3.1. Conceitos de força e massa

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1 CAPÍTULO 3 Les de Newton 3.1. Concetos de força e massa Uma força representa a acção de um corpo sobre outro,.e. a nteracção físca entre dos corpos. Como grandeza vectoral que é, só fca caracterzada pelo seu ponto de aplcação, ntensdade, drecção e sentdo. undade SI: N Processo de medção: dnamómetro As forças ocorrem sempre aos pares; se um corpo A exerce uma força sobre outro corpo B, também B exerce uma força sobre A. Uma força pode causar aceleração no corpo. Pode anda deformar o corpo. Segundo Newton a únca propredade dos corpos que nteressa é a sua massa, sendo possível descrever as les da natureza consderando a matéra como consttuída por pontos geométrcos dotados de massa,.e. a matéra consttuída por pontos materas. A massa de um corpo surge como medda da sua resstênca à varação da sua velocdade. É uma grandeza físca escalar. undade SI: kg Processo de medção: balança de pratos Adtvdade da massa: massa sstema: m TOTAL n = Â m Massa coefcente, característco de cada partícula ou sstema de partículas, que determna a ntensdade da sua nteracção gravtaconal com outras partículas bem como o seu comportamento quando sujeta a outras forças. A massa é uma propredade ndvdual de um corpo, enquanto que a força depende da vznhança do corpo. Estátca 2003/04 Pág. 27

2 3.2. Prmera Le de Newton: Le da nérca A mecânca clássca fo o prmero ramo da físca a desenvolver-se, tendo como orgem os trabalhos de Galleu sobre a queda dos graves. Ao relaconar a aceleração em queda lvre e a aceleração num plano nclnado, em função da nclnação do plano, fo naturalmente conduzdo ao estudo do caso de nclnação nula, e ao enuncado da Le da nérca, na sua forma mas prmtva: Um corpo que não é actuado por nenhuma força, tem movmento rectlíneo e unforme. Na verdade a Le da nérca tem um sgnfcado mas profundo, tendo sdo mas tarde enuncada por Newton. É hoje também conhecda por Prmera Le de Newton: Um corpo permanece em repouso ou em movmento rectlíneo e unforme se a força resultante que actua sobre ele for nula. Um corpo tende naturalmente a manter a sua velocdade, mesmo quando esta é nula, sendo apenas perturbado sob a acção de forças. Há nérca às alterações do estado de movmento; nérca como resstênca à varação. Todos os corpos permanecem em repouso ou em movmento rectlíneo e unforme se a força resultante que actua sobre eles for nula. R = F = Â De facto, se a força resultante sobre um corpo for nula, a aceleração do corpo é zero ( ma = 0 f a = 0 ); então o corpo está em repouso ou em movmento rectlíneo e unforme. 0 R = 0 a = 0 Estátca 2003/04 Pág. 28

3 À prmera vsta a 1ª Le de Newton parece contrarar as nossas experêncas de senso comum. Aceta-se faclmente que um corpo em repouso permaneça em repouso. Mas, que um corpo em movmento rectlíneo e unforme tenda a manter a sua velocdade constante Não é o que sentmos quando empurramos um corpo,.e. exercemos uma força sobre ele, e o vemos parar ao fm de alguns nstantes! Esta experênca do da-a-da não contradz, de todo, a 1ª Le de Newton, pos efectvamente o que acontece neste caso é que ocorrem 2 momentos dstntos: a) enquanto empurramos o corpo a velocdade constante R = F exercda + F atrto = 0 (mov. to 0 a = v = cte) b) quando largamos o corpo R = F atrto 0 (mov. 0 a Agora a F exercda = 0 ; corpo desacelera até parar) Se elmnarmos a força de atrto a 1ª Le de Newton poderá então ser verfcada expermentalmente: mesa de ar. A únca força de atrto envolvda é a resstênca do ar, que é pratcamente mperceptível na gama de velocdades que utlzamos. Podemos assm admtr que a experênca é efectuada a velocdade constante. Dagrama de corpo-lvre: dagrama utlzado para representar, de forma esquemátca, as forças que actuam num determnado corpo, e que permte determnar a sua resultante. O corpo é representado por uma partícula. Admtmos que as suas dmensões não afectam a resolução do problema. Todas as forças que actuam num determnado corpo são consderadas como actuando num únco ponto. Mas tarde veremos as stuações em que esta smplfcação não é válda. Exemplo: Estátca 2003/04 Pág. 29

