Eletromagnetismo Aplicado
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- Rubens Neto Frade
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1 letromagnetsmo Aplcado Undade 5 Propagação de Ondas letromagnétcas em Meos Ilmtados e Polaração Prof. Marcos V. T. Heckler Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 1
2 Conteúdo Defnções e parâmetros do modo de propagação transversal eletromagnétco (TM) Propagação de ondas eletromagnétcas planas unformes em meos lmtados e sem perdas Propagação de ondas eletromagnétcas planas em meos lmtados e com perdas Polaração de ondas eletromagnétcas Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração
3 Modo TM Um modo de propagação é uma solução partcular da equação de onda. Cada modo é assocado a uma confguração de campo eletromagnétco. De acordo com a confguração de campo uma possível classfcação dos campos é a segunte: Modo Transversal letromagnétco (TM) Modos Transversal létrco (T) Modos Transversal Magnétco (TM) Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 3
4 Modo TM Nos modos TM ambos os campos e são transversas à dreção de propagação da onda. Pode-se der anda que os campos elétrco e magnétco encontram-se sempre em um mesmo plano de fase transversal à dreção de propagação. H k H k H k H Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 4
5 Modo TM Caso os dferentes planos de fase sejam paralelos então a onda é classfcada como onda plana. Se além dsso os campos não tverem sua ampltude varada de um ponto a outro do espaço então a onda é classfcada como onda plana unforme. H k H k H k Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 5
6 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Para obter as epressões que descrevem os campos eletromagnétcos pode-se assumr sem perda de generaldade que o campo elétrco possua componente não-nula somente ao longo de. Neste caso: ( ) ˆ ( ) Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 6
7 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas A equação de onda a ser resolvda é dada por ou em sua versão epandda Consderando-se a onda em questão plana unforme e propagando-se ao longo de ± não apresenta varação em e e a solução geral pelo método da separação de varáves equvale a 7 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração ) ( ) ( k ) ( ) ( ) ( ) ( k ) ( ) ( ) ( h
8 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Uma ve que o caso em análse trata-se de uma onda eletromagnétca propagando-se no espaço lvre e em um meo sem perdas: ou e ( h( ) ( ) ) jk e jk e e e jk ˆ e jk e jk jk Onda propagando-se ao longo de + Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração Onda propagando-se ao longo de 8
9 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Nas equações anterores e são as ampltudes do campo elétrco propagando-se ao longo de + e respectvamente e k é a constante de propagação no meo. O campo magnétco correspondente pode ser obtdo através da resolução da equação de onda. H ( ) k H ( ) Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 9
10 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Alternatvamente pode-se utlar a Le de Farada de forma que 1 H ( ) ( ) j Aplcando-se a epressão do campo elétrco na equação acma resulta que k jk jk H ( ) ˆ e e Onda propagando-se ao longo de + Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração Onda propagando-se ao longo de 1
11 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Utlando-se as seguntes convenções: Campo elétrco propagando-se em +: Campo elétrco propagando-se em : e sabendo-se que k e e jk jk pode-se escrever que H ( ) ˆ H H Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 11
12 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas onde H H Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 1
13 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Impedânca de onda: Analsando-se as undades da epressão anteror H V/m verfca-se que o termo ohms. A/m deve ser meddo em Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 13
14 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Impedânca de onda: Portanto defne-se como Impedânca de Onda a relação entre campo elétrco e magnétco que se propagam em um mesmo sentdo (+ ou ). Matematcamente: Z w H onde é a mpedânca ntrínseca do meo onde a onda se propaga. H Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 14
15 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Impedânca de onda: Para ondas planas e modos TM: Z w Para modos T e TM: Z w O uso do conceto de mpedânca de onda permte obter o campo magnétco (ou elétrco) a partr do campo elétrco (ou magnétco) para ondas TM sem a necessdade de operação com as equações de Mawell. Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 15
16 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Impedânca de onda: Para sso deve-se observar o segunte procedmento: Posconar o dedo polegar da mão dreta no sentdo do campo elétrco Posconar o dedo médo da mão dreta no sentdo da propagação da onda A orentação do campo magnétco será gual à orentação do dedo ndcador Dvdr a ampltude do campo elétrco pela mpedânca ntrínseca do meo para obter a epressão do campo magnétco correspondente. Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 16
17 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Impedânca de onda: No espaço lvre: Z w Z w 377 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 17
