Probabilidade e Estatística. Correlação e Regressão Linear

Transcrição

1 Probabldade e Estatístca Correlação e Regressão Lnear

2 Varáves Varável: característcas ou tens de nteresse de cada elemento de uma população ou amostra Também chamada parâmetro, posconamento, condção... Duas varáves estão relaconadas se a mudança de uma provoca a mudança na outra. Exemplo: velocdade x consumo combustível

3 Correlação Correlação entre duas varáves Quando uma delas está, de alguma forma, relaconada com a outra. Quando a alteração no valor de uma varíavel (dta ndependente) provoca alterações no valor da outra varável (dta dependente)

4 Dagramas de Dspersão Um dagrama de dspersão mostra a relação entre duas varáves quanttatvas, meddas sobre os mesmos ndvíduos. Os valores de uma varável aparecem no exo horzontal, e os da outra, no exo vertcal. Comumente, coloca-se no exo x um parâmetro Cada ndvíduo aparece como o ponto do gráfco defndo pelos valores de ambas as varáves para aquele ndvíduo

5 Exemplos Fabrcação Número de peças produzdas e número de peças defetuosas Construção Número de falhas em uma obra e a satsfação méda dos construtores Das de atraso de entrega x número de das chuvosos Fnancero Méda de tempo de atraso de pagamento e número de erros de fatura Vendas % de móves venddos na data de entrega da obra x satsfação méda dos clentes nos últmos 10 empreendmentos.

6 Exemplo - Peso x altura Peso (kg) Altura (m) 80 1, , , , , , , , , ,65 Altura Peso x Altura 1,95 1,9 1,85 1,8 1,75 1,7 1,65 1,6 1, Peso

7 Exemplo Peso x Altura Estratfcando... Peso (kg) Altura homens (m) Altura Mulheres (m) 80 1, , , , , ,65 1,90 1, , ,65 Pesos Peso x Altura (por sexo) Homens Mulheres 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 Alturas

8 Dcas Exo x Varável que é alterada por uma modfcação no processo (varável ndependente) Geralmente uma possível causa de um problema Exo y Varável que pode mudar de acordo com a mudança da varável em x (varável dependente) Geralmente um ndcador de qualdade ou efeto gerado por uma causa.

9 Analsando Dagramas de Dspersão Os aspectos abaxo são relevantes na análse dos Dagramas: DIREÇÃO (crescente, decrescente) FORMA (lnear, não-lnear, aglomerados) PONTOS DISCREPANTES

10 Interpretando Padrões de Dspersão Quanto maor a correlação, mas próxma de uma reta a 45 o ou 135 o será a dstrbução.

11 Interpretando Grau de Relaconamento Escala?...

12 Problemas da Análse Gráfca A análse gráfca da relação entre varáves é mportante, mas os olhos nem sempre são um bom juz da ntensdade de uma relação lnear. Os dagramas a segur lustram precsamente os mesmos dados, mas o gráfco nferor é menor em um campo mas amplo (escala dferente).

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14 Problemas da Análse Gráfca Nossos olhos podem ser enganados por uma mudança de escalas, ou pela quantdade de espaço em branco em torno do aglomerado dos pontos. Deve-se, então, utlzar uma medda numérca para suplementar o gráfco. Coefcente de Correlação Lnear (r)

15 Coefcente de Correlação Lnear r mede o grau de relaconamento lnear entre valores emparelhados x e y em uma amostra. Mede a ntensdade e a dreção da relação lnear entre duas varáves quanttatvas. Chamado também de Coefcente de Correlação de Pearson (Karl Pearson, ).

