4.1. Equilíbrio estático de um ponto material

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1 CAPÍTULO 4 Estátca As Três Les ou Prncípos undamentas da Mecânca Newtonana dscutdos no capítulo anteror sustentam todo o estudo da Estátca dos pontos materas, corpos rígdos e conjuntos de corpos rígdos. O estudo da estátca do corpo rígdo basea-se no estudo da estátca do ponto materal, por onde terá níco o nosso estudo. Veremos como os resultados obtdos para o ponto materal podem ser utlzados drectamente em grande número dos problemas referentes a condções de repouso de corpos reas. Neste capítulo de estátca remos estudar essencalmente o equlíbro de corpos rígdos e as condções de equlíbro de sstemas de forças nele aplcados Equlíbro estátco de um ponto materal Dz-se que um sstema de forças aplcado a um corpo está em equlíbro se da sua aplcação não resultar nenhuma alteração no estado de movmento do corpo. Um caso partcular de equlíbro mecânco, o equlíbro estátco, será o estado de repouso num determnado referencal de nérca, defndo pela velocdade nula de todos os pontos do corpo. Estátca 2003/04 Pág. 41

2 Vamos estudar a estátca em referencas de nérca. Trataremos em prmero lugar de sstemas de forças aplcados a pontos materas,.e., corpos de dmensões desprezáves, para os quas não se consdera o movmento de rotação. A condção necessára e sufcente de equlíbro dum sstema de forças aplcado a um ponto materal é que a resultante desse sstema seja nula. Na realdade, por defnção de equlíbro, a aceleração é nula, o que mplca, pela le fundamental da dnâmca, que a força também seja nula condção necessára. Por outro lado, = 0 mplca, pela mesma le de Newton, que a aceleração seja nula, o que é equvalente à velocdade ser constante. Logo, = 0 garante-nos o equlíbro condção sufcente. Sstemas equvalentes A um mesmo ponto materal podemos aplcar dferentes sstemas de forças. Se estes sstemas tverem o mesmo efeto sobre o estado de movmento do ponto materal, eles dzem-se sstemas equvalentes. Em partcular, um sstema de forças aplcado a um ponto materal é sempre equvalente à resultante desse sstema aplcado ao mesmo ponto materal, pela le fundamental da dnâmca. Este sstema pode ser sempre equlbrado por uma força e, denomnada equlbrante do sstema, e que é smétrca da resultante: e =-. Estátca 2003/04 Pág. 42

3 Exemplos: Caso bdmensonal: 2 ncógntas, 2 equações = = 0 x y   = = 0 x = = 0 y Caso trdmensonal: 3 ncógntas, 3 equações = = 0 x = x = 0 y = y = 0 z = z = 0 Caso bdmensonal, por exemplo: 3 ncógntas, apenas 2 equações? Torna-se necessára uma 3ª equação! P. L θ m Estátca 2003/04 Pág. 43

4 4.2. Momento de uma força em relação a um ponto Começaremos por estudar sóldos lvres (não sujetos a lgações), para depos nos referrmos ao caso dos sóldos que têm um ponto ou um exo fxos (sujetos a lgações). Ao contráro do que se passa com um ponto materal, a resultante nula de um sstema de forças aplcadas a um corpo rígdo não garante que o corpo esteja em equlíbro. Contudo, se o corpo estver em equlíbro, tem aceleração nula, o que mplca que a resultante do sstema de forças também seja nula. Logo, = 0 é uma condção necessára, mas não é a condção sufcente de equlíbro dum sstema de forças aplcado a um corpo rígdo. Esta condção garante-nos o equlíbro quanto ao movmento de translação, mas não garante o equlíbro quanto ao movmento de rotação, pos o corpo pode rodar. Consderemos o sstema de forças consttuído por duas forças smétrcas, com lnhas de acção dstntas (bnáro), aplcado em dos pontos dstntos de um qualquer corpo rígdo. As forças são ant-paralelas (mesma drecção mas sentdos opostos) e as suas ntensdades são guas; são forças smétrcas. O sstema das duas forças tem resultante nula. O corpo não adqure movmento de translação. = = 0, mas a barra não está em equlíbro: ODA! A capacdade de uma força de produzr rotação é medda por uma grandeza denomnada momento da força (ou torque). Estátca 2003/04 Pág. 44

