a largura l de uma folha de papel A4 com uma régua de 300 mm alguém podera consderar como desvo, a metade de uma undade correspondente à menor dvsão, ou seja, 0,5 mlímetro. Assm a medda da largura da folha sera escrta como l = (,5 ± 0,5) mm. O resultado escrto dessa manera ndca que há uma ncerteza de 0,5 mm (desvo absoluto) na determnação da largura da folha. Entretanto, se essa régua for usada para medr a altura da porta da sala de aula, é claro que o desvo não mas poderá ser de 0,5 mm. O procedmento de posconar a régua váras vezes para completar a medda eleva muto o erro na determnação da altura da porta, devendo este ser da ordem de centímetro. Portanto, essa regra tão dfundda de que o desvo é a metade da menor dvsão da escala deve ser usada com muto cudado, sendo poucas as vezes em que ela pode ser aplcada corretamente. Quando se usa, por exemplo, um voltímetro analógco ou qualquer nstrumento com pontero, tem-se que prestar atenção se a letura é estável ou se o pontero oscla em torno de um valor. Se o aparelho ndcar um valor fxo, pode-se consderar como desvo a própra precsão do nstrumento ou, no caso de não se ter essa nformação, usar uma undade da menor dvsão da escala utlzada. Se houver osclação, é mas razoável calcular o desvo a partr dos lmtes desta osclação: o resultado de uma medda poderá ser qualquer valor dentro da faxa de osclação! o caso de aparelhos dgtas, pode acontecer também de o resultado se apresentar sem flutuações, ou se apresentar osclando. A avalação do desvo deverá, então, ser feta como no caso anteror. Freqüentemente é possível e aconselhável realzar váras meddas da mesma grandeza para se encontrar um resultado mas precso. Quando se realzam meddas de uma mesma grandeza, deve-se encontrar o seu valor médo o qual será o valor mas provável e tomar como desvo, a méda dos valores absolutos das dferenças entre o valor mas provável e cada valor ndvdual. 3

4 O segunte expermento lustra uma stuação deste tpo. Para se determnar a altura de uma cachoera, algumas pessoas medram o tempo de queda de pedrnhas soltas em queda lvre de um mesmo local. Conhecendo-se o tempo de queda t, pode-se calcular a altura h a partr da relação cnemátca h = ½ g t onde g é a aceleração da gravdade. Fo utlzado um cronômetro com precsão de centésmos de segundo e os valores t obtdos em 8 meddas foram:,30 s;,09 s;,03 s;,7 s;,8 s;,3 s;,4 s; e,5 s. A dspersão dos valores, entre,03 s e,3 s, se deve à dfculdade ntrínseca do processo partcular de medda e ao fato de que a precsão do nstrumento utlzado (centésmo de segundo) é bem maor do que a capacdade das pessoas de medr tempo com um tal cronômetro. Para se encontrar o valor mas confável para a altura h deve-se, então, usar o valor mas provável de tempo < t > e o respectvo erro ou desvo absoluto t; numercamente teremos: t = t = (eq. ) = 8 (,30 +,09 +,3 +,7 +,8 +,3 +,4 +,5) s =,96 s t = = t t (eq. ) = 8 (0,04 + 0,06 + 0, , ,06 + 0,4 + 0, ,046) s = 0.07 s e, respetando-se o crtéro de se escrever o desvo com um algarsmo sgnfcatvo, a resposta correta para o resultado encontrado para o tempo de queda: t = t ± t = (,0 ± 0,07) s. Utlzando-se esse resultado e consderando-se g = (9,784 ± 0,00) m/s, chega-se ao valor h = (7,0 ± 0,8) m. O desvo de 0,8 m fo encontrado usando os processos que estão descrtos na seção II... Deve-se observar que a repetção da medda de uma grandeza váras vezes pode melhorar a precsão na sua determnação mas esta não deve r além da precsão do nstrumento utlzado para med-la. Ao se escrever o valor de uma grandeza com o seu respectvo desvo, está-se ndcando um ntervalo de valores acetáves para ela, de acordo com o procedmento em questão. II..a- Desvo absoluto e desvo relatvo os resultados encontrados anterormente, estão expressos os valores das grandezas e seu desvo absoluto, ou seja, tempo de queda fo determnado como sendo,0 s com um desvo