Isostática 2. Noções Básicas da Estática

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1 Isostátca. Noções Báscas da Estátca Rogéro de Olvera Rodrgues

2 .1. Força Força desgna um agente capa de modfcar o estado de repouso ou de movmento de um determnado corpo. É uma grandea vetoral e, como tal, possu característcas peculares de uma grandea vetoral.

3 Característcas Módulo é a ntensdade da força aplcada; Dreção é reta ao longo da qual a força atua; Sentdo é der para que lado da dreção em questão a força está aplcada. Módulo 10 N Dreção Sentdo

4 Undades do Sstema Internaconal Báscas: - Comprmento > metro (m) - Massa > qulograma (kg) - Tempo > segundo (s) Dervadas: - Força > Newton (N) 1 kg.m/s - Ângulo > radano (rad) 1 - Freqüênca > Hert (H) 1/s - Pressão > Pascal (Pa) 1 N/m

5 Relações Importantes Força Massa. aceleração celeração da Gravdade (g) 9,80665 m/s Peso > Qulograma-força (kgf) 9,80665 N ou seja: 1 tf 9,80665 kn Densdade Específca (ρ) Massa / Volume Peso Específco (γ) Peso / Volume γ ρ. g

6 .. Momento de uma Força O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eo fornece uma medda da tendênca dessa força de provocar a rotação de um corpo em torno do ponto ou do eo. É uma grandea vetoral e, como tal, possu característcas peculares de uma grandea vetoral.

7 Característcas Módulo é a ntensdade do momento aplcado, dado pelo produto entre o módulo de uma força (F) e o braço do momento (d) em relação a um dado ponto ou eo; Dreção é a reta perpendcular ao plano contendo a força (F) e o braço do momento (d); F Dreção Módulo M o F. d d o Plano

8 Característcas Sentdo é der para que lado da dreção em questão o vetor momento está aplcado, segundo a regra da mão dreta : os quatro dedos acompanham o sentdo de rotação da força (F) e o polegar defne o lado da dreção. Sentdo de M o F Sentdo de rotação da força (F) d o M o M o F. d

9 .3. Tpos de Força Volumétrcas; Superfcas; Concentradas.

10 .3.1. Forças Volumétrcas São aplcadas de forma dstrbuída sobre o volume do corpo, em todos os pontos do mesmo. Força centrífuga; Força eletromagnétca; Força gravtaconal.

11 Força Gravtaconal O peso (P) que atua sobre um elemento de volume (V) é a força gravtaconal sofrda pelo elemento na vnhança de um planeta ou outro grande corpo, de tal forma que a resultante é dretamente proporconal ao seu volume. P γ.v

12 .3.. Forças Superfcas São aplcadas de forma dstrbuída sobre a superfíce do corpo. Forças devdas à ação do vento; Forças devdas à pressão da água; Forças devdas ao peso própro da alvenara.

13 Forças Dstrbuídas nearmente Para efeto de cálculo, são forças supostamente dstrbuídas sobre uma lnha, pelo fato de agrem sobre faa muto estreta da superfíce do corpo. Forças genercamente dstrbuídas; Forças unformemente dstrbuídas; Forças lnearmente dstrbuídas.

14 Forças Genercamente Dstrbuídas O valor da força ao longo do comprmento da lnha é defndo por uma função P() qualquer. P() o

15 Forças Unformemente Dstrbuídas O valor da força ao longo do comprmento da lnha é defndo por uma função P() constante. P()cte o

16 Forças Unformemente Dstrbuídas h P() e o Sendo γ o peso específco da alvenara > P ( ) γ. h. e

17 Forças nearmente Dstrbuídas O valor da força ao longo do comprmento da lnha é defndo por uma função P() varável de forma constante. P()0 até P P o

18 Pressão Hdrostátca pressão é uma força eercda pela água, ou qualquer outro líqudo, numa superfíce qualquer, por eemplo, numa barragem ou numa comporta, e é determnada pelas les da hdrostátca. pressão eercda pela água é sempre perpendcular à superfíce e vara lnearmente com a profunddade.

19 Pressão Hdrostátca Barragem Nível do líqudo h P(h) Solo Sendo γ o peso específco do líqudo > P ( h) γ. h

20 Pressão Hdrostátca No caso da pressão atmosférca (p 0 ) não ser despreível, é necessáro acrescentar o seu valor, de tal modo que a pressão hdrostátca passa a ser determnada por: P( h) p + γ. 0 h

21 .3.3. Forças Concentradas São aplcadas de forma pontual sobre o corpo, nclundo-se os momentos. Forças provenentes das reações das vgas; Forças provenentes das reações dos plares; Forças pontuas provenentes de equpamentos.

22 Forças Concentradas F 1 F o M 1 o

23 Decomposção de Forças Concentradas No plano: No espaço: β α F F F.cosα F F.cosβ β α β γ F F F.cosα F F.cosβ F F.cosγ cosα, cosβ e cosγ são chamados co-senos dretores.

