4.1. Tábuas de mortalidade

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1 42 4. Metodologa A verfcação da estênca de dferença na taa de mortaldade de partcpantes ue abandonam um plano de seguro de vda ou prevdênca complementar será realzada medante a comparação entre as probabldades de morte por dade da população ue deou o plano e as da população do grupo remanescente. O objetvo deste trabalho va além da nvestgação uanto a dferenças entre as probabldades de morte dos dos ctados grupos. É de nteresse também verfcarmos se há dferenças nestas probabldades de morte uando passamos a consderar o tempo decorrdo desde o ano em ue o ndvíduo deou o plano, ou seja, se pode-se conclur ue a probabldade de morte no 1º ano após a saída do plano é dferente da probabldade de morte no 2º ano, e assm sucessvamente, até o 4º ano após o ndvíduo ter deado o plano. O ano de saída do plano é também conhecdo tecncamente como período de seleção. A teora econômca predz ue caso haja uma dferença nas taas de mortaldade entre os grupos, a mesma deverá ser observada nos prmeros anos após a mudança de status, ou seja, nos prmeros anos após o ndvíduo ter deado o seu plano. Decorrdo algum tempo deste acontecmento, a tendênca é a de ue as taas voltem ao padrão ncal, ue é o do grupo remanescente nos planos. As probabldades de morte são representadas pela função da tábua de mortaldade. Para ser possível a comparação entre os dferentes anos de saída do plano, utlzaremos os concetos de tábua seleta de mortaldade, a ual apresenta os valores das probabldades de morte segregados pelo período de seleção. Abao serão apresentados maores detalhes sobre a construção de uma tábua de mortaldade e suas funções. A comparação entre as probabldades de morte do grupo de pessoas ue dearam o plano com as do grupo remanescente será feta por meo da razão entre as probabldades de morte dos dos grupos e será segregada pela ertura do plano, sobrevvênca ou morte, por seo e pelo período de seleção. Na subseção 4.2 será apresentada a metodologa utlzada para a modelagem das razões utlzadas.

2 Tábuas de mortaldade Uma tábua de mortaldade consste em uma tabela com regstros do número de pessoas ue vão atngndo determnada dade, partndo de um grupo ncal até a etnção do mesmo. A tábua construída desta forma é chamada tábua de vda de coorte, e é baseada na eperênca de mortaldade de uma coorte específca. Tábuas deste tpo são muto dfíces de serem construídas, pos necesstam do acompanhamento da coorte por um longo período de tempo, ue pode chegar a mas de um século. Outra forma para a construção da tábua de mortaldade é a utlzação do conceto de coorte sntétca, no ual é observada a eperênca da população durante um peueno período de tempo onde a mortaldade tenha mantdo padrões semelhantes. Neste caso são utlzadas nformações de váras coortes, referentes a cada dade eata no ano de construção da tábua. Independente do método utlzado para a sua construção, a tábua de mortaldade pode ser ntegralmente obtda a partr da função n, ue representa a estmatva da probabldade de ue um ndvíduo com dade eata morra durante o ntervalo (, +n). A partr desta função obtém-se faclmente as demas funções báscas de uma tábua de mortaldade, ue são a uantdade de sobrevventes à dade eata (l ), o número de óbtos entre as dades e +n ( n d ), o número médo de sobrevventes entre e +n ( n L ), o número médo de anos ue a população de dade rá sobrevver (T ) e a epectatva de vda futura do ndvíduo à dade eata (e 0 ). A função l ndca o número de sobrevventes à dade eata, a partr de um valor ncal ou raz l 0, normalmente defndo como sendo ou A partr do valor ncal estabelecdo os prómos valores são obtdos da segunte forma 1 : l = l -1 - l -1 *. O número de mortes ocorrdas em determnado ntervalo de n anos é representado por n d e pode ser encontrado por meo da segunte epressão: nd = l - n l. 1 Quando o subscrto (n) for omtdo nas funções da tábua de mortaldade, subentende-se ue n=1.