absoluto de 0,07 s e para a altura, fo encontrado o valor de 7,0 m com desvo absoluto de 0,8 m. a medda do tempo cometeu-se um erro de 0,07 segundos em,0 e na medda da altura o erro fo de 0,8 metros em 7,0. É muto comum e muto útl expressar resultados em termos do desvo relatvo, t / < t >, no caso do tempo, e h / h no caso da altura. O desvo relatvo é quem melhor ndca a precsão da medda e é comum expressá-lo em termos percentuas. o presente caso ele é de aproxmadamente 0,058, ou ~6%, para o valor do tempo de queda das pedrnhas, e de aproxmadamente 0,7, ou ~%, para a altura da cachoera. Comparando-se os desvos relatvos, pode-se ver qual grandeza fo determnada com maor precsão. 4

5 II..- Meddas ndretas: propagação de erros Uma medda é ndreta quando é obtda a partr de expressões matemátcas que a relaconam com outras grandezas meddas dretamente. Em um exemplo anteror, a altura da cachoera fo medda ndretamente, através de meddas dretas do tempo de queda das pedrnhas. De manera geral, uma grandeza f pode ser função de outras grandezas x, y, z, t, etc., cada uma com seu respectvo erro x, y, z, t, etc.: f = f (x ± x, y ± y, z ± z, t ± t, ) Ao expressar o resultado de f, obtdo ndretamente a partr de cálculos, é mportante apresentar qual é o desvo assocado, ou seja, qual é o resultado da propagação dos erros. Consdere a segunte stuação físca: um corpo se desloca em lnha reta com aceleração constante, de tal forma que a dstânca percorrda X (em metros) vara com o tempo t (em segundos) de acordo com a equação X = 5t (eq. 3) Coloca-se a segunte questão: após um tempo meddo de t = (7,5 ± 0,4) s, qual a dstânca percorrda pelo corpo? A resposta trval para a questão é X = 8,5 m. Entretanto, do ponto de vsta de tratamento de meddas, esta resposta está ncompleta e ncorreta. Consderando que a medda de tempo tem um erro de ±0,4 s, fca a pergunta: como este erro afeta o valor calculado da dstânca? Ou seja, qual desvo X deverá ser atrbuído à dstânca calculada X? Para responder a esta questão, será dada aqu uma vsão rápda do que se chama propagação de erros. Exstem váras maneras de acompanhar a propagação dos erros em meddas ndretas; aqu serão lustrados dos métodos. II..a- Método baseado no cálculo dferencal A manera formal utlzada no cálculo de propagação de erros é baseada no cálculo dferencal. Para lustrar este método, apelaremos para um processo mas ou menos ntutvo, dexando o rgor e o detalhamento matemátco para o estudo de dferencas e dervadas parcas abordado em dscplnas de Cálculo Matemátco. A fgura mostra o gráfco da dstânca percorrda X em função do tempo t. dstânca X (m) X t tempo t (s) Fg. Gráfco da dstânca X em função do tempo t para X = 5t Consdere que as meddas de tempo foram todas tomadas com o mesmo desvo t = ±0,4 s. Então, tempos dferentes, por exemplo t = 7,5 s e t = 0,0 s, com o mesmo erro t, resultam em erros bastante dferentes nos valores correspondentes de dstâncas, conforme se vê na fgura. Quanto maor a nclnação da curva (que é a sua dervada), mas sgnfcatva é a 5

6 conseqüênca do erro da varável tempo para a função dstânca. A assocação da dervada de uma função com a propagação de erro permte uma analoga útl no cálculo do erro no caso de uma grandeza que é função de outras. A dervada f'(x) de uma função de váras varáves pode ser escrta como o quocente entre os dferencas da função e da varável: d f( X ) f'(x) = d X d f(x) = f (X). d X É razoável usar a aproxmação de que a dferencal (acréscmo nfntesmal) de uma grandeza pode ser tomada como um erro (acréscmo mensurável) nesta grandeza e pode-se escrever: f (X) f'(x) X ou melhor f(x) f'(x) X (eq. 4) onde o valor absoluto f'(x) é tomado para garantr sempre um valor postvo para o erro f, que determnará a faxa de valores possíves de f. A partr dessas consderações, pode-se aplcar a equação 4 no cálculo da propagação do erro para o presente exemplo, ou