5 Contudo, o corpo começa a rodar, excepto quando as forças se encontram sobre a mesma recta (posção de equlíbro). Ou seja, o corpo só fca em equlíbro quando as rectas suporte dos vectores força concdem, sendo o equlíbro ndependente do ponto de aplcação das forças,.e., se na posção de equlíbro mudarmos o ponto de aplcação de uma das forças sobre a recta suporte comum, verfca-se que o equlíbro se mantém (vectores deslzantes). Momento de uma força (momento polar) Como saber então se dos sstemas de forças não concorrentes aplcados a um sóldo são ou não equvalentes? Ou se estão em equlíbro? A resultante nula mplca que não haja alteração do movmento de translação de um corpo. E o movmento de rotação? Consderemos, agora, uma força que actua num corpo rígdo. O efeto dessa força sobre o corpo rígdo depende, para além do módulo, da drecção e do sentdo da força, do seu ponto de aplcação, A. A posção de A é defnda pelo vector r, que une o ponto fxo O com A ( r é o vector-posção de A). Defne-se momento de uma força em relação a um ponto O, M,O, como sendo o produto vectoral M = r,o SI: o momento de uma força é expresso em N.m Estátca 2003/04 Pág. 45

6 As característcas do vector momento, M,O, são: Ponto de aplcação ponto O Módulo - M = rsnq = d,o (onde d representa a dstânca de O à lnha de acção de ) Drecção perpendcular ao plano defndo por r e (note ) que M,O Sentdo sentdo drecto (dado através de uma das regras do produto vectoral) O momento de uma força em relação a um ponto é um vector aplcado. O momento de uma força é nulo em relação ao respectvo ponto de aplcação, ou a qualquer ponto da sua recta suporte (casos: θ = 0º ou θ = 180º). O módulo de M,O dá-nos uma medda da tendênca da força fazer o corpo rígdo rodar em torno de um exo fxo, drgdo segundo,o. Contudo, o momento M,O de uma força em relação a um ponto O não depende da posção do ponto de aplcação da força, A, ao longo da lnha de acção da força (ver fgura anteror). Exemplo: Uma força de 500 N actua na extremdade de uma alavanca de 60 cm, de acordo com a fgura. Determne o momento da força em relação a O. ^ M = rsnq = d O M com d rsnq ( 0,60m) sn( 30º ) ^ = = Então M O = ( 500N)( 0,30m) = 150N.m, no sentdo horáro. ^ Estátca 2003/04 Pág. 46

7 Podemos agora dzer que duas forças e ' são equvalentes se, e só se, forem guas (mesmos módulo, drecção e sentdo) e tverem momentos guas em relação a um ponto O. = M = M,O,O (c.n.s.) O momento resultante de um sstema de n ( forças = 1,..., n) em relação a um ponto O é defndo pela soma dos momentos de cada uma das forças em relação a esse ponto O. M = M = r   O,O Mutas das aplcações que veremos referem-se a estruturas bdmensonas (.e., estruturas com comprmento e largura mas com espessura desprezável), submetdas a forças contdas no plano da estrutura. Exemplo: lâmna sob a acção de uma força : M,O módulo M,O =± d plano do papel e M,O = d CONVENÇÃO DE SINAIS: M O para fora do papel Acção ant-horára M O para dentro do papel Acção horára Estátca 2003/04 Pág. 47

8 Teorema de Vargnon Se dversas forças concorrentes 1, 2,..., estão aplcadas num mesmo ponto A e se denomnarmos r o vector posção de A, a propredade dstrbutva do produto vectoral permte-nos escrever M = r = r 1+ r +... = M + M +... =ÂM ( ) 1 2,O,O,O,O.e., o momento em relação a um ponto O da resultante de dversas forças concorrentes é gual à soma vectoral dos momentos das váras forças em relação ao mesmo ponto O. Este resultado permte substtur a determnação drecta do momento de uma força pela determnação dos momentos das suas componentes cartesanas. Se, em partcular, todas as forças forem co-planares e se O pertence a esse mesmo plano, todos os momentos têm a drecção perpendcular ao plano, e tem-se M = M,O Â,O Sstemas equvalentes A equação r ( ) = r permte conclur que um sstema de forças concorrentes pode ser substtuído por uma únca força, a sua resultante aplcada em A, que é sempre equvalente a esse sstema de forças concorrentes para efetos de translação e de rotação. Note que, em geral, o momento resultante de um sstema de forças, 1, 2,..., em relação a um ponto não concde com o momento da resultante das forças. Estátca 2003/04 Pág. 48