3 44 A função n L, por sua vez, corresponde ao número de pessoas ue, tendo completado anos de dade, não completaram +n anos de dade anda. Se consderarmos a hpótese de ue a ocorrênca de mortes entre as dades e +1 possu uma dstrbução unforme temos ue L = l +1/2, sendo l +1/2 = ½*( l + l +1 ). Portanto, L representa o número médo de sobrevventes entre as dades sucessvas e +1. Por fm, as funções T, e estão relaconadas à uantdade de anos vvdos pela população, sendo ue a prmera corresponde ao número de anos ue, a partr da dade eata, vverão todos os componentes do grupo (população) até ue o mesmo se etnga. É obtda por: w-1 L u u= T =. A segunda função, e 0, representa uma méda deste valor, ou seja, ndca o número médo de anos ue anda serão vvdos por um únco ndvíduo com dade eata. É também conhecda como esperança de vda à dade e representa uma das prncpas funções da tábua de mortaldade. Pode ser obtda pela segunte fórmula: e T = l 0. No processo de construção da tábua de mortaldade é de suma mportânca fazer a conversão entre as taas centras de mortaldade ( n m ) em probabldades de morte ( n ). As taas centras de mortaldade são epressas por: n d l - l m = = L L n +n n n. Já as probabldades de morte são representadas por: n d l - l = = l l n +n.

4 45 Como as duas funções são apresentadas em função de l, se conhecermos a forma funconal de l poderemos obter uma epressão ue relacona n m e n. A suposção mas comum a respeto da função l é a de ue a mesma vara lnearmente, o ue euvale a dzer ue as mortes se dstrbuem unformemente dentro do ntervalo (, +n). Com base nesta suposção, temos ue: 2n m n n =. 2+n n m Conforme dto no níco desta seção, toda a tábua de mortaldade pode ser dervada a partr da estmatva da probabldade de morte de um ndvíduo com dade eata no ntervalo (, +n). Desta forma, atenção especal deve ser dada à estmação da função. O número de óbtos ocorrdos em determnada população para uma dade pode ser consderado varável aleatóra com dstrbução bnomal, Bn(E, ), com o parâmetro de tamanho conhecdo, E, a população eposta ao rsco, e o parâmetro de probabldade,, desconhecdo e a ser estmado (BELTRÃO E SUGAHARA, 2005). A função de verossmlhança para a bnomal, dado E, a eposção e =o,...,w correspondente, é: O, os óbtos, com como taa =o,...,w E L()= (1- ) w E -O =0 O O O w E E L()= (1- ) =0 O 1- E w L()=ep ln +Oln +Eln(1- ) =0 O 1- Da função de verossmlhança acma podemos obter o estmador de máma verossmlhança (EMV) de, ue é dado por: O EMV( )=. E

5 46 Até o presente momento tratamos da construção da tábua de mortaldade sem levar em consderação os períodos de seleção ue serão utlzados neste trabalho, os uas se referem ao ano em ue o ndvíduo abandonou o seu plano de seguro de vda ou de prevdênca complementar aberta. Para ntroduzr estas nformações na tábua de mortaldade faremos uso de alguns concetos largamente empregados para a construção das chamadas tábuas seletas de mortaldade. São dversos os métodos ue podem ser empregados para a construção de uma tábua seleta de mortaldade. Neste trabalho utlzaremos o método proposto por Benjamn e Pollard (1980), ue consste em um modelo de graduação por referênca a uma tábua básca. Quando os dados são provenentes de uma eperênca smlar para a ual uma tábua resumo já este, é possível utlzar esta tábua como uma curva para graduar os novos dados (Arteaga, 2009). A tábua ue será utlzada como referênca nesta dssertação é a tábua Eperênca do Mercado Segurador Braslero (BR EMS), ue fo desenvolvda pelo Laboratóro de Matemátca Aplcada LABMA, da UFRJ (Unversdade Federal do Ro de Janero) em parcera com a Superntendênca de Seguros Prvados SUSEP e a Federação Naconal de Prevdênca Prvada e Vda Fenaprev. Esta tábua fo construída no mesmo molde ue estamos utlzando neste trabalho, ou seja, segregada entre ertura e seo, o ue torna anda mas convenente a utlzação da mesma como tábua de referênca. Os dados utlzados para a construção da referda tábua e os utlzados nesta dssertação são provenentes da mesma fonte, com a únca dferença ue neste trabalho utlzamos somente as nformações dos partcpantes ue abandonaram o plano, enuanto ue para a construção da tábua BR EMS, o LABMA/UFRJ utlzou somente as nformações referentes aos partcpantes atvos. Isso ndca ser totalmente plausível a suposção de ue os dados para a construção da tábua seleta possuem eperênca smlar à da tábua de referênca. Assm sendo, podemos escolher entre dversas formas para relaconar a eperênca de mortaldade apresentada pela tábua de referênca com a mortaldade de cada período de seleção. Optamos por utlzar uma forma smples e ntutva, ue é calcular a razão entre as taas específcas de mortaldade,, s,, dervada dos dados para cada ano de seleção (), dade (), seo (s), e ertura () e as taas específcas de mortaldade, _ h p, s,, provenentes da

