DECISÃO SOB INCERTEZA

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1 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Incerteza: o básco Curso de especalzação em Fnanças e Economa Dscplna: Incerteza e Rsco Prof: Sabno da Slva Porto Júnor Sabno@ppge.ufrgs.br 1 Introdução Até agora: conseqüêncas das escolhas dos consumdores são conhecdas com certeza. Nova suposção: consumdores e produtores tem apenas uma déa aproxmada dos resultados possíves e atrbuem probabldades para dstntos cenáros possíves. DECISÃO SOB INCERTEZA Probabldades (objetva e subjetva): permtem analsar decsão sob ncerteza. Aplcações: Mercado de seguros ampla-se o conjunto de commodtes. 2 Incerteza e Rsco 1

2 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Teora da Probabldade Mundo com certeza: Ação resultado certo = ocorre com certeza Agora: Mundo com ncerteza: Ação resultado ncerto = dferentes resultados possíves Se for possível atrbur probabldade postva para esses resultados ncertos é possível analsar decsão de rsco de forma semelhante a analse de decsões em jogos de azar. 3 Teora da Probabldade Probabldade objetva: observável va expermento Ex: moeda não-vcada arremessada mutas vezes (1000 a vezes) Moeda justa: p(ca)=p(co)= 50%. Obtém-se, portanto, uma dstrbução de probabldades sobre resultados que é objetva e sso permte fazer prevsões. 4 Incerteza e Rsco 2

3 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Teora da Probabldade Moeda Justa: Cara com probabldade ½ Coroa com probabldade ½ Dado justo: 1 ponto pr 1/6 2 pontos pr 1/6 3 pontos pr 1/6 4 pontos pr 1/6 5 pontos pr 1/6 6 pontos pr 1/6 5 Teora da Probabldade Probabldade subjetva: experênca; formação/pesqus (nformações a pror); crença. Ex: decdr entre dos atvos; decdr entre dos empregos; tratamento médco. Palpte do Gerente: Um Atvo para R$ 6 por ação com pr 1/3 e nada com pr zero. Outro Atvo paga R$ 3 com pr ½ e R$ 1 com pr ½ Outro Gerente: tera outro conjunto de palptes. 6 Incerteza e Rsco 3

4 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 O que devemos saber sobre probabldades? Somam 1 Valor esperado Varânca Independênca 7 O que devemos saber sobre probabldades? 1. Probabldades somam 1: Moeda: ½ + ½ = 1 Dado: 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 Atvos: 1/3 + 2/3 = 1 Eventos são mutuamente exclusvos Exaurem todos os resultados possíves Apenas um evento ocorrerá 8 Incerteza e Rsco 4

5 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 O que devemos saber sobre probabldades? 2. Valor esperado: valor médo dos resultados possíves. Num jogo jogado mutas vezes esse resultado é o esperado. Multplca-se cada resultado por sua probabldade e somam-se os produtos Aposta justa: o preço pago para partcpar do jogo (gamble) é gual ao valor esperado do jogo. 9 E[A1] = valor esperado do Atvo 1 Se os atvos custam R$ 2, então, a aposta é justa: E [ A E [ A ] = (6) + (0) = ] = (3) + (1) = Incerteza e Rsco 5

6 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Proposção: o valor esperado de um resultado certo (pr = 1) é o própro valor do resultado. 3. Varânca: jogos dferentes com o mesmo valor esperado podem dferr na dspersão em relação a meda Varânca = é a soma da dferença ao quadrado entre os resultados possíves e o valor esperado da lotera, cada uma, multplcada por suas respectvas probabldades. 11 Varânca: dspersão méda dos resultados em relação à méda. Var Var Var 2 [ A ] = ( 6 2) ( 0 2) 1 [ A ] = + = [ A ] = (3 2) (1 2) = 1, Incerteza e Rsco 6

7 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/ Independênca Cada vez que o jogo é jogado a dstrbução de probabldades dos resultados é a mesma do jogo sendo uma únca vez. Resultados possíves são ndependentes: A ocorrênca de um evento não tem nfluênca sobre a probabldade de ocorrênca de outro evento. Toda vez que uma moeda justa é arremessada, a probabldade de ocorrer cara contnua sendo de ½ não mportando quantas coroas tenha ocorrdo ate então. 13 Proposção: Se dos eventos são ndependentes então a probabldade de que ambos ocorram juntos é a multplcação de ambas as probabldades. Probabldade de obter cara e cara em dos arremessos sucessvos é: Pr(ca, ca) = (1/2)(1/2) = ¼ Pr(ca, co)= ¼ Pr(co, ca)= ¼ Pr(co, co)= ¼ 14 Incerteza e Rsco 7

