Cálculo Diferencial e Integral II

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1 Cálculo Diferencial e Integral II Prof. Rodrigo dos Santos Veloso Martins Departamento Acadêmico de Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná

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3 Sumário 1 Funções de Várias Variáveis Funções de Duas Variáveis Funções de Três ou Mais Variáveis Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis Limite de Funções de Várias Variáveis Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis Derivadas Parciais de Funções de Mais de Duas Variáveis Derivadas Parciais de Ordem Superior Planos Tangentes Aproximações Lineares e Diferenciabilidade Total Regra da Cadeia Derivadas Direcionais, Vetores Gradiente e Aplicações Derivadas Direcionais e Vetores Gradiente

4 3.2 Valores Máximo e Mínimo Multiplicadores de Lagrange Integrais Múltiplas Integrais Duplas Coordenadas Polares Mudança de Coordenadas em Integrais Duplas Integrais Triplas Mudança de Coordenadas em Integrais Triplas A Topologia de R n 149

5 Capítulo 1 Funções de Várias Variáveis 1.1 Funções de Duas Variáveis Definição Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par (x,y) D um único valor real f(x,y), onde D é um conjunto de R 2. O valor f(x,y) é dito a imagem do ponto (x,y) e o conjunto D é dito o domínio da função f. Definição Seja f uma função de duas variáveis com domínio D. Definimos a imagem de f como o conjunto de todos os valores reais que são de fato imagem de algum ponto (x,y) D. Em outras palavras: Im f = {z R: z = f(x,y) para algum (x,y) D}. Escrevemos frequentemente f : D R para indicar que f é uma função real com domínio D com imagem no conjunto dos números reais. Obs: Quando definimos uma função f(x,y) de duas variáveis através de uma equação, fica 1

6 2 Figura 1.1: Associação de um ponto (x,y) a um número real f(x,y). Figura 1.2: Ilustração de f( 2,3) = 1 6 no Exemplo entendido que o domínio de f é o conjunto de todos os pontos (x,y) do plano para os quais a expressão dada está bem definida Exemplo Considere o mapa do Brasil e fixe como origem do sistema cartesiano a cidade de Brasília. A altitude z de um ponto (x,y) em relação ao nível do mar define uma função de duas variáveis z = f(x,y). O domínio D desta função não consiste de todos os pontos do plano, pois D está restrito aos pontos (x,y) R 2 que representam o território Brasileiro O exemplo acima ilustra o conceito de função de duas variáveis, mas não esperamos que seja possível encontrar uma expressão envolvendo funções elementares (funções polinomiais, exponenciais, trigonométricas, etc) que descreva todo o relevo brasileiro. Abaixo, no Exemplo 1.1.5, temos um exemplo de uma função definida através de uma expressão. Exemplo Considere a função f(x,y) = 1 xy. Podemos calcular o valor de f em algum ponto (x,y) qualquer de R 2 da seguinte forma: se (x,y) = ( 2,3), então f( 2,3) = 1 ( 2) 3 = 1 6.

7 3 Veja a Figura 1.2. Devemos ter xy para que a expressão acima esteja bem definida, logo Dom f = {(x,y) R 2 : x e y }. A imagem de f é dada por Im f = (, ) (, + ). De fato, para nenhum par (x,y) temos f(x,y) =, logo / Im f. Para qualquer outro valor real z, podemos encontrar um par (x,y) tal que f(x,y) = z. Por exemplo, o número z = 5 está na imagem de f, pois z = 5 é a imagem do ponto (x,y) = (1, 1/5): ( f 1, 1 ) 5 = O mesmo argumento mostra que qualquer número z 1 é imagem, por exemplo, do ponto (x,y) = (1, 1/z 1 ). Veja a Figura = 5. Figura 1.3: Imagem da função f(x,y) = 1 xy destacada em vermelho. Exemplo Considere a função f(x,y) = x 2 +y 2 +2xy. Como não existe restrição para soma e multiplicação de números reais, temos Dom f = R 2. A fim de determinar a imagem de f, observamos que f(x,y) = x 2 + y 2 + 2xy = (x + y) 2. Segue que Im f = [, + ). De fato, para qualquer z 1, temos z 1 = f(x,y) se e somente se (x + y) 2 = z 1. O ponto (x,y) = ( z 1, ) é uma solução para esta equação: f( z 1, ) = ( z 1 + ) = z 1.

