4 Autovetores e autovalores de um operador hermiteano

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1 T (ψ) j = ψ j ˆT ψ = k ψ j ˆT φ k S k = k,l ψ j φ l T (φ) S k = k,l φ l ψ j T (φ) S k = k,l SljT (φ) S k. Após todos esses passos vemos que T (ψ) j = k,l S jl T (φ) S k ou, em termos matrcas T (ψ) = S T (φ) S ndcando que as matrzes que representam o operador ˆT estão relaconadas por uma transformação untára. 4 Autovetores e autovalores de um operador hermteano A equação de autovalores para um operador ˆT é dada por: ˆT α = λ α onde α é o autovetor de ˆT e λ o corespondente autovalor. Nesta seção vamos nvestgar as propredades da equação de autovalores quando ˆT é um operador hermteano. Um operador hermteano é gual ao seu hermteano conjugado, ˆT = ˆT. Como consequênca dessa propredade a matrz que representa um operador hermteano numa dada base é uma matrz hermteana, T j = T j. 4.1 Propredades 1. Os autovalores de um operador hermteano são reas. Prova: Seja λ um autovalor de ˆT, ˆT α = λ α. Então, α ˆT α = λ α α Como ˆT é um operador hermteano, vale as relações mostradas abaxo: Igualando, temos que α ˆT α = α ˆT α = α ˆT α = λ α α (λ λ ) α α = 0. Como o autovetor tem norma não-nula, α α 0, concluímos que λ = λ, sto é, λ é real. 2. Autovetores com autovalores dstntos são ortogonas. Prova: Sejam λ 1 e λ 2 dos autovalores dstntos de ˆT, λ 1 λ 2, ou seja, Então ˆT α 1 = λ 1 α 1 ˆT α 2 = λ 2 α 2. α 2 ˆT α 1 = λ 1 α 2 α 1. Usando o fato de ˆT ser um operador hermteano para calcular esse mesmo elemento de matrz, achamos que α 2 ˆT α 1 = α 1 ˆT α 2 = α 1 ˆT α 2 = λ 2 α 1 α 2 = λ 2 α 2 α 1 8

2 Igualando, temos que (λ 2 λ 1 ) α 2 α 1 = 0. Como λ 1 λ 2 conclumos que os autovetores são ortogonas, α 2 α 1 = Resolução da equação de autovalores. Para resolver a equação de autovalores ˆT α = λ α. temos que determnar a representação do operador hermteano, ˆT, numa dada base { e } ˆT e = j T j e j, com T j = e j ˆT e. Expandndo os autovetores nessa mesma base, { e }, α = c e, podemos calcular faclmente ˆT α = c ˆT e =,j c T j e j e λ α = j λc j e j. Igualando, vemos que a equação de autovalores fca gual a, T j c = λc j ou, na forma matrcal T c = λc. Assm reduzmos o problema de achar os autovalores e autovetores de um operador hermteano ao problema de achar os autovalores e autovetores de uma matrz hermteana, a representação do operador numa dada base. Os autovalores dessa matrz são os autovalores do operador e os autovetores são as componentes da expansão do autovetor nessa mesma base. 4. Cálculo dos autovalores. Equação característca. A equação de autovalores é um sstema de n equações lneares homogêneas acopladas (T j δ j )c = 0 que tem solução somente se o determnante das ncógntas é nulo onde 1 é a matrz undade de ordem n. det(t λ1) = 0 Calculando o determnante, chegamos numa equação algébrca de ordem n em λ, chamada de equação característca para os autovalores. O fato da matrz ser hermteana garante que ela tem n razes reas nclundo a multplcdade. Para cada raz, resolvemos o sstema de equações lneares acopladas para achar as componentes dos autovetores. 9

3 5. Os autovetores de um operador hermteano formam uma base no espaço dos vetores de estado. Devemos dstngur dos casos : Caso (): Os autovalores são dstntos. Nesse caso vamos destacar duas propredades. Uma, que os autovetores são ortogonas. A outra que, nesse caso, exste uma relação bunívoca entre autovetor e autovalor, o que permte rotular o autovetor pelo correspondente autovalor, ˆT λ = λ λ, λ j λ = δ j. Caso (): Exste degenerescênca. A degenerescênca ocorre quando exstem raízes com multplcdade dferente de 1, por exemplo, o autovalor λ tem multplcdade d, sto é, o autovalor λ tem degenerescênca gual a d. O fato da matrz ser hermteana garante que no subespaço degenerado exste d vetores lnearmente ndependentes que podem ser ortogonalzados, por exemplo, pelo método de Gram-Schmdt. Dferente do caso anteror, não exste uma relação bunívoca entre autovetor e autovalor, e precsamos outro rótulo para seleconar um entre os d autovetores degenerados. Um exemplo de uma possível escolha sera { λ, τ k }, k = 1,..., d com d sendo a ordem da degenerescênca do autovalor λ ˆT λ, τ k = λ λ, τ k λ, τ k λ j, τ jl = δ j δ kl. 6. Dagonalzação. Uma vez resolvda a equação de autovalores, termnamos com duas bases no espaço dos vetores de estado: a base escolhda para resolver a equação de autovalores e a base dos autovetores do operador hermteano ˆT. Como dscutmos anterormente, as duas bases estão relaconadas por uma transformação untára, α k = Ŝ e k onde o índce k estabelece uma ordenação do conjunto dos autovetores de ˆT. Os elementos da matrz S são determnados pelas componentes da expansão dos autovetores na base { e }, α k = j e j S jk α k = j e j c (k)) j Comparando, vemos que os elementos da k-ésma coluna da matrz S são as componentes da expansão do k-ésmo autovetor na base { e j }, S jk = c (k) j. S gera uma transformação untára que dagonalza T : λ = S T S onde λ é uma matrz dagonal cujos elementos da dagonal são os autovalores de ˆT, λ j = λ δ j. 5 Equação de Schrödnger dependente do tempo. Estados estaconáros. (a) O vetor de estado do sstema no nstante t é determnado resolvendo-se a equação de Schrödnger dependente do tempo: ψ(t) = Ĥ ψ(t) t dado o vetor de estado no nstante ncal ψ(t 0 ), onde Ĥ é o operador hamltonana do sstema. 10

