9. Diferenças Finitas. Métodos para problemas de valor de fronteira

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1 Grupo : Carlos José Carnato; Clauton Cprano de Paula; Danel Dutra da Costa Lma; Danel Morera Antunes; Ramsés Tarcso de Lacerda Marques. 9. Dferenças Fntas. Métodos para problemas de valor de frontera 9.1. Introdução Alguns problemas comuns em engenhara consstem por exemplo da deflexão de uma vga que está sujeta a uma carga unforme. Esta stuação pode ser modelada matematcamente por uma equação dferencal que aproxma a stuação físca. Os métodos de solução de problemas de valor de frontera envolvendo dferenças fntas, consstem em resttur cada uma das dervadas na equação dferencal na equação dferencal por uma aproxmacão, "dferença-quocente",aproprada. 9.. Motvação Essa dferença-quocente é geralmente escolhda segundo a manutenção de uma ordem de erro de truncamento. O problema de valor de frontera de segunda ordem,lnear: y''=p(x)y'+q(x)y+r(x) a x b, y( a) = α, y( b) = β, requer que aproxmações (dferença-quocente) sejam usadas 196

2 para aproxmar ambos y' e y''.para realzar sto,seleconamos um ntero N>0 e dvdmos o ntervalo [a,b] em N+1 subntervalos, cujos pontos fnas são os pontos x =a+h,para ( b a) =0,1,,...,N+1, onde h =. Escolhendo a constante h desta manera, teremos um ( N + 1 ) sstema de equações lneares que poderá ser colocado como uma matrz NxN, facltando a aplcação do algorítmo para solução do sstema de equações de equações lneares. No nteror dos pontos x, =1,,..., N, a equação dferencal que faz a aproxmação é y''( x ) = p( x ) y'( x ) + q( x ) y( x ) + r( x ). () Expandndo y em um polnômo de Taylor de tercero grau sobre x, calculado a x +1 e x 1 temos: 3 4 h h h y( x + 1) = y( x + h) = y( x ) + hy'( x ) + y ''( x ) + y '''( x ) + y! 3! 4! ( 4) + para algum ξ, x < ξ < x 3 4 h h h y x y x y! 3! 4! ( ξ ) (), + e +1 ( 4) y( x ) = y( x h) = y( x ) hy' ( x ) + ''( ) '''( ) + ( ) 1 algum ξ x 1 < ξ < x, assumndo que y pertence ao ntervalo [ x 1, x+ 1]. ξ (), para Se essas equações são adconadas, os termos envolvendo y'( x ) e y'''( x ) são elmnados e a smples manpulação algébrca nos dá : 1 h ( 4) + ( 4) y''( x ) = [ y( x+ 1 ) y( x ) + y( x 1) ] [ y ( ξ ) + y ( ξ )] (v) h 4 O teorema do valor médo pode ser usado para smplfcar a expressão acma: 1 h y''( x ) y( x ) y( x ) y( x ) y ( 4) = + + ( ) 1 1 ξ (v) h 1 para algum ponto ξ x < ξ < x, 1 + 1,que é chamada fórmula da dferença centrada para y''( x ). A fórmula da dferença centrada para y'( x ) pode ser obtda de manera smlar e 197

3 resulta em para algum η,onde x 1 y x h y x y x h '( ) = ( + 1) ( 1) y '''( η ) (v) 6 < η < x O uso dessas fórmulas de dferenças centradas em nossa prmera equação () resulta na equação y( x+ 1) y( x ) + y( x 1) y( x+ 1) y( x 1) h ( ) = p( x ) q( x ) y( x ) r( x ) [ p( x ) y'''( ) y ( )]. h h η ξ (v) Um método de dferenças fntas com erro de truncamentode ordem O( h ), resulta pelo uso desta equação, juntamente com as condções de frontera y( a) = α, y( b) = β de w 0 = α, w n + 1 = β e w w w h w 1 w 1 + p( x ) + q( x ) w = r( x ) para cada =1,,...,N. h Consderaremos a equação acma reescrta na forma h h 1 p ( x 1 + = ) w 1 ( h q ( x )) w p ( x w ) 1 h r ( x ), o que resulta num sstema de equações expressas em uma matrz trdagonal N x N. O sstema trangular tem uma solução únca que obedece às condções do segunte teorema: Suponha que p, q e r são contínuas em [a.b]. Se q(x) 0 em [a,b], então o sstema lnear trdagonal tem uma únca solução fornecda, que h</l, onde L =maxa x b p( x). Deve-se notar que a hpótese do teorema garante uma únca solução para o problema de valor de frontera, mas ele não garante que y pertence ao ntervalo[a,b]. É necessáro estabelecer que y ( 4) é contínua em [a,b] para certfcar que o erro de 198