8 4 Em outras palavras, o ponto (x,y) = ( z 1, ) tem como imagem z 1. Isto mostra que Im f = [, + ) É comum escrevermos z = f(x,y) para representar que os valores que uma função assume através de uma nova variável, que denotamos neste caso por z. Esta variável é dita uma variável dependente: os valores que z assume estão condicionados ao valores que escolhemos para as variáveis x e y. As variáveis x e y estão livres para assumir qualquer valor dentro do domínio D da função. Por este motivo dizemos que x e y são variáveis independentes. Se escrevermos z = f(x,y) no Exemplo 1.1.5, então temos que z = 9 quando (x,y) = (1,2). Exemplo Determine e esboce o domínio da função f 1 (x,y) = x 2 y. Como a raiz quadrada de números negativos não está bem definida nos números reais, devemos ter x 2 y para que a expressão que define f 1 (x,y) esteja bem definida. Em outras palavras, devemos ter x 2 y: Dom f 1 = {(x,y) R 2 : y x 2 }. O domínio de f 1 define uma região no plano xy que é definida pela inequação y x 2. Esta inequação pode ser interpretada como a união de todos os pontos (x,y) que satisfazem y = x 2 e y < x 2 ; a igualdade representa os pontos de R 2 que se encontram na parábola y = x 2, enquanto a desigualdade y < x 2 inclui no domínio de f 1 os pontos que se encontram abaixo desta parábola. Veja Figura Exercício Determine o domínio e a imagem das funções abaixo. (i) f(x,y) = x 2 + y 2 (ii) g(x,y) = x 2 y 2 (iii) h(x,y) = x + 2y Exercício Determine e esboce o domínio das funções abaixo. (i) f(x,y) = 1 4 y x 2 1 (ii) g(x,y) = 3 x y 2

9 5 Figura 1.4: Domínio da função f 1 (x,y) = x 2 y. (iii) h(x,y) = sen(xy) (iv) F (x,y) = ln(xy) Podemos representar graficamente o comportamento de uma função f(x,y) de duas variáveis de diferentes maneiras. O exemplo abaixo utiliza um mapa de calor. Exemplo Considere uma placa de metal que ocupa o retângulo [,1] [,1] do plano xy, isto é, o retângulo definido pelos intervalos [,1] no eixo x e [,1] no eixo y. A temperatura T (x,y) em graus Celsius em cada ponto da placa é dada pela função T (x,y) = 1 5x 2 5y 2. Por exemplo, a temperatura na origem é T (,) = = 1, enquanto no ponto (1,1) temos temperatura T (1,1) = =. Podemos representar graficamente a distribuição de temperatura na placa através de um mapa de calor : veja a Figura 1.5, onde temos associada a cada ponto do quadrado [,1] [,1] uma cor, onde os pontos em azul indicam uma região mais fria da barra, enquanto pontos em vermelho indicam uma temperatura mais alta A representação gráfica mais comum de uma função de duas variáveis é, no entanto, o seu gráfico em R 3, conforme definido abaixo.

10 6 Figura 1.5: Mapa de calor de uma função de duas variáveis (Exemplo 1.1.9). Figura 1.6: Gráfico da função do Exemplo Definição Seja F uma função de duas variáveis com domínio D. O gráfico de F é definido como o conjunto de pontos (x,y,z) de R 3 tais que (x,y) D e z = F (x,y). Figura 1.7: Gráfico de uma função de duas variáveis. Temos na Figura 1.6 a representação em R 3 da função T (x,y) da Figura 1.5 e, para facilitar a visualização, exibimos ainda o mesmo esquema de cores. Destacamos nessa figura o ponto (x,y,z) = (,,1): este é um ponto do gráfico porque satisfaz z = T (x,y), isto é,

11 7 1 = T (,). Como z = T (x,y), os pontos mais altos (maior valor de z) obedecem ainda a escala da Figura 1.5: os pontos em vermelho são os mais altos, por volta de 1 C, enquanto os pontos mais baixos (menores valores de z) estão coloridos em azul. Exemplo Considere a função f(x,y) = 6 3x 2y. Note que Dom f = R 2. O gráfico de f é definido por z = f(x,y) z = 6 3x 2y 3x + 2y + z = 6. Segue que o gráfico de f é um plano. Assim como dois pontos definem uma reta, três pontos (não-colineares) definem um plano; escolhemos portanto três pontos arbitrários do plano acima para, a partir destes, traçar o gráfico da função f. Como x =, y = = z = 6, x =, z = = y = 3, y =, z = = x = 2, o gráfico de f pode ser esboçado como na Figura 1.8. Temos ilustrado na Figura 1.8 também que f(1,1) = = Figura 1.8: Gráfico da função f(x,y) = 6 3x 2y.

12 8 Exemplo Considere a função f(x,y) = 9 x 2 y 2. Note que o domínio de f é dado por 9 x 2 y 2 x 2 + y 2 9, onde, pelo Teorema de Pitágoras, a expressão r 2 = x 2 +y 2 representa o quadrado da distância de um ponto (x,y) à origem. Segue que o domínio de f é dado pelo círculo do plano de raio 3 e centro na origem. Além disso, se z = 9 x 2 y 2, então, elevando ambos os lados da equação ao quadrado, obtemos z 2 = 9 x 2 y 2 x 2 + y 2 + z 2 = 9. (1.1) Provamos acima que, se (x,y,z) é um ponto do gráfico de f, então (x,y,z) é um ponto da esfera descrita na Equação (1.1): aquela com centro na origem e raio 3. 1 Entretanto, nem todo ponto da esfera é ponto do gráfico de f, pois se z = 9 x 2 y 2 então z. Segue que o gráfico de f consiste do hemisfério superior da esfera descrita na Equação (1.1); veja a Figura A seguir trataremos de curvas de nível. Este conceito nos ajuda a compreender o gráfico de funções de duas variáveis, além de apresentar grande aplicabilidade em problemas práticos. Definição Seja f(x,y) uma função de duas variáveis. Uma curva de nível de f é uma curva no plano x,y definida por uma equação da forma f(x,y) = k, para k um número real qualquer. Como o gráfico de f(x,y) é definido pela equação z = f(x,y), uma curva de nível f(x,y) = k corresponde à restrição z = k ao gráfico de f, isto é, corresponde à interseção do gráfico de f com o plano z = k. Em outras palavras, a curva de nível f(x,y) = k representa o conjunto de pontos do gráfico que estão à mesma altura k do plano xy. 1 Para mais informações sobre a equação de superfícies conhecidas como uma esfera, ver o Capítulo 9 do livro Paulo Winterle, Geometria Analítica.

