CálculoDiferencialem R n Limites

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1 ROSÁRIO LAUREANO 1 CálculoDiferencialem R n Limites [Elaborado por Rosário Laureano] [2012/13] Esteficheirocontém: 1. Tópicosdeteoria-ites(p. 1) 2. Exercícios resolvidos(p. 5) 1 Tópicosdeteoria-ites DistânciaEuclidiana Considere em R n, com n 1, a distância Euclidiana definida por ou seja, d[(x 1,...,x n ),(a 1,...,a n )] R n= (x 1,...,x n ) (a 1,...,a n ), d[(x 1,...,x n ),(a 1,...,a n )] R n= (x 1 a 1 ) 2 + +(x n a n ) 2 R + 0. EmR(emquen=1)estadistânciapodetraduzir-sepelomódulodadiferença entre os pontos, d(x,a) R = (x a) 2 = x a. Bolaabertadecentroem(a 1,...,a n )eraioε Seja(a 1,...,a n )um ponto de R n e ε um número real positivo. A bola aberta de centro em (a 1,...,a n )eraioε,quesedenotaporb ε (a 1,...,a n )oub((a 1,...,a n ),ε), é o conjunto de todos os pontos (x 1,...,x n ) R n cuja distânciaao ponto (a 1,...,a n )éinferioraε,ouseja, B ε (a 1,...,a n )={(x 1,...,x n ) R n d[(x 1,...,x n ),(a 1,...,a n )] R n<ε}. Quandon=1abolaabertaéosegmentodereta]a ε,a+ε[,enquanto paran=2éointeriordocírculodecentro(a 1,a 2 )eraioε,poisobtemos (x a 1 ) 2 +(y a 2 ) 2 <ε 2.

2 ROSÁRIO LAUREANO 2 Quandon=3abolaabertaéointeriordaesferadecentro(a 1,a 2,a 3 )eraio ε, pois (x a 1 ) 2 +(y a 2 ) 2 +(z a 3 ) 2 <ε 2. Pontodeacumulaçãodeumconjunto Seja D R n. Um ponto (a 1,...,a n ) R n éumponto de acumulaçãodedseemqualquerbola abertab ε (a 1,...,a n )decentro(a 1,...,a n )existepelomenosumpontode Ddistintode(a 1,...,a n ),ouseja, ε>0, (x 1,...,x n ) D\{(a 1,...,a n )} tal que (x 1,...,x n ) B ε (a 1,...,a n ). OconjuntodetodosospontosdeacumulaçãodoconjuntoDdesigna-sepor derivadodededenota-sepord. Umpontoquenãoédeacumulaçãode D diz-se um ponto isolado. Assim, um ponto (a 1,...,a n ) R n é de acumulação do conjunto D se em qualquer sua"vizinhança" existe pelo menos um outro ponto(diferente dele) que pertence a D. Na verdade, tal implica que em qualquer vizinhança de(a 1,...,a n )existeminfinitospontosded,ouseja, ε>0, B ε (a 1,...,a n ) Déumconjuntoinfinito. Limitedeumafunçãonumponto Sejam f : D f R 2 R uma funçãorealdeduasvariáveisreaise(a,b)umpontodeacumulaçãoded f. Diz-sequel Réoite def noponto(a,b)seesóseparatodoδ>0 existeumε=ε(δ)>0(dependentedoδtomado)talqued(f(x,y),l)<δ sempre que d((x,y),(a,b)) < ε e (x,y) D f \{(a,b)}, ou seja, δ > 0, ε=ε(δ)>0talque d((x,y),(a,b)) R 2<ε (x,y) D f \{(a,b)} = d(f(x,y),l) R <δ. ConsiderandoadistânciaEuclidiana,temosl= (x,y) (a,b) f(x,y)see sóse δ>0, ε=ε(δ)>0talque (x a) 2 +(y b) 2 <ε (x,y) D f \{(a,b)} = f(x,y) l <δ. (1) Aaproximaçãoaumponto(a,b)doplanopodeserfeitaatravésdequalquercurvanoplanoquepassenesseponto(a,b). Estascurvassãoemnúmero

