Tópicos Especiais de Álgebra Linear Tema # 1: Aprendendo a trabalhar com o Derive. Introdução ao Derive

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1 Tópcos Especas de Álgebra Lnear Tema # : Aprendendo a trabalhar com o Derve Assunto: Introdução ao Derve. Ambente Algébrco e Gráfco. Comandos da Álgebra de Matrzes. Determnantes, Inversa de uma Matrz. Resolução de Sstemas de Equações Lneares. Introdução ao Derve Computação Algébrca (CA) é uma área nterdscplnar, responsável pelo estudo, desenvolvmento, mplementação de algortmos, métodos e técncas matemátcas e computaconas, com o objetvo de automatzar os cálculos matemátcos de forma puramente te algébrca e smbólca. Durante as três últmas décadas grandes avanços foram alcançados nessa área e város sstemas de computação algébrca (SCA) foram desenvolvdos. Os SCA automatzam a manpulação de cálculos matemátcos com expressões, fórmulas e equações, procurando executar as operações de forma tão próxma quanto possível àquelas que são executadas por centstas, engenheros e professores, quando estes utlzam smplesmente láps e papel, ou gz e quadro-negro Os cálculos podem ser realzados por esses sstemas de manera puramente algébrca, smbólca e, quando necessáro numercamente. Entre alguns SCA, o Derve é o sstema mas compacto e totalmente drgdo por meo de menus, podendo ser utlzado com um smples clcar do mouse. O objetvo deste documento é apresentar algumas noções báscas sobre a funconaldade, utlzação e aplcação do sstema Derve versão.. Não pretendemos aqu demonstrar todos os recursos dsponíves no sstema, nem explorá-lo exaustvamente. Os exemplos serão apresentados smplesmente com o ntuto de lustrar e explorar a potencaldade do sstema. Desse modo, é esperado que o aluno tenha alguma famlardade com a matemátca do nível dos cursos elementares da graduação.

2 Incando o Derve Derve é um Sstema de Computação Algébrca que é caracterzado por um ambente amgável com o usuáro e por possur facldades para o cálculo matemátco como operaconas báscas de artmétca, funções, vetores, matrzes, lmtes, dervadas, ntegração, etc. É caracterzado por sua potenca para cálculos numércos, smbólcos e de fazer gráfco em dos e três dmensões a través de suas estruturas de ambentes algébrcos e de gráfcos; ademas tem facldades para a programação por meo dos procedmentos condconas, teratvos, recursvos, etc. Derve consttu uma poderosa ferramenta de apoo para os estudantes e professores no ensno das matemátcas, elmnando os grandes e às vezes os tedosos cálculos matemátcos, permtndo aos alunos concentrar-se mas na modelação de problemas matemátcos e nterpretação de sua solução. Derve se apresenta como ndcado na fgura abaxo. Barra de Títulos Janela da Álgebra Barra de Ordenes ou Ícones Barra de Menu Lnha de Edção Barra de Letras Grega e Símbolos Matemátcos Barra do Estado

3 Ambente Algébrco Você pode observar na barra de menu os tens Arquvo, Edtar, Inserr, Autor, Smplfcar, Resolver, Calculo, Declarar, Opções, Janela e Ajuda. O tem do menu Autor conduz às opções Expressão, Vetor e Matrz. Os ícones equvalentes são: Para ntroduzr alguma expressão na Janela da Álgebra, é precso utlzar a Lnha de Edção de expressões e comandos por meo do menu Autor, ou por ntermedáro dos Ícones correspondentes, os quas possuem flags para dentfcação. Atvdade. Introdução de expressões Calcule Para ntroduzr a expressão artmétca pode ser a través da barra de menu Autor>> Expressão, ícone ou pressonando a tecla F. Introduzr a expressão com é ndcada abaxo e pressone a tecla Enter para confrmar a operação.

4 Agora com a expressão # seleconada clque no ícone correspondente Posterormente com a expressão # novamente seleconada clque no ícone. Na fgura anteror, vemos na lnha de comando #, uma expressão artmétca; na lnha # o resultado exato da operação #, obtdo com botão (smplfcar) e na lnha #, vemos o valor numérco aproxmado da expressão artmétca obtdo com botão (aproxmar) Os operadores artmétcos permtdos são Operação Símbolos Soma + Subtração - Multplcação * Dvsão / Potenca ^ Outros operadores artmétcos, booleanos, conjuntos, vetoras, matrcas e de atrbução encontrase na barra de Letras Grega e Símbolos Matemátcos. Símbolos Matemátcos Atvdade. Operações artmétcas

5 Calcule, e Atvdade. Smplfcar Smplfcar a segunte expressão: ( x )( x ) Introduzr a expressão ( x )( x ) e utlzar o tem do menu Smplfca>>Expandr e depos clcar no botão Expandr Atvdade 4. Fatorar Fatorar a expressão x. Introduzr a expressão x e utlzar o tem do menu Smplfcar>>Fatorar e depos clcar no botão Fatorar Atvdade. Desenvolva Desenvolva 6 ( x y). Utlze o comando expandr No Derve exstem funções matemátcas predefndas como são ndcadas na tabela. Função sen x cos x No Derve sn(x) cos(x)

6 tan x cot x arcsen x arccos x arctan x arccot x e x Loga b Ln x tan(x) cot(x) asn(x) acos(x) atan(x) acot(x) exp(x) Log(b,a) ln(x) Outras funções podem-se encontrar em Ajuda >> Conteúdo >> Funções e Constantes Predefndas. Atvdade 6. Cálculo com funções predefndas Calcule sn e 4 ln. Utlze a opções de Smplfcar e Aproxmar Atvdade 7. Soma de matrzes Calcule Para ntroduzr a matrz clque no botão Entrar Matrz ou no menu Autor >> Matrz Entrar Matrz

7 A função F repete a expressão seleconada na Janela da Álgebra para a Lnha de Edção, a função F4 faz a mesma função que F mas é colocado entre parêntese.