seja, encontrar o erro X a partr do erro t = 0,4s. Teremos, então: X X'(t) t = 0t t já que a dervada de X = 5 t em relação a t é 0t e, assm, { X = (0 x 7,5 x 0,4)m = 30m = (3 x 0) m para t X = (0 x 0,0 x 0,4)m = 80m = (8 x 0) m para t. Os valores para as dstâncas serão: { X = 5 t = 5 x 56,5 = 8,5 m X = 5 t = 5 x 400 = 000 m. e os resultados corretos, lembrando-se de usar apenas um algarsmo sgnfcatvo para o erro, deverão ser escrto como: X = (,8 ± 0,3) x 0 m X = (,00 ± 0,08) x 0 3 m Fo necessáro usar potênca de dez para expressar o resultado corretamente pos os números 30 e 80 têm dos algarsmos sgnfcatvos. a forma de erros relatvos, os resultados acma seram X =,8 x 0 m com um erro de %, e X =,00 x 0 3 m com um erro de 4%. Observe que o número de algarsmos sgnfcatvos do valor da grandeza tem que respetar a precsão dada pelo erro absoluto calculado a partr do erro percentual.; por exemplo, não é correto escrever X = (,8 x 0 m ± %). Esse processo pode ser estenddo aos casos onde a grandeza a ser determnada depende de váras varáves, ou seja, depende da medda de váras outras grandezas com seus respectvos erros. Seja a função f dependente de x, y, z, etc. Estas varáves são grandezas meddas e assm, a cada uma delas tem um erro expermental x, y, z, etc. Assm: f = f (x ± x, y ± y, z ± z, t ± t, ) 6

7 Para encontrar o erro f de f, basta generalzar o resultado obtdo para uma varável, equação 4, para essa stuação de váras varáves. Assm, pode-se escrever: f f f f f = x + y + z + t + (eq. 5) x y z t f onde representa a dervada parcal de f com relação a x. A dervada parcal de uma função x com relação a uma de suas varáves é calculada como uma dervada normal, consderando todas as outras como constantes. Como um exemplo de aplcação de propagação de erros em uma grandeza calculada através de outras duas ou mas grandezas, consdere a stuação em que foram meddas a massa m e a velocdade v de um carro e deseja-se calcular qual é sua energa cnétca E. Sejam m = (, ± 0,) x 0 3 Kg, e v = (0,0 ± 0,5) m/s A energa cnétca E é dada pela fórmula E = ½ m v. Usando a eq. 5, o desvo em E será: E E v E = m + v E = m + mv v m v Efetuando-se os cálculos com os valores das meddas tem-se x 0 4 J para o erro e 4 x 0 4 J para o valor da energa cnétca. Assm, o resultado escrto corretamente é E = (4 ± ) x 0 4 J = (,4 ± 0,) x 0 5 J Como exemplo de aplcação da eq. 5 em outros casos, fca aqu, como exercíco, a demonstração das seguntes afrmações: Se f é a soma ou subtração de grandezas x, y, z, então f = x + y + z + (o desvo absoluto em f é a soma dos desvos absolutos das grandezas x, y, z, ). Se f é a multplcação de uma grandeza x por uma constante k então f = k x (o desvo absoluto em f é k vezes o desvo absoluto da grandeza x). Se f é a dvsão de uma grandeza x por uma constante k então f = x / k (o desvo absoluto em f é o desvo absoluto da grandeza x dvddo por k). Se f é a multplcação ou dvsão de grandezas x, y, z, então f/f = x/x + y/y + z/z + (o desvo relatvo em f é a soma dos desvos relatvos das grandezas x, y, z, ). Se f é a potênca n de uma grandeza x, então f/f = n x/x (o desvo relatvo em f é n vezes o desvo relatvo da grandeza x). 7

8 II..b - Método dos valores lmtes Uma outra manera de se estmar o desvo de uma grandeza f obtda ndretamente é calculando-se os valores lmtes que f pode assumr a partr dos valores máxmos (x + x, y + y, ) e mínmos (x x, y y, ) das grandezas x, y, z, Consdere, como exemplo, um expermento de movmento retlíneo com aceleração constante a, onde uma partícula percorre uma dstânca d, em um tempo t. Foram meddos valores para a dstânca e o tempo, com desvos d e t respectvamente, ou seja, (d ± d) e (t ± t), encontrando-se (,0 ± 0,4) m, e (4,0 ± 0,) s. O valor da aceleração é dado por a = a máx = a mín = ( d + d) ( t t) ( t + t) ( d d) d. Então, os seus valores lmte serão: t = x (,4 m) / (3,8 s) =,775 