3 ROSÁRIO LAUREANO 3 ínfinito, contrariamente ao que acontece na reta real (apenas aproximação pela esquerda e/ou pela direita). Como tal, quando ocorrem indeterminações no cálculo de um ite (x,y) (a,b) f(x,y), há que considerar os ites relativos que correspondem a restrições da função f a certas curvas contidas no domínio D f. Entre estes, é comum considerar os ites sucessivos(ou iterados), os ites direcionais e os ites segundo parábolas. Limites sucessivos(ou iterados) Os ites sucessivos(ou iterados) são [ ] [ ] f(x,y) e f(x,y), x a y b y b x a cada um constituído por uma sequência de dois ites numa só variável. Limites direcionais(ou segundo retas) Correspondem à aproximação atravésderetasnão-verticaisdedeclivemquepassemnoponto(a,b). Éentãodadopeloitenumasóvariável(x): (x,y) (a,b) y=m(x a)+b f(x,y)= x a f(x,m(x a)+b). Limites segundo parábolas Correspondem à aproximação através de parábolasdeeixoverticalquetêmoponto(a,b)comovértice. Éentãodado pelo ite numa só variável(x):, (x,y) (a,b) y=k(x a) 2 +b f(x,y)= x a f ( x,k(x a) 2 +b ). Também podem corresponder à aproximação através de parábolas de eixo horizontalquetêmoponto(a,b)comovértice. Éentãodadopeloitenuma só variável(y): (x,y) (a,b) x=k(y a) 2 +b f(x,y)= x a f ( k(y a) 2 +b,y ),

4 ROSÁRIO LAUREANO 4 Seacurvaéqualqueroutraquepassenoponto(a,b)temosoutroite relativo. Após o cálculo de ites relativos, duas situações podem surgir: S1. Existem pelo menos dois deles com valores diferentes, permitindo concluirainexistênciadeitenoponto(a,b),ou S2. Todos os ites são iguais, indicando o possível"candidato" a ite l, o valor comum desses ites. Naverdade,adefiniçãodeite(1)exigequeexistametenhamomesmo valor todos os ites da função f restringida a qualquer uma dessas curvas possíveis (pelo que em S1 se conclui imediatamente que não há ite de f no ponto (a,b)). Por outro lado, como é impossível calcular todos esses itesrelativos(poissãoemnúmeroinfinito),sóousodadefiniçãodeite (1) permite concluir a sua existência, sendo usado o"candidato" l fornecido pelovalorcomum(peloqueems2éaindanecessárioousodadefiniçãode ite(1)). No uso da definição de ite(1)) são fundamentais as seguintes desigualdades com módulos x = x 2 y = y 2 x±y x + y 2 x 3 y 3 ( ) 3/2, e as seguintes igualdades com módulos x y = x y x y = x y,paray 0. Operaçõescomites Sejamf :D f R 2 R,g:D g R 2 Re (a,b) R 2 umpontodeacumulaçãodosdomíniosd f ed g. Seexistiremos ites (x,y) (a,b) f(x,y)e (x,y) (a,b) g(x,y)então: existeoitedasomaedadiferençadefunções (f±g)(x,y)= f(x,y)± g(x,y); (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) (x,y) (a,b)

5 ROSÁRIO LAUREANO 5 existeoitedoprodutodefunções (f g)(x,y)= f(x,y) g(x,y); (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) existeoitedoprodutodeumafunçãoporumaconstantek R (k f)(x,y)=k f(x,y); (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) existeoitedoquocientedefunções f (x,y) (a,b) g (x,y)= (x,y) (a,b)f(x,y) (x,y) (a,b) g(x,y) sempreque (x,y) (a,b) g(x,y) 0eg(x,y) 0paratodoo(x,y) D g. NOTA:Nocasodeumafunçãovetorial,éfeitooestudodoitedecada uma das suas funções componentes no ponto em estudo. 2 Exercícios resolvidos Exercício Estudeaexistênciadeitenoponto(0,0)dafunçãofdefinida por xy f(x,y)= ( ). RESOLUÇÃO:Notemosque(0,0) / D f =R 2 \{(0,0)}mas(0,0)éponto de acumulação do domínio da função D f. Como tal, podemos averiguar a existênciadeitenesteponto. Asubstituiçãodexpor0eypor0conduz àindeterminação 0 0. Procedemosentãoaoestudodositesrelativos: Limites iterados ou sucessivos: ( xy x 0 y 0 ( ) ) = x 0 0 x 2 x 2 = x 0 0=0

