Reconhecimento Estatístico de Padrões
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- Leonardo Escobar Sequeira
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1 Reconhecmento Estatístco de Padrões X 3 O paradgma pode ser sumarzado da segunte forma: Cada padrão é representado por um vector de característcas x = x1 x2 x N (,,, ) x x1 x... x d 2 = X 1 X 2 Espaço de característcas Um dado padrão deve ser classfcado em uma de C categoras, w 1, w 2,, w C, com base no seu vector de característcas. Ω= (,,, ) ω1 ω2 ω C Assume-se se que o vector de característcas possu uma f.d.p. típca da sua classe. Um vector x pertencente à classe w é vsto como uma observação gerada aleatoramente de acordo com a f.d.p. condconada à classe pxω ( ) Concetos da teora estatístca de decsão são usados para estabelecer fronteras de decsão entre as classes 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 1
2 Reconhecmento Estatístco de Padrões Classes Vector de característcas Regões de decsão ω 1 ω 2 ω C Ω= (,,, ) ω1 ω2 ω C x Padrão 1 x x x 2 d 1 2 Classfcador f.d.p. condconadas às classes px ( ω ) px ( ω ) px ( ω ) C Classe de decsão ω j R 1 R d R 1 R 2 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 2
3 Regões de Decsão e Superfíces de Separação Em geral, um classfcador partcona o espaço de característcas em volumes desgnados regões de decsão. Todos os vectores de característcas no nteror de uma regão de decsão são atrbuídos à mesma categora. A regão de decsão para uma classe pode ser smplesmente conexa, ou pode consstr em duas ou mas sub-regões não adjacentes. As regões de decsão encontram-se separadas por superfíces desgnadas superfíces de decsão ou superfíces de separação. Estas superfíces representam pontos onde exstem empates entre duas ou mas categoras. R 1 R d R 2 R 1 Superfíces de decsão do classfcador de dstânca mínma g ( x) = x m 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 3
4 Ex: : Decsão de MAP. Atrbur x `a classe ω se p( ω x) p( ωj x) j com p( ω x) probabldade a posteror da classe ω, defnda em termos das f.d.p. condconadas Às classes e as probabldades a pror das classes p( ω ) através de px ( ω) p( ω) p( ω x) = C px ( ω ) p( ω ) j= 1 j j Esta regra de decsão é óptma no sentdo em que, para uma dada dstrbução a pror, não exste uma regra de decsão com menor probabldade de erro de classfcação. 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 4
5 Ex: : Regra de decsão de Máxma Verosmlhança Quando as probabldades a pror das classes são dêntcas (P(w )=1/C) a regra de decsão de Bayes é dêntca à regra de decsão de Máxma Verosmlhança: Atrbur x `a classe ω se px ( ω) px ( ωj) j 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 5
6 Funções Dscrmnantes e Superfíce de Decsão A noção de função dscrmnante e superfíce de decsão são mutos mportantes em R. P. Estatístco. Funções dscrmnantes e regras de decsão: Cada classe, w, tem assocada uma função dscrmnante, g (x) Ex: g ( x) = p( ω x) Regra de decsão usando funções dscrmnantes: Atrbua x `a classe ω se g ( x) g ( x) j j Outra forma de escrever a regra: x ω k : k=arg max g () x =1,,C A superfíce de separação no espaço d-dmensonal de característcas entre as classes w e w j é defnda pela equação g ( x) g ( x) = 0 j 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 6
7 Estrutura do Classfcador Baseado em Funçõ ções Dscrmnantes g 1 (.) g 2 (.) x. max classe.. g C (.) { x: g ( x) g (), x } Regão de decsão: R = j j 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 7
8 Ex. Classfcador de MAP: Caso em que as f.d.p. condconadas às s classes são s Gaussanas N ( µ, I) 1 Px ( ω ) = N( µ, I) = e 1/ d (2 π ) x µ 2 2 Se as probabldades a pror das classes são dêntcas, então a função dscrmnante para a classe w pode ser escrta como 2 com. a denotar a norma eucldeana. x µ g ( x) = 2 Este classfcador atrbu x à classe cujo vector da méda esteja mas próxmo - classfcador de dstânca mínma. A superfíce de separação entre as classes w e w j é o hperplano perpendcular à lnha que une m a mj, passando pelo ponto (m + mj)/2 m 1 R 1 R 2 m 2 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 8
9 Ex. Funçõ ções Dscrmnantes em d=1, C=3 g 2 g 1 g 3 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 9
10 Ex. Funçõ ções Dscrmnantes em d=1, C=3 g 2 g 1 g 3 R1 R R 2 3 R2 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 10
11 De acordo com a defnção de classfcador baseado em funções dscrmnantes, não exste um únca sequênca de funções dscrmnantes para um dado classfcador Por exemplo, se compusermos uma função f : R R monótona crescente com cada função dscrmnante, obtém-se uma nova sequênca de funções dscrmnantes equvalentes g ( x) = f( g( x)) Uma função que é frequentemente usada com este fm é o logartmo natural f (.) = log(.) 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 11