6 47 tábua de referênca. É mportante ressaltar ue as taas específcas brutas de mortaldade dervadas dos dados são obtdas por:, s, E O, s, O, s,, s, 2, para = 1, 2, 3 e 4, s = femnno ou masculno e = morte ou sobrevvênca. O termo O, s, 2 acrescdo ao denomnador é um fator de correção ao estmador de máma verossmlhança de, utlzado para transformar as taas centras de mortaldade em probabldades de morte, pos l l l l O O L l O l L 2 1,, De posse da estmatva de s da tábua seleta é obtda dretamente por:,, s,, s, h _ p, s, r a obtenção da razão para a construção onde h _ p, s, é a taa de mortaldade provenente da tábua de referênca desenvolvda pelo LABMA/UFRJ para a dade (), seo (s) e ertura (), sendo ue o sobrescrto h_p faz referênca ao modelo de Helgman and Pollard (1980) utlzado para a construção da tábua de referênca. Como esperamos ue o comportamento dos nossos dados seja bastante semelhante ao apresentado pela tábua de referênca, a tendênca é a de ue nenhum valor encontrado para as razões menconadas acma se afaste muto da undade, a não ser devdo ao fato de estr uma seleção adversa nas saídas dos planos, ue é a hpótese ue esta sendo nvestgada neste trabalho. Um aspecto mportante a respeto da construção de tábuas de mortaldade ue anda não fo tratado neste capítulo refere-se à graduação ou suavzação das taas de mortaldade por dade, uma vez ue as taas brutas geralmente apresentam mudanças bruscas de uma dade para outra, o ue não corresponde à hpótese plausível de ue as probabldades de morte para duas dades consecutvas devem ser muto prómas.

7 48 Para contornar esse problema, ajustamos um modelo estatístco para as razões utlzadas para a obtenção da tábua seleta, obtendo assm um valor estmado para a razão suavzada, r,, s. A partr deste valor, as probabldades de morte suavzadas, para cada período de seleção, seo, ertura e dade, podem ser estmadas pela segunte epressão: h _ p r, s,, s, *, s, A subseção segunte aborda o tema da modelagem das razões Ajuste do modelo A partr desta etapa do trabalho só consderamos as dades entre 20 e 100 anos, pos nestas dades estão concentrados os consumdores de produtos de seguro de vda e prevdênca complementar aberta, e os dados fora destes lmtes são muto escassos. Abao apresentamos os gráfcos de dspersão das razões as uas desejamos modelar, separadas por ertura e seo: 1, , , , , , , º ano 2º ano 3º ano 4º ano Gráfco 1 - Razão entre as taas específcas brutas encontradas nos dados e as da tábua BR EMS, por período de seleção, para a ertura Morte e seo Masculno. Fonte: Base de mcrodados de segurados do projeto FenaPrev/Labma-UFRJ.

8 49 1, , , , , , , º ano 2º ano 3º ano 4º ano Gráfco 2- Razão entre as taas específcas brutas encontradas nos dados e as da tábua BR EMS, por período de seleção, para a ertura Morte e seo Femnno. Fonte: Base de mcrodados de segurados do projeto FenaPrev/Labma-UFRJ. 1, , , , , , , º ano 2º ano 3º ano 4º ano Gráfco 3 - Razão entre as taas específcas brutas encontradas nos dados e as da tábua BR EMS, por período de seleção, para a ertura Sobrevvênca e seo Masculno. Fonte: Base de mcrodados de segurados do projeto FenaPrev/Labma-UFRJ.

