CálculoDiferencialem R n Continuidade

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1 ROSÁRIO LAUREANO 1 CálculoDiferencialem R n Continuidade [Elaborado por Rosário Laureano] [2012/13] Este ficheiro contém: 1 Tópicos de teoria- continuidade(p 1) 2 Exercícios resolvidos(p 3) 3 Exercício propostos(p 10) 1 Tópicos de teoria- continuidade Continuidadenumponto Sejamf :D f R 2 Re(a,b) R 2 um pontodeacumulaçãoded f Afunçãof diz-secontínua no ponto (a,b) seesósesãoverificadasastrêscondiçõesseguintes: (i) existeaimagemf(a,b),ouseja,(a,b) D f ; (ii) existeolimitelim (x,y) (a,b) f(x,y); (iii) sãoiguaisoselementosgarantidosem(i) e(ii),istoé, lim f(a,b) (x,y) (a,b) A função diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio Acontinuidadedef noponto(a,b)traduz-senoessencialpor: "sempre que se tomam objectos (x, y) suficientemente próximos de (a, b) obtêm-se valores f(x,y)dasimagenstãopróximosde f(a,b)quantosequeira" Prolongamentoporcontinuidadenumponto Sejamf :D f R 2 R e (a,b) R 2 um ponto de acumulação de D f A função f diz-se prolongávelporcontinuidadenoponto(a,b)(ouquef temnoponto(a,b) uma descontinuidade removível) se e só se são verificadas as duas condições seguintes: (i) (a,b) / D f (logonãoexisteaimagemf(a,b));

2 ROSÁRIO LAUREANO 2 (ii) existe com valor finito(como número real) o limite lim f(x,y) (x,y) (a,b) Seja l o valor deste limite Define-se a função f, designada por prolongamentoporcontinuidadedef aoponto(a,b),por f(x,y) se (x,y) D f f (x,y) l se (x,y)=(a,b) com domínio D f = D f {(a,b)} Note-se que D f D f, pois D f = D f {(a,b)}e(a,b) / D f Descontinuidadenumponto Sejam f : D f R 2 R e (a,b) um pontodeacumulaçãoded f Afunçãofdiz-sedescontínuanoponto(a,b) se f não é contínua nem prolongável por continuidade nesse ponto Neste caso,oponto(a,b)diz-seumpontodedescontinuidadedafunçãof Qualquer função polinomial é uma função contínua, independentemente do número de variáveis Tais funções podem ser designadas por funções elementares Operaçõesentrefunções Sejamf :D f R 2 R,g:D g R 2 R e(a,b) D f D g Sef egsãocontínuasnoponto(a,b)entãosãocontínuas nesse ponto as funções f, f +g, f g, f g, k f (para c R) e f g se g(x,y) 0paratodo(x,y) D g Funçãocomposta Sejam F :D F R n R m e G :D G R m R p funções tais que F ( D F ) D G (portantoafunçãocomposta G F está bemdefinida)e(a 1,,a n ) D F Se F écontínuanoponto(a 1,,a n )e G écontínuaem F (a1,,a n )entãoafunçãocomposta G F tambémé contínuaem(a 1,,a n ) CASOPARTICULAR1: Sejamf :D f R 2 R, g,h:d R R taisqueg(d) h(d) D f e(a,b)=(g(c),h(c)) g(d) h(d) D f um