18 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Campo eletromagnétco no domíno do tempo: Campos elétrcos: 18 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração ) ( ) ( ) ( t t t t j t j e t e t t ) ( Re ) ( Re ) ( k t k t t cos cos ) (
19 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Campo eletromagnétco no domíno do tempo: Campos magnétcos: H ( t) H ( t) H ( t) 1 t H ( ) cos t k cos t k Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 19
20 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Campo eletromagnétco no domíno do tempo: Onda propagando-se no sentdo +: H Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração
21 Ondas Planas Unformes em Meos Velocdade de fase: sem Perdas A velocdade de fase mede a velocdade com que uma frente de onda se propaga em uma determnada dreção. Defne-se como frente de onda a superfíce na qual os campos eletromagnétcos apresentam a mesma fase. m uma frente de onda propagando-se no sentdo + tem-se t k Constante Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 1
22 Ondas Planas Unformes em Meos Velocdade de fase: sem Perdas Uma epressão para a velocdade de fase pode ser obtda analsando-se a varação do termo de fase com relação ao tempo. Matematcamente: d t k dt d dt Constante k d dt Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração
23 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Velocdade de fase: Defnndo-se a velocdade de fase como v p d dt e aplcando-se na epressão anteror resulta que v p 1 k v p 1 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 3
24 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Vetores de Pontng para ondas planas unformes: S S Domíno do tempo: Onda propagando-se em +: H S Onda propagando-se em : H S ˆ Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração cos t ˆ cos t k 4 k
25 S S Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Vetores de Pontng médo para ondas planas unformes: Domíno espacal: 1 1 Onda propagando-se em +: Re H Onda propagando-se em : Re H S S Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração ˆ ˆ 5
26 Ondas Planas Unformes em Meos Velocdade de grupo: sem Perdas A velocdade de grupo é um parâmetro que ndca a velocdade com que a energa transportada pela onda eletromagnétca se propaga no meo. A velocdade de grupo é descrta matematcamente como v g S W W e m Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 6
27 Ondas Planas Unformes em Meos Velocdade de grupo: sem Perdas Para uma onda que se propaga ao longo de +: We W m resulta que 1 1 H v g cos Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração cos t t k k 7
28 Ondas Planas Unformes em Meos Velocdade de grupo: sem Perdas A relação entre as velocdades de fase e de grupo devem sempre satsfaer a segunte equação: v p v g c 1 onde c é a velocdade da lu no meo de propagação. Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 8
29 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Onda staconára: Uma onda estaconára resulta da estênca de duas ondas eletromagnétcas que se propagam em sentdos opostos. No presente caso: ( ) ˆ jk e Onda propagando-se ao longo de + Se e então haverá ocorrênca de uma onda estaconára. e jk Onda propagando-se ao longo de Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 9
30 Ondas Planas Unformes em Meos Onda staconára: sem Perdas Para entender melhor a físca da onda estaconára a epressão para o campo elétrco deve ser reescrta da forma para ( ) ( ) jk e e Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração jk cosk ep j tan 1 tan k 3
31 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Onda staconára: O valor mámo possível para ocorre quando k e equvale a O valor mínmo possível para ocorre quando k e equvale a m m 1 ( ) má ( ) mín ( m 5) m 1 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 31
32 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Onda staconára: Traçado da envoltóra de uma onda estaconára: Fonte: C. A. Balans Advanced ngneerng lectromagnetcs John Wle & Sons Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 3
33 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Relação de Onda staconára (SWR): A relação de onda estaconára é defnda como a raão entre os níves mámo e mínmo de campo elétrco estentes em uma onda estaconára. Matematcamente: SWR ( ) ( ) má mín Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 33
34 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Relação de Onda staconára (SWR): Pode-se anda defnr coefcente de refleão como e reescrever a epressão para SWR como 1 SWR 1 A SWR assume valores na faa 1 SWR +. Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 34
35 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Até o momento consderou-se que a onda propagava-se ao longo do eo. pressões semelhantes às obtdas até o momento seram possíves para casos em que a onda eletromagnétca se propaga ao longo de e. ntretanto resta descrever matematcamente como fcam os campos no caso de uma onda propagar-se oblquamente aos eos coordenados. Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 35
36 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Na lteratura dos são os casos analsados mas frequentemente: Onda com campo elétrco paralelo ao plano de propagação Onda com campo elétrco normal ao plano de propagação Nesta abordagem apenas o prmero caso será analsado. A obtenção das epressões matemátcas para os campos no segundo caso segue racocíno análogo ao que será apresentado a segur. Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 36