9 Componentes Cartesanas do Momento de uma orça Em geral, a determnação do momento de uma força no espaço será smplfcada se a força e o vector-posção do seu ponto de aplcação forem decompostos nas suas componentes cartesanas x, y e z: Substtundo em r = xˆ+ yj ˆ+ zkˆ = ˆ+ ˆj + kˆ x y z M = r,o e calculando o produto vectoral dos dos vectores, escrevemos o momento,o de em relação a O na forma M = Mˆ+ M ˆj+ Mkˆ M,O x y z onde as componentes escalares ou cartesanas M x, M y e M z são defndas pelas relações As componentes escalares M x, M y e M z do momento M,O M M M x y z = = = y z x z x y z x y medem a tendênca da força produzr no corpo rígdo um movmento de rotação em torno dos exos Ox, Oy e Oz, respectvamente. y z x etomando o caso bdmensonal, e supondo que a força se stua no plano xy, temos que z = 0 e z = 0 e portanto M = M kˆ= x - y kˆ,o M M z > 0,O ( ) z y x aponta para fora do papel (a força tende a grar o corpo no sentdo anthoráro, em torno de O) Estátca 2003/04 Pág. 49

10 4.3. Momento de uma força em relação a um exo - momento axal Consderemos de novo uma força que actua num corpo rígdo e o M momento,o que passa por O. Defne-se momento, dessa força em relação a O. Seja OL um exo orentado M,OL da força em relação a um exo OL, como sendo a projecção vectoral OC do M momento,o sobre o exo OL. Sendo o exo OL orentado, podemos defnr um vector untáro λˆ na drecção e sentdo do exo. A projecção do momento M, O OL será então dada pelo escalar resultante do produto msto M ˆ M = l = ˆ l r,ol,o ( ) e o momento da força em relação a um exo é dado por M = M ˆ l,ol,ol sobre o exo Com esta defnção de momento axal pode demonstrar-se que a projecção do momento da força sobre o exo OL será sempre a mesma, qualquer que seja o ponto consderado sobre o exo OL. Estátca 2003/04 Pág. 50

11 O sgnfcado físco do momento M,OL de uma força em relação a um exo fxo OL torna-se claro se a força for decomposta em componentes ortogonas 1 e 2, uma paralela a OL e a outra num plano P normal a OL. Decompondo analogamente r, em componentes ortogonas r 1 e r 2, tem-se M r r,ol ˆ l È = ( ) ( ) Î = ( r1 1) ( r1 2) ( r2 1) ( r2 2) = ˆ l + ˆ l + ˆ l + ˆ l Verfca-se que todos os produtos mstos, excepto o últmo são nulos, pos envolvem vectores complanares quando traçados a partr de uma orgem comum, e tem-se assm M ˆ = l r ( 2 2),OL onde o produto vectoral r 2 2 é perpendcular ao plano P e representa o momento da componente 2 em relação ao ponto Q, onde o exo ntercepta o plano. O escalar M,OL mede a tendênca de 2 fazer grar o corpo rígdo em torno do exo fxo OL. O escalar M será postvo se r 2 2 e OL tverem o mesmo,ol sentdo, e negatvo em caso contráro. Desta defnção de momento de uma força em relação a um exo, conclu-se medatamente que o momento de uma força em relação a um dos exos coordenados é gual à componente do momento, M, segundo esse exo!,ol Estátca 2003/04 Pág. 51

