Comprimento de Arco. Comprimento de Arco

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Comprmento de Arco Mas sso pode ser dfícl de fazer com muta precsão se tvermos uma curva complcada. Precsamos de uma defnção eata para o comprmento de um arco de uma curva, da mesma manera como desenvolvemos defnções para os concetos de área e volume. Prof.: Rogéro Das Dalla Rva Comprmento de Arco.Introdução.Resolução de Eemplos 3.Função Comprmento de Arco.Resolução de Eemplo Se a curva é um polígono, podemos faclmente encontrar seu comprmento; apenas somamos os comprmentos dos segmentos de reta que formam o polígono. (Podemos usar a fórmula de dstânca para encontrar a dstânca entre os etremos de cada segmento). 5 O que queremos dzer com o comprmento de uma curva? Podemos pensar em colocar um pedaço de barbante sobre a curva, como na fgura abao, e então medr o comprmento do barbante com uma régua. Defnremos o comprmento de uma curva geral prmero apromando-a por um polígono e então tomando o lmte quando o número de segmentos do polígono aumenta. Esse processo é smlar para o caso de um círculo, onde a crcunferênca é o lmte dos comprmentos dos polígonos nscrtos, conforme a fgura a segur. 3 6

2 O comprmento L de C é apromadamente o mesmo desse polígono e a apromação fca melhor quando n aumenta. Veja a fgura a segur, onde o arco da curva entre P - e P fo amplado e as apromações com sucessvos valores menores para são mostradas. 7 0 Agora suponha que uma curva C seja defnda pela equação y = f(), onde f é contínua e a b. Obtemos um polígono de apromação para C dvdndo o ntervalo [a, b] em n subntervalos com os etremos 0,,, n e com larguras guas a. Se y = f( ), então o ponto P (, y ) está em C e o polígono com vértces P 0, P,, P n, lustrado na fgura segunte, é uma apromação para C. 8 Portanto, defnmos o comprmento L da curva C com a equação y = f(), a b, como o lmte dos comprmentos desses polígonos nscrtos (se o lmte estr). L = lm P P n n = 9

3 Note que o procedmento para a defnção de comprmento de arco é muto smlar àquele que usamos para defnr a área e o volume: dvdmos a curva em um grande número de partes pequenas. Então encontramos os comprmentos apromados das partes pequenas e os somamos. Fnalmente, tomamoso lmte quando n. 3 Então temos ( ) ( ) P P = + y ( ) P P = + f ( ) ( ) P P = + f ( ) ( ) P P = + f 6 A defnção de comprmento de arco dada pela equação anteror não é muto convenente para os propóstos computaconas, mas podemos dervar uma fórmula ntegral para L onde f tem uma dervada contínua. Essa função f é chamada suave, porque uma pequena mudança em produz uma pequena mudança em f (). Portanto n n lm lm ( ) n n = = L = P P = + f Assm sendo, essa epressão é gual a b [ ] L = + f ( ) d a pela defnção de ntegral defnda. 7 Se tomarmos y = y y -, então ( ) ( ) ( ) ( ) P P = + y y = + y Consderando a estênca de um número entre - e, tal que Fórmula do Comprmento de Arco Sef for contínua em[a, b], entãoocomprmentoda curvay =f(), a b,é b [ ] L = + f ( ) d a f ( ) f ( ) = f ( )( ) y = f ( ) 5 8 3

4 . Resolução de eemplos Se usarmos a notação de Lebnz para as dervadas, poderemos escrever a fórmula do comprmento de arco como a segur: b dy L = + d d a dá e assm a fórmula do comprmento de arco dy 9 L = + d = + d d 9. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Eemplo : Calcule o comprmento de arco da parábola semcúbca y = 3 entre os pontos (, ) e (, 8). Se substturmos 9 9 u = + du = d Quando 3 = u = e = u = Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Para a porção superor da curva, temos ( ) ( ) y = y = y = dy 3 d = Portanto L = 9 u du = 9 3 u 3/ 8 3 ( ) 3 L = L = /