6 ROSÁRIO LAUREANO 6 (portanto,casoexistaoitepedido,eleteráovalor0)etambéménuloo ite xy y 0 x 0( ) 0 = y 0 y 2 y =0=0. 2 y 0 Aproximação ao ponto (0, 0) por retas(ites direcionais): x 0,y=mx xy ( ) = x 0 = x 0 = xmx (x 2 +m 2 x 2 ) x 2 +m 2 x 2 m (1+m 2 ) x 2 +m 2 x 2 m (1+m 2 ) 0 + = para m 0. Obtemos + 0 se m > 0 e 0 se m < 0, logo concluímos que não existe o ite em estudo. Notemosqueousodadefiniçãocombasenovalor0,obtidoapartirdo primeiro ite iterado, mostra evidentemente que esse valor 0 não corresponde ao valor do ite pedido. De facto, temos xy f(x,y) 0 = ( ) 0 = xy ( ) = = x y ( ) 1 x2 +y 2 x2 +y 2 ( ) eaaplicaçãodahipótese <εapenaspermiteconcluirque 1 x2 +y 2 > 1 ε. Como tal, a sequência de igualdades e majorações(desigualdades < ou ) é "quebrada" não sendo possível obter f(x,y) 0 <δ.

7 ROSÁRIO LAUREANO 7 conforme o necessário para existir o ite. Exercício Estude a função f(x,y)= sin(x2 +y 2 ) quantoàexistênciadeitenospontos(a,b)ondetalsejapossível. RESOLUÇÃO: Odomínio de f é D f = R 2 \{(0,0)}. Afunção f tem iteemqualquerponto(a,b) (0,0)dadopelonúmeroreal sin( ) f(x,y)= = sin(a2 +b 2 ) R. (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) a 2 +b 2 Éaindapossívelestudaraexistênciadeitenoponto(a,b)=(0,0)visto queesteéumpontodeacumulaçãododomíniodafunção,d f =R 2 \{(0,0)} (emboranãopertençaaessedomínio). Afunçãof temiteiguala1no ponto(0,0), sin( ) f(x,y)= =1 (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) atendendoaoitedereferência A 0 (sina)/a=1. Concluímosassim queafunçãof temiteemtodosospontosdoplanor 2. Exercício Estude a existência de ite no ponto (0,0) da função f definida por x 4 y 3 se(x,y) (0,0) f(x,y)= x 4 +y 8. 0 se(x,y)=(0,0) RESOLUÇÃO:Notemosque (0,0) é pontodeacumulação ded f. pois D f =R 2. Asubstituiçãodexpor0ey por0conduzàindeterminação 0 0. Procedemos então ao estudo dos ites relativos. Limites iterados ou sucessivos: x 4 y 3 0 = x 0 y 0x 4 +y 8 x 0 x =0=0 4 x 0

8 ROSÁRIO LAUREANO 8 (casoexistaoitepedido,eleteráovalor0)etambéménulooite x 4 y 3 0 = y 0 x 0x 4 +y 8 y 0 y =0=0. 8 x 0 Aproximação ao ponto (0, 0) por retas(ites direcionais): x 4 y 3 x 4 m 3 x 3 0 x 7 m 3 = = x 0,y=mxx 4 +y 8 x 0 x 4 +m 8 x 8 0 x 0 x 4 (1+m 8 x 4 ) x 3 m 3 = x 0 1+m 8 x = 0 m3 4 1+m 8 0 = 0 1 =0, paratodoom. Aproximaçãoaoponto(0,0)porparàbolasverticais y=kx 2,comk 0: x 4 y 3 x 4 k 3 x 6 0 x 10 k 3 = = x 0,y=kx 2 x 4 +y 8 x 0 x 4 +k 8 x 16 0 x 0 x 4 (1+k 8 x 12 ) x 6 k 3 0 k3 = = x 0 1+k 8 x12 1+k 8 0 = 0 1 =0. Dado que todos os ites relativos estudados conduzem ao mesmo valor 0,háqueanalisarpeladefiniçãose0é,defacto,ovalordoiteemestudo. Temos f(x,y) 0 = x 4 y 3 x 4 +y 8 0 = x4 y 3 y 3 x 4 +y 8 = x4 x4 y3 x 4 +y 8 x 4 +y 8 Portanto, é garantido que x4 y3 = ( ) y 3 3<ε = y 3 x2 +y x f(x,y) 0 <δ semprequeε 3 δ,ouseja,semprequeε 3 δ. Arelaçãoε 3 δ mostra queadiminuiçãodoδtomadoimplicaadiminuiçãodovalorε=ε(δ)= 3 δ respetivo. Assim, concluímos que f(x,y)=0. (x,y) (0,0)