3 ROSÁRIO LAUREANO 3 pontoobtidoapartirdovalorrealc D Sef écontínuanoponto(a,b)e gehsãocontínuasemcentãoafunçãocompostaf definidapor F(t)=f(g(t),h(t)) tambémécontínuaemc CASOPARTICULAR2: Sejamf :D f R 2 R,g,h:D R 2 R taisqueg(d) h(d) D f e(a,b)=(g(c,d),h(c,d)) g(d) h(d) D f umpontoobtidoapartirdoponto(c,d) D Sefécontínuanoponto(a,b) egehsãocontínuasem(c,d)entãoafunçãocompostaf definidapor tambémécontínuaem(c,d) F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y)) No caso de uma função vetorial, a continuidade num ponto é garantida pela continuidade de cada uma das suas funções componentes nesse ponto 2 Exercícios resolvidos Exercício Estude a continuidade da função f definida por sin(x 2 +y 2 ) se(x,y) (0,0) 1 se(x,y)=(0,0) RESOLUÇÃO:Odomíniodef étodooplanor 2 Afunçãof écontínua em qualquer ponto (a,b) (0,0) por ser o quociente de funções contínuas (notemos que w = sin é contínua por ser a composta de funções contínuas, ev= éumafunçãopolinomial) Afunçãof tambémé contínuaem(a,b)=(0,0)porque sin lim lim =1 (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) (atendendo ao limite de referência lim A 0 (sina)/a = 1) e 1 é valor da imagemdef em(0,0),f(0,0)=1 Concluímosentãoquef écontínua

4 ROSÁRIO LAUREANO 4 Exercício Considere a função f dada por x 4 y 3 se(x,y) (0,0) x 4 +y 8 0 se(x,y)=(0,0) Averigúeseafunçãof écontínuanoponto(0,0) RESOLUÇÃO:Notemosque(0,0) D f =R 2 Temosf(0,0)=0logo f écontínuaem(0,0)se lim (x,y) (0,0) x 4 y 3 x 4 +y 8 =0=f(0,0) Asubstituiçãodexpor0eypor0conduzàindeterminação 0 0 Procedemos então ao estudo dos limites relativos Limites iterados ou sucessivos: x 4 y 3 0 lim lim =lim x 0 y 0x 4 +y 8 x 0 x =lim0=0 4 x 0 (casoexistaolimitepedido,eleteráovalor0)etambéménuloolimite x 4 y 3 0 lim lim =lim y 0 x 0x 4 +y 8 y 0 y =lim0=0 8 x 0 Aproximação ao ponto (0, 0) por retas(limites direcionais): x 4 y 3 x 4 m 3 x 3 0 x 7 m 3 lim = lim =lim x 0,y=mxx 4 +y 8 x 0 x 4 +m 8 x 8 0 x 0 x 4 (1+m 8 x 4 ) x 3 m 3 = lim x 0 1+m 8 x = 0 m3 4 1+m 8 0 = 0 1 =0, paratodoom Aproximaçãoaoponto(0,0)porparábolasverticais y=kx 2,comk 0: x 4 y 3 x 4 k 3 x 6 0 x 10 k 3 lim = lim =lim x 0,y=kx 2 x 4 +y 8 x 0 x 4 +k 8 x 16 0 x 0 x 4 (1+k 8 x 12 ) x 6 k 3 0 k3 = lim = x 0 1+k 8 x12 1+k 8 0 = 0 1 =0

5 ROSÁRIO LAUREANO 5 Dado que todos os limites relativos estudados conduzem ao mesmo valor 0,háqueanalisarpeladefiniçãose0é,defacto,ovalordolimiteemestudo Temos f(x,y) 0 = x 4 y 3 x 4 +y 8 0 = x4 y 3 y 3 x 4 +y 8 = x4 x4 y3 x 4 +y 8 x 4 +y 8 Portanto, é garantido que x4 y3 = ( ) y 3 3<ε = y 3 x2 +y x f(x,y) 0 <δ semprequeε 3 δ,ouseja,semprequeε 3 δ Arelaçãoε 3 δ mostra queadiminuiçãodoδtomadoimplicaadiminuiçãodovalorε=ε(δ)= 3 δ respetivo Assim, concluímos que equeafunçãof écontínuaem(0,0) lim (x,y) (0,0) 0 Exercício Considere a função f definida por x 2 y sexy<0 ln(xy+1) sexy 0 Averigúeacontinuidadedefempontosdoeixodosxxcomabcissapositiva RESOLUÇÃO:Notemosqueospontosdoeixodosxx comabcissapositivapertencemaodomíniodafunção,d f =R 2 Estespontostêmimagem nula, f(a,0)=ln(a 0+1)=ln1=0 Háquesabersetambéménuloolimitedef empontosdaforma(a,0), com a > 0 Estes pontos (x,y) estão no 1 o ou no 4 o quadrantes Então, dada a forma como a função f está definida (podemos fazer um esquema