12 4.4. Bnáros. edução de um sstema de forças a um sstema força-bnáro. Sstemas equvalentes de forças. Casos partculares: forças concorrentes, forças complanares e forças paralelas Momento de um Bnáro Duas forças e que tenham o mesmo módulo, lnhas de acção paralelas e sentdos opostos formam um bnáro. É claro que a soma das componentes das duas forças em qualquer drecção é zero; contudo a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. É evdente que = = = 0, pelo que o bnáro não produz qualquer efeto de translação. Mas o bnáro produz rotação: r representando por A e B r, respectvamente, os vectores posção dos pontos de aplcação de e, a soma dos momentos das duas forças em relação a O será M = Â M r,o A rb ( ) = + - = ra - rb = = r - r = r - r = r π0 ( ) A B A B O vector M, denomnado momento do bnáro, é um vector perpendcular ao plano defndo pelas duas forças, o seu sentdo é defndo pela regra da M rsnq d mão dreta e o seu módulo é dstânca entre as lnhas de acção de e conhecdo por braço do bnáro. = =, onde d representa a Note anda que o vector r é ndependente do ponto O. ; d é usualmente Estátca 2003/04 Pág. 52

13 Sstemas força-bnáro Do exposto atrás, podemos defnr o efeto de um bnáro sobre um corpo rígdo através do vector momento do bnáro, M. Se consderarmos agora uma força qualquer actuando sobre um corpo r. Se pretendermos rígdo, num ponto A defndo pelo vector posção A que essa força actue num ponto O, arbtráro, podemos deslocá-la desde que acrescentemos ao corpo um bnáro de momento gual ao momento de em relação a O. A esta combnação chama-se sstema força-bnáro. edução de um sstema de forças a um sstema força-bnáro Em geral um sstema de forças,... que actuam sobre os pontos A,, A, 1 2, dstntos, de um corpo rígdo, não pode reduzr-se apenas à resultante das forças aplcadas sobre o corpo: é necessáro consderar os dos efetos, o de translação e o de rotação. Verfca-se, no entanto, que um sstema de forças nestas condções poderá reduzr-se sempre a um sstema força-bnáro: para que o efeto de translação seja equvalente, escolhe-se como força a resultante das forças aplcadas sobre o corpo rígdo, aplcada no ponto onde se rão calcular os momentos (garante-se assm que o momento da resultante será nulo); e para que a rotação seja também equvalente, escolhe-se um bnáro cujo momento seja gual ao momento resultante do sstema de forças. Estátca 2003/04 Pág. 53

14 Consderemos então um sstema de forças, 1 2,... que actuam sobre os pontos A, A 1 2,..., dstntos, de um corpo rígdo, defndos pelos vectores posção r 1, r 2,... Podemos então deslocar cada uma das forças para um ponto arbtráro O, desde que seja acrescentado um bnáro de momento M = r em relação a O. epetndo este procedmento para as,o restantes forças, obtém-se o sstema lustrado, consttuído de forças que actuam em O e de bnáros. Note-se que os momentos M ^,O mas que M O não é normal a. Como as forças são agora concorrentes, podemos somá-las vectoralmente e substtu-las pela resultante. Analogamente, os momentos podem ser substtuídos por um únco vector bnáro,, o momento resultante. M O Qualquer sstema de forças, por mas complexo que seja, pode assm ser reduzdo a um sstema força-bnáro equvalente, que actua num dado ponto O, e é defndo pelas equações = Â M O = M = ( r ),O Â Â Este sstema força-bnáro equvalente caracterza completamente o efeto do sstema de forças sobre o corpo rígdo. Estátca 2003/04 Pág. 54

15 Sstemas equvalentes Dos sstemas de forças são equvalentes se puderem ser reduzdos ao mesmo sstema força-bnáro, ou seja, 1, 2,... e 1, 2,... são equvalentes se e somente se a soma das forças e a soma dos momentos das forças, em relação a um dado ponto O, dos dos sstemas forem respectvamente guas. Â = Â Â M = Â M,O,O Decompondo as forças e os momentos nas suas componentes cartesanas, as condções necessáras e sufcentes para a equvalênca dos dos sstemas de forças escrevem-se Âx, = Â x, y, = y, Â Â Âz, = Â z, ÂM x, = Â M x, ÂM, y = Â M, y ÂM z, = Â M, z Estas equações têm um sgnfcado físco smples: dos sstemas de forças são equvalentes se tendem a produzr no corpo rígdo a mesma translação segundo os exos Ox, Oy e Oz, respectvamente, e a mesma rotação em relação aos exos Ox, Oy e Oz, respectvamente. Em conclusão, dos sstemas de forças aplcados ao mesmo corpo dzem-se equvalentes se tverem a mesma resultante (equvalênca quanto à translação) e o mesmo momento em relação a um ponto O (equvalênca quanto à rotação). Mostra-se que um sstema de forças aplcado a um corpo rígdo é sempre redutível: ou a uma únca força (se ^ M ), ou a um sstema forçabnáro, ou anda apenas a um bnáro (se = 0 O ). Estátca 2003/04 Pág. 55