9 ROSÁRIO LAUREANO 9 Exercício Estudeaexistênciadeitenospontosdoeixodosxxcom abcissa positiva da função f definida por x 2 y sexy<0 f(x,y)=. ln(xy+1) sexy 0 RESOLUÇÃO:Notemosqueospontosdoeixodosxxcomabcissapositivasãopontosdeacumulaçãododomíniodafunção,poisD f =R 2. Consideremos pontos (x,y) (a,0), com a > 0. Estes pontos (x,y) estão no 1 o ouno4 o quadrantes. Então,dadaaformacomoafunçãof estádefinida (podemosfazerumesquemacomaexpressãoválidaemcadaumdosquadrantes pois ajuda a clarificar o exercício), é necessário calcular os ites [1 o Q] (x,y) (a,0) y>0 f(x,y)= (x,y) (a,0) ln(xy+1)=ln(a 0+1)=0, e [4 o Q] (x,y) (a,0) y<0 x 2 y f(x,y)= (x,y) (a,0) x 2 +y = a2 0 2 a 2 +0 = 0 2 a =0. 2 Como são iguais(note que não estamos a calcular ites relativos), concluímos que o ite de f nos pontos (a,0), com a > 0, existe e tem o valor 0. Exercício Estude a existência de ite no ponto (0,0) da função f definida por 2x 3 y 3 se(x,y) (0,0) f(x,y)=. α se(x,y)=(0,0) RESOLUÇÃO:Notemosque (0,0) é pontodeacumulação ded f. pois afunçãof estádefinidaemtodooplanor 2, D f =R 2. Asubstituiçãode

10 ROSÁRIO LAUREANO 10 xpor0eypor0conduzàindeterminação 0 0. Procedemosentãoaoestudo dos ites relativos: Limites iterados ou sucessivos: 2x 3 y 3 2x 3 = x 0 y 0 x 0 x =2x=0 2 x 0 (casoexistaoitepedido,eleteráovalor0)etambéménulooite 2x 3 y 3 y 3 = =( y)=0. y 0 x 0 y 0 y 2 x 0 Aproximação ao ponto (0, 0) por retas(ites direcionais): 2x 3 y 3 2x 3 m 3 x 3 0 x 3 (2 m 3 ) = = x 0,y=mx x 0 x 2 +m 2 x 2 0 x 0 x 2 (1+m 2 ) x(2 m 3 ) = = 0 (2 m3 ) =0, x 0 1+m 2 1+m 2 paratodoom. Aproximaçãoaoponto(0,0)porparábolasverticais y=kx 2,comk 0: 2x 3 y 3 2x 3 k 3 x 6 0 x 3 (2 k 3 x 3 ) = = x 0,y=kx 2 x 0 x 2 +k 2 x 4 0 x 0 x 2 (1+k 2 x 2 ) x(2 k 3 x 3 ) = = 0 (2 0) =0. x 0 1+k 2 x Dado que todos os ites relativos estudados conduzem ao mesmo valor 0,háqueanalisarpeladefiniçãose0corresponde,defacto,aovalordoite em estudo. Temos f(x,y) 0 = 2x 3 y 3 x 2 +y 0 2 = 2x3 y 3 2x3 + y 3 = 2x3 + 1 y 3 = 2x3 + y 3 = 2 x 3 + y 3 ( ) 3+ ( ) 3 2 x2 +y 2 x2 +y 2 = ( ) 3 3 x2 +y 2 = 3(x2 +y 2 ) =3 <3ε.

11 ROSÁRIO LAUREANO 11 Portanto, é garantido que f(x,y) 0 <δ sempreque3ε δ,ouseja,semprequeε δ/3. Arelaçãoε δ/3mostra queadiminuiçãodoδtomadoimplicaadiminuiçãodovalorε=ε(δ)=δ/3 respetivo. Assim, concluímos que f(x,y)=0. (x,y) (0,0) Exercício Estude a existência de ite no ponto (0,0) da função f definida por x 2 +y 2 se <1e(x,y) (0,0) f(x,y)= ln( ). 0 se(x,y)=(0,0) RESOLUÇÃO: Notemos que (0,0) é ponto de acumulação de D f. Na verdade,odomíniodafunçãoé D f = { (x,y) R 2 <1 }, ouseja,ospontosdointeriordocírculodecentro(0,0)eraio1. Asubstituiçãodexpor0eypor0conduza f(x,y)= (x,y) (0,0) x 0,y 0ln( ) = 0 =0, peloque0éovalordoitedafunçãof noponto(0,0).