9 50 1, , , , , , , º ano 2º ano 3º ano 4º ano Gráfco 4 - Razão entre as taas específcas brutas encontradas nos dados e as da tábua BR EMS, por período de seleção, para a ertura Sobrevvênca e seo Femnno. Fonte: Base de mcrodados de segurados do projeto FenaPrev/Labma-UFRJ. O prmero passo para a modelagem das razões é a determnação da forma funconal do modelo. Devdo ao aspecto apresentado pelas mesmas e ao fato de os polnômos representarem uma famíla densa de modelos, decdmos testar o ajuste do segunte polnômo 2 : r a I a I a I a I 2 3, s, s, s, s, b2 s, I2 b3 s, I3 b4 s, I4 c2 s, I 2 c3 s, I3 c4 s, I4 Euação 1 onde s, é a dade referente ao seo (s) e à ertura (),,,, a, a, a, a, b, b, b, c, c, c uma varável dummy para ndcar o período de seleção. são parâmetros a serem estmados e I é 2 A prmera tentatva fo a de ajustar o modelo logto C para as razões, porém o mesmo ( a b) 1 e não se apresentou adeuado para todos os subgrupos em estudo, o ue nos fez optar pelo polnômo.

10 51 ( 3 s, Com esse modelo estamos supondo ue o termo domnante do polnômo ) é obrgatoramente o mesmo para todos os períodos de seleção e ue estas razões podem dferr nos termos de ordem menor. Testamos a gualdade obrgatóra para os dos (, ) e três (,, ) termos de ordem s, s, s, s, s, maor, mas o ajuste não fo adeuado para todas as combnações de seo e ertura. O ajuste com os três termos de ordem maor guas é euvalente a ajustar polnômos paralelos entre s, dferndo apenas no termo constante, ue sera dferente para cada período de seleção e é representado pela varável dummy. A dstrbução das observações do número de óbtos O,, E, ), onde o estmador de, s, é: Bn(, s,, s, h _ p r, s,., s,, s, * A razão r, s, s é parametrzada segundo a euação 1, e são calculados os estmadores de máma verossmlhança dos parâmetros teratvamente. A prncípo estma-se os parâmetros da euação 1 e em seguda, calcula-se a varânca de O. O nverso da varânca estmada é utlzado como peso num processo de mínmos uadrados ponderados para se estmar um novo conjunto de parâmetros. Calcula-se novamente a varânca e as terações termnam uando não há dferenças nos parâmetros estmados em é dos passos consecutvos. Desta forma, fca evdente ue, em modelos lneares generalzados, os estmadores de máma verossmlhança são obtdos por um processo teratvo de mínmos uadrados ponderados. 3 Procedendo à estmação dos parâmetros para cada combnação entre seo e ertura separadamente, em um total de uatro casos dstntos, pudemos testar a sgnfcânca de cada parâmetro para chegarmos, enfm, ao modelo mas sgnfcatvo e parcmonoso para cada caso. A sgnfcânca dos parâmetros fo testada pelo método tradconal, com as seguntes hpóteses: H0 : p 0 H : p 0, 1 3 A estmação dos parâmetros fo realzada com o auílo do software SPSS, por meo da procedure Analyze Regresson Nonlnear.

11 52 Sendo H 0 a hpótese nula, H 1 a hpótese alternatva e (p) um símbolo para representar ualuer um dos parâmetros estmados. Caso a hpótese nula não seja rejetada, podemos afrmar a um determnado nível de sgnfcânca, ue no caso do presente trabalho fo de 5%, ue o parâmetro ue está sendo testado não é sgnfcatvo. Após a estmação e teste de cada um dos parâmetros, chegamos a dferentes modelos para cada uma das combnações, ue são ertura por morte e seo masculno, ertura por morte e seo femnno, ertura por sobrevvênca e seo masculno, ertura por sobrevvênca e seo femnno. Tas modelos serão apresentados detalhadamente no prómo capítulo, ue trata sobre os resultados encontrados.