4 Como o corpo está em equlíbro estátco, pela 1ª Le de Newton 0 a = e R = 0 Assm, utlzando o sstema de coordenadas representado no dagrama de corpo lvre, R + P = 0 e sendo R = Rj ˆ, P = P( -ˆj), temos Rj P( j) ˆ+ - ˆ = 0 R = P. A propredade que permte somar as forças como vectores, denomnase Prncípo da Sobreposção. Referencas de nérca Um referencal onde a 1ª Le de Newton é válda dz-se referencal de nérca. É um referencal em relação ao qual 0 a =, para todo e qualquer corpo sujeto a uma força resultante nula. Qualquer referencal acelerado ( 0 a ) relatvamente a um referencal nercal denomna-se referencal não nercal. O sstema de coordenadas ou de referênca que usualmente se utlza para um corpo sobre ou junto à superfíce da Terra é um referencal cuja orgem está fxa relatvamente a um N ponto da superfíce da Terra, e cujos exos concdem com a horzontal e a vertcal. A tal z y sstema de referênca denomnamos x referencal soldáro com a superfíce da Terra. Estátca 2003/04 Pág. 30

5 Contudo, os referencas de nérca consttuem uma abstracção teórca. A Terra roda sobre o seu exo uma vez por da, e percorre uma órbta em torno do Sol num ano. Devdo à rotação da Terra este referencal soldáro com a Terra no equador tem uma aceleração de 0,034 m.s -2 em drecção ao centro da Terra e devdo ao movmento orbtal o centro da Terra tem uma aceleração de 0,006 m.s -2 em drecção ao Sol. Como estas acelerações são pequenas, os seus efetos são geralmente nsgnfcantes quando consderamos problemas na Terra. Assm, a menos que se dga o contráro, admtmos que o referencal soldáro com a Terra pode ser tratado como referencal de nérca Segunda Le de Newton: Le fundamental da dnâmca Embora Galleu soubesse que os corpos caem para a Terra com aceleração constante devdo à atracção que esta exerce sobre eles, Galleu nunca explctou a relação entre força e aceleração. Fo Newton que, ntroduzndo o conceto de massa, enuncou a conhecda 2ª le de Newton ou le fundamental da Dnâmca. Para cada corpo há proporconaldade entre a força à qual o corpo está submetdo e a aceleração que resulta da aplcação de tal força. Esta le traduz-se matematcamente por F = m a, onde m é a denomnada massa nerte e caracterza o corpo do ponto de vsta mecânco. É ndependente da forma do corpo, da sua consttução, da sua velocdade, é apenas dependente da quantdade de matéra que o consttu. A força resultante que actua sobre um corpo é proporconal à sua aceleração, sendo a massa do corpo o factor de proporconaldade entre a força resultante e a aceleração. R = ma m R f = a Estátca 2003/04 Pág. 31

6 Para uma determnada força resultante, um corpo com maor massa terá uma menor aceleração. Se F 1 = F2 e m 1 > m2 então a1 < a2 (.e. a 1 < a2 ) e dz-se que o corpo 1 possu maor nérca ao movmento, possu maor massa nercal. A massa é uma propredade do corpo que lhe permte resstr a qualquer varação na sua velocdade. A 2ª le de Newton dá-nos uma defnção para o conceto de força: a força resultante num corpo causa uma aceleração que lhe é proporconal e com a mesma drecção e sentdo. Undade SI: 1 N = (1 Kg)(1 m.s -2 ) = 1 Kg.m.s -2 Undade cgs: 1 dne = 1 g.cm.s -2 Tem-se anda 1 kgf = 9,8 N a = 1ms -2 F = 1N 3.4. Tercera Le de Newton A uma determnada acção corresponde sempre uma reacção, gual e de sentdo oposto, consttundo ambas um par acção-reacção. As 1ª e 2ª les de Newton tecem consderações acerca de um só corpo, enquanto que a 3ª le se refere a dos corpos. Se o corpo B exerce uma força sobre o corpo A, então o corpo A exerce uma força gual e de sentdo oposto sobre o corpo B. Não exstem forças úncas, as forças agrupam-se sempre em pares. F BA A F AB B F AB - força exercda por A em B F BA - força exercda por B em A F BA = - F AB Estátca 2003/04 Pág. 32

7 Nestas condções, quando dos corpos exercem uma força um sobre o outro, dz-se que exste uma nteracção entre eles. A 3ª le de Newton dá-nos a relação entre as duas forças que resultam da nteracção. As duas forças F AB e F BA desgnam-se por par acção-reacção. A atrbução das desgnações acção e reacção é arbtrára. Estátca 2003/04 Pág. 33 A acção e a reacção estão sempre aplcadas em corpos dferentes. A 2ª le de Newton dz-nos que R = F = 0 das forças aplcadas no  mesmo corpo, portanto, N + P= 0 f N =-P. Apesar de N =-P, estas não consttuem um par acção-reacção. Pela 3ª le de Newton, neste caso exstem dos pares acção-reacção: A =-N e P P =- Defnção de massa Combnando a 2ª e a 3ª les de Newton obtem-se uma defnção para massa de um corpo. Supondo que os corpos A e B exercem força um sobre o outro, e que consttuem um sstema solado tem-se  F ext = 0. A força resultante sobre o corpo A é F BA e a força resultante sobre o corpo B é F AB. Da aplcação da 2ª le de Newton a cada corpo resulta FBA = maaa e FAB = mbab Inserndo este resultado na 3ª le de Newton, =, F BA = - F AB, tem-se maaa mbab ou seja em termos dos módulos das acelerações m AaA = mbab Agora, se uma das massas for o qulograma standard, podemos determnar a massa do outro corpo; então, se m B = 1kg ab a ma = mb = 1kg a a A B A