m/s (eq. 6) = x (,6 m) / (4, s) =,35 m/s (eq. 7) O valor médo da aceleração (anda sem consderar o número correto de algarsmos sgnfcatvos) será a = a máx + a mín = (,775 +,35) / =,563 m/s (eq. 8) e o desvo em a sendo dado (com um algarsmo sgnfcatvo) por amáx a a = mín. = (,775 -,35) / = 0, m/s (eq. 9) O valor para a aceleração deverá ser expresso corretamente como: a = (,5 ± 0,) m/s ou a =,5 m/s com 3% de desvo. Através do cálculo do erro propagado, tem-se uma déa de quão sensível é o resultado à medda de cada uma das varáves. o exemplo anteror, o erro no valor da aceleração é mas sensível ao erro na medda de tempo (dependênca com o quadrado) do que o erro na medda de dstânca (dependênca lnear). Os cálculos de desvos, mutas vezes, são fetos com a ajuda de calculadoras e programas de computador. Entretanto, é de grande mportânca que o expermentador tenha uma boa noção dos processos empregados nesses cálculos e anda saba, usando o bom senso, estmar a precsão de um resultado. II.3- Precsão e confabldade de uma medda Os concetos de precsão e de confabldade são, freqüentemente, confunddos. Uma medda pode ser muto precsa e não ser confável, por exemplo, quando for feta usando um nstrumento de alta precsão, porém descalbrado. O contráro também pode acontecer, ou seja, uma medda ser pouco precsa mas ser confável. É mportante, portanto, dstngur os dos concetos: medda confável é aquela onde os erros sstemátcos são muto pequenos; medda precsa é aquela onde os erros aleatóros são muto pequenos. 8

9 III- Apresentação de resultados expermentas: Tabelas e Gráfcos III.- Tabelas O prmero estágo de apresentação de uma sére de meddas resultante de um expermento é através de tabelas que, em geral, já são montadas durante o processo de obtenção de dados. Embora em cada expermento se deva decdr pela forma de tabela mas convenente, é mostrado a segur um padrão de tabela que se adapta à maora dos expermentos que serão fetos nas dscplnas expermentas de Físca. Consdere um expermento onde se aplca tensão elétrca V entre 0 e 50 V em um resstor e mede-se a corrente I gerada. A tabela mostra uma forma convenente de apresentar os valores obtdos: Tab. - Valores da tensão aplcada no resstor e a correspondente corrente. Tensão (V ± %) Corrente (0 3 A),3,5 ± 0, 5,8 3,8 ± 0,3 9,5 40,0 ± 0,4,7 44,4 ± 0,4 9, 59, ± 0,6 38,4 76, ± 0,8 4,3 83,8 ± 0,8 50,0 99,3 ± 0,9 Deve-se observar que: toda tabela deve ter uma legenda; no cabeçalho da tabela é mportante vr a especfcação das grandezas que foram meddas com suas undades e a estmatva dos erros, absolutos ou relatvos, a elas assocados; se cada medda apresentar um erro dferente, deve-se especfcá-lo após cada uma; o número de algarsmos sgnfcatvos das meddas deve ser compatível com os erros especfcados. III.- Gráfcos A construção de gráfcos assocando as varáves meddas em um expermento é bastante nteressante, pos permte uma vsualzação rápda do tpo de dependênca exstente entre as grandezas estudadas. Exstem város tpos de gráfcos, cada um se adequando melhor às grandezas meddas e ao tpo de relações que se deseja fazer entre elas. Uma forma de gráfco bastante comum em expermentos de físca é aquele relaconando duas grandezas onde cada valor de uma está assocado a um valor correspondente da outra. O gráfco a segur, mostrando a relação entre as grandezas tensão e corrente representadas na tabela anteror, lustra uma forma comumente utlzada. 9