8 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/ Arremessos: há 8 seqüêncas gualmente prováves Pr(ca, ca, ca)= (1/2)(1/2)(1/2)= (1/8) n-arremessos: Há 2 n seqüêncas gualmente prováves cada uma ocorrendo com probabldade (1/2) n. Suposção: cada ação n-resultados ndependentes e dferentes. x = valor do - ésmo resultado p = probabld ade do - ésmo resultado ocorrerá. 15 Propredades da probabldade n 1. p = 1, 0 = 1 2. pr ( x, x ) = j 3. E 4. Var [ x ] ( = n = 1 n = 1 p )( p x [] x = p ( x x ) 2 p ); n j = x = Incerteza e Rsco 8

9 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Função Utldade Esperada ou Funcao Utldade de von Neumann- Morgenstern. Lvro: Theory of Games and Economc Behavour Autores: John(y) Von Neumann e Oskar Morgenstern (1944; 1947) 17 Motvação Paradoxo de São Petersburgo: sugere que precsamos de outro conceto além do valor esperado e da varânca para tomar decsão num ambente envolvendo Incerteza e Rsco. Usamos a Utldade Esperada (EU): que se consttu numa representação das preferêncas sob ncerteza em termos de valor esperado de um conjunto de utldades sobre os resultados ou conseqüêncas possíves de uma ação ou escolha. 18 Incerteza e Rsco 9

10 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Utldade Esperada U vn M = EU = n { } pu( x) = 1 Lnear em Probabldades 19 Utldade Esperada- Axomas báscos 1. Preferêncas sobre resultados possíves são completas, reflexvas e transtvas. Supor rank de resultados: 1. X 1 = por resultado 2. Xn = melhor resultado 2. Loteras compostas podem ser reduzdas a loteras smples x~ 20 Incerteza e Rsco 10

11 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Lotera composta: reduconsmo Prmero jogo (gamble): Regras ou hstóra do jogo: Arremesse uma moeda: se CARA aparece, você deve arremessar outra moeda, se CARA aparece novamente você ganha R$ 1,00. Se aparece COROA você ganha R$ 0,75. Se aparece coroa no prmero arremesso: você deve jogar um dado. Seu prêmo agora é R$ 0,10 por ponto no dado, ou seja, você ganha: R$ 0,10 1 Ponto; R$ 0,20 2 Pontos; (...); R$ 0,60 6 Pontos. 21 Fgura ou representação gráfca do jogo Game 1: Pr (ca)= Pr(co)= 0,5 P(ca,ca)= (1/2)(1/2) = (¼) chance de obter R$ 1,00 P(ca,co)=(1/2)(1/2) = (1/4) chance do obter R$ 0,75 Game 2: Coroa na prmera rodada: P(co, 1)= (1/2)(1/6) = (1/12) chance de obter R$ 0,10 P(co, 2)= (1/2)(1/6) = (1/12) chance de obter R$ 0,20 P(co, 3)= (1/2)(1/6) = (1/12) chance de obter R$ 0,30 P(co, 4)= (1/2)(1/6) = (1/12) chance de obter R$ 0,40 P(co, 5)= (1/2)(1/6) = (1/12) chance de obter R$ 0,50 P(co, 6)= (1/2)(1/6) = (1/12) chance de obter R$ 0,60 22 Incerteza e Rsco 11

12 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Nova Lotera: reduzda Oferece: R$ 1,00 com pr =1/4 R$ 0,75 com pr= ¼ R$ 0,60 com pr= 1/12 R$ 0,50 com pr= 1/12 R$ 0,40 com pr= 1/12 R$ 0,30 com pr= 1/12 R$ 0,20 com pr= 1/12 R$ 0,10 com pr= 1/12 23 Segundo Gamble: grar a RODA DA FORTUNA: ganha o prêmo assocado com a quantdade mostrada onde o pontero para. Pedaços de pzza Probabldade da Lotera smples. Axoma 2: dz que o consumdor é ndferente entre joga o prmero ou segundo jogo. Os dos jogos propcam a mesma utldade. 24 Incerteza e Rsco 12

13 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Utldade Esperada: axomas báscos 3. Axoma da contnudade: para cada resultado x entre x 1 ex n o consumdor pode atrbur uma probabldade p, tal que ele é ndferente entre obter x com certeza e jogar uma lotera que envolve obter x n com probabldade p e x 1 com probabldade (1-p ). Vamos chama-la de lotera 4. Axoma da Substtutbldade: a lotera x~ sempre pode ser substtuída por seu Equvalente certo (EC) x em qualquer outra lotera, pos o consumdor é ndferente entre eles. 5. Preferêncas sobre loteras são transtvas 6. Axoma da monotoncdade: se duas loteras têm 2 alternatvas dêntcas, cada uma dferndo em probabldades, então a lotera que dá maor probabldade para a alternatva mas preferda é preferda à outra lotera. px + 1 p) x f px + (1 p ) x ssep f [ ] [ ] p n ( 1 n 1 25 Indvíduo raconal: escolhe a alternatva de rsco que maxmza utldade esperada Proposção: se preferêncas sobre loteras satsfazem os axomas (1) a (6) então podemos assnalar números U(x ) assocados com x, tal que se compararmos 2 loteras L e L que oferecem probabldade (p 1...p n ) e (p 1...p n ) de obter os mesmos resultados, L será preferível a L sse: n = 1 p U ( x ) > n = 1 p U ( x ) 26 Incerteza e Rsco 13