8 3.5. Le da Gravtação Unversal. Para um corpo sobre ou próxmo da superfíce da Terra, duas grandezas estretamente relaconadas são a força gravtaconal exercda no corpo pela Terra e o peso do corpo. A força de nteracção gravtaconal entre dos corpos é de natureza atractva e é drectamente proporconal ao produto das massas de ambos os corpos e nversamente proporconal ao quadrado da dstânca entre eles. mm F F G r Êr Ë r ˆ A B BA BA =- AB =- 2 Á r AB m B versor no sentdo repulsvo par acção-reacção r BA m A F BA r F AB G constante de Gravtação Unversal G = N.m 2.Kg -2 Undade SI: N.m 2.Kg -2 Verfcação expermental: realzada por Cavendsh ( ) com recurso à balança de torção. Peso e a força gravtaconal exercda pela Terra Para um corpo sobre ou próxmo da superfíce da Terra, duas grandezas estretamente relaconadas são a força gravtaconal exercda no corpo pela Terra e o peso do corpo. Estátca 2003/04 Pág. 34

9 A força gravtaconal exercda no corpo pela Terra Quando um corpo se encontra em queda lvre, a únca força sgnfcatva que actua sobre o corpo é a força gravtaconal exercda pela Terra. Por exemplo, as forças de resstênca do ar são neglgíves, para a maora dos corpos, dependendo das característcas do corpo (e.g. pena e pedra). Mas em queda lvre, R = F = Fg e aplcando a 2ª le de Newton F = ma Fg = mg onde g é a aceleração de um corpo medda relatvamente a um referencal nercal. A experênca mostra que num determnado local, qualquer objecto em queda lvre tem a mesma aceleração; g é ndependente da massa do corpo. O peso do corpo Por defnção o peso P de um corpo de massa m é P = mg' onde g' é a aceleração de um corpo em queda lvre, medda relatvamente ao referencal da pessoa que efectua a medção. Isto sgnfca que o peso de um corpo é proporconal à sua massa e depende do sstema de referênca no qual se efectua a medção. Em partcular, quando o peso de um corpo é meddo num sstema de referênca nercal, então P = Fg pos g num referencal nercal concde com g. Como referdo anterormente, admtmos como aproxmação que um referencal soldáro com a superfíce da Terra é um referencal de nérca, a menos que dto em contráro. Assm, P Fg quando a medção do peso é efectuada num referencal soldáro com a Terra. Como exemplo consdere o peso de uma pessoa com m = 55kg meddo num referencal soldáro com a Terra. Como ˆ -2 g =- g j =- 9,8ms ˆ - j P=- 55kg 9,8ms 2 ˆ j =- 539N ˆ j ( ) onde ĵ se drge vertcalmente para cma. temos ( )( ) ( ) Estátca 2003/04 Pág. 35

10 Comparação entre massa e peso Já vmos que a massa de um corpo é uma propredade ntrínseca a cada corpo,.e. podemos caracterzar um corpo pela sua massa. Por outro lado, o peso de um corpo envolve a força gravtaconal da Terra, portanto é errado consderar o peso de um corpo como sendo uma propredade ntrínseca do corpo. Em geral confunde-se os concetos de massa e peso, caracterzando em lnguagem vulgar o corpo pelo seu peso. Esta confusão é possível pos: a) o sstema de referênca utlzado é admtdo como soldáro com a Terra (sstema nercal); b) o peso do corpo é proporconal à sua massa; c) num determnalo local g é o mesmo para todos os corpos, pelo que a massa do corpo determna o peso nesse local (varação sobre a superfíce da Terra). Interacções fundamentas na natureza Na natureza todas as nteracções entre corpos podem exprmr-se à custa de quatro nteracções: gravtaconal electromagnétca (nuclear fraca) nuclear (forte) Estátca 2003/04 Pág. 36

