Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 10. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisores. Prof. Samuel Feitosa

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1 Polos Olímpcos de Trenamento Curso de Teora dos Números - Nível 2 Prof. Samuel Fetosa Aula 10 Dvsores Suponha que n = p α pα é a fatoração em prmos do ntero n. Todos os dvsores de n são da forma m = p β 1 1 pβ pβ, onde 0 β α. Cada um desses números, aparece exatamente uma vez no produto: (1 + p 1 + p p α 1 1 )(1 + p 2 + p p α 2 2 )...(1 + p n + p 2 n p α ), quando o mesmo é expanddo usando a dstrbutvdade. Como exstem α +1 termos em cada parênteses, O número de termos dessa expansão é: Além dsso, sabemos que: Sendo assm, podemos conclur que: (α 1 +1)(α 2 +1)...(α +1). 1+p +p p α = pα +1 1 p 1. Teorema 1. Se n = p α pα é a fatoração em prmos de n, então: a) O número de dvsores de n, denotado por d(n), é: (α 1 +1)(α 2 +1)...(α n +1). b) A soma dos dvsores de n, denotada por σ(n), é: (1+p 1 +p p α 1 1 )(1+p 2 +p p α 2 2 )...(1+p n +p 2 n +...+p αn n ) ou, de forma mas sucnta, ( )( p α p α p 1 1 p 2 1 ) ( p α n+1 ) n 1... p n 1

2 Observação 2. (Pareamento de dvsores) Se d é um dvsor de n, então n d dvsor de n. também é um Portanto, pelo menos um dentre {d, n d } é um dvsor de n menor ou gual a n. Exemplo 3. Determne o número de dvsores postvos de que são menores que O número de dvsores de = é 225. Como n é um quadrado perfeto e em vrtude da observação anteror, 112 desses dvsores são menores que = e 112 são maores. Exemplo 4. Encontre a soma dos nversos dos dvsores postvos de 496. Sejam d 1,d 2,...,d n os dvsores de 496 e K a soma de seus nversos. Usando a observação anteror, o conjunto { } concde com o conjunto {d n +d n d 1 } e daí: Portanto, = = K = 496K d n +d n d 1 = 496K = 496K = K. 496 Exemplo 5. Um número natural n possu exatamente dos dvsores e n+1 possu exatamente 3 dvsores. Encontre o número de dvsores de n+2. Se n possu exatamente dos dvsores, então n = p é um número prmo. Se n+1 possu um número ímpar de dvsores, então n + 1 = x 2 é um quadrado perfeto, para algum x ntero postvo. Logo, x 2 1 = (x 1)(x+1) = p. Como p é prmo, a únca possbldade é x 1 = 1 e consequentemente n = 3. O número de dvsores de n+2 = 5 é 2. Exemplo 6. Encontre todos os nteros n que possuem exatamente n dvsores postvos. Para n ser ntero, n deve ser um quadrado perfeto e assm podemos escrever: A condção do problema é equvalente à: n = p 2α 1 1 p 2α p 2α. p α pα = (2α 1 +1)(2α 2 +1)...(2α +1). 2

3 Analsando o lado dreto, podemos conclur que cada p é ímpar e consequentemente p α 3 α 2α +1. Como devemos ter a gualdade, p 1 = 3 e 3 α 1 = 2α Se α 1 > 1, vale a desgualdade estrta(veja o problema 13). Logo, a únca solução é n = 9. Exemplo 7. (Suça 2011) Encontre todos os nteros postvos n para o qual n 3 é o produto de todos os dvores de n Claramente n = 1 é solução. Suponha que n > 1 e sejam d 1 < d 2 <... < d os dvsores de n. Pela observação 2, podemos agrupar os dvsores em pares cujo produto é n, assm: n 6 = (d 1 d 2...d )(d 1 d 2...d ) = (d 1 d )(d 2 d 1 )...(d d 1 ) = n d(n) Consequentemente, 6 = d(n) e n = p 5 ou n = pq 2 com p e q prmos dstntos. Fca a cargo do letor verfcar que essas soluções satsfazem o enuncado. Exemplo 8. (Irlanda 1995) Para cada ntero postvo n tal que n = p 1 p 2 p 3 p 4, onde p 1, p 2, p 3 e p 4 são prmos dstntos, sejam: d 1 = 1 < d 2 < d 3 <... < d 16 = n, os 16 nteros postvos que dvdem n. Prove que se n < 1995, então d 9 d Suponha que n < 1995 e d 9 d 8 = 22. Note ncalmente que d 8 não pode ser par pos n sera dvsível por 4 contradzendo o fato de que n possu quatro fatores prmos dstntos. Consequentemente d 8, d 9 e n são ímpares. Também temos a fatoração: = 1995 = Então, usando a observação 2, d 8 d 9 = n. Se d 8 35 teríamos d 9 < d 8 para manter n < 1995 e sso sera um absurdo. Logo, d 8 < 35. Os dvsores d 1,d 2,...,d 8 são produtos de prmos ímpares dstntos. Como > 35, nenhum dentre d 1,d 2,...,d 8 é grande o sufcente para possur três fatores prmos dstntos. Como n possu somente quatro fatores prmos dstntos, quatro desses d s devem ser o produto de dos prmos ímpares. Os menores números que são o produto de dos prmos são: 15,21,33,35,... e consequentemente devemos ter d 8 35, uma contradção. Exemplo 9. Prove que não exste ntero postvo n tal que σ(n) = n para algum ntero postvo. Afrmamos que n = 1 é a únca solução. Suponha que n > 1 seja solução e sejam d 1 = 1 < d 2 <... < d = n, 3