4 truncamento tem ordem O( h ). A segur apresentamos o algorítmo utlzado para calcular,como exemplo,a aproxmação da solução do problema de valor de frontera: y x y x y sn(ln( x)) '' = ' + +, 1 x,y(1)=1,y()=. x Kutta. Os resultados fnas serão comparados com a aplcação do método por Runge 9.3. Solução Algorítmca Algortmo para o método de solução de problemas de valor de frontera com dferenças fntas: Entradas: função do problema da forma y =p(x)y +q(x)y+r(x); pontos ncal e fnal(a e b) do ntervalo; condções de frontera alfa e beta; número ntero postvo N, que partconará o ntervalo. Saída: aproxmações w() para y(x), para cada =,1,...,N+1 Passo 1 Passo h = (b-a)/(n+1) x=a+h; a1=+h^.q(x); b1=-1+h.p(x)/; d1==-h^.r(x)+(1+h^.p(x)/).a; Passo 3 para = até 1=n(passo 1) faça: 199

5 x=a+h; a=+h^.q(x); b=-1+h.p(x)/; c=-1-h.p(x)/; d=-h^.r(x); Passo 4 x=b-h; na=+h^.q(x); cn=-1-h.p(x)/; dn=-h^+(1-h.p(x)/).ß; l1=a1; ul=bl/al; Passo 5 Para = até =n-1 (passo 1) faça: L=a-c*u -1 ; u=b/l; Passo 6 ln=na-cn*u n-1 ; zl=d1/l1; Passo 7 Para = até =n (passo1) faça: z=(d-c*z -1 )/l; Passo 8 wn=zn; Passo 9 Para =n-1 até =1 (passo -1) faça: w=z-u*w +1 ; Passo 10 Para =0 até =n+1 (passo 1) faça: x=a+h; sada: x, w; 00

6 Fm Programa Fonte /* Programa de dferen as lneares fntas */ /* Aproxma a solucao de um problema de valor de frontera */ /* y''=p(x)y'+ q(x)y + r(x), a <= x <= b, y(a)=alfa y(b)=beta; */ /* Entradas:pontos fnas a,b;condcoes de frontera alfa e beta;ntero N*/ /* Sada:aproxmacoes w() para y(x) para cada =0,1,...,N+1 */ # nclude <ostream.h> # nclude <math.h> # nclude <stdo.h> const max=50; double a,b,h,n,alfa,beta,w,x; double qx(double); double px(double); double rx(double); double f(double); nt ; vod man() double an,cn,dn,x,aux1,aux,aux3,aux4; double aaux[max],baux[max],caux[max],daux[max]; double l[max],u[max],z[max],w[max]; 01

7 cout << "\n Dgte o valor ncal de x: "; cn >> a; cout << "\n Dgte o valor fnal de x: "; cn >> b; cout << "\n Dgte o numero de dvsäes do ntervalo: "; cn >> n; cout << "\n Dgte o valor de alfa: "; cn >> alfa; cout << "\n Dgte o valor de beta: "; cn >> beta; h=(b-a)/(n+1); x=a+h; aaux[1]= +pow(h,)*qx(x); baux[1]= -1+h*px(x)/; daux[1]=(-1)*pow(h,)*rx(x)+(1+h*px(x)/)*alfa; for(=;<n;++) x=a+*h; aux1=+pow(h,)*qx(x); aux=(-1)+h*px(x)/; aux3=(-1)-h*px(x)/; aux4=(-1)*pow(h,)*rx(x); aaux[]=aux1; 0

8 baux[]=aux; caux[]=aux3; daux[]=aux4; x=b-h; an=+pow(h,)*qx(x); cn=-1-h*px(x)/; dn=(-1)*pow(h,)+(1-h*px(x)/)*beta; aaux[n]=an; caux[n]=cn; daux[n]=dn; l[1]=aaux[1]; u[1]=baux[1]/aaux[1]; for(=;<n;++) l[]=aaux[]-caux[]*u[-1]; u[]=baux[]/l[]; l[n]=aaux[n]-caux[n]*u[n-1]; z[1]=daux[1]/l[1]; for(=;<n+1;++) z[]=(daux[]-caux[]*z[-1])/l[]; 03

9 w[0]=alfa; w[n+1]=beta; w[n]=z[n]; for(=n-1;>0;--) w[]=z[]-u[]*w[+1]; for(=0;<=n+1;++) x=a+*h; cout << "\n x: " << x << "\t" << " w: " << w[] << "\t"; double px(double x) return(-4/x); double qx(double x) return (-/pow(x,)); double rx(double x) 04

10 return (*log(x)/pow(x,)); double f(double x) return (px(x)+qx(x)+rx(x)); /* Programa de aproxmacao da solucao de um problema de valor de frontera */ /* -y''+ p(x)y'+ q(x)y + r(x)=0, a <= x <= b,y(a)=alfa,y(b)=beta */ /* utlzando metodo de Runge Kutta.Seu resultado ser comparado ao resulta*/ /* do obtdo no algortmo de dferencas lneares fntas */ /* */ /* Entradas:pontos ncal e fnal a e b,condcoes de frontera alfa e beta*/ /* e numero de subntervalos n. */ /* Sada:aproxmacoes w(1,) para y(x),w(,) para y'(x),para cada, */ /* =0,1,...,N */ # nclude<stdo.h> # nclude<ostream.h> # nclude<math.h> const max=50; double a,b,h,n,alfa,beta,w,x; double qx(double); double px(double); double rx(double); 05