12 Classfcadores de Estado únco vs Classfcadores Herárqucos Classfcadores de estádo únco: A atrbução de uma classe a um padrão é feta num únco passo Desvantagens: Para um elevado número de classes, a classfcação num únco passo requer um número elevado de característcas com o correspondente aumento do número de amostras de treno por forma a evtar o problema de curse of dmensonalty O conjunto de característcas global pode não ser o óptmo para pares específcos de classes Elevado custo computaconal ( permetro) ( 4π area) 2 D B A C λ / λ 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred
13 Ex: : Problema de classfcaçã ção o de objectos A B C D 0 Obter as magens dos objectos 1 Extracção dos contornos 2 Defnção de característcas a partr dos contornos. Característcas típcas: Momentos Descrtores de Fourer Vamos defnr: 1. ( permetro) 2 /( 4π area) 2. λ com o ésmo valor própro do conjunto de pontos 2D pertencentes ao 2 / λ1 λ objecto 1- mede o carácter crcular do objecto (~1=> forma crcular) 2- medda de elongação (valores elevados => o objecto possu uma dmensão que é muto menor do que a outra) 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred Morfologa Meddas de compactacdade
14 Classfcadores de Estado únco vs Classfcadores Herárqucos Classfcadores herárqucos ou em árvore: O problema de classfcação é partdo em dversos problemas mas smples As dscrmnações mas óbvas são realzadas prmero; as dstnções mas subts entre padrões são fetas em níves posterores Vantagens: Maor rapdez de processamento Redução do nº médo de característcas usadas em cada fase ou nó da árvore de decsão Dfculdades: No projecto do classfcador. Isto requer a defnção de Esqueleto da árvore de decsão ou uma ordenação herárquca dos rótulos das classes Quas as característcas a avalar em cada nó não termnal Regra de decsão em cada nó Estes problemas são dfíces porque o nº de estruturas de árvores possíves para cada classfcação em C classes é muto elevado. Na prátca são usadas heurístcas no projecto de um classfcador herárquco 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 14
15 Classfcador Herárquco 2 p π A > t1 /(4 )? sm não λ2 / λ 1> t 2? λ2 / λ 1> t 3? sm não sm não B D C A 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 15
16 Abordagem Paramétrca vs Não Paramétrca Técncas Paramétrcas: são usadas quando a forma das densdades condconadas às classes são conhecdas ou seja razoável uma dada aproxmação Ex: Assume-se mutas vezes que estas densdades são Gaussanas multvaradas É dfícl verfcar se os dados multvarável têm uma dstrbução Gaussana No entanto esta hpótese conduz a superfíces de decsão com formas smples (lnear ou quadrátca) A hpótese de gaussandade tem a vantagem adconal que a regra de decsão resultante é robusta, e, se a hpótese for volada, a degradação do desempenho do classfcador é gradual. Se os parâmetros das dstrbuções são conhecdos, usa-se a regra de decsão de Bayes óptma; caso contráro, estes parâmetros são estmados a partr dos dados de treno. Os parâmetros estmados substtuem os valores exactos nas funções dscrmnantes. 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 16
17 Abordagem Paramétrca vs Não Paramétrca Técncas Não Paramétrcas: são usadas quando não exste qualquer base para assumr uma forma paramétrca para a função densdade de probabldade Estratégas para desenho de um classfcador não paramétrco Estmar as dstrbuções p(x w) através de janelas de Parzen, usando estas estmatvas numa regra de decsão de Bayes ou de Máxma Verosmlhança Evtar a estmação das densdades usando a regra de decsão k-nn (k- vznhos mas próxmos). Nesta abordagem procura-se, no conjunto de treno, os k- vznhos mas próxmos da amostra de teste; esta é classfcada na classe maortára dentre os k-vznhos. O valor de k é dependente dos dados e do problema 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 17
18 Embora a escolha entre as abordagens paramétrca ou não paramétrca dependa da credbldade do modelo paramétrco, estudos recentes mostram que, se o número de amostras de treno é baxo, então as técncas não paramétrcas conduzem a melhores desempenhos do que as técncas paramétrcas, mesmo quando o modelo é correcto. 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 18
19 Relação entre Dmensonaldade e Conjuntos Amostra Questão: Quantas característcas devem ser usadas no classfcador? f1 f2 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 19
20 Relação entre Dmensonaldade e Conjuntos Amostra Questão: Quantas característcas devem ser usadas no classfcador? f1 f2 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 20
21 f1 f2 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 21
22 f2 f2 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 22
23 f1 f2 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 23
24 Relação entre Dmensonaldade e Conjuntos Amostra Questão: Quantas característcas devem ser usadas no classfcador? Idea errada: quantas mas melhor Prátca: o desempenho começa por melhorar mas va deterorando à medda que mas característcas são consderadas Os erros ocorrem devdo ao uso não óptmo da nformação adconal, que supera a vantagem da nformação extra. É portanto necessáro lmtar o nº de característcas para uma dada dmensão do conjunto de treno Regra empírca: # caracterstcas # N baxo 5 10 # amostras_ de_ treno # d 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 24