13 9 Figura 1.9: Gráfico da função f(x,y) = 9 x 2 y 2. Exemplo Considere a função do Exemplo Para cada número real k, temos f(x,y) = k 9 x 2 y 2 = k. (1.2) Vejamos abaixo algumas curvas de nível de f: (i) k = : 9 x 2 y 2 = 9 x 2 y 2 = x 2 + y 2 = 9; (ii) k = 1: 9 x 2 y 2 = 1 9 x 2 y 2 = 1 x 2 + y 2 = 8; (iii) k = 2: 9 x 2 y 2 = 2 9 x 2 y 2 = 4 x 2 + y 2 = 5. Nas curvas de nível (i), (ii) e (iii) temos a equação de uma circunferência; note que o raio decresce à medida que k cresce. Em outras palavras, a interseção dos planos z = k com o gráfico da função são dadas por circunferências que vão encolhendo à medida que k cresce. Note ainda que (iv) k = 3: 9 x 2 y 2 = 3 9 x 2 y 2 = 9 x 2 + y 2 =,

14 1 (v) k = 4: 9 x 2 y 2 = 4 9 x 2 y 2 = 16 x 2 + y 2 = 7. A única solução para a a equação do item (iv) é a origem: (x,y) = (,). Isto significa que o plano z = 3 intersecta o gráfico da função no único ponto (,,3). Como a equação do item (v) não possui solução, concluímos que o plano z = 4 tem interseção vazia com o gráfico da função. Finalmente, note que (vi) k = 1: 9 x 2 y 2 = 1. Vemos que para valores negativos de k também temos uma equação sem solução, isto é, como no item (v), temos interseção vazia com o gráfico da função. A Figura 1.1 ilustra a interseção do gráfico da função com o plano z = 1, isto é, a curva de nível f(x,y) = Figura 1.1: Curva de nível f(x,y) = 1. Curvas de nível de uma função de duas variáveis são frequentemente representadas no plano: consideramos a projeção no plano xy da curva obtida pela interseção entre o gráfico z = f(x,y) de uma função e o plano z = k. Dessa maneira é possível, através de uma figura bidimensional, compreender as principais características do gráfico de uma função.

15 11 Ilustramos a representação do gráfico de uma função de duas variáveis através de curvas de nível com a Figura No centro da Figura 1.11 temos algumas curvas de nível da função do Exemplo em R 3. À direita na Figura 1.11 temos representadas a projeção destas curvas no plano xy. Note que a superfície z = f(x,y) é mais inclinada onde as curvas de nível estão mais próximas umas das outras: no caso da função do Exemplo , isto ocorre com as curvas de nível mais próximas ao plano xy (valores mais baixos de z) Figura 1.11: Curvas de nível de f(x,y) = 9 x 2 y 2. Exercício Considere a função z = f(x,y) = 6 3x 2y, cujo gráfico se encontra na Figura 1.8. Represente em um único plano cartesiano as suas curvas de nível z = k para k =, 1, 2, 3. Exercício Considere a função z = f(x,y) = x 2 y 2, cujo gráfico se encontra na Figura Represente em um único plano cartesiano as suas curvas de nível z = k para k = 3, 2, 1,, 1, 2, 3. Exercício Considere a função z = f(x,y) = sen x + cos y, cujo gráfico se encontra na Figura Represente em um único plano cartesiano as suas curvas de nível z = k para

16 12 k = 3, 2, 1,, 1, 2, 3. Figura 1.12: Gráfico da função f(x,y) = x 2 y 2. Figura 1.13: Gráfico da função f(x,y) = sen x + cos y. 1.2 Funções de Três ou Mais Variáveis Definição Uma função de n variáveis é uma regra que associa a cada ponto (x 1, x 2,..., x n ) D um único valor real f(x 1, x 2,...,x n ), onde D é um conjunto de R n. Este valor f(x 1, x 2,..., x n ) é dito a imagem do ponto (x 1, x 2,..., x n ) e o conjunto D é dito o domínio da função f. Definição Seja f uma função de n variáveis com domínio D. Definimos a imagem de f como o conjunto de todos os valores reais que são de fato imagem de algum ponto (x 1, x 2,..., x n ) D. Em outras palavras: Im f = {z R: z = f(x 1, x 2,..., x n ) para algum (x 1, x 2,..., x n ) D}. É comum também neste caso escrevermos y = f(x 1,..., x n ) e para indicar que y é uma variável dependente de x 1,..., x n ; estas são ditas variáveis independentes. No caso de uma função f de três variáveis escrevemos frequentemente os pontos de seu domínio como (x,y,z); veja a Figura 1.14.