37 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrco paralelo ao plano de propagação: k k ˆ ˆ H ˆ k ˆ ˆ H ˆ k ˆ k k ˆ r Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 37
38 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrco paralelo ao plano de propagação: O campo elétrco da onda que se propaga no sentdo postvo (ver gráfco ao lado) é dado por: jk r ˆ ˆ e Sendo a ampltude do campo então: ˆ H ˆ k ˆ k k ˆ r cos sn Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 38
39 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrco paralelo ao plano de propagação: A epressão para o campo fca: Sendo: resulta que jk r ˆ cos ˆ sn e k k snˆ k cosˆ r ˆ ˆ Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração ˆ H jk sn cos ˆ cos ˆ e sn ˆ k ˆ k k ˆ 39 r
40 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrco paralelo ao plano de propagação: Faendo-se o mesmo para o campo resulta: Sendo: resulta que jk r ˆ cos ˆ sn e k k snˆ k cosˆ r ˆ ˆ Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração jk sn cos ˆ cos ˆ e sn k k ˆ ˆ H ˆ k ˆ 4
41 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrco paralelo ao plano de propagação: O campo elétrco total é dado por O campo magnétco pode ser obtdo de duas formas: Utlação da Le de Farada Utlação do conceto de mpedânca de onda jk sn cos ˆ cos ˆ sn e jk sn cos ˆ cos ˆ sn e Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 41
42 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrco paralelo ao plano de propagação: m notação vetoral a segunda técnca pode ser escrta de manera convenente como 1 H nˆ nˆ Aplcando-se a epressão acma o campo magnétco resultante equvale a H ˆ e sn cos jk sn cos jk ˆ nˆ e nˆ : versores que apontam para os respectvos sentdos de propagação Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 4
43 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Impedâncas de Onda: Mesmo que a propagação ocorra em dreção oblíqua aos eos coordenados a onda em estudo contnua sendo do tpo TM. Desta forma na dreção de propagação ( k ): Z w ntretanto a mpedânca de onda assume valores dferentes ao longo dos eos coordenados. Para sto é necessáro faer a dvsão das respectvas componentes de campo de modo que o produto vetoral aponte para a respectva dreção de propagação. Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 43
44 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Impedâncas de Onda: Z Para o caso ao lado: Impedânca de onda em : H sn Impedânca de onda em : Z H sn H ˆ ˆ k ˆ k r k ˆ Z H cos Z H cos Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 44
45 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Velocdades de fase e de grupo: frentes de onda c k dreção de propagação v g v p Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 45
46 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Velocdades de fase e de grupo: Como a onda em estudo é TM a velocdade de propagação ao longo de k é gual a c (velocdade da lu no meo). Para segur o camnho de uma frente de onda a fase ao longo do eo a velocdade deve ser v p c cos 1 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração cos c v p k 46
47 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Velocdades de fase e de grupo: A velocdade de grupo ao longo de equvale à projeção de c sobre este eo. Desta forma: v g c cos cos c v g v p k Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 47
48 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Vetor de Pontng: O vetor de Pontng para a onda que se propaga no sentdo postvo equvale a S 1 Re H S ˆ sn ˆ cos Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 48
49 Ondas Planas Unformes em Meos sem Perdas Propagação Oblíqua Vetor de Pontng: Assm sendo as componentes e do vetor de Pontng são S sn S cos Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 49
50 Ondas Planas em Meos com Perdas No caso de meos com perdas além da smples progressão de fase das ondas planas unformes deve-se modelar a atenuação dos campos. Para obter as epressões que descrevem os campos eletromagnétcos assumr-se-á novamente que o campo elétrco possua componente não-nula somente ao longo de : ( ) ˆ ( ) Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 5
51 Ondas Planas em Meos com Perdas A equação de onda a ser resolvda é dada por ou em sua versão epandda Consderando-se a onda em questão plana e propagando-se ao longo de ± não apresenta varação em e e a solução geral pelo método da separação de varáves equvale a 51 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( h
52 Ondas Planas em Meos com Perdas Uma ve que no caso em análse trata-se de uma onda eletromagnétca propagando-se em um meo com perdas: ou e ( h( ) ( ) ) e e e e ˆ e e Onda propagando-se ao longo de + Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração Onda propagando-se ao longo de 5
53 Ondas Planas em Meos com Perdas Nas equações anterores o termo é a constante de propagação no meo e equvale a onde 53 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração j Nepers/m rad/m
54 Ondas Planas em Meos com Perdas Os termos e são respectvamente as constantes de atenuação e de fase no meo de propagação. m casos prátcos a constante de atenuação é usualmente dada em decbés por metro (db/m). O fator de conversão é dado por db/m 868Nepers/m Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 54