25 Selecção ou Extracção de Característcas Problema: como representar um objecto ou padrão em termos de um conjunto reduzdo de atrbutos 1. Selecção de característcas: processo de escolha de um sub-conjunto das característcas orgnas 2. Extracção de característcas: defnção de novas característcas que podem ser função das característcas orgnas 1 e 2 são muto mportantes, nfluencando o desempenho e a smplcdade do classfcador x2 y2 x2 y1 x1 x1 Selecção: escolhe-se x2 pos separa faclmente as classes Extracção: é mas aproprada pos após rotação dos exos de coordenadas, torna-se evdente que é apenas necessára umas das característcas 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 25
26 Selecção de Característcas Selecção de característcas: Objectvo: encontrar o melhor subconjunto de dmensão d das D característcas exstentes ou potencas. O crtéro geralmente usado é a probabldade de classfcação errada Facto: a melhor solução só pode ser encontrada através de uma procura exaustva em todos os conjuntos possíves de dmensão d: D C d computaconalmente mpratcável! Uso de heurístcas em detrmento da optmaldade Heurstca 1: (errada!) escolher as d característcas que produzem ndvdualmente melhores resultados Mas: o melhor subconjunto pode não conter a melhor característca ndvdual Heurstca 2: técnca de selecção sequencal: Outras soluções: Suponhamos que selecconamos k característcas. Então, a (k+1)ésma característca é aquela que, em combnação com as k exstentes, proporcona o melhor desempenho Algortmos genétcos Algortmos de procura em grafos 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 26
27 Extracção de Característcas Extracção de característcas: Objectvo: aplcar algum tpo de transformação sobre o conjunto orgnal de característcas, de forma a que as classes estejam mas separadas no novo espaço Vantagem adconal: o problema de selecção de característcas no novo espaço é mas smples Técncas mas usadas: Transformações lneares, dervadas dos vectores própros das matrzes de dspersão Ex: Componentes prncpas ou expansão de Karhunen-Loeve usa os vectores da matrz de covarânca de todos os dados (matrz de dspersão total) pelo que não usa nformação sobre as classes dos padrões 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 27
28 Estmação da Probabldade de Erro A probabldade de classfcação errada é útl para prever o desempenho do classfcador em padrões futuros, comparar classfcadores e como crtéro para selecção de característcas Na maora das aplcações é muto dfícl obter uma expressão analítca para a probabldade de erro em função dos parâmetros do projecto (nº de característcas, nº de amostras de treno, f.d.p, etc) =>A probabldade de erro é estmada expermentalmente 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 28
29 Estmação da Probabldade de Erro Amostras dsponíves Conjunto de treno Conjunto de teste Projecto do classfcador Classfcador Avalação do classfcador Pe, P (Probabldade de erro; matrz de confusão) Os conjuntos de treno e de teste devem ser estatstcamente ndependentes, ou pelo menos dferentes 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 29
30 Matrz de Confusão P: matrz quadrada, de dmensão gual ao número de classes, em que Pj representa a probabldade de um padrão gerado pela classe ser classfcado na classe j { ˆ } P = P ω = ω ω = ω j j Se x é uma v.a dscreta: P j = x R j Pxω ( ) R 1 Se x é uma v.a contínua: Pj = px ( ω) dx R j R 1 R d R 2 ( ) Pxω ( ) pxω -função de probabldade das observações geradas pela classe ω -função densdade de probabldade das observações geradas pela classe ω 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 30
31 Matrz de Confusão A matrz P é uma matrz estocástca pos verfca as condções: P 0, j = 1,, C j= 1 = 1 Classfcador deal não há erros de classfcação P = I (matrz dentdade) j C P j A matrz P permte dentfcar os tpos de erros que ocorrem com maor probabldade para um dado classfcador Estmação da matrz de confusão a partr da classfcação do conjunto de teste: Pˆ j = n n j nj n nº de padrões gerados pela classe classfcados na classe j nº de padrões da classe pertencentes ao conjunto de teste 26/09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 31
32 Matrz de Confusão Casos partculares de crtéros de avalação a partr da matrz de confusão P: P e = j P j Prob. de erro da classe ω P = PP( ω ) = P P( ω ) Prob. de erro e e j j Ex.: Sstema de detecção de defetos em peças. Assume-se dos tpos de defetos, havendo 3 classes para as peças: boa, defetuosa tpo A, defetuosa tpo B Peças produzdas Boa A B Boa Peças detectadas A B /09/2001 Reconhecmento Estatístco de Padrões Ana Fred 32
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