É a parte da mecânica que descreve os movimentos, sem se preocupar com suas causas.

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1 1 INTRODUÇÃO E CONCEITOS INICIAIS 1.1 Mecânca É a pare da Físca que esuda os movmenos dos corpos. 1. -Cnemáca É a pare da mecânca que descreve os movmenos, sem se preocupar com suas causas Pono Maeral ou Parícula Quando esudamos o movmeno de um corpo, suas dmensões podem ser relevanes ou não. Denmos pono maeral ou parícula como o corpo cujas dmensões são desprezíves em comparação com as dsâncas envolvdas no movmeno esudado Posção e Ssema de Reerênca Para deermnamos a posção de uma parícula precsamos de um ssema de reerênca. Se a parícula esá sempre sobre uma rea, sua posção é denda pela coordenada no ssema de reerênca consuído por uma rea graduada e orenada, conendo uma orgem (ou pono zero) e uma escala, com a respecva undade. Se a parícula esá sempre sobre um plano, a sua posção pode ser denda pelo par de coordenadas (, ) no ssema de reerênca consuído pelo plano caresano. Se a parícula pode esar em algum lugar do espaço, sua posção pode ser denda pelo erno de coordenadas (,,z ) no ssema de reerênca consuído pelo ssema caresano orogonal z Repouso e Movmeno Repouso e movmeno são conceos que dependem do reerencal adoado. Uma parícula esá em repouso, em relação a um reerencal, quando a sua posção permanece consane no decorrer do empo. Uma parícula esá em movmeno, em relação a um reerencal, quando a sua posção vara no decorrer do empo Trajeóra Trajeóra de uma parícula é o lugar geomérco das posções ocupadas pela parícula no decorrer do empo, so é, é a lnha sobre a qual a parícula se move. Eemplos de rajeóras: relínea, parabólca, crcular, elípca, ec Equação do Movmeno O movmeno de uma parícula ca compleamene deermnado se conhecermos a posção da parícula em cada nsane de empo. O modo como a posção vara com o empo pode ser epresso por uma unção maemáca ( ), relaconando a posção com o empo, denomnada equação do movmeno ou equação horára do movmeno. Mara Mara Cassano 1

2 1.8 -Deslocameno, Velocdade Méda e Velocdade Insanânea Consderemos uma parícula em movmeno ao longo de uma rea. No nsane a posção da parícula é e no nsane a posção é. O deslocameno da parícula é dendo como a varação da posção A velocdade méda da parícula enre os nsanes e é denda como a razão enre o deslocameno da parícula e o nervalo de empo v A velocdade nsanânea (ou smplesmene velocdade) em um deermnado nsane de empo é o valor ao qual ende a velocdade méda quando calculada em um nervalo de empo nnamene pequeno, endendo a zero. v lm v lm Undade de velocdade no S.I. (Ssema Inernaconal de Undades): m/s 1.9 -Aceleração Méda e Aceleração Insanânea Consderemos uma parícula em movmeno ao longo de uma rea. No nsane parícula é e no nsane a velocdade é v. v A aceleração méda a da parícula enre os nsanes varação da velocdade v da parícula e o nervalo de empo a velocdade da e é denda como a razão enre a a v v v A aceleração nsanânea (ou smplesmene aceleração) em um deermnado nsane de empo é o valor ao qual ende a aceleração méda quando calculada em um nervalo de empo nnamene pequeno, endendo a zero. v a lm a lm Undade de aceleração no S.I.: m/s Mara Mara Cassano

3 - MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU) Quando uma parícula esá em movmeno ao longo de uma rea com velocdade consane (e, porano, aceleração nula), o movmeno é chamado relíneo unorme. Nese caso, a equação do movmeno dada por v Grácos do movmeno relíneo unorme A equação do movmeno é uma unção do prmero grau, porano seu gráco é uma rea. O coecene angular da rea é gual à velocdade: v g. β A velocdade é consane e não nula, porano seu gráco é uma rea paralela ao eo dos empos. A área sob o gráco v( ) enre dos nsanes, e, é gual ao deslocameno da parícula enre esses nsane. A aceleração é consane e nula, porano seu gráco é uma rea, concdene com o eo do empos. 3 - MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) Quando uma parícula esá em movmeno ao longo de uma rea com aceleração consane não nula, o movmeno é chamado relíneo unormemene varado. Nese caso, a equação do movmeno é dada por e a relação enre velocdade e empo é 1 v + a Isolando de Torrcell v v + a da equação da velocdade e subsundo na equação do movmeno, obemos a equação v v + a( ) Mara Mara Cassano 3