14 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 O Índce de Utldade de vn-m Forma de construção: 27 1) Rank de todos os resultados possíves: x1 p x 2 p x3... x n 1 p x n Atrbu-se ao resultado menos-preferdo valor utldade zero: u(x1)= 0; Atrbu-se ao resultado mas-preferdo valor utldade um: u(xn)= 1; Atrbu-se a todos os resultados ntermedáros possíves x um valor utldade p: U( x 1 ) 0 U( x ) 1 n U( x ) p 28 Incerteza e Rsco 14

15 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Game l Game 2 J. ; ^,$0.75 $0.10 $0.20 $0.30 $0.40 $0.50 $ Incerteza e Rsco 15

16 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Onde x é o Equvalente Certo (EC) de uma lotera envolvendo x n com probabldade p e x1 com probabldade (1-p). Esse índce de utldade equvale a tomar valores esperados das utldades de x n e x 1 usando as probabldades p e (1-p ) assocadas com a lotera para a qual x é o EC: U ( x ) = pu ( xn) + (1 p ) U ( x1) = p + 0 = p (2) 31 Esse índce de utldade descrto em (1) e (2) é únco em transformações lneares ou afns: Uma transformação lnear preserva o EC. Consdere U(x ), então: V ( x) = c + du ( x) (3) Substtundo (1) em (3) : V ( x ) = c + d.0 = c 1 V ( x ) = c + d.1 = c + d n (4) De (4) a Utldade Esperada de x, dado p : V ( x ) = p ( c + d) + (1 p ) c = c + dp O valor de V(x ) é o mesmo da utldade transformada de x. Portanto, (5) mostra que quando avalamos a utldade esperada de x va transformação lneares das utldades de x 1 e x n obtemos de volta a utldade transformada de x e sso sgnfca que transformações lneares preservam o EC. (5) 32 Incerteza e Rsco 16

17 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Comportamento em relação ao rsco Comportamento dos ndvíduos, que são defndos pela forma da UE: 1. Rsk averse: para uma rqueza constante um resultado certo é sempre preferível a uma lotera com o mesmo valor esperado, mas com alguma varanca postva 2. Rsk neutro: o ndvduo ndferente entre o resultado certo e a lotera de mesmo valor esperado. 3. Rsk lover: ndvduo prefere a lotera ao resultado certo. 33 Aversão ao rsco 3 resultados possíves 2 ações que podem ser tomadas e que rendem os resultados com probabldades dferentes Resultado 1: R$ 50 U(50) = 30 Resultado 2: R$ 100 U(100) = 80 Resultado 3: R$ 150 U(150) = 110 (6) Ação A: rende R$ 100 e tem uma EU de 80: E{U(ação A)}= (1).U(100)= 80. (7) Ação B: rende R$ 50 com pr. ½ e rende R$ 150 com pr. ½. 34 Incerteza e Rsco 17

18 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 { ( ação B) } E U { ( ação B) } E U = 1 U (50) = ( ) = 70 2 U (150) { ( ação B) } < E{ U ( ação A) } (8) E U Mesmo cada ação rendendo um payoff esperado de R$ 100, a Utldade Esperada da ação B é menor que a Utldade Esperada da ação A. Isso ocorre porque a função Utldade desse ndvduo é côncava. R$ 100 U(100) = 80 R$ 50 U(50) = 30 R$ 150 U(150) = Indvduo Avesso ao Rsco: Função Utldade U(x) côncava. $50 $100 $150 A EU do gamble 50/50 em [100+50] e [100-50] está no ponto médo da combnação lnear da utldade de R$ 50 e R$ 150. Essa EU = 70, é menor do que recebe R$ 100 com certeza, EU = 80. Proposção: ndvíduos que tem função utldade côncava são avessos ao rsco. 36 Incerteza e Rsco 18

19 PPGE/UFRGS - Prof. Sabno Porto Junor 19/10/2005 Aversão ao rsco: Este ndvduo, que é avesso ao rsco, estara dsposto a pagar a quantdade γ para evtar o rsco: Com um payoff de [100- γ] o ndvíduo obtém uma U(100- γ)= 70 e não tem que tomar qualquer rsco. Defnmos: γ = prêmo de rsco: é a quantdade que um ndvduo avesso ao rsco está dsposto a pagar para não correr rscos. [100- γ]= Equvalente certo 37 Attudes em relação ao rsco: U (x) E{U(x)\ U x a x x + a x ã x x 4- a x-a x x + a x 38 Incerteza e Rsco 19