MAP Cálculo Numérico e Aplicações

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1 MAP Cálculo Numérco e Aplcações Lsta 5 (Correção Neste ponto, todos já sabemos que todas as questões têm o mesmo valor, totalzando 10.0 pontos. (Questão 1 Fque com vontade de fazer mas do que fo peddo: vou mostrar que a norma defnda é, de fato, uma norma. Recordemos sua defnção do curso de Álgebra Lnear: Defnção 1. Seja V um espaço vetoral sobre R. Dzemos que a função : x V x R é uma norma em V se e somente se satsfaz as segunte propredades: 1. x 0, x V ; 2. x = 0 x = o, onde o V é o vetor nulo (elemento neutro da soma vetoral; 3. αx = α x, x V, α R; 4. x + y x + y, x, y V. A últma propredade da lsta acma é a chamada desgualdade trangular (para normas. Dessa forma, antes de falrmos de normas devemos falar de espaços vetoras. É possível mostrar que, dado um número natural n 1 fxado, o conjunto das matrzes n n de entradas reas usualmente denotado por M n (R mundo da soma de matrzes tradconal e da multplcação de matrzes por escalares tradconal forma de fato um espaço vetoral sobre R. Já estamos em condções de enter o enuncado do problema: queremos mostrar que a função : A M n (R A := max a j R 1 n 1

2 é uma norma em M n (R. Vamos então verfcar as quatro propredades que deve satsfazer para ser uma norma sobre M n (R. Sejam A := (a j n n e B := (b j n n duas matrzes n n e α R um escalar qualquer. 1. Da defnção, temos que A é o maor valor dentre váras somas de módulos de números reas: módulos de números reas são maores que ou guas a zero, então somas de módulos também o são, assm como o máxmo dessas somas. Logo A Seja O := (0 n n a matrz com todas as entradas nulas, que é o elemento neutro da soma de matrzes. Então O = max 0 = 0. Em contrapartda, se A = 0 temos que 0 = A = max a j mas se o máxmo de uma coleção de números postvos é zero então todos os números da coleção são zero, sto é a j = 0 = 1,..., n Novamente, se a soma de números postvos é zero então cada parcela é nula, donde a j = 0, j = 1,..., n. Por fm, o módulo de um número ser nulo mplca que o número em questão é zero: a j = 0, j = 1,..., n. Mas sto quer dzer que 3. Temos que A = (0 n n = O. αa = max αa j ( = max α aj ( = max α a j ( = α max a j = α A. 2

3 Preste atenção: veja se você enteu porquê o α pode pular para fora em cada passagem! 4. Agora a mas mportante, a desgualdade trangular (pedda no enuncado do exercíco. A + B = (a j + (b j = (a j + b j = max a j + b j = (. Vou usar agora que a desgualdade trangular vale para o módulo de números reas, sto é, a j + b j a j + b j, j = 1,..., n. donde obtemos o segunte: ( = max a j + b j max ( a j + b j ( = max aj + b j ( = max ( a j + max b j = A + B e então concluímos que A + B A + B. Note que eu use, sem muto alarde, dos fatos: que o somatóro de somas de parcelas é a soma dos somatóros das parcelas ndvduas; e que o máxmo da soma de dos termos é a soma dos máxmos de cada termo. Você consegue perceber onde eu use cada uma dessas propredades? Você consegue provar que elas valem de fato? Vamos agora nos recordar a defnção da norma do sup de vetores de R n : dado x = (x 1,..., x n R n defnmos x := max 1 n x. (tente mostrar é uma norma no espaço vetoral real R n, segundo os mesmos passos que fzemos acma. Então temos que, usando a defnção de produto de uma matrz A := (a j n n M n (R por um 3

4 vetor x := (x 1,..., x n R n temos que Ax também é um vetor de R n e portanto posso calcular Ax (note a mportânca desta observação, que garante que o exercíco faz sentdo. Então, usando mas uma vez a desgualdade trangular para o módulo de números reas (onde? obtenho ( Ax = a k x k n 1 = max a k x k max a k x k = max a k x k = ( so que na últma passagem utlze o fato de que o módulo do produto de números reas é o produto dos módulos dos fatores. Agora, note que da defnção de temos que a k x k a k x, k = 1,..., n. Então temos que ( = max max = max ( a k x k ( a k x ( x = x (max = x A a k a k ou seja, Ax A x. = A x 4

5 (Questão 2 Mnha função fcou assm: // norma.sc functon N = norma (A [nl, nc] = sze(a; N = 0; for = 1:nl do soma = 0; for j = 1:nc do soma = soma + abs (A(,j; f soma > N then N = soma; functon e para as matrzes A 1 := A 2 := devolveu, corretamente, A 1 = 12 A 2 = 4. Acho que o funconamento da função, bem como a valdade das respostas, é medato. Para aqueles que mplementaram a função, não cobrare as contas: quem consegur mplementar uma função que calcule a norma de matrzes quadradas naturalmente sabe o que está fazo. Para quem resolver fazer as contas na unha, naturalmente quero ver as contas fetas! 5

