Programação Não Linear Irrestrita

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1 EA 044 Planejameno e Análse de Ssemas de Produção Programação Não Lnear Irresra DCA-FEEC-Uncamp

2 Tópcos -Inrodução -Busca undmensonal 3-Condções de omaldade 4-Convedade e omaldade global 5-Algormos DCA-FEEC-Uncamp

3 -Inrodução Modelos de programação não lnear (PNL ma (mn ( sa D R n resro ma (mn ( sa D R n rresro 3 DCA-FEEC-Uncamp

4 Eemplo: regressão não lnear número cuso número cuso número cuso p q p q p q Número de undades Cuso unáro 50 cuso unáro número 4 DCA-FEEC-Uncamp

5 Hpóese: q r( p ( p Modelo PNL:, m [ q ( p ] mn ( cuso unáro Número de Undades Cuso Unáro número m 40.69; q r( p p DCA-FEEC-Uncamp

6 Funções suaves e dervadas ( ( ( suave não conínua não derencável 6 DCA-FEEC-Uncamp

7 ( suaveconínua e derencável no domímo D R n Modelos PNL com unções suaves são mas raáves Funções suaves: possuem dervadas busca mas ecene Dervada: orma analíca pode ser dícl/mpossível de ser obda 7 DCA-FEEC-Uncamp

8 -Busca undmensonal ( ( lo h lo h lo h lo h h lo α ( + α ( h h lo lo ( unmodal [ h, lo ] coném * α 0.68 número de ouro 8 DCA-FEEC-Uncamp

9 Busca undmensonal com número de ouro Passo 0 Incalzação:escolher lo, h e olerânca ε > 0; α 0.68; deermnar h α ( h lo h + α ( h lo calcular valor da unção ( para os quaro ponos; 0; Passo Parada: se ( h lo ε,parar: solução óma apromada * /( h lo ; senão r para Passo, se ( ésuperor a ( ; caso conráro r para o Passo 3; Passo Esquerdo: esrear lado esquerdo do nervalo; h ; h α ( h lo avalar ( ; + ; r para Passo ; Passo 3 Dreo: esrear lado dreo do nervalo; lo ; lo + α ( h lo avalar ( ; + ; r para Passo ; 9 DCA-FEEC-Uncamp

10 Inervalo ncal para busca undmensonal Inervalo ncal deve ser al que * [ lo, h ] padrão 3 ponos Padrão 3 ponos: { lo, md, h }, lo < md < h, ( md melhor que ( h e( lo { lo, md, h } * [ h, lo ] ( ( lo ( h ( md lo md * h 0 DCA-FEEC-Uncamp

11 Algormo padrão rês ponos Passo 0 Incalza: escolher lmane neror lo para * e passo δ > 0; Passo Esquerda ou Drea: se ( lo + δ ésuperor à ( lo enão md lo + δ; r para o Passo para busca àdrea; caso conráro ómo esáà esquerda; azer h lo + δ; r para Passo 3; Passo Epande: amenar δ δ; se ( md ésuperor à ( md + δ enão h md + δe parar; { lo, md, h } ornece padrão 3 ponos; senão lo md ; md md + δ; reper Passo ; Passo 3 Reduz: dmnur δ δ/; se ( lo + δ ésuperor à ( lo enão md lo + δe parar; { lo, md, h } ornece padrão 3 ponos; senão h lo + δ; reper Passo 3; DCA-FEEC-Uncamp

12 DCA-FEEC-Uncamp 3-Condções de omaldade Veor gradene ( ( n j /... /... / Marz Hessana ( n n n H L M O M L : R n Rderencávelem (,,..., n

13 3 DCA-FEEC-Uncamp ln( ( ( ] ( [, (, ( m m m p p p q p p q p q Eemplo: regressão não lnear

14 4 ] ln( ( ( ln( ( [( ] ( ( [( ( ln m m m p p p p p p q p p p q p p DCA-FEEC-Uncamp

15 5 DCA-FEEC-Uncamp (33, , (, ( (33, 0.5 (33,, ( ˆ ˆ ˆ H / /

16 Apromação va sére de Taylor ( + λ ( + λ ( ( + λ ( + λ n j j j a ordem ( + λ ( + λ ( + λ H ( ( + λ ( + λ n n n λ j + j j j j j a ordem 6 DCA-FEEC-Uncamp

17 Gradenes e ómos locas Pono esaconáro de em : ( 0 Pono esaconáro: ómo local de uma unção objevo suave Condção necessára de a ordem ( + λ ( + λ ( ± ( [ + ma, mn ] ( + λ ( ± λ ( ( unção objevo melhora (a não ser que ( 0 7 DCA-FEEC-Uncamp

18 Hessanas e ómos locas Condções de a ordem se éum pono esaconáro de enão ( 0; logo ( + λ ( ( + λ + Condção necessára ( 0 λ + λ + H ( H ( mínmo local de H( sem-posva denda mámo local de H( sem-negava denda Condção sucene dreção que melhora em pono esaconáro de e H( posva denda mínmo local de pono esaconáro de e H( negava denda mámo local de 8 DCA-FEEC-Uncamp