10 Tensão elétrca V (V) Relação entre tensão e corrente em um resstor Corrente elétrca I (ma) Fg. Exemplo de um gráfco: Tensão elétrca V versus corrente I em um resstor. Deve-se ter atenção que um gráfco deve conter: título e/ou legenda; nome da grandeza em cada exo com sua respectva undade; dmensonamento correto da escala. Uma observação rápda do gráfco anteror permte dentfcar uma relação lnear entre as duas grandezas analsadas. IV- Tratamento matemátco de dados: Ajuste de uma reta por regressão lnear O gráfco da seção anteror sugere, vsualmente, que exste uma relação lnear entre a tensão elétrca aplcada e a corrente no resstor. Isso sgnfca que, procurando-se uma relação matemátca que assoce a corrente I no resstor sujeto a uma tensão V, deve-se encontrar a equação de uma reta, ou seja, uma equação do tpo: y = A + Bx (eq. 0) onde a constante B representa a nclnação da reta e a constante A o valor da grandeza y quando x = 0. Para o caso do resstor podemos escrever especfcamente V = A + BI É possível traçar no gráfco uma reta que, vsualmente, melhor equlbra os pontos meddos e, então, determnar os valores de A e B (faça sso). Entretanto, exstem processos matemátcos objetvos que estabelecem a melhor reta que se ajusta aos pontos meddos. O processo mas utlzado com esse ntuto é chamado regressão lnear. Geralmente, todo processo operaconal de ajuste, ou seja, a obtenção das constantes A e B que defnem a reta, será feto por calculadora ou computador. o entanto é nteressante que se tenha conhecmento da orgem das fórmulas empregadas e do processo de cálculo envolvdo. 0

11 IV.- Regressão Lnear: Pode-se dzer que regressão lnear é a: determnação da equação de uma reta que melhor se sobrepõe aos resultados de meddas relaconando grandezas lnearmente dependentes. Consdere a sére de pontos expermentas genércos (x, y ) colocados na tabela e no gráfco da fgura 3. Tab. - Resultados expermentas de duas grandezas hpotétcas x e y y (u.a.) x (u.a.) y x y x y n x n y (u.a.) A + Bx y } δ 4 x 0 0,0 0,5,0,5,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 x (u.a.) Fg. 3 Pontos expermentas defnndo uma reta; δ.é a dferença entre a ordenada y medda para x e o correspondente valor calculado pela equação da reta. Se a melhor curva que passa por estes pontos é a reta desenhada, podemos escrever sua equação na forma y = A + B x,onde A é o ponto onde a reta corta o exo vertcal, em x = 0, e B a nclnação da reta escolhda. Observando o gráfco da fgura 3 notamos que para o ponto x, o valor expermental corresponde é y, mas, pela reta escolhda, a ordenada correspondente a x será A + B x. Desta forma, para cada ponto x exste uma dferença δ, ou resíduo, entre o valor expermental meddo e o valor de y calculado pela reta: δ = y (A + Bx ). Alguns resíduos são postvos e outros negatvos. Uma grandeza que dara uma vsão de quão boa é a reta calculada, sera: D = (δ ) = [ (A + Bx y )] (eq. ) a qual representa a soma dos quadrados dos resíduos de todos os pontos. A melhor reta que ajusta os pontos expermentas é aquela que mnmza D, ou seja, deve-se achar os valores de A e B tas que D seja mínmo. Como D é uma função de A e B, para que ele seja mínmo devemos ter: D = 0 A D e = 0 B Dervando a equação tem-se: D = - [ y A Bx ] A e D B [ y A Bx ] x =

12 Assm, para que D seja mínmo, devemos ter: [ y - A - Bx ] = 0 (eq. a) [ y - A - Bx ] x = 0 (eq. b) que é um sstema de duas equações com duas ncógntas A e B que determnam a melhor reta y = A + Bx, que passa pelos pontos expermentas (x, y ). A solução de é smples e dá como resultado os seguntes valores para A e B: B = A x y x x x ) ( y [ y B x ] = = = xy x y x x x x y x x ) ( x y (eq. 3) (eq. 4) Todos os somatóros apresentados aqu são para de até, onde é o número de pares de valores expermentas (x, y ). Uma descrção mas completa do método nos permtra anda determnar estatstcamente os desvos (ncertezas) assocadas às constantes A e B calculadas. Aqu serão dados apenas os resultados dos cálculos destes desvos: B = ( - ) D x ( x ) e A = D ( - ) Obs. ) Exste um parâmetro estatístco, chamado coefcente de determnação, que permte avalar a qualdade do ajuste. Para os propóstos das atvdades aqu propostas esse parâmetro tem pouca relevânca e, portanto, não será tratado. Obs. ) o método da regressão lnear, todos os pares ordenados têm a mesma mportânca. Em alguns casos, condções físcas mpõem que alguns pontos tenham mas mportânca que outros (mutas vezes, por exemplo, a reta deve passar pela orgem). este caso, você pode entrar com os correspondentes pares de valores váras vezes para aumentar sua mportânca nos cálculos. A reta tenderá a passar mas próxma deste ponto. IV.