16 Casos partculares de redução de um sstema de forças = 0 Quando, o sstema força-bnáro reduz-se ao vector bnáro, M O. O sstema de forças dado pode então ser reduzdo a um só bnáro, denomnado bnáro resultante do sstema. Vejamos de seguda as condções nas quas um determnado sstema de forças pode ser reduzdo a uma únca força ou resultante. São sstemas são mutuamente perpendculares. para os quas a força e o vector M O Embora esta condção não seja geralmente satsfeta pelos sstemas de forças no espaço, será satsfeta em alguns casos partculares, nomeadamente pelos sstemas consttuídos por: orças concorrentes; orças complanares; orças paralelas. orças concorrentes São forças aplcadas num mesmo ponto e podem então ser adconadas drectamente para a obtenção da resultante,. As forças concorrentes foram já largamente dscutdas. Estátca 2003/04 Pág. 56

17 orças complanares A forças, 1 2,... actuam todas no mesmo plano e portanto a resultante das forças do sstema também estará contda no plano defndo pelas forças 1, 2,..., enquanto o momento de cada força em relação a O, e portanto o momento resultante, será normal a esse plano. Neste caso, o sstema força-bnáro em O consste numa força e num vector bnáro M O mutuamente perpendculares. Pode anda mostrar-se que o sstema força-bnáro é redutível a uma únca força,, deslocando-se no plano da fgura para um ponto A onde o seu momento em relação a O se torne gual a de acção de é d = M O M O. A dstânca de O à lnha ecordando a expressão do momento, escrta em termos das suas componentes cartesanas, tem-se M O = xy - yx, no caso bdmensonal (força no plano xoy). Torna-se assm possível determnar as coordenadas x e y do ponto de aplcação A da resultante. Estátca 2003/04 Pág. 57

18 orças paralelas Como o nome ndca, trata-se agora do estudo do caso em que as forças têm lnhas de acção paralelas e podem, ou não, ter o mesmo sentdo. Admtndo que as forças são paralelas ao exo Oy, a sua resultante,, será obvamente paralela ao exo Oy. Por outro lado, como o momento de cada força é normal a essa força, o momento resultante em relação a O, M O, estará stuado no plano zox. O sstema força-bnáro em O consste, portanto, numa força,, e num vector bnáro, M O, que são mutuamente perpendculares Analogamente, eles podem então ser reduzdos a uma únca força,, pelo deslocamento de para um novo ponto de aplcação A(x,0,z) escolhdo de modo que o momento de em relação a O seja gual a M O. = No caso partcular de, o sstema de forças será redutível a um únco bnáro de momento. 0 M O Estátca 2003/04 Pág. 58

19 4.5. Equlíbro de um sstema de forças. Equlíbro estátco de um corpo rígdo Equlíbro de um sstema de forças Dssemos já que um sstema de forças aplcado a um corpo está em equlíbro se da sua aplcação não resultar nenhuma alteração no estado de repouso ou de movmento do corpo. Vmos também que se a resultante desse sstema for nula exste equlíbro do sstema de forças quanto à translacção; e vmos anda que o momento de um sstema de forças traduz a alteração do movmento de rotação. Se o momento for nulo o sstema de forças estará em equlíbro quanto à rotação. Um sstema de forças aplcado a um corpo está, portanto, em equlíbro estátco se tver resultante nula e momento nulo.  = 0  M = 0,O Equlíbro estátco de um corpo rígdo O estudo do equlíbro estátco de um corpo rígdo reduz-se à stuação em que as forças externas que actuam sobre o corpo rígdo formam um sstema de forças equvalente a zero. É portanto condção necessára e sufcente para que um corpo rígdo esteja em equlíbro estátco num determnado referencal, que se verfquem, para qualquer ponto O, ou seja, que   x, = 0, y = 0, x = 0, y = = 0  M = 0,O, z = 0 M M 0 M 0, z = Estátca 2003/04 Pág. 59