4 os dvsores de n. Então Além dsso, Daí, e obtemos um absurdo. σ(n) = d 1 +d d < n = n(n+1) 2 n < n+1 d 1 +d d = σ(n). n < n < n 2, < n 2. Exemplo 10. (Olmpíada de Lenngrado 1989) Duas pessoas jogam um jogo. O número 2 está ncalmente escrto no quadro. Cada jogador, na sua vez, muda o número atual N no quadro negro pelo número N +d, onde d é um dvsor de N com d < N. O jogador que escrever um número maor que perde o jogo. Qual deles rá vencer se ambos os jogadores são perfetos. Nesse problema, basta determnarmos apenas aquele que possu a estratéga vencedora. Note que o níco do jogo é estrtamente determnado: Suponha que o segundo jogador vence o jogo. Após o movmento 4 5 do prmero jogador, o segundo só pode jogar 5 6. Isto sgnfca que 6 é uma posção vencedora. Entretanto, o prmero jogador pode obter a posção 6 jogando 4 6, uma contradção. Logo, o prmero jogador possu a estratéga vencendora. Exemplo 11. (Olmpíada de Lenngrado) Duas plhas de paltos sobre uma mesa contém 100 e 252 paltos, respectvamente. Dos jogadores jogam o segunte jogo: Cada jogador em sua vez pode remover alguns paltos de uma das plhas de modo que o número de paltos retrados seja um dvsor do número de paltos da outra plha. O jogador que fzer o últmo movmento vence. Qual dos dos jogadores rá vencer se ambos são perfetos? O prmero jogador perde. Em cada momento do jogo, podemos regstrar o expoente da maor potênca de 2 que dvde os números de paltos em cada plha. Por exemplo, no níco os números são (2,2). A estratéga do segundo jogador é manter esse números sempre guas. Suponha que, em um dado momento, as plhas possuem 2 m a e 2 m b paltos com a e b ímpares. O par regstrado será (m,m). Vejamos o que acontece quando retramos um dvsor d da segunda plha do número de paltos da prmera. Se 2 m é a maor potênca de 2 que dvde d, então 2 m+1 dvdrá o número de paltos da prmera plha e consequentemente o par regstrado terá números dferentes. Se 2, com < m, é a maor potênca de 2 que dvde d, então 2 será a maor potênca de 2 que dvde o número de paltos da prmera plha e novamente o par regstrado terá números dferentes. Assm, sempre que um jogador receber um par regstrado com números guas, ele rá passar um par regstrado com números dferentes para o outro jogador. Suponha agora que, na sua vez, as plhas possuem 2 m a e 2 n b paltos, com m < n e a b 1 (mod 2). Basta o jogador retrar 2 m paltos da segunda plha para passar um par regstrado com números guas a (m, m). Como ncalmente as plhas possuem números regstrados guas, o segundo jogador pode sempre manter essa propredade e consequentemente o únco que pode passar uma plha com zero paltos pela prmera vez é o prmero jogador. 4

5 REFERÊNCIAS Problemas Propostos Problema 12. Mostre que se é um ntero postvo então e vale a desgualdade estrta quando > 1. Problema 13. (Rússa 2001) Encontre todos os n tas que quasquer dvsores prmos dstntos a e b de n o número a+b 1 também é um dvsor de n Problema 14. O número tem exatamente dos dvsores que são maores que 75 e menores que 85. Qual o produto desses dos dvsores? Problema 15. (Irã 2012) Sejam a e b nteros postvos de modo que o número de dvsores postvos de a,b, ab é 3,4 e 8, respectvamente. Encontre o número de dvsores postvos de b 2. Problema 16. (Olmpíada de São Petesburgo) Enconte todos os nteros postvos n tas que 3 n 1 +5 n 1 dvde 3 n +5 n. Problema 17. Sejam 1 = d 1 < d 2 <... < d = n o conjunto de todos os dvsores de um ntero postvo n. Determne todos os n tas que: d 2 6 +d = n. Problema 18. Um dvsor d > 0 de um ntero postvo n é dto ser um dvsor untáro se mdc(d, n ) = 1. Suponha que n é um ntero postvo tal que a soma de seus dvsores d untáros é 2n. Prove que n não pode ser ímpar. Referêncas [1] F. E. Brochero Martnez, C. G. Morera, N. C. Saldanha, E. Tengan - Teora dos Números? um passeo com prmos e outros números famlares pelo mundo ntero, Projeto Eucldes, IMPA, [2] E. Carnero, O. Campos and F. Pava, Olmpíadas Cearenses de Matemátca (Níves Júnor e Senor), Ed. Realce, [3] S. B. Fetosa, B. Holanda, Y. Lma and C. T. Magalhães, Trenamento Cone Sul Fortaleza, Ed. Realce, [4] D. Fomn, A. Krcheno, Lenngrad Mathematcal Olympads , MathPro Press, Westford, MA, [5] D. Fomn, S. Genn and I. Itenberg, Mathematcal Crcles, Mathematcal Words, Vol. 7, Amercan Mathematcal Socety, Boston, MA, [6] I. Nven, H. S. Zucerman, and H. L. Montgomery, An Introducton to the Theory of Numbers. 5