19 Eemplos de ponos esaconáros mámo mínmo sela 9 DCA-FEEC-Uncamp

20 4-Convedade e omaldade global Funções conveas ( ( ( ( ( + λ( ( + λ[ ( ( ];, D; λ [0,] 0 DCA-FEEC-Uncamp

21 Funções côncavas ( ( ( ( ( + λ( ( + λ[ ( ( ];, D; λ [0,] DCA-FEEC-Uncamp

22 Funções conveas e côncavas - Se ( é convea enão ( é côncava - ( com segundas dervadas connuas é convea se e somene se a marz Hessana H( é sem-posva denda em um domíno conveo (abero; ( é côncava se e somene se H( é sem-negava denda. 3- Funções lneares são conveas e côncavas 4-Se ( écôncava, g( / ( éconvea ( > 0 se ( éconvea, g( / ( écôncava ( < 0 5-Se g (y éuma unção convea não decrescene e h ( éconvea, enão ( g(h( é convea; se g(y é uma unção côncava não decrescene e h( é côncava, enão ( g(h( é côncava DCA-FEEC-Uncamp

23 6- ( éconvea se, para α 0e g ( convea,,.., k ( k α g ( 7- ( ormada a parr de mámos de unções conveas é convea ( ormada a parr do mínmo de unções côncavas é côncava ( ma { g (;, L, k } ( mn { g (;, L, k } 8- Funções conveas (côncavas são unmodas (o conráro não 3 DCA-FEEC-Uncamp

24 Omaldade global: condções sucenes Se ( éuma unção convea, enão odo mínmo local émínmo global Se ( éuma unção côncava, enão odo mámo local émámo global Consderando o caso de mínmo: seja * mínmo global e * (* < ( λ[ (* ( ] < 0; λ > 0 [ + λ(* ] ( + λ[ (* ( ] < ( ; λ [0,] ( * dreção que melhora em, D * ómo global 4 DCA-FEEC-Uncamp

25 Todo pono esaconáro de uma unção convea suave éum mínmo global Todo pono esaconáro de uma unção côncava suave éum mámo global Por eemplo, se ( é convea, enão: [ * + λ ( * ] ( * + λ[ ( ( * ] λ (0,] denção convedade [ * + λ ( * ] ( * + λ (( * Taylor ( ( * ( * ( * ( * 0 ( ( * 0 * é mínmo global 5 DCA-FEEC-Uncamp

26 5-Algormos Algormo do gradene Passo 0 Incalzação:com solução ncal 0 ; olerânca ε > 0; 0; Passo Gradene: calcular ( em ; Passo Pono Esaconáro:se ( ε enão parar; é ómo; Passo 3 Dreção: + ± ( [+ para ma, para mn]; Passo 4 Busca Undmensonal:deermnar λ + resolvendo ma λ (mn ( + λ + ; Passo 5 Aualza: + + λ + ; Passo 6 Incremena: + ; r para Passo ; 6 DCA-FEEC-Uncamp

27 Algormo do gradene ( * 3 o ( o 7 DCA-FEEC-Uncamp

28 8 DCA-FEEC-Uncamp

29 9 DCA-FEEC-Uncamp

30 30 Algormode Newon Ulza normação de segunda ordem j n n j j j n j j H λ + + λ + λ λ + + λ + λ ( ( ( ( ( ( azendo λ e dervando com relação à ( ( (,,, + + j n j j H n L ( ( 0 ( H DCA-FEEC-Uncamp

31 Newon o ( 3 DCA-FEEC-Uncamp

32 Gradene o ( DCA-FEEC-Uncamp

33 Algormo Newonano converge para ómo local se ncalzação é sucenemene próma do ómo local Não hágarana de que a marz Hessana seja não sngular em odo domíno de neresse Idea: combnar gradene + Newon Méodos quase Newonanos: + D ( Marz Daproma da nversa da Hessana H duranea busca Hessana: relaconada com a varação do gradene: ( + + ( H ( [ ] 33 DCA-FEEC-Uncamp

34 34 Broyden, Flecher, Goldarb, Shanno: BFGS ma mn, ( ( ( g d g d dg gd g d dd g d g g 0 + ± I D D D D D D T T T T T T T ( λ D DCA-FEEC-Uncamp

35 BFGS o 35 DCA-FEEC-Uncamp

36 Algormo de Nelder-Mead Não ulza dervadas Maném (n + soluções canddaas Basea-se nos conceos de: releão epansão conração encolhmeno y n+ y n+ por solução enre as (n + canddaas y n n (y y y, K, n + cenróde dos nmelhores encolhmeno 36 DCA-FEEC-Uncamp

37 y 3 y o y releão λ conração λ / ou / epansão λ y n + + λ 37 DCA-FEEC-Uncamp

38 y encolhmeno novo y 3 y 3 y novo y y (y y, K, n + 38 DCA-FEEC-Uncamp

39 Observação Ese maeral reere-se às noas de aula do curso EA 044 Planejameno e Análse de Ssemas de Produção da Faculdade de Engenhara Elérca e de Compuação da Uncamp. Não subsu o lvro eo, as reerêncas recomendadas e nem as aulas eposvas. Ese maeral não pode ser reproduzdo sem auorzação préva dos auores. Quando auorzado, seu uso é eclusvo para avdades de ensno e pesqusa em nsuções sem ns lucravos. 39 ProFernandoGomde DCA-FEEC-Uncamp