20 4.6. Centro de forças paralelas. Centro de gravdade Centro de forças paralelas Consderemos o sstema consttuído e 2, uncamente pelas forças, 1 paralelas e do mesmo sentdo. Este sstema tem resultante não nula, que pode ser reduzda a uma únca força,. Os momentos M e M 1,O são paralelos 2,O entre s, e M = M + M é normal à,o,o,o 1 2 resultante do sstema, neste caso. Pela equvalênca de um sstema de forças, sabemos que este sstema é redutível a uma únca força, e que tem de ter o mesmo momento em relação a um determnado ponto. Assm, a resultante do sstema de forças terá de estar aplcada num ponto bem determnado, para se garantr a gualdade dos momentos, e assm, a equvalênca ao sstema de forças paralelas orgnal. A determnação desse ponto pode ser efectuada pelo método gráfco, ou pelo método analítco. Vejamos o método analítco: consderemos um ponto O qualquer, que fazemos concdr com a orgem de um sstema de exos coordenados. O momento do sstema de forças em relação a esse ponto terá de gualar o momento da resultante do sstema de forças em relação ao mesmo ponto O. epresentando por r 1, r 2 e r, respectvamente os pontos de aplcação relatvamente à orgem de 1, 2 e da resultante, tem-se M = r + r,o e m= r m= M A condção de equvalênca é que,o. = + com 1 2. Estátca 2003/04 Pág. 60

21 Consderemos um vector untáro, û, paralelo às forças. Cada uma das forças será então escrta sob a forma: = u 1 1ˆ = u 2 2ˆ = + = ( + ) u ˆ podendo 1 e 2 ser valores postvos ou negatvos, consoante os vectores força tenham ou não o mesmo sentdo que o vector untáro û. O momento do sstema de forças vem estão dado por: M = r,o 1 u 1ˆ+ r2 u 2ˆ = r 11 uˆ+ r 2 2 uˆ = ( r 11+ r 2 2) uˆ e o momento da resultante do sstema de forças é dado por Como m= M,O m= r + u = + r uˆ ( ) ˆ ( ) e são ambos dados pelo produto vectoral pelo mesmo 1+ 2 r = r r2 ou seja 11 r + 2r2 r =. + vector untáro û, então ( ) 1 2 O vector posção r defne o ponto onde deve ser aplcada a resultante das forças para que esta seja equvalente ao sstema de forças orgnal. As componentes x, y e z do vector posção r, em relação aos três exos coordenados, obtém-se pelas equações x = x x2 2 2 y = y y2 2 2 z = z z2 Este resultado pode ser generalzado para qualquer número de forças, ndependentemente do seu sentdo. Assm, se o sstema tver n forças paralelas, o vector posção do ponto de aplcação da resultante desse r sstema será dado por r = Â Â O ponto defndo pelo vector posção r denomna-se centro de forças paralelas, e as suas coordenadas são dadas pelas expressões x = x y = y z = z 2 2 Estátca 2003/04 Pág. 61

22 Centro de gravdade Consderemos um corpo ou sstema de pontos materas consttuído por n pontos P, P, m,, m, de massa respectvamente. Na presença do campo gravítco, cada partícula é atraída para o centro da Terra com uma força = mg onde g é a aceleração da gravdade. O peso do corpo será a resultante de todas estas forças 1, 2,.... Atendendo a que a dstânca das partículas ao centro da Terra é muto grande, pode consderar-se que as forças,, consttuem um sstema de forças paralelas. O ponto de aplcação da resultante deste sstema de forças 1, 2,..., paralelas, do mesmo sentdo, aplcadas aos város pontos do sstema e cuja ntensdade é = gm é dado pela expressão obtda atrás Âr Âmr rcm = = m  e é conhecdo por centro de gravdade ou centro de massa do corpo ou do sstema.  A posção do centro de massa só depende da dstrbução de massas dos város pontos materas do sstema. Assm, se se tratar de um sóldo homogéneo de forma regular, o centro de massa do sóldo concde com o respectvo centro geométrco. Note-se que o centro de massa de um sstema de pontos materas pode ser exteror ao sstema é o caso de qualquer corpo oco homogéneo, por exemplo. Estátca 2003/04 Pág. 62