17 13 Figura 1.14: Função de três variáveis w = f(x,y,z). Assim como na Seção 1.1, quando definimos uma função f(x 1, x 2,..., x n ) de n variáveis através de uma equação, fica entendido que o domínio de f é o conjunto de todos os pontos (x 1, x 2,..., x n ) R n para os quais a expressão dada está bem definida. Exercício Determine o domínio das funções abaixo. Para as funções dos itens (i) e (ii), esboce ou descreva em palavras o domínio como um conjunto de R 3. (i) f(x,y,z) = ln z x + y z (ii) g(x,y,z) = (x 2 + y 2 z) 3/2 (iii) h(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 2 1 3x 4 ) tg(x 2 + x 3 ) (iv) ϕ(x 1,..., x 5 ) = exp ( x 2 /(x 3 2) ) 3 x 2 5 x 1 Definição Seja f(x,y,z) uma função de três variáveis. Uma superfície de nível de f é uma superfície em R 3 definida por uma equação da forma f(x,y,z) = k, para k um número real qualquer. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis f(x,y,z) representa um conjunto de pontos onde o valor da função permanece inalterado. Exercício Para cada uma das funções abaixo, esboce o gráfico das superfícies de nível f(x,y,z) = k para k = 2, 1,, 1, 2.

18 14 (a) f(x,y,z) = x + y + z (b) g(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (c) h(x,y,z) = x 2 y 2 + z 2

19 Capítulo 2 Limites e Derivadas de Funções de Várias Variáveis Neste capítulo temos como objetivo estender o conceito de derivada de funções de uma variável para funções de várias variáveis. Expressamos matematicamente o conceito de taxas de variação neste contexto mais amplo através do conceito de derivadas parciais, extensão natural da derivada de funções de uma variável. A seguir definimos o que é a derivada total de uma função; além de fornecer a aproximação do comportamento de uma função em torno de um ponto, a derivada total representa um conceito fundamental em estudos mais profundos de funções de várias variáveis. Munidos destas ferramentas podemos observar como o estudo de funções de várias variáveis, em particular o conceito de derivada, nos ajuda na abordagem de problemas presentes na indústria ou no nosso dia-a-dia. Estudamos primeiramente, entretanto, o conceito limite de funções de várias variáveis. 15

20 Limite de Funções de Várias Variáveis Relembramos primeiramente o que significa a afirmação lim x x f(x) = L no caso de uma função de uma variável f(x). Em palavras, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a x é L se f(x) assume valores arbitrariamente próximos de L desde que x esteja suficientemente próximos de x. Convém escrever este conceito em termos matemáticos precisos, pois nem sempre é possível seguir nossa intuição: o gráfico de uma função de 4 variáveis, por exemplo, é um conjunto de pontos de R 5. Dizemos que lim x x f(x) = L se, dada uma margem de erro ε > em torno do valor L, basta escolhermos pontos suficientemente próximos de x que teremos f(x) dentro desta margem de erro. Ou seja, dada qualquer margem de erro ε >, existe um intervalo (x δ, x + δ) tal que se x (x δ, x + δ), x x, então f(x) (L ε, L + ε). Cabe ressaltar que excluímos o valor de f(x) em x = x da análise acima, pois a função f por vezes sequer está definida no ponto x. Desejamos estudar o comportamento de f(x) nas proximidades do ponto x, não exatamente no ponto x. Na Figura 2.1 temos ilustrada uma função que tal que lim x 1 f(x) não existe. Dada uma margem de erro ε > pequena, não é possível escolher um intervalo (1 δ, 1 + δ) tal que f(x) (L ε, L + ε) para todo x (1 δ, 1 + δ), x 1. O mesmo raciocínio se aplica a uma função f(x,y) de duas variáveis. Considere um ponto P = (a,b) que seja ponto de acumulação de seu domínio; veja a Definição A.1 e a discussão que segue. Dizemos que o limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (a,b) é L se f(x,y) assume valores arbitrariamente próximos de L desde que (x,y) esteja suficientemente próximos de (a,b).