11 3.6. Aplcações das les de Newton: algumas forças relevantes Forças de contacto: força normal e força de atrto Conhecendo o estado de repouso ou de movmento de um corpo podemos determnar as forças exercdas sobre ele. Em partcular podemos determnar as característcas das forças de contacto entre superfíces lsas de dos corpos rígdos. O método envolve a decomposção de uma força de contacto em duas forças, uma paralela à superfíce de contacto, e a outra perpendcular, e então cada uma delas é consderada como uma força dstnta. A força paralela à superfíce é denomnada força de atrto, e a força perpendcular denomna-se força normal Força normal Retomemos a stuação do corpo de massa m em repouso sobre uma superfíce horzontal. As úncas forças exercdas no corpo são o seu peso e a força de contacto exercda pela superfíce. A força exercda pela superfíce suporta o corpo, mantendo-o em repouso. Como 0 a =, a 2ª le de Newton permte-nos escrever que R = F = ma = 0, portanto, F + P = 0 F = P F mg N N N = A força de contacto é gual e oposta ao peso do bloco - é a força ou reacção normal. Suponhamos agora que se coloca outro bloco de massa m sobre o corpo orgnal. O peso é agora duplo e, para suportar este bloco composto, a força normal também duplca: F = P F = mg N N 2 A força normal ajusta-se de modo a mpedr o bloco de acelerar perpendcularmente à superfíce. Estátca 2003/04 Pág. 37

12 Força de atrto cnétco Vejamos agora o caso de um bloco de massa m puxado a velocdade constante ao longo de uma superfíce horzontal. Três forças actuam sobre o bloco: F a a força aplcada sobre o bloco; P = mg - o peso do bloco; F C - a força de contacto exercda pela superfíce. Neste caso a força de contacto é representada por duas forças: F K - força de atrto cnétco (paralela à superfíce e oposta à velocdade); F N - força normal (perpendcular à superfíce). Novamente, como 0 a =, a 2ª le de Newton permte-nos escrever que R= F = ma = 0, portanto, Â = 0 F = 0 F = Fa = mg Para analsar a relação entre a força normal e a força de atrto cnétco, repetmos o procedmento anteror: colocamos outro bloco de massa m sobre o corpo em movmento e determnamos as forças no bloco composto de massa 2m. A força normal exercda pela superfíce é agora dupla F N = 2mg e verfca-se que a força aplcada necessára para que o bloco deslze com a mesma velocdade também duplca, assm como a força de atrto cnétco, pos F K = Fa. Experêncas deste tpo mostram que F K = µ K FN, onde a constante de proporconaldade µ K é uma grandeza sem dmensões denomnada coefcente de atrto cnétco. F µ F Note que a equação K = K N relacona apenas os módulos das forças, pos estas têm drecções perpendculares entre s. Fx F y K N Estátca 2003/04 Pág. 38

13 Expermentalmente verfca-se anda que: a força de atrto cnétco depende da natureza e condção das duas superfíces de contacto. Usualmente 0,1 < < 1,5 ; a força de atrto cnétco é pratcamente ndependente da velocdade; a força de atrto cnétco é pratcamente ndependente da área da superfíce de contacto Força de atrto estátco Entre dos corpos sem movmento relatvo também pode exstr uma força de atrto; é a força de atrto estátco, F s. Na fgura, a força aplcada ao bloco va aumentando progressvamente, mas o bloco permanece em repouso. Como 0 a = em todos os casos, a força aplcada e a força de atrto estátco exercda pela superfíce são guas e opostas. A força de atrto estátco máxma, F s,máx ocorre quando o bloco está na mnênca de se deslocar. Expermentalmente mostra-se que F S, max = µ S FN, onde a constante de proporconaldade µ S é o coefcente de atrto estátco. Analogamente a µ K, o coefcente µ S depende da natureza e condção das duas superfíces de contacto, e é pratcamente ndependente da área da superfíce de contacto. m K Estátca 2003/04 Pág. 39

14 Outras forças relevantes Tensão e tracção Corpo suspenso por um fo Duas forças actuam sobre o corpo: P = mg - o peso do corpo; T a força de tensão força que o fo exerce sobre o corpo. Corpo puxado, sem/com atrto Forças que actuam sobre o corpo: P = mg ; F N - força de reacção exercda pela superfíce (normal à superfíce); F t a força de tracção; F K, F S - força de atrto (quando consderado) Força elástca Corpo suspenso por uma mola elástca Sobre o corpo actuam: P = mg ; F a força elástca E o m o + m P F E F 2 Para pequenas deformações: F = KD K constante elástca da mola E P Impulsão Corpo de volume V, em repouso, mergulhado num fludo de massa volúmca ρ. (Le de Arqumedes) Duas forças actuam sobre o corpo: P = mg ; I mpulsão resultante das forças que o fludo exerce sobre o corpo. I I P = rgv Estátca 2003/04 Pág. 40