6 ROSÁRIO LAUREANO 6 comaexpressãoválidaemcadaumdosquadrantespoisajudaaclarificaro exercício), é necessário calcular os limites [1 o Q] lim (x,y) (a,0) y>0 lim (x,y) (a,0) ln(xy+1)=ln(a 0+1)=0, e [4 o Q] lim (x,y) (a,0) y<0 x 2 y lim (x,y) (a,0) x 2 +y = a2 0 2 a 2 +0 = 0 2 a =0 2 Como são iguais(note que não estamos a calcular limites relativos), concluímosqueolimitedef nospontos(a,0),coma>0,existeetemovalor0 Assim,afunçãof écontínuaemtodosospontosdoeixodosxxcomabcissa positiva Exercício Considere a função f definida por 2x 3 y 3 se(x,y) (0,0) α se(x,y)=(0,0) Existealgumvalordeα Rparaoqualafunçãof écontínua? Justifique RESOLUÇÃO:NotemosqueafunçãofestádefinidaemtodooplanoR 2 Afunçãof écontínuaemqualquerponto(a,b) (0,0)porseroquociente de funções contínuas(funções polinomiais), independentemente do valor de α Afunçãof écontínuanoponto(a,b)=(0,0)se 2x 3 y 3 lim (x,y) (0,0) x 2 +y =α, 2 vistoquef(0,0)=α Asubstituiçãodexpor0eypor0nolimiteconduz àindeterminação 0 0 Procedemosentãoaoestudodoslimitesrelativos: Limites iterados ou sucessivos: 2x 3 y 3 2x 3 lim lim =lim x 0 y 0 x 0 x =lim2x=0 2 x 0

7 ROSÁRIO LAUREANO 7 (casoexistaolimitepedido,eleteráovalor0)etambéménuloolimite 2x 3 y 3 y 3 lim lim =lim =lim( y)=0 y 0 x 0 y 0 y 2 x 0 Aproximação ao ponto (0, 0) por retas(limites direcionais): 2x 3 y 3 2x 3 m 3 x 3 0 x 3 (2 m 3 ) lim = lim =lim x 0,y=mx x 0 x 2 +m 2 x 2 0 x 0 x 2 (1+m 2 ) = lim x 0 x(2 m 3 ) 1+m 2 = 0 (2 m3 ) 1+m 2 =0, paratodoom Aproximaçãoaoponto(0,0)porparábolasverticais y=kx 2,comk 0: 2x 3 y 3 2x 3 k 3 x 6 0 x 3 (2 k 3 x 3 ) lim = lim =lim x 0,y=kx 2 x 0 x 2 +k 2 x 4 0 x 0 x 2 (1+k 2 x 2 ) x(2 k 3 x 3 ) = lim = 0 (2 0) x 0 1+k 2 x =0 Dado que todos os limites relativos estudados conduzem ao mesmo valor 0,háqueanalisarpeladefiniçãose0corresponde,defacto,aovalordolimite em estudo Temos f(x,y) 0 = 2x 3 y 3 x 2 +y 0 2 = 2x3 y 3 2x3 + y 3 = 2x3 + 1 y 3 = 2x3 + y 3 = 2 x 3 + y 3 ( ) 3+ ( ) 3 2 x2 +y 2 x2 +y 2 = ( ) 3 3 x2 +y 2 = 3(x2 +y 2 ) =3 <3ε Portanto, é garantido que f(x,y) 0 <δ