8 Para soma selecone a segunda matrz, poscone o cursor depos da prmera que se encontra-se na lnha de edção e coloque o sgno +,é dzer, [-, 9;,8]+F e oprma a tecla Enter Para confrmar a soma clque em Smplfcar ou Aproxmar Atvdade 8. Multplcação de Matrzes Calcule 9 * Atvdade 9. Multplcação de um escalar por uma matrz

9 Calcule Atvdade. Determnante de uma matrz. Calcule o DET

10 Atvdade. Inversa de uma matrz Calcule a nversa de Atvdade. Resolução de sstema de equações lneares Se tem uma fazenda com ha de terra para plantar mlho e fejão. Se por cada ha plantada de mlho se gasta R$ e por cada ha de fejão R$. Determne a quantdade de ha que devem ser plantadas de cada produto para gastar R$ 4. x y O modelo matemátco do problema é. x y 4 Vamos a dgtar o texto do problema na Janela Álgebra do Derve, para sso clque no botão nserr texto.

11 Inserr Texto Ambente Gráfco Atvdade. Gráfcos Achar a solução do sstema de equações lneares da atvdade utlzando o método gráfco. Introduzr as equações x y e x y 4 Vamos a fazer o gráfco de cada uma das equações. Selecones a equação que se encontra na lnha de comando # 4 e posterormente vamos para a Janela Gráfca D como mostra a fgura Botão da Janela Gráfca D

12 Janela Gráfca D Vamos a redmensonar o ntervalo de gráfco como é ndcado na fgura. Especfcar o ntervalo

13 Para fazer o gráfco da equação deve clcar no botão Desenhar Expressão da Janela Gráfca D Botão Desenhar Expressão Para retornar a Janela Álgebra Clque no botão Janela da Álgebra Botão Janela da Álgebra Repta o processo e faça o gráfco da equação x y 4 que encontra-se na lnha de comando # ; agora não é necessáro redmensonar o gráfco.

14 Coloque o curso na nterseção das duas equações e podemos observar na Barra do Estado a solução aproxmada. Solução Aproxmada Para copar o gráfco na Janela da Álgebra, sga a nstruções do gráfco abaxo. Retorne para a Janela da Álgebra

15 Atvdade 4. Outras opções gráfcas. Retorne a Janela Gráfca D para conhecer um pouco mas sobre opções gráfcas. Os botões seguntes estão relaconados com zoom dos gráfcos ou F9 para fazer zoom mas em ambas as dreções. ou F8 para fazer zoom menos na dreção vertcal. ou F6 para fazer zoom menos na dreção horzontal. ou F9 para fazer zoom mas em ambas as dreções. ou F7 para fazer zoom mas na dreção vertcal. ou F para fazer zoom mas na dreção horzontal. Outros ícones gráfcos são: Apaga o últmo gráfco Centralza a regão do gráfco sobre a cruz. Centralza a regão do gráfco sobre a orgem. Especfca ntervalo com caxa. Inserr anotações Acompanha o traço

16 Prove a opções anterores com o gráfco. Atvdade. Salvando o trabalho. Salve todo o trabalho, a extensão que dentfca os arquvos em Derve é *.dfw, para salvar com extensão *.rtf combatível com Word sga as nstruções ndcada abaxo

17 Exercícos Propostos. Smplfcar as expressões seguntes cos( ) sen x cos 4 x 7 ln, 4. Fatorar as expressões seguntes x x 6 x. Desenvolva as expressões seguntes ( a b) 4. Sejam ( a)( b) A, B, C 4 e D Encontre A+B AxB BxC CxD DxA DxB -A+B. Calcule det A, onde

18 a) A, b) A, c) A 6. Encontre a nversa de A, onde a) 7 4 A, b) A, c) x x x A, d) cos 7 sen A 7. Uma empresa agrícola deve vender toneladas de almento entre dos tpos de cultvos, desejando obter R$ de lucro. Se por cada hectare plantada do cultvo se produz toneladas com um lucro de R$ e por cada hectare do cultvo se produz toneladas com lucro de R$ 4, determne a quantdade de hectare que devem ser plantadas de cada tpo de cultvo O modelo matemátco ou sstema de equações lneares que representa o problema anteror é: 4 y x y x Dgte o problema no Derve Ache solução utlzando o método gráfco Copar o gráfco na Janela Álgebra do Derve Ache a solução a través de X=A - B 8. Dado o sstema de equações lneares z y x z y x z y x Ache a solução a través de X=A - B 9. Salve o trabalho no formato Derve *.dfw e outra no formato *.rtf e abra este últmo no Word