6 (Questão 3 Vou denotar o número de Sassenfeld de uma matrz A n n por p(a. Mnha função fcou assm: // sassenfeld.sc functon s = sassenfeld (A [nl, nc] = sze(a; n = nl; // matrz quadrada p = ones (1,n; // calculando os p( s for = 1:n do soma = 0; for j = 1:n do f j ~= then soma = soma + p(j * abs(a(,j / abs(a(,; p( = soma; // obto o numero de Sassenfeld s = 0; for = 1:n do f p( > s do s = p(; functon Use alguns truques para encurtar o códgo. Tente entê-los. Para as matrzes A 1 e A 2 da questão anteror, mnha função sassenfeld.sc devolveu p(a 1 = 1 3 p(a 2 = (Questão 4 Prmero, mplemente a função sedel decomp.sc, que devolve a decomposção A = N P : 6

7 // sedel_decomp.sc functon [N, P] = sedel_decomp(a [nl, nc] = sze(a; n = nl; // construndo P do Metodo de Gauss-Sedel P = zeros (n, n; for = 1:n do for j = ( + 1:n do P(,j = -A(,j; A(,j = 0; // o que sobra fca na N N = A; functon Depos, utlze o segunte scrpt para fazer os cálculos (note que use a função nverte.sc, da Lsta 4!!!: // questao4.sce // mportando as funcoes necessaras getf("norma.sc"; getf("sedel_decomp.sc"; getf("nverte.sc"; // declarando as matrzes A1 = [9,1,1,1; 1,8,1,1; 1,1,7,1; 1,1,1,6]; A2 = [2,1,0,0; 1,2,1,0; 0,1,2,1; 0,0,1,2]; // computando a decomposcao N - P de cada uma [N1, P1] = sedel_decomp(a1; [N2, P2] = sedel_decomp(a2; 7

8 // obto, em cada caso, a norma de N^{-1}P m1 = norma(nverte(n1 * P1; m2 = norma(nverte(n2 * P2; e obtve o resultado N1 1 P 1 = 1 3 N2 1 P 2 = (Questão 5 Para exemplfcar, verfquemos se o fato é váldo para as matrzes A 1 e A 2 das questões anterores. De fato, com os resultados que já obtvemos nas Questões 3 e 4 temos que N 1 1 P 1 = 1 3 = p(a 1 N 1 2 P 2 = = p(a 2 ou seja, a proposção é válda pelo menos para esses casos partculares. Vamos agora demonstrar o referdo fato. Antes de mas nada, vamos observar que dada uma matrz A M n (R qualquer temos que De fato, sabemos da Questão 1 que A = sup{ Ax x = 1}. (1 Ax A x x R n mas, se x = 1 temos que Ax A donde sup Ax A. x =1 Ademas, seja p {1,..., n} tal que a pj = max a j = A 8

9 e escolhamos x R n defndo por { 1, se a pj < 0; x j := 1, se a pj 0. para cada j {1,..., n}. Note que neste caso x = 1 e que Logo, temos o segunte: a pj x j = a pj 0 j {1,..., n}. A = = a pj a pj x j = a pj x j max a j x j = A x sto é A A x, mas como x = 1 (como já fo observado temos que donde segue a gualdade. A sup Ax x =1 Seja agora A uma matrz n n qualquer. De acordo com o que fo observado em (1, mostrar que é o mesmo que mostrar que N 1 P p(a sup N 1 P x p(a x =1 e assm procederemos. Para x R n tal que x = 1 utlzemos a varável auxlar z = N 1 P x Nz = P x. 9

10 Vamos escrever explctamente a segunda gualdade. denotando z = (z 1,..., z n R n, ( Nz = N j z j 1 n ( = N j z j + N j z j ( = a j z j 1 n 1 n Sabemos que, e, de modo semelhante, ( P x = P j x j 1 n ( = P j x j + P j x j ( = ( a j x j 1 n donde obtemos, para cada {1,..., n}, a j z j = ( a j x j 1 a j z j + a z = a z = ( a j x j [ 1 a j z j + 1 n ] a j x j ou seja [ z = 1 1 a j z j + a a j x j ], 1 n. 10

11 Vou mostrar, por ndução sobre, que z p ( = 1,..., n. Com efeto, para = 1 temos o segunte: [ 0 ] z 1 = 1 a 1j z j + a 1j x j a 11 j=2 = 1 a 1j x j a 11 j=2 1 a 1j x j a 11 j=2 1 a 1j x a 11 j=2 = 1 a 1j = p 1 a 11 j=2 onde usamos x = 1 na últma smplfcação. Demonstrada a base da ndução, suponhamos por ndução que exste {1,..., n} tal que z j p j para todo j {1,..., 1}. Então temos que [ z = 1 1 ] a j z j + a j x j a = 1 a 1 a 1 a 1 a = 1 a 1 a j z j + a j x j [ ] 1 a j z j + a j x j [ 1 ] a j z j + a j x j [ 1 a j p j + [ 1 a j p j + a j x ] a j ] = p j onde na penúltma smplfcação usamos a hpótese de ndução e na últma smplfcação usamos x = 1. Isto conclu a ndução e prova 11

12 que z p p(a {1,..., n} e portanto z p(a. Recordando no entanto que z = N 1 P x, x verdade, que = 1 provamos, na N 1 P x p(a, x R n tal que x = 1 ou, anda, e então pela observação (1 temos sup N 1 P x p(a x =1 N 1 P p(a. 12