Física Geral I - F Aula 12 Momento Angular e sua Conservação. 2º semestre, 2012

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1 Físca Geral I - F -18 Aula 1 Momento Angular e sua Conservação º semestre, 01

2 Momento Angular Como vmos anterormente, as varáves angulares de um corpo rígdo grando em torno de um exo fxo têm sempre correspondentes lneares: ẑ τ F; α a e I m Vamos defnr mas uma grandeza angular que nos será extremamente útl: o momento angular! Amplaremos a defnção de torque para aplcá-la a uma partícula, que se move em uma trajetóra qualquer, em relação a um ponto fxo (em vez de um exo). F O torque da força, que age sobre a partícula, em relação ao ponto O é defndo como: τ r F xˆ ẑ O τ r F ŷ F18 o Semestre de 01

3 Momento Angular Defnção: o momento angular de uma partícula de momento em relação ao ponto O é: r p (Note que a partícula não precsa estar grando em torno de O para ter momento angular em relação a este ponto). Dervando em relação ao tempo: d d dr ( r p) p + r Por outro lado: Então: F res d r 0 dp F res τ res dp r p r p m p F18 o Semestre de 01 3

4 Conservação do momento angular Como para qualquer massa puntforme em movmento τ res d podemos medatamente dzer que se τ res 0 constante, ẑ o r p mv ŷ r p e mantêm-se num plano (perpendcular a ) durante o movmento quando o torque é nulo. xˆ F18 o Semestre de 01 4

5 Exemplo 1 Calcular o momento e o torque do pngum em relação ao ponto Q O momento é dado por: r p Mas o momento do pngum em função do tempo é dado por: p(t) m v(t) mgt Assm: l(t) Dmgt Como: d, então τ Dmg. τ res (Verfque que este é o torque calculado quando leva-se em consderação a força peso no cálculo dreto do torque.) F18 o Semestre de 01 5

6 Momento Angular O momento angular da partícula da fgura ao lado é um vetor perpendcular ao plano do movmento e o seu módulo vale p ( ) p r p( ) r( ) p o r φ Se a força sobre a partícula é nula ela segue uma trajetóra retlínea e τ p 0 r( ) r ( ) o constante r r r ( ) ( ) p p ( ) F18 o Semestre de 01 6

7 Momento Angular Forças Centras Há, entretanto, outros casos onde o momento angular se conserva mesmo na presença de forças não nulas. Um exemplo é o de forças centras, que são forças da forma Neste caso: e se d F( r) τ f ( r) rˆ r f ( r) rˆ 0 τ 0 const. o r F( r) f ( r) rˆ p F18 o Semestre de 01 7

8 Exemplo Dados R e v pede-se: a) v f em função do rao r; b) o trabalho da força F. v Como a força é central, o momento angular em relação a O se conserva: F mv R mv f r v O trabalho da força é dado por f Rv r rf R F( r ) dr mv f mv mv 1 r r F18 o Semestre de 01 8

9 Exemplo 3 Le das áreas A Força gravtaconal entre dos corpos, por exemplo, Sol e Terra é dada por: GMm F( r ) r rˆ Sol r + dr r dr p Terra Como a força gravtaconal é central, o momento angular da Terra se conserva (Sol estátco, centro de atração gravtaconal para a Terra) τ 0 const. * o movmento se dá num plano normal a. F18 o Semestre de 01 9

10 Exemplo 3 Le das áreas Área do trângulo colordo: 1 da da da r dr ( da metade da área do paralelogramo) Sol Terra 1 dr r m m m m constante r + dr r dr a Le de Kepler: O rao vetor que lga um planeta ao Sol descreve áreas guas em tempos guas. p F18 o Semestre de 01 10

11 Q: Movmento crcular vs Força central Exste algum movmento com trajetóra crcular e o momento angular não constante? A. Sm B. Não F18 o Semestre de 01 11