- Consderações geras O processo de superpor uma curva descrta por uma equação a um conjunto de pontos expermentas não se aplca apenas quando a relação entre as grandezas é lnear. Sempre que exstr algum modelo ou prevsão teórca para a relação matemátca entre as grandezas, é possível encontrar os parâmetros que ajustem a curva correspondente com os resultados expermentas. O método matemátco genérco que permte esse tpo de ajuste é chamado de Método de Mínmos Quadrados pos, como fo exemplfcado no caso partcular do ajuste da reta, são procurados os parâmetros que mnmzem o quadrado das dferenças δ (eq.) entre o valor meddo e o correspondente valor calculado. Mutos programas atuas de tratamento de dados permtem se fazer um ajuste dretamente de uma função matemátca estabelecda pelo usuáro. a seção segunte será apresentado um procedmento que permtrá, através da lnearzação de um gráfco, usar anda a regressão lnear apresentada na seção IV.. x x ( x )

13 V- Tratamento matemátco de dados: lnearzação de gráfcos É muto freqüente em físca se ldar com fenômenos onde duas grandezas x e y se relaconam lnearmente, ou seja, y = A + Bx. esses casos, a partr da regressão lnear dos pares de resultados obtdos (x, y), é possível encontrar as constantes A e B da reta que melhor se ajusta aos pontos expermentas, conforme descrto na seção anteror. Usando os valores dessas constantes é possível trar nformações mportantes relatvas ao expermento. Há, obvamente, expermentos onde a relação entre as grandezas estudadas não é lnear, o que sgnfca que essas grandezas não estão relaconadas por uma equação de reta. Em stuações como esta, a obtenção de nformações relevantes ao expermento pode ser feta de mas de uma manera. Apresenta-se a segur o procedmento de lnearzação, usando a Le de Coulomb com exemplo. V.- Lnearzação Consdere uma stuação físca onde duas pequenas esferas carregadas postvamente com cargas q e q estão separadas de uma dstânca r; exste uma repulsão elétrca mútua entre elas com forças guas e opostas F e F, como ndcado na fgura abaxo. q q + + F F r Fg. 4 - Duas cargas postvas q e q separadas por uma dstânca r, se repelem com forças F e F Fo realzado um expermento, dspondo-se de um equpamento aproprado, onde se varou a dstânca r entre as cargas e medu-se o valor do módulo F da força de repulsão.os resultados encontram-se na tabela e um gráfco de F versus r é mostrado na fgura 5. Tabela 3- Valores da força F em função da dstânca r entre duas cargas q e q F (± 0,004 ) r (± 0, x 0 m),93,0,489,,4,5 0,957,8 0,783,0 0,53,5 0,357 3,0 0,99 4,0 0,8 5,0 0,089 6,0 0,065 7,0 0,050 8,0 0,039 9,0 0,03 0,0 F () 3,0,5,0,5,0 0,5 0, r (x0 - m) Fg. 5 Módulo da força F de repulsão elétrca entre duas pequenas esferas carregadas em função da dstânca r de separação entre elas. Uma abordagem formal desse problema de força elétrca entre duas cargas pontuas mostra que a relação matemátca entre F, q, q e r é: q q F = K onde K é uma constante que vale 9,0 x 0 9.m /C. (eq. 5) r Esta relação é conhecda como Le de Coulomb. 3