21 17 Figura 2.1: Função y = f(x) cujo limite quando x 1 não existe. Assim como é discutido no Apêndice A, para definir o limite de funções de duas variáveis basta interpretar corretamente a noção de pontos próximos um do outro, isto é, pontos a uma distância pequena um do outro. Ao invés de buscarmos um intervalo (x δ, x + δ) no domínio (conjunto da reta), buscamos um disco de centro P e raio δ onde tenhamos f(x,y) (L ε, L + ε). Definição Seja f(x,y) uma função de duas variáveis e seja P = (a,b) um ponto de acumulação de seu domínio D. Dizemos que o limite de f(x,y) é L quando (x,y) se aproxima de (a,b) se, para todo ε >, existe um disco B com raio δ > tal que, se (x,y) B D e (x,y) (a,b), então f(x,y) (L ε, L + ε). Escrevemos nesse caso lim f(x,y) = L. (x,y) (a,b) Caso contrário, dizemos que o limite acima não existe. O limite de funções de duas variáveis satisfaz propriedades semelhantes àquelas vistas no estudo de funções de uma variável. Estas propriedades nos dão suporte para o cálculo de limites de funções simples. Teorema Sejam f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis cujos domínios possuem

22 18 Figura 2.2: Função z = f(x,y) cujo limite quando (x,y) (a,b) é L. Figura 2.3: Função z = f(x,y) cujo limite quando (x,y) (a,b) é L. (a,b) como ponto de acumulação. Suponha que Então: lim f(x,y) = L 1 e lim g(x,y) = L 2. (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) (i) ( ) lim f(x,y) + g(x,y) = L1 + L 2 ; (x,y) (a,b)

23 19 (ii) (iii) ( ) lim f(x,y) g(x,y) = L1 L 2 ; (x,y) (a,b) lim f(x,y) g(x,y) = L 1 L 2 ; (x,y) (a,b) (iv) se k é um número real, (v) se L 2, f(x,y) lim (x,y) (a,b) g(x,y) = L 1 ; L 2 lim k f(x,y) = k L 1; (x,y) (a,b) Exemplo Considere o limite da função f(x,y) = x xy + 3 x 2 y + 5xy y 3 quando (x,y) (,1). Segue dos itens (i) e (iii) do Teorema que lim (x xy + 3) = = 3 (x,y) (,1) e Portanto, lim (x,y) (,1) (x2 y + 5xy y 3 ) = y 1 3 = 1. lim f(x,y) = 3 (x,y) (,1) 1 = Exemplo Considere o limite da função quando (x,y) (,). Note que f(x,y) = x3 xy 2 x y lim (x,y) (,) (x3 xy 2 ) = e lim (x y) =. (x,y) (,)

24 2 No entanto, manipulando a função obtemos x 3 xy 2 lim (x,y) (,) x y x(x 2 y 2 ) = lim (x,y) (,) x y x y = lim (x,y) (,) x y x(x + y) =. x(x y)(x + y) = lim (x,y) (,) x y x y Se o limite de uma função de uma variável g(x) quando x se aproxima de x é L então g(x) deve se aproximar do valor L quando x se aproxima de x, independente do caminho escolhido. Como o domínio de uma função de uma variável é um subconjunto da reta, isto só pode ocorrer de duas formas: pela esquerda ou pela direita do ponto x. Estes limites laterais devem ser iguais para o limite lim x x g(x) exista. Analogamente, para que o limite da Definição exista, é necessário que f(x,y) se aproxime de L quando (x,y) se aproxima de (a,b), independente do caminho escolhido: se f(x,y) se aproxima de valores distintos L 1 L 2 quando (x,y) se aproxima de (a,b) por caminhos distintos C 1, C 2, então o limite lim (x,y) (a,b) f(x,y) não existe. Veja a Figura 2.4. Figura 2.4: Função z = f(x,y) cujos limites por caminhos C 1 e C 2 são distintos.

25 21 Obs: Um caminho passando por um ponto (a,b), como citado acima, é um conjunto de pontos do plano que possui (a,b) como ponto de acumulação. Se o limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (a,b) por um caminho C é L, escrevemos lim (x,y) (a,b) (x,y) C f(x,y) = L. Se escolhemos a reta y = x como um caminho para analisar o limite de uma função f(x,y) quando (x,y) se aproxima de zero, podemos escrever também lim (x,y) (a,b) y=x f(x,y) = L Teorema Sejam f(x,y) uma função de duas variáveis, (a,b) um ponto de acumulação de seu domínio e C 1, C 2 caminhos do plano contendo o ponto (a,b). Se lim (x,y) (a,b) (x,y) (a,b) (x,y) C 1 f(x,y) = L 1 e lim (x,y) C 2 f(x,y) = L 2 onde L 1 L 2, então o limite lim (x,y) (a,b) f(x,y) não existe. Exemplo Considere a função f(x,y) = xy x 2 + y 2. O domínio de f consiste de todos os pontos do plano exceto a origem. Veremos agora que o limite de f quando (x,y) se aproxima deste ponto não existe. Considere os caminhos C 1 e C 2 dados por C 1 = {(x,y) R 2 : x = } e C 2 = {(x,y) R 2 : y = x}. Então lim (x,y) (,) (x,y) C 1 f(x,y) = lim y y 2 + y 2 =. Por outro lado, lim (x,y) (,) (x,y) C 2 f(x,y) = lim x x x x 2 + x 2 = lim x x 2 2x 2 = 1 2.