12 Momento angular de um sstema de partículas O momento angular de um sstema de partículas é dado por: L Lembrando que a posção do CM é R r p m r m m r m r 0, podemos escrever: m v p 0 v p m N xˆ N v r N N ẑ o r p mv R r CM ŷ r p1 m1v 1 1 Como r r + R segue que v v + V, onde V é a velocdade do CM: F18 o Semestre de 01 1

13 0 0 M P R L L + Ou seja, o momento angular de um sstema de partículas é a soma do momento angular em relação ao CM com o momento angular do CM. Note que o momento lnear nterno de um sstema de partículas se anula. V R m V r m v m R v r m V v R r m L ) ( ) ( ) ( Momento angular de um sstema de partículas F18 o Semestre de 01 13

14 Momento angular de um sstema de partículas Le fundamental da dnâmca das rotações A varação do momento angular total de um sstema de partículas é: 0 dl d dr ( ) dp dp + r p p r r r F Aqu F dp (referencal nercal) representa a força, r F r F + F ) Como ( ext podemos trocar por j e reescrever: total sobre a partícula. ( ) j j F18 o Semestre de 01 14

15 Momento angular de um sstema de partículas r dl 1 + [( r F j ) + ( rj F j j F temos j [( r r ) F ) F r F ( ext) j Usando a 3 a Le de Newton r F ( ext) + F 1 j j j j j Como o produto vetoral do segundo termo é nulo (ver fgura) dl τ (ext) τ (ext) r r j Fj F j )] r r j F18 o Semestre de 01 15

16 Energa cnétca de um sstema de partículas Como vmos anterormente: 1 K m v e 1 1 K m ( v + V ) ( v + V ) mv + V m v + K r r + R m v v v + V 1 m v mr p MV 0 o r R 1 mv r CM Ou seja, a energa cnétca de um sstema de partículas é a soma da energa cnétca do sstema em relação ao CM com a energa cnétca do CM. F18 o Semestre de 01 16

17 Rotação em torno de um exo fxo Vamos agora estudar o movmento de rotação de um corpo rígdo em torno de um exo fxo. Como podemos decompor o vetor posção de qualquer ponto do corpo rígdo como r ρ + z r p ρ p zˆ ρ ( z) d ( z) zˆ d p, temos: ẑ + z p ẑ ( ) ( z) ρ p τ zˆ xˆ z ρ r p m v ŷ ( com o torque defndo em relação ao exo de rotação). F18 o Semestre de 01 17

18 Rotação em torno de um exo fxo temos: Como ou ( z) p m v m ω ρ zˆ ρ p m ρ ω zˆ ( z ) ρ m ω, ω z ρ r p m v L ( z) z ( ) m ρ ω Iω xˆ ŷ Note a analoga: ( z) L Iω p mv F18 o Semestre de 01 18

19 Rotação em torno de um exo fxo Temos também: τ d τ dl ( z) ( z) ( z) τ l ( d z ) ( z) ( z) ( z) dl dω I Mas, pela Le fundamental da dnâmca das rotações: dl r F τ ( ext) ( ext) Iα ( τ xˆ z) ( τ ω z z) ( ext) α ρ r ( dl z ) p m v I α ŷ F18 o Semestre de 01 19

20 Rotação em torno de um exo fxo Tabela de analogas Rotação em torno de um exo fxo Movmento de translação energa cnétca equlíbro a le de Newton a le de Newton momento conservação potênca 1 ω 1 K mv F 0 K I R τ 0 τ I α F ma τ ( ext) dl L Iω L L f Pτω dp F p mv p p f PFv F18 o Semestre de 01 0

21 Exemplo Um projétl de massa m move-se para a dreta com velocdade v. Ele bate e gruda na extremdade de uma haste de massa M e comprmento d que está montada num exo sem atrto que passa por seu centro. a) calcule a velocdade angular do sstema medatamente após a colsão; b) determne a porcentagem de energa mecânca perdda por causa da colsão F18 o Semestre de 01 1