D- MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS

Transcrição

1 D- MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS O método das apromações sucessvas é um método teratvo que se basea na aplcação de uma fórmula de recorrênca que, sendo satsfetas determnadas condções de convergênca, gera a partr de um valor ncal uma sucessão de valores numércos cujo lmte é a raz procurada. De um modo geral, um método teratvo adopta a segunte técnca: a) Escolhe-se um valor ncal apromado para a raz. Este valor pode ser obtdo a partr de um traçado gráfco apromado da função f(), pelo conhecmento de um ntervalo em que a raz está contda (separação das raízes), ou anda pela nterpretação físca do fenómeno traduzdo pela equação. b) A partr do valor ncal, obter uma nova apromação da raz utlzando uma fórmula de recorrênca. c) Contnuar a obter sucessvas apromações da raz, até consegur a precsão desejada (com um erro menor ou gual ao desejado). Um crtéro possível consste em parar a teração quando a dferença entre dos valores consecutvos para a raz for, em módulo, nferor a uma quantdade prevamente fada. No método das apromações sucessvas, também chamado método teratvo smples, a fórmula de recorrênca obtém-se re-escrevendo a equação F( ) = 0 sob a forma: = f ( ) Assm, a partr de um valor ncal 0, obtém-se uma sequênca de valores: = f ( ) para = 3,,,... Pág. Eng. Antóno Jorge Gonçalves de Gouvea

2 que, dentro de determnadas condções, converge para uma raz 0 da equação. O crtéro de paragem normalmente usado consste em garantr que consderar n como a raz apromada da equação. n < ε para n E. Obter uma raz da equação 3 log( ) 5= 0 com cnco algarsmos sgnfcatvos, usando 0 = 5 como apromação ncal. A equação: 3 log( ) 5= 0 pode ser re-escrta como: = + 3 ( log( ) 5) tendo como base esta fórmula de recorrênca, podemos construr o segunte quadro para o cálculo do valor apromado da raz: = f ( ) Podemos consderar como raz apromada o valor = (com cnco algarsmos sgnfcatvos). Uma representação gráfca do método das apromações sucessvas permte evdencar a convergênca do método sempre que f ( ) < para todo o dos sucessvos ntervalos 0,. Pág. Eng. Antóno Jorge Gonçalves de Gouvea

3 a) - < f () < 0 b) 0 < f () < c) f () < - d) f () > A condção de convergênca eposta demonstra que, muto embora seja sempre possível defnr váras funções f ( ) que permtam re-escrever F( ) = 0 na forma = f ( ), uma escolha crterosa da função f ( ) é necessára para que a sucessão de valores seja convergente. Pág. 3 Eng. Antóno Jorge Gonçalves de Gouvea

4 E. Consderar a equação de º grau 5+ = 0. Utlzando o método das apromações sucessvas, demonstrar que esta equação admte as raízes 0 = e 0 = A equação pode ser escrta na forma: = + ou seja = O gráfco mostra que o método va convergr para 0, mas não para 0. Na verdade, também: f ( ) = 04. f ( 0 ) 08. < f ( ) 8. > 0 Para a determnação do valor de 0, pode-se reescrever a equação dada sob a forma: = 5 que, como podemos ver no gráfco permte a convergênca para 0. Determnação do valor de 0, utlzando = : 0 =0 =0.4 = = = = = = = = Pág. 4 Eng. Antóno Jorge Gonçalves de Gouvea

5 Determnação do valor de 0, utlzando = 5 : 0 = = = = = = = = Pág. 5 Eng. Antóno Jorge Gonçalves de Gouvea