26 22 Como os limites de f quando (x,y) (,) por C 1 e C 2 são distintos, segue do Teorema que o limite lim (x,y) (,) f(x,y) não existe. Veja a Figura 2.5. O caminho C 1 fornece os pontos em branco na figura, enquanto os pontos no caminho C 2 fornecem os pontos em tom vermelho-escuro. Apesar do argumento acima ser suficiente para provar que o limite em questão não existe, você pode considerar o caminho C m = {(x,y) R 2 : y = mx} na figura e calcular o limite de f(x,y) quando (x,y) (,) por este caminho: repare que cada escolha de m fornece uma cor diferente no mapa de calor à esquerda da Figura 2.5, fornecendo também um valor diferente para o limite Figura 2.5: Gráfico da função z = xy/(x 2 + y 2 ). Obs: O Teorema nos permite provar apenas que um limite não existe. Caso encontremos dois (ou mais) caminhos que resultem no mesmo limite, nada podemos afirmar sobre o limite global Exercício Mostre que os limite abaixo não existem.

27 23 (a) (b) (c) (d) lim (x,y) (,) x 2 y x 4 + y 2 x 4 y 2 lim (x,y) (,) x 4 + y 2 lim x (x,y) (,) x2 + y 2 lim (x,y) (,) xy xy Assim como no estudo de funções de uma variável, a definição de continuidade de uma função de duas variáveis é compreendida de imediato a partir do conceito de limite. Definição Uma função f(x,y) de duas variáveis é dita contínua em um ponto (a,b) de seu domínio se o limite lim f(x,y) existe e (x,y) (a,b) lim f(x,y) = f(a,b). (x,y) (a,b) Caso contrário dizemos que f é descontínua em (a,b). Se f é contínua em todo ponto de seu domínio dizemos simplesmente que f é contínua. Obs: Note que o conceito de limite de uma função f(x,y) se estende a pontos (a,b) que não pertencem ao domínio de f, enquanto a continuidade de uma função está definida apenas para pontos de seu domínio Usando as propriedades de limite enunciadas no Teorema podemos ver que a soma, diferença, produto e quociente de funções contínuas resultam também em funções contínuas; no último caso, como anteriormente, exigimos que a função no denominador não se anule no ponto em questão. Outros exemplos de funções contínuas são obtidos através da composição de funções, como enunciado abaixo. Teorema Sejam f(x,y) uma função de duas variáveis contínua, (a,b) um ponto do domínio de f e H(z) uma função de uma variável. Se f(x,y) é contínua em (a,b) e H(z) é contínua em f(a,b), então a função composta (H f)(x,y) = H ( f(x,y) ) é contínua em (a,b).

28 24 Exemplo As funções abaixo são contínuas em seus respectivos domínios: (i) funções polinomiais em duas variáveis, como f(x,y) = x 4 y 2 2xy 3 + 3x 2 ; (ii) funções racionais (quociente de polinômios), como g(x,y) = 5x2 y 3x 4 y 2 ; xy + 1 (iii) h(x,y) = e x x2 y 2 +1 ; ( ) x 2 xy (iv) ϕ(x,y) = sen. x + y xy Note que afirmas que as funções do Exemplo são contínuas em seus respectivos domínios, o que não significa que estas funções possuam todo o plano como domínio. Por exemplo a função do item (ii) não está definida no ponto (x,y) = (1, 1), já que este ponto anula o seu denominador; logo, a função g não é contínua em (1, 1), mas é contínua em todo ponto (x,y) em que ela está bem definida. Os conceitos de limite e continuidade vistos acima podem ser estendidos diretamente para funções de mais de duas variáveis. Por vezes representaremos um ponto de R n como uma n-upla (x 1,..., x n ), mas também usaremos a notação x para um ponto deste espaço; tome cuidado com a notação para não confundir um número real com um ponto de R n, pois estes diferem na notação muitas vezes no uso de fonte em negrito. Definição Seja f(x 1,..., x n ) uma função real de n variáveis com domínio D R n e seja a um ponto de R n que é ponto de acumulação de D. Dizemos que o limite de f quando x a é L se, para todo ε >, existe δ > tal que, se x B(a,δ), x D e x a, então f(x) (L ε, L + ε). Definição Seam f(x 1,..., x n ) uma função de n variáveis e a R n um ponto de seu domínio. Dizemos que f é contínua em a se o limite lim x a f(x) existe e lim f(x) = f(a). x a

29 25 Figura 2.6: Função w = f(x,y,z) cujo limite quando (x,y,z) (a,b,c) é L. 2.2 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis Considere a Figura 2.7, onde encontramos uma tabela indicando a sensação térmica registrada de acordo com as condições do vento e a temperatura. A sensação térmica, que denotaremos por S, depende dos valores da temperatura T e da velocidade V do vento registrada. Em outras palavras, a grandeza S é uma função de T e V : S = f(t,v ). Temos na Figura 2.7 destacada a coluna referente a ventos de 65 km/h (V = 65). Uma vez que fixamos o valor V = 65 para a velocidade do vento, a sensação térmica passa a depender apenas da temperatura registrada. Em outras palavras, fixando V = 65 temos que S = f(t,65) é uma função de apenas uma variável, que denotamos por g(t ): g(t ) = f(t,65). Podemos ver através da coluna destacada como a sensação térmica aumenta conforme a temperatura aumenta; esta taxa de variação é representada pela derivada da função g. Por