8 ROSÁRIO LAUREANO 8 sempreque3ε δ,ouseja,semprequeε δ/3 Arelaçãoε δ/3mostra queadiminuiçãodoδtomadoimplicaadiminuiçãodovalorε=ε(δ)=δ/3 respetivo Assim, concluímos que lim 0 (x,y) (0,0) Dado que f(0,0) = α, a função f é contínua em (a,b) = (0,0) se α = 0 Portanto,paraα=0afunçãof écontínua(significasercontínuaemtodo oseudomínio) Exercício Sejaf :D f R 2 Rdefinidapor x 2 +y 2 se <1e(x,y) (0,0) ln 0 se(x,y)=(0,0) Estude a continuidade da função f na origem RESOLUÇÃO:Notemosque(0,0) D f eépontodeacumulaçãoded f Naverdade,odomíniodafunçãoé D f = { (x,y) R 2 <1 }, ou seja, os pontos do interior do círculo de centro (0,0) e raio 1 Temos f(0,0)=0eháqueverificarsetambém lim 0 (x,y) (0,0) Defacto,asubstituiçãodexpor0eypor0conduza lim lim (x,y) (0,0) x 0,y 0ln = 0 =0, pelo que 0 é o valor do limite da função f no ponto (0,0) e esta é então contínuaem(0,0)(poistambémf(0,0)=0) Exercício Sejaafunçãof :R 2 Rdefinidapor sin(x 3 +y 3 ) se(x,y) (0,0) 2 se(x,y)=(0,0)

9 ROSÁRIO LAUREANO 9 Estude a continuidade da função f na origem RESOLUÇÃO: Notemos que (0,0) D f = R 2 Temos f(0,0) = 2 Quantoaolimitedef noponto(0,0), asubstituiçãodexpor0ey por0 conduz à indeterminação 0 Procedemos então ao estudo dos limites relativos O limite 0 iterado lim x 0 ( lim y 0 sin(x 3 +y 3 ) ) sinx 3 sinx 3 =lim =lim x =1 0=0 x 0 x 2 x 0 x 3 temvalornulologo,casoolimiteexista,eleterávalor0 2=f(0,0) Tal permite concluir de imediato que a função não é contínua na origem Exercício Sejaafunçãof :R 2 Rdefinidapor xy n +py se(x,y) (0,0) x 2 +y 2 0 se(x,y)=(0,0) ondenéumnúmeronaturalepumnúmeroreal Mostrequeafunçãof é contínuaem(0,0)seesósen 2ep=0 RESOLUÇÃO:Notemosque(0,0) D f =R 2 Temosf(0,0)=0 Como tal,afunçãof écontínuanoponto(0,0)seesóse Tomemosδ>0e,porhipótese,que lim 0 (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) = <ε paracertoε=ε(δ)>0temos f(x,y) 0 = xy n +py +py = xyn xyn + py = x y n + p y

10 ROSÁRIO LAUREANO 10 Dadoque x = x 2 e y = y 2,concluímosque x2 +y 2 ( x2 ) n+ p +y 2 x2 +y 2 f(x,y) 0 = = = x2 +y 2 [( ) n+ p ] x2 +y 2 ( x2 ) n+ p +y 2 x2 +y 2 ( x2 +y 2 ) n 1+ p x2 +y 2 Temosentão f(x,y) 0 <δsetomarmosε>0talqueε n 1 δcom n 1 1 (paraqueεdiminuaquandoδdiminuieaumentequandoδaumenta)e p =0 Concluímosentãoqueafunçãof écontínuanoponto(0,0)seesósen 2 ep=0 3 Exercício proposto Exercício Dadaafunçãorealf :R 2 Rdefinidapor x+y 2 sex 0 y>0 x+y 2 x+3y 2xy sey 0 sex>0 y>0 Determineoconjuntodopontosondeafunçãof écontínua