CAPÍTULO IV DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA
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- Leonor Candal Aleixo
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1 PMR - Mecânca Computaconal para Mecatrônca CAPÍTULO IV DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA O problema de derencação numérca aparentemente é semelante ao de ntegração numérca ou seja obtendo-se um polnômo nterpolador ou outra unção nterpoladora da unção a apromação das dervadas podem ser obtdas dervando-se esse polnômo. Inelzmente deve-se tomar cudado. A derencação tende a magncar as pequenas dscrepâncas ou erros na unção apromada como mostrado na gura abao. dp n /d d /d p n 5 6 a b Pela gura o polnômo p n parece ser uma ecelente unção apromadora para apromar o valor da ntegral b p n por a b dp d. No entanto n que representa a nclnação da a d d lna tangente à p n pode ser sgncatvamente derente em magntude do que d mesmo nos pontos onde p n e tem o mesmo valor. Dervadas de ordem superor tendem a magncar a dscrepânca. Assm a derencação numérca é um processo menos precso do que a ntegração numérca e deve ser evtada toda vez que possível. Na verdade engeneros e centstas azem testes de derencação em dados de laboratóro como ndcação da precsão epermental. Uma orma de reduzr o erro de derencação é utlzar um polnômo apromador obtdo pelo método dos mínmos quadrados. No entanto sso é um tanto trabaloso e como na prátca nem todas as dervadas são necessáras geralmente somente a prmera e a segunda dervam-se órmulas de apromação das prmeras dervadas denomnadas derenças apromadas. Essas derenças apromadas e seus respectvos erros podem ser obtdos utlzando-se a epansão de Talor como mostrado a segur. 8
2 PMR - Mecânca Computaconal para Mecatrônca Consderemos ncalmente a derença apromada para a prmera dervada. Sendo unção de and a epansão de Talor de em torno de é 6 Isolando tem-se que pode ser reescrta como 6 onde o prmero termo é camado de derença apromada progressva e E é o erro de truncamento representado pelo seu termo domnante ou seja E Assm o erro é apromadamente proporconal ao valor de e à segunda dervada. Os demas termos decrescem mas rapdamente com o valor de e portanto não são domnantes no valor do erro. A derença apromada regressva é obtda de orma smlar escrevendo-se a epansão de Talor em torno de 6 Isolando a derença apromada regressva vale E onde E derença apromada central é obtda subtrando-se as epressões das epansões de Talor de e descrtas acma respectvamente. Obtem-se Note que o automatcamente elmnado. Isolando-se tem-se E onde E 6 Portanto o erro depende de!! Dessa orma a órmula de derença apromada central é mas precsa do que as derenças apromada regressvas e progressvas na apromação da prmera dervada. E... 9
3 PMR - Mecânca Computaconal para Mecatrônca d. regressva d. progressva d. central - No entanto se mas pontos estão dsponíves órmulas mas precsas podem ser deduzdas para a prmera dervada. Assm consderando-se três pontos um a mas do que o mínmo necessáro para se obter uma apromação de podemos obter as epressões de epansão de Talor de e Multplcando a prmera equação por subtrando da segunda equação e solando tem-se E onde E Essa apromação é camada derença apromada progressva de três pontos e possue um erro da mesma ordem que a derença apromada central. Smlarmente a derença apromada regressva de três pontos pode ser dervada usando e E onde E Derenças apromadas para a segunda dervada podem ser obtdas da mesma orma. Assm pode se obter em unção de e. Somando as epansões de Talor de e tem-se
4 PMR - Mecânca Computaconal para Mecatrônca e portanto a derença apromada central de é gual à E onde E Outra derença apromada pode ser dervada em termos de e. Subtrando vezes a epansão de Talor de da epansão de e solando resulta na derença apromada regressva onde E A ordem de grandeza desse erro é maor do que o erro da derença apromada central mostrando que a derença apromada central representa com maor precsão a segunda dervada como já observado na apromação da prmera dervada. Conclue-se que a nterpolação é sempre melor no centro do ntervalo de pontos. Derenças apromadas para dervadas de ordem maor do que dos podem ser obtdas de orma semelante no entanto é etremamente trabaloso. Em geral estem algortmos de computador que calculam automatcamente derenças apromadas de dervadas de alta ordem. No caso de dervadas parcas segue-se o mesmo racocíno. Consderando a unção bdmensonal a derença apromada da dervada parcal com relação à por eemplo pode ser dervada ando gual a constante e consderando como uma unção undmensonal. Assm as derenças apromadas regressva central e progressva são guas a As derenças apromadas centras das segundas dervadas de em são dadas por E
5 PMR - Mecânca Computaconal para Mecatrônca
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