16 Coefcente de Correção Lnear ou Coefcente de Pearson = = n xx x x S 1 ) ( = = n yy y y S 1 ) ( = = n xy y y x x S 1 ) )( ( S xx S yy Sxy r. = -1 r 1 = ) ( ) ( xx x x n S = ) ( ) ( yy y y n S ) )( (. = xy y x y x n S

17 Coefcente de Correção Lnear ou Coefcente de Pearson ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 = r y y n x x n y x y x n r

18 Interpretando o Coefcente de Correlação Lnear r sempre será um valor entre -1 r 1 Quanto mas próxmo de 1: maor correlação negatva Quanto mas próxmo de 1: maor correlação postva Quanto mas próxmo de 0: menor a correlação lnear

19 Interpretação do Valor de r valor de r correlação negatva forte correlação negatva fraca ausênca de correlação correlação postva fraca correlação postva forte

20 Propredades do Coefcente de Correlação de Pearson -1 r +1 O valor de r não vara se todos os valores de qualquer uma das varáves são convertdos para uma escala dferente. O valor de r não é afetado pela escolha de x ou y. Permutando x e y, r permanece nalterado. r: só mede a ntensdade ou grau de relaconamentos lneares. Não serve para medr ntensdade de relaconamentos nãolneares.

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22 Ex.: Alturas e Pesos de Ursos Sberanos Comprmento (pol.) Peso (lb.) x y x.y x y 53, , , , , , , , , , , , , , , , Totas ,

23 Ex.: Alturas e Pesos de Ursos Sberanos r = r = = n n x ( x ) ( )( ) y x y ( ) x n y ( y ) 8( ) (516,5)(.176) 8(34.55,75) (516,5) = 0, , (78.50) (.176) =

24 Reta de Regressão Lnear Dferentes retas podem ser traçadas, a olho nu, e um dagrama de dspersão Cada pessoa terá uma tendênca dferente Nenhuma reta passará exatamente por todos os pontos (se a correlação não for máxma) Precsamos encontrar uma reta que esteja tão próxma dos pontos quanto possível Os erros de predção para a reta são erros em y (dreção vertcal)

25 Reta de Regressão Lnear Se um dagrama de dspersão sugere uma relação lnear, é de nteresse representar este padrão através de uma reta Usa-se o método dos mínmos quadrados para ajustar uma reta de regressão ao conjunto de pontos do dagrama A reta de regressão descreve como uma varável resposta (dependente) y vara em relação a uma varável explanatóra (ndependente) x

26 Varáves Varável resposta (y) (dependente) Mede um resultado em um estudo Varável explanatóra (x) (ndependente) Procura explcar os resultados observados Varável ndependente (x) Temperatura do forno ( o C) Quantdade de adtvo (%) Renda (R$) Memóra RAM (GB) Varável dependente (y) Resstênca mecânca da cerâmca (MPa) Octanagem da gasolna Consumo (R$) Tempo de resposta do sstema (s)

27 Defnção Dada uma coleção de dados amostras emparelhados, a segunte equação de regressão descreve a relação entre as duas varáves ŷ = α + β O gráfco da equação é chamado reta de regressão (ou reta de melhor ajuste, ou reta de mínmos quadrados) x

28 Defnção β = α = α = ŷ = α + β x ( ) ( )( ) ( ) ( ) n x x n x y x y ( )( y ) ( )( ) x x xy ( ) ( ) n x x y β n x β: coefcente angular α: ponto onde a reta ntercepta exo y

29 Exemplo Consdere um expermento em que se analsa a octanagem da gasolna (Y) em função da adção de um adtvo (X). Para sto, foram realzados ensaos com os percentuas de 1,, 3, 4, 5 e 6% de adtvo. Os resultados seguem.

30 Exemplo X Y 1 80,5 81,6 3 8,1 4 83,7 5 83,9 6 85,0 Índce de Octanagem 85,5 85,0 84,5 84,0 83,5 83,0 8,5 8,0 81,5 81,0 80,5 80, Quantdade de Adtvo (%)

31 Exemplo Calculando a equação de regressão... x y x x y 1 80,5 1 80,5 81, , 3 8,1 9 46,3 4 83, ,8 5 83, ,5 6 85, ,0 Soma 1 496, ,3 6(1754,3) (1)(496,8) 93 β = = = 6(91) (1) ,8 (0,886)(1) α = = 79,7 6 yˆ = 79,7 + 0,886x 0,886

32 Exemplo yˆ = 79,7 + 0, 886x Índce de Octanagem 85,5 85,0 84,5 84,0 83,5 83,0 8,5 8,0 81,5 81,0 80,5 80, Quantdade de Adtvo (%)