30 26 Figura 2.7: Sensação térmica de acordo com a condição do vento e temperatura registrada. Fonte: Inmetro. exemplo, a taxa de variação da sensação térmica S em relação à temperatura quando T = 12 é representada pela derivada da função g em T = 12: g g(t ) g(12) (12) = lim T 12 T 12 g(12 + h) g(12) = lim. h h Como g(t ) = f(t,65), podemos escrever a derivada de g em T = 12 como g f(t,65) f(12,65) (12) = lim T 12 T 12 f(12 + h,65) f(12,65) = lim. h h

31 27 Podemos também observar a variação da sensação térmica mantendo fixo um valor para a temperatura. A linha destacada na Figura 2.7 corresponde aos valores de S para T = 12. Analogamente, se mantivermos a temperatura fixa em 12 o C, a sensação térmica passa a ser uma função de apenas uma variável: S depende apenas da velocidade V do vento. Denotamos esta função por G(V ): G(V ) = f(12,v ). A variação da sensação térmica em função da velocidade do vento nesta situação é representada pela derivada da função G(V ). Por exemplo, para V = 65, G (65) = lim h G(65 + h) G(65) h f(12, 65 + h) f(12,65) = lim. h h De um modo geral, se z = f(x,y) é uma função de duas variáveis, podemos avaliar a taxa de variação de z em relação a x ou a y, mantendo a outra variável fixa, assim como fizemos acima. Isto é, consideramos a função g(x) = f(x,b) e calculamos a derivada de g(x) em um ponto x = a. A derivada de g(x) no ponto x = a é chamada de derivada parcial de f em relação a x no ponto (a,b). Definição Sejam f(x,y) uma função de duas variáveis e (a,b) um ponto interior ao seu domínio. Considere a função de uma variável dada por g(x) = f(x,b). A derivada parcial f x (a,b) de f em relação a x no ponto (a,b) é definida como f x (a,b) = g (a) = lim h g(a + h) g(a) h f(a + h,b) f(a,b) = lim, h h caso o limite exista. Analogamente, se G(y) = f(a,y), a derivada parcial f y (a,b) de f em relação a y no ponto (a,b) é definida como caso o limite exista. f y (a,b) = G (b) = lim h G(b + h) G(b) h f(a,b + h) f(a,b) = lim, h h

32 28 A Figura 2.8 ilustra o significado da Definição 2.2.1: a derivada parcial f x (a,b) é definida como o limite da variação média [ f(a + h,b) f(a,b) ] /h em intervalos da forma [a, a + h] (ou [a h, a]) na direção do eixo x. Figura 2.8: Variação de uma função f na direção do eixo x. Existem muitas notações diferentes para derivadas parciais. Abaixo vemos algumas maneira de representar a derivada parcial de uma função f(x,y) em relação a x: f x (a,b) = f f (a,b) = x x = z z (a,b) = (a,b) x x = D x f(a,b). (a,b) Naturalmente, usamos uma notação semelhante para representar a derivada parcial de f em relação a y: f y (a,b) = f y f (a,b) = y = z z (a,b) = (a,b) y y = D y f(a,b). (a,b) Exemplo Calcule as derivadas parciais f x (2, 1) e f y (2, 1) da função f abaixo: f(x,y) = x 4 + 2x 2 y 3 y + 5. Para calcular a derivada parcial f x (2, 1) podemos fixar y = 1 e considerar a função

33 29 de uma variável resultante: g(x) = x 4 + 2x 2 ( 1) 3 ( 1) + 5 = x 4 2x Segue que g (x) = 4x 3 4x e então f x (2, 1) = g (2) = = 32 8 = 4. A derivada parcial f y (2, 1) é obtida de maneira semelhante. consideramos a função resultante na variável y: Mantemos x = 2 fixo e h(y) = g(2,y) = y 3 y + 5 = 8y 3 y 11. Segue que h (y) = 24y 2 1 e assim f y (2, 1) = g ( 1) = 24( 1) 2 1 = Apresentamos os cálculos do Exemplo como acima para fins didáticos, mas normalmente calculamos derivadas parciais usando o conceito de função derivada parcial: veja a Definição e o Exemplo Definição Seja f(x,y) uma função de duas variáveis. A derivada parcial de f em relação a x é definida como a função que associa a cada (x,y) Dom f a derivada parcial f x (x,y): f(x + h,y) f(x,y) f x (x,y) = lim, h h caso o limite exista. Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y é definida como a função que associa a cada (x,y) Dom f a derivada parcial f y (x,y): f(x,y + h) f(x,y) f y (x,y) = lim, h h caso o limite exista.