11 double f(double); nt ; vod man() double u1[max],u[max],v1[max],v[max],k1[max],k[max],k3[max],k4[max]; double dk1[max],dk[max],dk3[max],dk4[max]; double w1,w,w10,w0; cout << "\n Dgte o valor ncal de x: "; cn >> a; cout << "\n Dgte o valor fnal de x: "; cn >> b; cout << "\n Dgte o numero de dvsäes do ntervalo: "; cn >> n; cout << "\n Dgte o valor de alfa: "; cn >> alfa; cout << "\n Dgte o valor de beta: "; cn >> beta; h=(b-a)/n; u1[0]=alfa; u[0]=0; v1[0]=0; v[0]=1; for(=0;<n;++) 06

12 /* metodo de Runge Kutta */ x=a+*h; k1[1]=h*u[]; k1[]=h*(px(x)*u[]+qx(x)*u1[]+rx(x)); k[1]=h*(u[]+k1[]/); k[]=h*(px(x+h/)*(u[]+k1[]/)+qx(x+h/)*(u1[]+k1[1]/)+rx(x+h/)); k3[1]=h*(u[]+k[]/); k3[]=h*(px(x+h/)*(u[]+k[]/)+qx(x+h/)*(u1[]+k[1]/)+rx(x+h/)); k4[1]=h*(u[]+k3[]); k4[]=h*(px(x+h)*(u[]+k3[])+qx(x+h)*(u1[]+k3[1])+rx(x+h)); u1[+1]=u1[]+(k1[1]+*k[1]+*k3[1]+k4[1])/6; u[+1]=u[]+(k1[]+*k[]+*k3[]+k4[])/6; dk1[1]=h*v[]; dk1[]=h*(px(x)*v[]+qx(x)*v1[]); dk[1]=h*(v[]+dk1[]/); dk[]=h*(px(x+h/)*(v[]+dk1[]/)+qx(x+h/)*(v1[]+dk1[1]/)); dk3[1]=h*(v[]+dk[]/); dk3[]=h*(px(x+h/)*(v[]+dk[]/)+qx(x+h/)*(v1[]+dk[1]/)); dk4[1]=h*(v[]+dk3[]/); dk4[]=h*(px(x+h)*(v[]+dk3[])+qx(x+h)*(v1[]+dk3[1])); v1[+1]=v1[]+(dk1[1]+*dk[1]+*dk3[1]+dk4[1])/6; v[+1]=v[]+(dk1[]+*dk[]+*dk3[]+dk4[])/6; w10=alfa; 07

13 w0=(beta-u1[n])/v1[n]; cout << "\nx0: " << a << "\t" << "u(1,): "<< u1[0] << "\t"<< "v(1,): "<< v1[0] << "\t" << "w: " << w10; for(=1;<=n;++) w1=u1[]+w0*v1[]; // w=u[]+w0*v[]; x=a+*h; cout << "\nx: " << x << "\t" << "u(1,): " << u1[] << "\t" << "v(1,): " << v1[] << "\t" << "w: " << w1; double px(double x) return(-4/x); double qx(double x) return (-/pow(x,)); double rx(double x) return (*log(x)/pow(x,)); 08

14 double f(double x) return (px(x)+qx(x)+rx(x)); /*double px(double x) return(-/x); double qx(double x) return (/pow(x,)); double rx(double x) return (sn(log(x))/pow(x,)); double f(double x) return (px(x)+qx(x)+rx(x)); */ Exemplo 09

15 Calcular o problema: Com 1<x<, y(1)=0.5, y()=ln, usando h=0.05 e comparando com R.K) 4 y' ' = y' y + x x x ln x Tabelas e Gráfcos

16 valores usando df. usando Incas fntas R.K Conclusão 11

17 Podemos notar pela comparação dos métodos que os resultados obtdos com a aplcação do programa de dferenças fntas é menos acurado que aqueles obtdos pela aplcação do método que utlza Runge Kutta. Isso pode ser explcado pelo fato do método que utlza a técnca de Runge Kutta possur um erro de truncamento da ordem O( h 4 ), enquanto o método de dferenças fntas possu um erro de truncamento da ordem de O( h ). Podería-se desenvolver o método de dferenças fntas com uma precsão mas acurada,através do uso da sére de Taylor de qunta ordem (o que resultara num erro de truncamento de h 4 ), mas sto ra requerer usar múltplos não somente de y( x +1 ) e y( x 1 ),mas também de y ( x + ) e y( x ),nas fórmulas de aproxmação para y ''( x ) e y'( x ),o que dfcultara a mplementação do loop =0 até =N.Além do mas a resolução do sstema de equações não sera da forma trdagonal,e a solução do sstema passara a requerer mutos outros cálculos,além de outras dfculdades. 1