Números Complexos. Conceito, formas algébrica e trigonométrica e operações. Autor: Gilmar Bornatto

Transcrição

1 Números Complexos Conceto, formas algébrca e trgonométrca e operações. Autor: Glmar Bornatto

2 Conceto (parte I) Os números complexos surgram para sanar uma das maores dúvdas que atormentavam os matemátcos: Qual o resultado da operação X² 0? X² - X -

3 Conceto (parte II) Por sso, fo crado um número especal, que denomnamos algebrcamente como, que elevado ao quadrado resulte em -, matematcamente: I² - - Esse novo conceto possbltou a resolução da equação mostrada anterormente

4 Conceto (parte III) Desse modo: X² 0 X - (como -) X

5 Conclusão do conceto Assm, fo crado um novo conjunto numérco denomnado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números magnáros, que representamos pela letra C. Conjunto dos números complexos C

6 Relação fundamental O conjunto dos números complexos possu, desse modo, a relação fundamental onde: I² - Ou -

7 Exemplos - (-) -4 4(-) Aplcando a relação fundamental: - Aplcando a relação fundamental: -4

8 Forma algébrca (parte I) O número complexo possu uma parte real e outra magnára. Como a parte magnára conta com a presença do, sua forma algébrca é a b Parte real Parte magnára

9 Forma algébrca (parte II) Um número complexo que não possu parte real (a 0) é denomnado número complexo puro. Um número complexo que não possua a parte magnára (b 0) é denomnado número real e os números magnáros que possu ambas as partes são smplesmente chamados de números complexos.

10 Exemplos 4 número complexo 8 - número complexo 6 número magnáro puro 4 número real - número magnáro puro ² número real

11 Conjugado de um número complexo Um número complexo z a b possu um conjugado que é representado por z, onde: z a b (lê-se conjugado de z)

12 Exemplos Dados os números complexos, encontrar seus respectvos conjugados: z 4 z 4 z z - z z - z z z -3 8 z -3 8

13 Operações com números complexos na forma algébrca Como os números reas possuem forma real e magnára separadas, as operações de adção, subtração, multplcação, dvsão e potencação dferem um pouco das habtuas com números reas.

14 Adção e subtração com números complexos na forma algébrca Para somar e subtrar números complexos deve-se efetuar as operações na parte real e magnára separadamente. (a b) (c d) (a c) (b d) (a b) - (c d) (a - c) (b - d)

15 Exemplos ( 4) (3 ) ( 3) (4 ) 5 5 ( 4) ( - 7) ( - ) (4 7) - (3 ) (4 ) (3-4) ( - ) - ( 4) ( 4) 5

16 Multplcação com números complexos na forma algébrca Para efetuar a multplcação aplca-se smplesmente a dstrbutva: (a b)(c d) ac ad bc bd² (a b)(c d) ac ad bc bd (a b)(c d) a(c d) b(-d c)

17 Exemplos ( 3)( ) 3 3² ( ) ( - )(-3 ) ² -4 7

18 Dvsão com números complexos na forma algébrca Para se dvdr números complexos, deve-se multplcar ambos os números pelo conjugado do complexo do denomnador. z z z z. z. z

19 Exemplo ) )( ( ) )( (

20 Potêncas de (parte I) Nas potêncas de notam-se regulardades de quatro em quatro no expoente:

21 Potêncas de (parte II) Desse modo, para encontrar o resultado de qualquer potênca, dvdmos o expoente por 4 e resolvemos a potênca utlzando como expoente o resto da dvsão.

22 Exemplo

23 Número complexo no plano de Argand-Gauss Os números complexos podem ser representados num plano, onde a reta das abscssas é a reta dos números reas e a das ordenadas é a reta dos números complexos. Esse plano é denomnado plano de Argand-Gauss.

24 Exemplo Colocar no plano de Argand-Gauss o número complexo z 3 y (reta magnára) 4 3 z x (reta dos reas)

25 Módulo e argumento de um número complexo (parte I) No gráfco, o módulo de um número complexo z a b é o segmento de reta que va do ponto orgem O(0,0) até o ponto do P(a, b) do número complexo z. O argumento de z é o ângulo que esta forma com o exo das abscssas em sentdo ant-horáro. ρ θ arg(z) z a b

26 Módulo e argumento de um número complexo (parte II) a ρ a b ρ θarg(z) z a b b b snθ ρ cosθ tanθ a ρ b a

27 Forma trgonométrca Utlzando as relações dadas no slde anteror e aplcando-as à forma algébrca, obtemos a forma trgonométrca de um número complexo. b sn θ b ρ cosθ a a ρ ρ sn θ ρ cosθ z a b z ρ cos θ ρ sn θ z ρ (cos θ sn θ )

28 Exemplo Passar para a forma trgonométrca o número complexo z 3 ρ ( 3) 3 4 sn z x 3 cos x ρ(cosθ snθ ) z π arg( z) 3 π cos 3 sn π 3

29 Operações com números complexos na forma trgonométrca - Multplcação Para multplcar números complexos na forma trgonométrca utlzamos a fórmula: z [ ) sn( )] z ρ θ θ θ θ ρ cos(

30 Operações com números complexos na forma trgonométrca - Dvsão A fórmula para efetuar a dvsão entre dos números complexos na forma trgonométrca é a segunte: z z ρ [ cos( θ θ ) ( θ θ )] sn ρ

31 Operações com números complexos na forma trgonométrca - Potencação Para efetuar a potencação entre números complexos na forma trgonométrca utlzamos esta fórmula: z n z n [ cos ( nθ ) sn ( nθ )]

32 Operações com números complexos na forma trgonométrca Radcação De forma análoga à potencação, para efetuar a radcação com números complexos na forma trgonométrca utlzamos a formula: θ kπ θ kπ w n z cos sn n n