24 .4. Sstemas de Forças Equvalentes s condções para que dos sstemas de forças sejam equvalentes são: a) s forças em cada sstema devem resultar vetores força guas; b) Os vetores momento dos dos sstemas de forças em relação a um ponto ou a um eo qualquer devem ser guas.

25 Translação de uma força para uma posção paralela Sstema 1: Sstema : F d o M o o F M o F. d M o F. d Desse modo, os sstemas são equvalentes.

26 Forças Genercamente Dstrbuídas Sstema 1: P() o Sstema : FE o d

27 Forças Genercamente Dstrbuídas Sstema 1: P() o Força: Momento: M R O n ( ) p( ) p 1 n 0 d ( ) p( ) p 1 0 d

28 Sstema : Forças Genercamente Dstrbuídas FE o d Força: Momento: M F E O E. F d

29 Forças Genercamente Dstrbuídas Igualando-se as forças: F E R n ( ) p( ) p 1 0 d Portanto: F E 0 p ( ) d Igualando-se os momentos: F E. d n ( ) p( ) p 1 Portanto: d 0 p 0 d ( ) d p( ) 0 d

30 Forças Unformemente Dstrbuídas Sstema 1: P()P o Sstema : FE o d

31 Forças Unformemente Dstrbuídas Sstema 1: P()P o Força: Momento: M R ( ) d P d P. p 0 ( ) O p d P d P.

32 Sstema : Forças Unformemente Dstrbuídas FE o d Força: Momento: M F E O E. F d

33 Forças Unformemente Dstrbuídas Igualando-se as forças: F E R P. Portanto: F E P. Igualando-se os momentos: P.. F E d Portanto: d

34 Forças nearmente Dstrbuídas Sstema 1: P()P./ P o Sstema : FE o d

35 Forças nearmente Dstrbuídas Sstema 1: P()P./ P o Força: Momento: M P R p( ) d d 0 0 P p( ) d d 0 0 O P. P. 3

36 Sstema : Forças nearmente Dstrbuídas FE o d Força: Momento: M F E O E. F d

37 Forças nearmente Dstrbuídas Igualando-se as forças: Portanto: F E R F E P. P. Igualando-se os momentos: P.. F E d 3. Portanto: d 3

38 .5. Centro de Gravdade, Centro Geométrco e Momento Estátco Dada uma placa com espessura qualquer contda no plano (,). Placa

39 Para se determnar o centro de gravdade (c.g.) da placa é necessáro obter as coordenadas (,), de tal forma que os dos sstemas de forças ndcados sejam equvalentes. Centro de Gravdade P c.g. ΔP ΔV M. P Sstema 1:. P Sstema : M M M n Σ 1 n Σ 1 ΔP ΔP

40 Igualando-se os momentos: Centro de Gravdade P M P M n n P P Δ Δ Σ Σ P n P Δ Σ 1 Portanto: P P P P n n n n Δ Δ Δ Δ Σ Σ Σ Σ ou dp dp dp dp Igualando-se as forças:

41 Centro Geométrco Para se determnar o centro geométrco (,) da área da placa, consdera-se a mesma placa do caso anteror composta por um materal homogêneo (γ cte) e com espessura constante (h cte). c.g. Área

42 Centro Geométrco Como: dp γ dv cte e dv h. d cte ogo: γ dp h. d ou dp h.γ. d Portanto: n Σ 1 n Σ 1 Δ Δ n Σ 1 n Σ 1 Δ Δ ou d d d d

43 Momento Estátco Momento estátco da área da placa, também conhecdo como momento de prmera ordem, é provenente do equlíbro estátco de momentos vsto no cálculo do centro de gravdade, porém consderando-se a placa composta por um materal homogêneo e com espessura constante. Portanto: Δ Σ Δ Σ n S n S d d M M 1, 1,.. P M P M n n P P Δ Δ Σ Σ >

44 .6. Momento de Inérca O momento de nérca, também conhecdo como momento de segunda ordem, pode ser obtdo através da equvalênca entre dos sstemas de forças aplcados na seção transversal de uma vga. Seção transversal da vga

45 Momento de Inérca P() Sstema 1: P( ) K. K cte Sstema : M E

46 Momento de Inérca Calculando-se o momento resultante do sstema 1. d P() df M R df P( ). d > df K.. d. df K.. d d M K d M R K d R.. M R K Igualando-se apenas os momentos: Portanto: I d > > > M E M R K d d

47 Momento de Inérca - plcação d 1 d F F I 1 > umentando I, com I > I 1 > I Portanto, para mesmo F, com I > I 1 > d < d 1

48 a d.7. Teorema dos Eos Paralelos Sendo dados I, I e. b c.g. ou I mas I d + a ( a) + ou ( I + ) a a I Determnar I e I : ogo: + d + ad + a d d d

49 Teorema dos Eos Paralelos Trabalhando-se a últma equação: I d + ad + a d ou I d +. a d + a d mas I d ; M S, d 0 ; d ogo: I + a. I nalogamente: I + b. I

50 Eercícos

51 Obrgado!