23 Centro de massa de uma dstrbução contínua de massa Num meo contínuo, e relembrando que a densdade ou massa volúmca de um corpo é defnda como sendo a massa desse corpo por undade de volume, temos que num elemento de volume dv, de massa elementar dm, ρ = dm/dv e a posção do centro de massa será 1 1 r = CM rdm rdv MÚ = MÚ r V e as suas coordenadas são dadas pelas expressões 1 1 xcm = rxdv rxdxdydz MÚ = MÚÚÚ V x y z 1 1 ycm = rydv rydxdydz MÚ = MÚÚÚ V x y z 1 1 zcm = rzdv rzdxdydz MÚ = MÚÚÚ V x y z No caso do meo em causa ser homogéneo, ρ é constante e ρ = M/V, logo a posção do centro de massa num meo contínuo e homogéneo é: 1 rcm = rdv V Ú V Num caso bdmensonal, num meo de área total A, esta relação fca 1 rcm = rda AÚ A e as coordenadas são 1 xcm = xdxdy AÚÚ y CM 1 A x y = ÚÚ x y ydxdy O vector posção do Centro de Massa (CM) será obvamente r = x ˆ+ y ˆj m CM CM CM A densdade é expressa em Kg.m -3. ( ) Estátca 2003/04 Pág. 63

24 Em conclusão: num sstema de N partículas actuam forças nternas e forças externas. As forças nternas relaconam-se com a nteracção entre as partículas consttuntes do sstema e, por este motvo, o seu somatóro é o vector nulo, já que estas se anulam aos pares (pares acçãoreacção). = +    nt ext ext j j j j 0 Assm, a força resultante é apenas o somatóro das forças externas ao sstema, e é proporconal à aceleração do centro de massa do referdo sstema, sendo a massa do sstema a constante de proporconaldade. = m a = Ma  O movmento do CM é gual ao movmento de uma partícula com a massa total do sstema e onde é aplcada a força resultante. O movmento do CM não é nfluencado pelas forças nternas ao sstema. Portanto, o movmento do CM de um corpo rígdo é defndo por = Ma e o corpo dz-se em equlíbro de translação quando acm = 0 = 0 CM CM Exemplo da barra homogénea: o CM está fxo, mas a barra não está em equlíbro!! Num corpo rígdo em equlíbro: quanto à translação, o CM ou está em repouso, ou em movmento rectlíneo e unforme; quanto à rotação, ou o corpo não roda, ou roda com uma velocdade angular constante em torno de um exo que passa pelo CM. Estátca 2003/04 Pág. 64

25 4.7. orças dstrbuídas orças dstrbuídas sobre vgas Consderemos o exemplo de uma vga que suporta uma força dstrbuída. Esta força pode ser consttuída pelo peso de materas apoados drecta ou ndrectamente sobre a vga, ou pode até ser causada pelo vento. A força dstrbuída pode representar-se pelo dagrama de uma força w suportada por undade de comprmento (N/m). O módulo desta força exercda sobre um elemento de vga dx será então dw=w dx, pelo que a força total suportada pela vga será W = Ú 0 L wdx Mas o produto wdx é gual, em módulo, ao elemento de área da e W é, por consegunte, gual à área total A sob a curva de carga: W = Ú da= A Estátca 2003/04 Pág. 65

26 O ponto de aplcação desta força concentrada equvalente terá uma lnha de acção que passa pelo centro de massa daquela área. 12 kn/m 2,4 kn/m 1000 N/m 1200 N orças sobre superfíces Submersas Outro exemplo é o estudo das forças exercdas sobre uma superfíce submersa num fluído. A fgura mostra a secção transversal de um dque de concreto. Consderar a secção do dque com 1,00 m de espessura e determnar: a) a resultante das forças reactvas exercda pelo solo sobre a base AB do dque e b) a resultante das forças de pressão exercdas pela água sobre a face BC do dque. Peso específco do concreto = ,54 10 Nm ; da água = 9,81 10 Nm -. a) eacção do solo: Escolhemos como corpo lvre uma secção AECBD, de 1,00 m de espessura, do dque e da água, como lustrado. As forças reactvas exercdas pelo solo sobre a base AB são representadas por um sstema força-bnáro equvalente em A. Outras forças que actuam sobre o corpo lvre são o peso do dque, representado pelo peso de suas componentes W 1, W 2 e W 3, o peso da água W 4 e a resultante P das forças de pressão exercdas sobre a secção BD, pela água stuada à sua dreta. Estátca 2003/04 Pág. 66