55 Ondas Planas em Meos com Perdas Introdundo-se a epressão de na epressão do campo elétrco resulta: j j ( ) ˆ e e e e Termo que modela a atenuação da onda propagando-se ao longo de + Termo que modela a progressão de fase da onda propagando-se ao longo de + Termo que modela a atenuação da onda propagando-se ao longo de Termo que modela a progressão de fase da onda propagando-se ao longo de Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 55
56 Ondas Planas em Meos com Perdas Utlando-se a Le de Farada o campo magnétco é obtdo e equvale a Utlando-se o conceto de mpedânca de onda sabe-se que ntão para um meo com perdas: 56 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração e e j j H ˆ ) ( w e e Z H 1 ˆ ) ( c w j j Z
57 Ondas Planas em Meos com Perdas Vetor de Pontng: O vetor de Pontng para a onda que se propaga no sentdo postvo equvale a S 1 Re H S ˆ e Re c 1 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 57
58 Ondas Planas em Meos com Perdas Profunddade de penetração de uma onda: A profunddade de penetração ou profunddade pelcular é a dstânca que a onda deve percorrer em um meo com perdas para que sua ampltude se redua à 368% em relação ao ponto de partda. Matematcamente: Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 58
59 Ondas Planas em Meos com Perdas Smplfcação das epressões para os parâmetros de ondas planas para meos bons delétrcos: Neste caso ocorre que 1 e as seguntes apromações podem ser consderadas: Z w c 1 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 59
60 Ondas Planas em Meos com Perdas Smplfcação das epressões para os parâmetros de ondas planas para meos bons condutores: Neste caso ocorre que 1 e as seguntes apromações podem ser consderadas: Z 1 j w c 1 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 6
61 Ondas Planas em Meos com Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrco paralelo ao plano de propagação: ˆ ˆ H ˆ ˆ ˆ H ˆ ˆ ˆ r Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 61
62 Ondas Planas em Meos com Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrco paralelo ao plano de propagação: A epressão para o campo elétrco é semelhante à equação para o caso sem perdas trocando-se por k : Assm sendo: e r ˆ ˆ e Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração ˆ H sn cos ˆ cos ˆ e sn sn cos ˆ cos ˆ e sn ˆ k ˆ k k ˆ 6 r
63 Ondas Planas em Meos com Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrco paralelo ao plano de propagação: 63 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração A epressão para o campo elétrco total é fnalmente dada por: Pela Le de Farada obtém-se: j j j j e e cos sn cos sn ˆ sn ˆ cos ˆ sn ˆ cos j j c j j c e e H cos sn cos sn ˆ ˆ
64 Ondas Planas em Meos com Perdas Impedâncas de Onda: Z Para o caso ao lado: Propagação Oblíqua Impedânca de onda em : H sn c Impedânca de onda em : Z H sn c H ˆ ˆ k ˆ k r k ˆ Z H cos c Z H cos c Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 64
65 Ondas Planas em Meos com Perdas Vetor de Pontng: Propagação Oblíqua O vetor de Pontng para a onda que se propaga no sentdo postvo equvale a S S 1 Re H sn cos ˆ sn ˆ cos e Re c 1 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 65
66 Ondas Planas em Meos com Perdas Vetor de Pontng: Propagação Oblíqua Assm sendo as componentes e do vetor de Pontng são S sn e Re c sn cos 1 S cos e Re c sn cos 1 Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 66
67 Polaração de Ondas O que é polaração? letromagnétcas É a propredade da onda eletromagnétca que descreve a varação no tempo do campo elétrco; A varação no tempo do campo elétrco nclu ampltude e dreção. Tpos de polaração: líptca Lnear Crcular Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 67
68 Polaração elíptca: Polaração de Ondas letromagnétcas m um dado ponto no espaço o vetor campo elétrco descreve uma fgura elíptca ao longo do tempo. pressão matemátca típca: ˆ cos t k ˆ cos t k com ϕ 9 e/ou. Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 68
69 Polaração lnear: Polaração de Ondas letromagnétcas m um dado ponto no espaço a fgura descrta pela varação no tempo do vetor campo elétrco é uma reta. Caso partcular da polaração elíptca em que o eo menor da elpse é ero. emplos: ˆ cos t k ˆ cos t k Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 69
70 Polaração de Ondas Polaração crcular: letromagnétcas m um dado ponto no espaço a fgura descrta pela varação no tempo do vetor campo elétrco é um círculo. Dependendo do sentdo de rotação do campo elétrco a onda pode ser polarada à dreta ou à esquerda. pressão matemátca típca: ˆ cos t k ˆ cos t k com ϕ = ± 9 e =. Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 7
71 Polaração de Ondas letromagnétcas Raão aal: É a relação entre o valor mámo em relação ao valor mínmo de campo elétrco na elpse de polaração. É a grandea que mede o quanto a elpse de polaração se aproma de um círculo. m termos prátcos a raão aal é uma medda da mperfeção de uma onda crcularmente polarada. lpse de polaração AR eo maor eo menor o menor Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 71
72 Polaração de Ondas letromagnétcas Descasamento de polaração: Uma medda do descasamento de polaração é fornecda pelo fator de descasamento de polaração (PLF) dado por PLF ˆ w ˆ a cos p Vetor untáro (ou vetor polaração) da onda Vetor untáro (ou vetor polaração) da antena Ângulo formado entre os dos vetores untáros Propagação de Ondas letromagnétcas e Polaração 7
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