Interpolação Segmentada

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1 Interpolação Segmentada Uma splne é uma função segmentada e consste na junção de váras funções defndas num ntervalo, de tal forma que as partes que estão lgadas umas às outras de uma manera contínua e suave. Isto é, exste contnuídade na splne nos pontos que unem as partes. n O conjunto de nós é um conjunto Γ n = x =, em que a = x < x 1 < < x n 1 < x n = b, que dvde o ntervalo [a, b] R em segmentos. Aos pontos x 1, x,, x n 1 chamamse nós nterores e aos x e x n chama-se nós exterores ou fronteras. Seja l um ntero não negatvo. Uma função s l : [a, b] R chama-se splne de grau l se possur as seguntes propredades: a) s l C l 1 [a, b], sto é s l é uma função contnuamente dferencável até a ordem l 1, b) s l P l (é um polnómo de grau l) para x [x, x +1 ], n 1. Interpolação por Splne lnear Uma splne lnear, ou de prmera ordem, é defnda ( para um conjunto de pontos ordenados) por um conjunto de polnómos de grau um lgados entre s nos nós nterores. Consderem-se os n + 1 pontos ordenados de tal forma que x < x 1 < x < < x n 1 < x n e os correspondentes valores da função f x, f x 1, f(x n ) e, desgne-se o ntervalo [x 1, x ] por segmento ( = 1,,, n). O polnómo de grau um do segmento que passa pelos extremos do ntervalo tem a segunte forma: s 1 = f x 1 + f x f x 1 x x 1 (x x 1 ) para = 1,,, n 1

2 A splne lnear resultante é uma função contínua no ntervalo [x, x n ], no entanto, a prmera dervada é descontínua nos nós nterores (pontos de unão dos polnómos). O teorema segunte estabelece um lmte superor para o erro de truncatura da nterpolação splne lnear. Teorema: Seja f(x) uma função contínua com dervadas até à segunda ordem, no ntervalo [a, b], com a = x < x 1 < < x n 1 < x n = b. Seja s 1 (x) uma função splne, composta pelos polnómos s 1 x, = 1,, n, lnear para aproxmar f(x) no ntervalo [a, b]. Se então max ξ [a,b] f (ξ) M f x s 1 (x) 1 8 h M para x [a, b], em que h = max n 1 (x +1 x ) Para assegurar que as dervadas de uma função splne de ordem gual ou nferor a m sejam contínuas, devem-se construr, em cada segmento, polnómos de grau gual ou nferor a m + 1. A splne resultante dz-se de odem m + 1. Exemplo: Consdere a segunte tabela pontos ; x x 1 x x 3 x f x Pretende-se construr o splne lnear,nterpolador de f x nos nodos dados.

3 Resolução: s 1 = f x 1 + f x f x 1 x x 1 (x x 1 ) s 1 1 = f x + f x 1 f x x 1 x x x = x 1 = x x 1, s 1 = x = 1 3 x x,5 s 1 3 = x 5 = 1 4 x x 5,7 Interpolação por splne cúbca Defnção: Dada uma função f defnda em a, b e um conjunto de n + 1 pontos dstntos de a, b a = x < x 1 < < x n = b uma função cúbca nterpoladora de f nos pontos x 1 n é uma função S que satsfaz 1. S x = f x, =,1,, n. S é um polnómo de grau 3 em cada subntervalo [x, x +1 ], =,1,, n 1 3. S C x, x n Vamos representar por S a restrção de S a [x, x +1 ]. Assm, S x = a + b x + c x + d x 3, x [x, x +1 ], =,1,, n 1 donde para obter S(x) temos que determnar 4n ncógntas. De (1) obtemos n equações S x = f x S x +1 = f x +1, =,1,, n 1 Da contnuídade de S e S nos nodos nterores obtemos n 1 equações 3