14 Consderando-se que as cargas q e q nas esferas não varam, deve-se esperar que a força entre elas vare com o nverso do quadrado da dstânca. Pode-se colocar, então, a segunte questão: como verfcar se os dados expermentas concordam com a prevsão teórca? Esta questão já fo respondda anterormente em stuações onde a relação entre as grandezas estudadas é lnear e o método de regressão lnear pôde ser usado para se achar a equação da reta que melhor se ajusta aos dados obtdos. o presente caso, a relação entre F e r não é lnear e não se pode aplcar este método dretamente. Exstem maneras de se ajustar qualquer tpo de equação a dados expermentas; entretanto aqu será mostrado um método que aproveta os conhecmentos já empregados no uso da regressão lnear. Prmeramente tem-se que passar o gráfco obtdo por um processo de lnearzação. Tal procedmento consste em se encontrarem novas grandezas, que sejam funções das orgnas, e que tenham entre s uma relação lnear. A Le de Coulomb afrma que a força elétrca entre duas cargas pontuas vara com o nverso do quadrado da dstânca entre elas, ou seja, para valores de cargas constantes, pode-se escrever a le físca que deve corresponder ao presente expermento na forma: F = C onde C = K q r q = constante. Defnndo-se uma outra varável X gual ao nverso do quadrado de r, tem-se uma relação entre F e X que é lnear, ou seja, defnndo-se uma grandeza X= / r, tem-se F = C X. Assm, construndo-se o gráfco de F (ordenada) em função de X (abscssa), se encontrará uma reta pos F vara lnearmente como o nverso do quadrado de r. Sendo assm, pode-se fazer uma regressão lnear consderando as novas grandezas: Y = A + BX onde Y = F X = r A 0 B = C Esses resultados são apresentados na fgura 6. F () 3,0,5,0,5,0 0,5 Y = A + BX => F = C X' A = (-0,0± 0,04) B = (3, ± 0,) x 0-4.m 0,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0, X = /r (x 0 4 m - ) Fg. 6 - A força F entre duas cargas elétrcas é lnear com o nverso do quadrado da dstânca entre elas X = /r. Os parâmetros do ajuste por regressão lnear estão ncluídos no gráfco. O procedmento para se lnearzar um gráfco depende de cada stuação pos as equações envolvdas na análse do problema é que rão dar a receta do que deve feto para se 4

15 encontrarem novas varáves, que serão funções das anterores, de manera que elas tenham relação lnear entre s. o caso aqu apresentado, o procedmento fo smplesmente representar a força e o nverso do quadrado da dstânca. V..- O uso da função logartmo. Uma manera muto comum de se procurarem relações que lnearzem um gráfco é aplcar a função logartmo. Entretanto, deve-se ter o cudado em utlzar esse expedente apenas em stuações em que pelo menos uma das varáves envolvdas no expermento esteja no expoente. Por exemplo, város fenômenos físcos têm uma descrção formal entre as varáves x e y do tpo: α x y α 0 + αe = ou y = β + β 0 β / x sendo α e β constantes quasquer, os quas necesstam da função logartmo para a lnearzação. O uso do logartmo na stuação do exemplo anteror de força entre cargas elétrcas pode levar a um mascaramento do comportamento das grandezas. Por exemplo, tomando-se o logartmo de ambos os lados da eq. 5 tem-se uma nova relação matemátca correspondente ao expermento: ln F = ln r + ln C com = K q q. C A equação anteror tem a forma de equação de uma reta: Y' = A' + B' X' onde, agora, Y' = ln F X' = ln r B' A' = ln C Ao se fazer a regressão lnear nos novos dados, o parâmetro B' será ajustado por métodos de mínmos quadrados podendo ser encontrado um valor dferente de. Isto é feto pos, ao buscar o mínmo da soma dos quadrados das dferenças δ (ver eq. ), o método leva as flutuações naturas a qualquer processo de coleta de dados, para os parâmetros ajustáves A' e B'. Entretanto, sabe-se muto bem que o expoente da dstânca entre as cargas pontuas na Le de Coulomb é (exatamente!) e não tem sentdo se querer ajustar esse valor, ou seja, esta não é uma varável no problema. É mportante chamar a atenção de que o processo de lnearzação de um gráfco consste smplesmente em encontrar as ordenadas e abscssas adequadas de forma que a relação entre elas seja lnear. Em váras stuações o uso da função logartmo pode ser o processo mas convenente, mas não é sempre assm. A escolha da manera mas convenente para se fazer a lnearzação de um gráfco deve ser orentada no sentdo de se obter, de forma mas smples, as constantes procuradas. 5