4 3.1 - Grácos do movmeno relíneo unormemene varado A equação do movmeno é uma unção do segundo grau, porano seu gráco é uma parábola. A concavdade do gráco é dada pelo snal da aceleração. Se a > a concavdade é para cma e se a < a concavdade é para bao. O vérce da parábola corresponde ao nsane em que a velocdade da parícula é nula e a parícula nvere o seu sendo de movmeno. A relação enre velocdade e empo é uma unção do prmero grau, porano seu gráco é uma rea. O coecene angular da rea é gual à aceleração: a g β. 3. -Queda Lvre A aceleração é consane e não nula, porano seu gráco é uma rea paralela ao eo dos empos. A área sob o gráco a ) enre dos nsanes, e (, é gual à varação da velocdade parícula enre esses nsane. v da Se lançássemos város objeos vercalmene, para cma ou para bao, e, de alguma manera, pudéssemos elmnar os eeos da ressênca do ar, vercaríamos que eles seram acelerados para bao (para o cenro da Terra), odos com a mesma aceleração, ndependenemene de suas massas. Esa aceleração é chamada aceleração de queda lvre ou aceleração da gravdade e é represenada pelo símbolo g. O valor de g apresena pequenas varações de acordo com a laude e alude, mas, em geral, nos movmenos esudados, podemos consderar g como sendo consane e gual a 9,8 m/s. Como o movmeno é relíneo vercal, escolhemos como ssema de reerênca o eo. Se escolhermos o sendo posvo do eo orenado para cma, enão g aponará para o sendo negavo do ssema de reerênca. Assm, as equações da posção e da velocdade da parícula em queda lvre são dadas por 1 v + a v v + a a g Mara Mara Cassano 4

5 4 - CINEMÁTICA VETORIAL Quando uma parícula esá em movmeno sobre um plano ou no espaço, os elemenos descrvos do movmeno (posção, velocdade e aceleração) devem ser esudados consderando seu caráer veoral. Sua posção, a parr da orgem, é especcada pelo veor r, sua velocdade pelo veor v e sua aceleração pelo veor a. Se o movmeno da parícula é sobre um plano, esses veores podem ser epressos em ermos de suas componenes caresanas nas dreções dos versores e j, que correspondem às dreções dos eos e, respecvamene. Veor Posção r + j, Veor Velocdade v v + v j, Veor Aceleração a a + a j, r + v v + v a a + a Dreção de v e Orenação de a O veor velocdade de uma parícula é sempre angene à sua rajeóra e o sendo de v é o sendo do movmeno. Nos movmenos relíneos o veor aceleração em a dreção da rajeóra e nos movmenos curvlíneos a apona sempre para o lado côncavo da rajeóra Movmeno em um Plano com Aceleração Consane Se a parícula esá em movmeno sobre um plano com a consane, so é, módulo e dreção consanes, as equações de posção e velocdade da parícula em unção do empo podem ser epressas na orma veoral 1 r r v + a v v + a ou ser escras em ermos de suas componenes Componene Componene 1 1 v + a v + a v v a v v a Movmeno de Projées Um eemplo de movmeno no plano com aceleração consane é o movmeno de um projél, so é, o movmeno de uma parícula lançada oblquamene no ar, com uma velocdade v ormando um ângulo θ com a horzonal. Mara Mara Cassano 5