4 S x +1 = S +1 x +1 S x +1 = S +1 x +1, =,1,, n Estamos na presenção de 4n equações pelo que 1), ) e 3) não determnam unvocamente S. As duas condções adconas a serem mpostas são geralmente S x = S x = f x S x n = S n x n = f x n, neste caso a função splne, desgna-se por splne cúbca completa. ou S x = α S x n = α 1, α, α 1 R. Quando α = α 1 =, a função splne desgna-se por cúbca natural Determnação da função Splne Cada um dos S, =,1,, n 1 é um polnómo de grau 3, donde S (x), [x, x +1 ] é um polnómo de grau 1. Sejam m = S (x ), =,1,, n e h = x +1 x, =,1,, n 1 recorrendo à expressão do polnómo de Lagrange temos S = (x x +1) (x x +1 ) m + (x x ) (x +1 x ) m +1 = (x x +1) m h + (x x ) m h +1, =,1,, n 1 Prmtvando duas vezes S (x), chegamos à expressão de S(x) S x = (x x +1) 3 6h m + (x x ) 3 6h m +1 + A x + B, A, B R. Para facltar os cálculos vamos reescrever S (x) 4

5 S x = (x x +1) 3 6h m + (x x ) 3 6h m +1 + C h x +1 x + D h (x x ), C, D R (1) Para determnar a expressão de cada um dos S (x) é necessáro determnar as ncógntas m, =,1,, n e C, D, =,1,, n 1 As condções de nterpolação conduzem-nos às equações S x = f(x ) S x +1 = f(x +1 ), =,1,, n 1 ou seja, h 6 m + C = f x C = f x h 6 m h m D = f x +1 D = f x +1 h m 6 +1,, =,1,, n 1 Substtundo em (1) vem S x = x x h m + x x 3 =,1,, n 1 6h m +1 + f x h 6 m h x +1 x + f x +1 h 6 m +1 (x x h ), Dervando S x obtém-se S x = x x +1 m h + x x m h +1 + h 6 m f x h + f x +1 h 6 m +1, x x h, x +1,, =,1,, n 1 5

6 De forma a por contnudade de S nos nodos nterores do ntervalo x, x n, tem que ser verfcar S x +1 = S +1 (x +1 ), =,1,, n Ou seja, h 1 m 1 + h 1 + h m + h m +1 = 6 f +1 f h =,1,, n 1 f f 1 h 1 () Temos assm n 1 equações lneares nas n + 1 ncógnta m, m 1,, m n. Caso se pretenda obter um splne cúbco completo às equações () acrescentamos S x = f x = f S x n = f x n = f n Atendendo, à expressão de S x e S n 1 (x) temos h m + h m 1 = 6 f 1 f h f h n 1 m n 1 + h n 1 m n = 6 f n f n f n 1 h n 1 As equações () juntamente com as duas equações anterores formam um sstem de n + 1 equações com n + 1 ncógntas, cuja forma matrcal é AX = B, onde h h h h + h 1 h 1 A = h 1 h 1 + h h h n h n + h n 1 h n 1 h n 1 h n 1 6

7 X = m m 1 m n 1 m n B = 6 f 1 f f h f f 1 f 1 f h 1 h f n f n 1 h n f n f n 1 h n 1 f n f n f n 1 h n 1 A matrz A é de dagonal estrtamente domnante pelo que é regular, donde o sstema AX = B é possvel e determnado. No caso de S ser splne cúbco tal que S x = C S x n = C n fcam determnadas as ncógntas m e m n, nomeadamente m = C e m n = C n. Para determnar as restantes ncógntas m 1, m, m n 1 recorremos às equações () as quas traduzem um sstema de equações possível e determnado. Teorema Seja f uma função defnda em x, x n, R. A função splne cúbca completa e a função splne cúbca natural, nterpoladora de f nos pontos x < x 1 < < x n exstem e são úncas. Exemplo Consdere a função f x = x e os pontos x =, x 1 = 1, x =, x 3 = 1, x 4 =. Pretende-se construr : a) o splne cúbco natural, nterpolador de f x nos nodos dados. b) o splne cúbco completo, nterpolador f x nos nodos dados. 7