4 (b) Os estados estaconáros são caracterzados pela propredade da dependênca temporal de ψ(t) ser da forma ψ(t) = e Et ψ A condção para que ψ(t) seja uma solução da equação de Schrödnger dependente do tempo é ψ ser uma solução da equação de Schrödnger ndependente do tempo Ĥ ψ = E ψ. (c) A equação de Schrödnger ndependente do tempo é uma equação de autovalores para o operador hamltonana Ĥ, o estado estaconáro ψ é o autovetor e E é o autovalor. (d) Os autovalores de Ĥ são os níves de energa do sstema. (e) A equação de autovalores fornece uma coleção de soluções ψ 1, ψ 2,..., ψ n assocada as energas E 1, E 2,..., E n caso exsta, nclundo a multplcdade. Essa coleção de autovetores de Ĥ formam uma base no espaço dos vetores de estado. (f) A solução mas geral da equação de Schrödnger dependente do tempo pode ser escrta como uma combnação lnear dos estados estaconáros ψ(t) = n c n e En(t t0) ψ n onde os coefcentes c n são os coefcentes da expansão do estado ncal na base de estados estaconáros ψ(t 0 ) = n c n ψ n com c n = ψ n ψ(t 0 ). 6 Prncípo da ncerteza 6.1 Valor médo e dspersão das meddas de um observável Valor médo Se o sstema está no estado ψ, a probabldade de numa medda do observável  acharmos o valor a, é dado pelo módulo ao quadrado do produto escalar de ψ com o autovetor de  com autovalor a 1, p(a, ψ) = a ψ 2. Por defnção o valor médo das meddas de um observável  se o sstema está no estado ψ é dado por  = a p(a, ψ) = a a ψ 2. Como os autovetores de autovetores de Â, com Então  formam uma base, ψ pode ser escrto como uma combnação lnear dos  ψ = ψ = c a c = a ψ. c  a = a a ψ a 11

5 e ψ  ψ = a a ψ ψ a = a a ψ a ψ = a a ψ 2. Assm, o valor médo das meddas de Â, se o sstema está no estado ψ é gual a Dspersão das meddas de   = ψ  ψ. Por defnção a dspersão das meddas de  é dada por σ 2 A = (a  )2 p(a, ψ). Como a dspersão fca gual a (a  )2 = a 2 2a  +  2 σ 2 A = (a 2 2a  +  2 )p(a, ψ). Dado que p(a, ψ) = ψ ψ = 1, a p(a, ψ) =  = ψ  ψ, a 2 p(a, ψ) = Â2 = ψ Â2 ψ onde a últma relação é faclmente deduzda se lembrarmos que  2 a = a 2 a. chegamos a concluão que a dspersão é dada pelo valor médo de Â2 menos o valor médo de  ao quadrado σa 2 = ψ Â2 ψ ψ  ψ 2 ou uma expressão equvalente σa 2 = ψ (  )2 ψ. A gualdade dessas duas expressões segue medatamente de: (  )2 = Â2 2  +  2. Como o valor médo de um operador hermteano é um número real, ψ  ψ = ψ  ψ = ψ  ψ, podemos conclur que a últma expressão de σ 2 A é a norma ao quadrado do vetor de estado α = (  ) ψ : σ 2 A = α α. Vemos então que a dspersão se anula se e somente se α é o vetor nulo, α =, ou sto é, ψ é um autovetor de  com autovalor Â. (  ) ψ =  ψ =  ψ 12

6 6.2 Prncípo da ncerteza Vamos demonstrar que se  e ˆB são dos observáves vale a relação de ncerteza, σaσ 2 B ψ [Â, ˆB] ψ 4 onde[â, ˆB] é o comutador de  e ˆB: [Â, ˆB] =  ˆB ˆB Observáves para os quas [Â, ˆB] 0 são chamados de observáves ncompatíves. Vemos então que, como exste um lmte nferor para o produto das dspersões, elas não podem ser reduzdas ndependentemente. Por exemplo, se Â, ˆB é um par de observáves ncompatíves, quão mas precsas são as meddas de  mas mprecsas são as de ˆB. Por outro lado, observáves para os quas [Â, ˆB] = 0 são chamados de observáves compatíves. Nesse caso não exste nenhuma restrção quanto a precsão das meddas desses dos observáves. 6.3 Prova do prncípo da ncerteza Para provar o prncípo da ncerteza vamos enuncar três lemas: Lema 1 Desgualdade de Schwarz: α α β β α β 2. Prova: Seja γ = α + λ β. Então a norma de γ é dada por : Se λ = β α β β a norma de γ fca gual a, γ γ = α α + λ α β + λ β α + λ 2 β β. γ γ = α α α β 2 β β portanto A gualdade ocorre se γ = ou α = λ β. = α α β β α β 2 β β α α β β α β 2. 0 Lema 2 O valor médo de um operador hermteano é real. Prova: e portanto ψ  ψ = ψ  ψ = ψ  ψ ψ  ψ = ψ  ψ. Lema 3 O valor médo de um operador ant-hermteano é puramente magnáro. Prova: Um operador ant-hermteano é gual a menos o seu hermteano conjugado,â =  ψ  ψ = ψ  ψ = ψ  ψ portanto ψ  ψ = ψ  ψ. 13