6 Admndo que os eeos da ressênca do ar sobre os seus movmenos possam ser desprezados, a aceleração da parícula é g, consderada consane, drgda para bao. A rajeóra descra pelo projél é parabólca e seu movmeno pode ser decomposo em componenes horzonal (componene ) e vercal (componene ). Dese modo, as equações acma podem ser usadas, sendo a a g v v cosθ v senθ v Supondo a epressão da rajeóra é dada por ( gθ ) v g cos θ Componenes da Aceleração Algumas vezes, quando esudamos movmenos curvlíneos, pode ser neressane escrevermos o veor aceleração a não em ermos de suas componenes caresanas a e a, mas em ermos de ouras duas componenes, denomnadas aceleração angencal a e aceleração cenrípea a c a a + a c A aceleração angencal em a mesma dreção do veor velocdade (angene à rajeóra), podendo er ou não o mesmo sendo. A aceleração cenrípea é perpendcular à dreção do veor velocdade e o seu sendo é sempre orenado para o cenro da curvaura da rajeóra. O neresse nessas duas componenes é que elas apresenam um sgncado ísco, não apenas geomérco. A aceleração angencal é provenene da varação do módulo do veor velocdade e a aceleração cenrípea é provenene da varação da dreção do veor velocdade. O módulo da aceleração cenrípea é dado por onde R é o rao de curvaura da rajeóra. v a c R Mara Mara Cassano 6

7 Nos movmenos relíneos, a dreção do veor velocdade não vara com o empo. Nese caso, a c e a a. Nos movmenos curvlíneos unormes o módulo da velocdade é consane. Nese caso, a e a a c. Nos movmenos curvlíneos varados, v vara em módulo e dreção. Nese caso, a a + a. c Movmeno Crcular Consderemos uma parícula em movmeno descrevendo uma rajeóra crcular de rao R e cenro C. Seja P a posção da parícula, em relação à orgem O, em um nsane de empo. Posção Angular Se s é o comprmeno do arco de rajeóra OP, a posção da parícula pode ser dada pelo ângulo θ, denomnado posção angular s θ (radanos) R Velocdade Angular Méda e Velocdade Angular Insanânea Se no nsane a posção angular da parícula é θ e no nsane a posção angular é θ, a velocdade angular méda ω da parícula enre os nsanes e é denda como a razão enre o deslocameno angular θ da parícula e o nervalo de empo θ θ θ ω A velocdade angular nsanânea (ou smplesmene velocdade angular) em um deermnado nsane de empo é o valor ao qual ende a velocdade angular méda quando calculada em um nervalo de empo nnamene pequeno, endendo a zero. θ ω lm ω lm Undade de velocdade angular: rad/s ou s Aceleração Angular Méda e Aceleração Angular Insanânea Se no nsane a velocdade angular da parícula é ω e no nsane a velocdade é ω, a aceleração angular méda α da parícula enre os nsanes e é denda como a razão enre a varação da velocdade angular ω da parícula e o nervalo de empo ω ω α ω Mara Mara Cassano 7

8 A aceleração angular nsanânea (ou smplesmene aceleração angular) em um deermnado nsane de empo é o valor ao qual ende a aceleração angular méda quando calculada em um nervalo de empo nnamene pequeno, endendo a zero. ω α lm α lm Undade de aceleração angular: rad/s ou s Relação enre grandezas lneares e angulares Posção Velocdade Aceleração s R θ v R ω a R α Movmeno Crcular Unorme (MCU) O movmeno crcular unorme é aquele em que a rajeóra descra pela parícula é crcular e o módulo do veor velocdade é consane. Como conseqüênca, a velocdade angular ambém é consane. A posção angular da parícula, em unção do empo, é dada por θ θ ω Embora v seja consane, como v é sempre angene à rajeóra, sua dreção é varável. Dese modo, a componene angencal do veor aceleração da parícula é nula e a componene cenrípea é dada por v a c R ω R Movmeno Crcular Unormemene Varado (MCUV) No movmeno crcular unormemene varado o módulo do veor velocdade é varável. A posção e velocdade angulares da parícula, em unção do empo, são dadas por 1 θ θ ω + α ω ω + α Nese caso, como o veor velocdade vara em módulo e dreção, as componenes angencal e cenrípea do veor aceleração da parícula são ambas não nulas. Mara Mara Cassano 8