27 Temos 1 ( )( )( )( ) ( )( )( )( - ) 1 ( )( )( )( ) 2 ( )( )( )( ) ( )( )( ) W = 2 2,70m 6,60m 1,00m 23,54 10 Nm = 209,74 10 N W 2 = 1,50m 6,60m 1,00m 23,54 10 Nm = 235,05 10 N W = 3 3,0m 5,40m 1,00m 23,54 10 Nm = 127,12 10 N W = 3 3,0m 5,40m 1,00m 9,81 10 Nm = 105,95 10 N P = 2 5,4m 1,00m 9,81 10 Nm = 143,03 10 N Equações de equlíbro 3 3 +Â x = 0: H - 143,03 10 N = 0 H = 143,03 10 N Æ + Â = 0: y V = 3 V = 675,86 10 N ,74 10 N 233,05 10 N 127,12 10 N 105,95 10 N 0 + Â = 0: M M A ( 209,74 10 N)( 1,80m ) ( 233,05 10 N)( 3,45m) ( 127,12 10 N)( 5,10m) 3 3 ( 105,95 10 N)( 6,00m) ( 143,03 10 N)( 1,80m ) M = = ,11 10 Nm Estátca 2003/04 Pág. 67

28 Podemos substtur o sstema força-bnáro obtdo por uma força únca que actua à dstânca d à dreta de A, onde d ,11 10 Nm 3 = d = 3,27m 675,86 10 N a) esultante das forças da água: A secção parabólca da água BCD é escolhda como um corpo lvre. As forças envolvdas são: a resultante, -, das forças exercdas pelo dque sobre a água, o peso W e a força P. Como essas forças devem ser concorrentes, - passa 4 pelo ponto de ntersecção G de W e P. Desenha-se um trângulo de 4 forças, do qual é determnado o módulo e a drecção de -. A resultante das forças exercdas pela água sobre a face BC é gual e oposta: 3 = 178,03 10 N 36,5º Nota: Pressão manométrca num ponto de um líqudo é a dferença entre a pressão no ponto e a pressão na superfíce. Na superfíce age a pressão atmosférca, que não é consderada. A pressão absoluta no ponto do líqudo será a soma da pressão manométrca com a pressão atmosférca: Pman = g h; P abs = g h+ P at. Estátca 2003/04 Pág. 68

29 4.8. Análse de Estruturas Os exemplos estudados dzam respeto ao equlíbro de um únco corpo rígdo, e todas as forças consderadas eram externas ao própro corpo rígdo. Consderaremos de seguda problemas envolvendo o equlíbro de estruturas compostas de váras partes nterlgadas, pelo que será necessáro determnar não apenas as forças externas aplcadas sobre a estrutura, mas também as forças que mantém undas as váras partes da estrutura. Do ponto de vsta da estrutura como um todo, estas forças são forças nternas. As forças representadas na fg (c) estão de acordo com a 3ª Le de Newton, que estabelece que as forças de acção e reacção entre corpos em contacto possuem o mesmo módulo, a mesma lnha de acção e sentdos opostos. As prncpas categoras de estruturas utlzadas, trelças e estruturas, são projectadas para suportar cargas, e usualmente são estruturas estaconáras, totalmente vnculadas. Estátca 2003/04 Pág. 69

30 Trelças formadas uncamente por elementos rectlíneos conectados em juntas ou nós localzadas nas extremdades de cada elemento. Assm, nos membros de uma trelça actuam duas forças de mesmo módulo e drecção porém de sentdos opostos. Estruturas têm pelo menos um elemento no qual estão aplcadas três ou mas forças que, em geral, não têm a drecção do elemento (eg. fgura anteror). Métodos para análse de trelças: dos nós das secções Numa trelça smples o número total de barras é b=2n-3, onde n é o número total de nós. O número de ncógntas será então 2n=b+3 Quando se pretende determnar as forças exercdas em todas as barras de uma trelça, o método dos nós é o mas efcaz. Se o objectvo for a determnação da força exercda em uma ou apenas em algumas das barras da trelça, o método das secções será mas efcente. Estátca 2003/04 Pág. 70