5 . Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Se uma curva tem a equação =g(y), c y d e g (y) é contínua, então, pela mudança dos papés de e y, obtemos a segunte fórmula para seu comprmento. d d L = + [ g ( y) ] dy = + dy dy c d c Fazendo a substtução trgonométrca y = tg θ que resulta em sec e tg sec dy = θ dθ + y = + θ = θ 5 8. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Eemplo : Calcule o comprmento de arco da parábola y = de (0, 0) a (, ). Quando y = 0, tg θ = 0, logo θ = 0 Quando y =, tg θ =, logo θ = tg - = α. Então: α α 3 L = sec sec d = sec d θ θ θ θ θ = sec tg ln sec tg θ θ + θ + θ = sec tg + ln sec + tg ( α α α α ) α 0 9. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Solução: Como = y, temos d/dy= y. Como tg α =, temos: ( ) 0 0 L = + y dy = + y dy 7 Portanto sec α = + tg α secα = 5 ( ) L = 5 + ln 5 + ( + ) 5 ln 5 L =

6 . Resolução de eemplos. Resolução de eemplos A fgura a segur mostra o arco de uma parábola cujo comprmento é calculado no eercíco anteror, junto com as apromações polnomas tando n = e n = segmentos de reta, respectvamente. / / 3 3. Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Para n = o comprmento apromadoé L =,5 A tabela segunte mostra as apromações L n que obtemos dvdndo [0, ] em n subntervalos guas. Note que cada vez que duplcamos o número de lados do polígono nos apromamos do comprmento eato, que é dado pela epressão 3 ( + ) 5 ln 5 L = + =, Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Para n = o comprmentoapromadoé L = =, a dagonal de um quadrado n L n,,5,6 8,7 6,76 3,78 6,

7 . Resolução de eemplos. Resolução de eemplos Por causa da presença da raz quadrada na fórmula do comprmento de arco, os cálculos frequentemente nos levam a ntegras muto dfíces ou mesmo mpossíves de se avalar eplctamente. Então algumas vezes temos de nos contentar em achar uma apromação do comprmento da curva, como no eemplo a segur. (b) Usando a Regra de Smpson com a = b = n = 0 f ( ) = + obtemos b a L f + f + f + + f + f + f 3n [ () (,) (,) (,8) (,9) ()] 37 L,3 0. Resolução de eemplos 3. Função comprmento de arco Eemplo 3: (a) Monte uma ntegral para o comprmento de arco de uma hpérbole y = do ponto (, ) ao ponto (, /). (b) Use a Regra de Smpson com n = 0 para estmar o comprmento de arco. É útl termos uma função que mede o comprmento de arco de uma curva a partr de um ponto ncal partcular até outro ponto qualquer na curva. Então, se a curva suave C tem a equação y = f(), a b, seja s() a dstânca ao longo de C do ponto ncal P 0 (a, f(a)) ao ponto Q (, f()). Então s é uma função, chamada função comprmento de arco, dada pela fórmula abao [ ] s( ) = + f ( ) d. Resolução de eemplos 3. Função comprmento de arco (a) Temos Dervando a epressão anteror, obtemos: dy y = = d e assm o comprmento do arco é d + L = + d = + d = d dy 39 ds dy = [ f ( ) ] d + = + d 0 A equação anteror mostra que a taa de varação de s em relação a é sempre pelo menos gual a, e é gual a quando f (), a nclnação da curva, é 0. dy ds = + d d 7

8 3. Função comprmento de arco. Resolução de eemplo e essa equação é escrta algumas vezes na forma smétrca, cuja nterpretação geométrca é mostrada na fgura abao. ( ds) = ( d) + ( dy ) por Assm, a função comprmento de arco é dada [ ] s( ) = + f ( ) d d ln 8 8 = + = + 3 = + ln 8 6. Resolução de eemplo. Resolução de eemplo Eemplo : Determne a função comprmento de arco para a curva y = ln 8 tomando P 0 (, ) como o ponto ncal. Por eemplo, o comprmento de arco ao longo da curva de (, ) a (3, f(3)) é ln3 s (3) = 3 + ln3 = s(3) 8, Resolução de eemplo. Resolução de eemplo Solução: f ( ) = ln f ( ) = [ f ( ) ] = + = = + + = [ f ] = + ( ) = A fgura abao mostra a nterpretação da função comprmento de arco do eemplo anteror. 8 8

9 . Resolução de eemplo A fgura abao mostra o gráfco de sua função comprmento de arco. Observe que s() é negatvo quando é menor que. 9 9