8 Resolução: a) Os dados deste problema são x f h = x +1 x Seja S(x) o splne cúbco natural nterpolador de f nos nodos x, =,1,,4. Determnar cada um dos ramos, S j, j =,1,,3 é equvalente a determnar cada uma das ncógntas m, =,1,,4 que os defnem. Como S(x) trata-se de um splne cúbco natural sa que m = S x = m 4 = S x 4 = As restantes ncógntas são determnadas através da resolução do sstema de equações lneares h 1 m 1 + h 1 + h m + h m +1 = b, = 1,,3 onde Ou seja, b = 6 f +1 f h f f 1 h 1, = 1,,3 h m + h + h 1 m 1 + h 1 m = b 1 h 1 m 1 + h 1 + h m + h m 3 = b h m + h + h 3 m 3 + h 3 m 4 = b 3 Efectuando as respectvas substtuções nas equações acma vem 8

9 4m 1 + m = 6 f f 1 h 1 f 1 f h = m 1 + 4m + m 3 = 6 f 3 f h f f 1 h 1 = 1 m + 4m 3 = 6 f 4 f 3 h 3 f 3 f h = Matrcalmente o sstema de equações lneares anteror vem m 1 m m 3 = 1 A solução do sstema de equações é m 1 = 6 7, m = 4 7 e m 3 = 6 7. Substtundo em (1), obtemos a função splne S x = 1 7 x3 6 7 x 18 7 x 6 7, x, 1 S x = S 1 x = 5 7 x x, x 1, S x = 5 7 x3 1 7 x, x,1 S 3 x = 1 7 x3 6 7 x x 6, x 1, 7 b) Seja S(x) o splne cúbco completo nterpolador de f nos nodos x, =,1,,4. 9

10 O sstema de equações lneares para determnar cada uma das ncógntas m = S (x ), =,1,,4, que defne S(x) e dado por m + m 1 = 6 f 1 f h f = m + 4m 1 + m = m 1 + 4m + m 3 = 1 m + 4m 3 + m 4 = m 4 + m 5 = 6 f 4 f 4 f 3 h 3 = Matrcalmente o sstema de equações lneares anteror vem m m 1 m m 3 m 4 = 1 A solução do sstema de equações é m = 1, m 1 = 1, m = 7, m 3 = 1 e m 4 = 1 Substtundo em (1), obtemos a função splne S 1

11 S x = 1 4 x3 5 4 x 3x 1, x, 1 S x = S 1 x = 3 4 x x, x 1, S x = 3 4 x x, x,1 S 3 x = 1 4 x3 5 4 x + 3x 1, x 1, No que respeta ao erro assocado à aproxmação de uma dada função f. Teorema Seja f C 4 ( x, x n ) e x < x 1 < < x n. Seja S a função splne cúbca completa e nterpoladora de f nos pontos x, x 1,, x n. Se Então Exemplo: max x x,x n f4 (x) M 4 f x S x h4 M 4 f x S x 1 4 h3 M 4 Consdere a tabela da função f x = 1 no ntervalo.,.8. x x f(x )

12 Determne o valor aproxmado de f(.5) utlzando um splne cúbco natural. Resolução: Seja S(x) o splne cúbco natural nterpolador de f nos nodos x, =,1,,4. Neste caso h = x +1 x =., =,1,,4, m = m 4 =. O sstema de equações a resolver para determnar as restantes das ncógntas é.8m 1 +.m = 6 f f 1 h 1 f 1 f h =.55.m 1 +.8m +.m 3 = 6 f 3 f h f f 1 h 1 =.171.m +.8m 3 = 6 f 4 f 3 h 3 f 3 f h =.138 Ou seja, m 1 m m 3 = A solução solução do sstema de equações é m 1 = m = 1.88 m 3 =.995 O valor aproxmado de f.5 é dado por S(.5) = S.5 =