34 3 Para calcular a derivada parcial de uma função f(x,y) em relação a x, como as Definições e sugerem, consideramos a variável y como uma constante e derivamos a expressão como uma função de uma variável. O mesmo é feito para o cálculo de f y (x,y). Exemplo As derivadas parciais da função em relação a x e y são dadas por: f(x,y) = x 4 + 2x 2 y 3 y + 5 f x (x,y) = 4x x y 3 + = 4x 3 + 4xy 3, f y (x,y) = + 2x 2 3y = 6x 2 y 2 1. As derivadas parciais de f no ponto (2, 1), calculadas no Exemplo 2.2.2, podem ser obtidas da seguinte maneira: f x (2, 1) = ( 1) 3 = 32 8 = 4, f y (2, 1) = ( 1) 2 1 = 24 1 = Exemplo As derivadas parciais da função g(x,y) = sen(x 2 + 2y 3 ) são calculadas usando a regra da cadeia para funções de uma variável. Para calcular a derivada parcial g x, consideramos y como uma constante e escrevemos sen(x 2 + 2y 3 ) = F (G(x)), onde F (x) = sen x e G(x) = x 2 + 2y 3. Logo, g x (x,y) = df ( ) dg G(x) dx dx = cos(x2 + 2y 3 ) 2x = 2x cos(x 2 + y 2 ). Analogamente, g y (x,y) = cos(x 2 + 2y 3 ) 6y 2 = 6y 2 cos(x 2 + 2y 3 )

35 31 Exercício Calcule as derivadas parciais das funções abaixo em relação a x e a y. (a) f(x,y) = ln(x 2 y 3 ) (b) g(x,y) = x2 y tg(x) (c) h(x,y) = (x 2 y)e x3 y 6 2x (d) F (x,y) = cos ( x 2 + ln(2x 4 y y 3 ) ) (e) G(x,y) = tg(x2 y 2 ) + xy x 2 (f) H(x,y) = exp ( sec(xy) ) Frequentemente, em uma situação real, lidamos com uma função f(x,y) cuja expressão algébrica não é conhecida, como é o caso na Figura 2.7. Podemos nestes casos aproximar os valores das derivadas parciais utilizando a sua definição. Exemplo Considere a função S = f(t,v ) que expressa a sensação térmica S em função da temperatura T e da velocidade V do vento na Figura 2.7. A derivada parcial f T (12,65) expressa a taxa de variação da sensação térmica S em função da temperatura T, isto é, descreve como a S variará se mantivermos V = 65 fixo e aumentarmos ligeiramente a temperatura T = 12. Não podemos, no entanto, calcular esta derivada parcial como nos Exemplos e pois não temos uma expressão algébrica para f(t,v ). Utilizamos então a definição de derivada parcial para obter uma aproximação. Considere a função g(t ) = f(t,65). Temos f T (12,65) = g (12) e o valor desta derivada pode ser aproximada utilizando a definição f T (12,65) = g (12) = lim T 12 g(t ) g(12). T 12 Aproximamos o valor de g (12) através de alguns valores da tabela na Figura 2.7, escolhendo um à direita de T = 12 e um à esquerda: g (12) g(13) g(12) = 1 1 = 1,

36 32 g (12) g(11) g(12) = 2 1 Tirando a média dos valores acima temos a aproximação f T (12,65) = g (12) 1,5. interpretação desta derivada parcial é a seguinte: quando a temperatura é 12 o C e o vento tem velocidade de 65 km/h, a sensação térmica S aumenta 1,5 o C para um aumento de 1 o C da temperatura real. Analogamente, podemos obter uma aproximação para a derivada parcial f V (12,65) ao considerar a função G(V ) = f(12,v ) e aproximar a derivada G (65) usando os valores à direita e à esquerda de V = 65 na Figura 2.7: G (65) G (65) G(68) G(65) G(61) G(65) = 1 3 = 4 = 2. = 1 3, Fazendo a média aritmética destas aproximações obtemos f V (12,65) = G (65),16. Podemos assim prever que, quando a temperatura é de 12 o C e o vento tem velocidade 65 km/h, a sensação térmica diminui aproximadamente,16 o C para um aumento de uma unidade na velocidade do vento =. A Vimos no começo desta seção que a derivada parcial f x (a,b) de uma função z = f(x,y) representa a taxa de variação de z em relação a x no ponto x = a, se mantivermos y = b fixo. Vejamos agora o que esta derivada parcial representa geometricamente. A equação y = b representa uma reta no plano, mas y = b define um plano no espaço. Veja a Figura 2.9. Logo, quando fixamos y = b no estudo do comportamento da função f(x,y) estamos restringindo nossa atenção à interseção do gráfico z = f(x,y) com este plano; o resultado desta interseção é uma curva que denotamos por C 1 (Figura 2.1). A curva C 1 coincide com o gráfico da função g(x) = f(x,b). Vemos assim que a derivada parcial f x (a,b) representa o coeficiente angular da reta tangente a C 1 no ponto (a,b). A derivada parcial f y (a,b) tem um significado semelhante: ela representa o coeficiente

37 33 Figura 2.9: A equação y = b define uma reta no plano e um plano no espaço. Figura 2.1: Curva C 1 dada pela interseção do plano y = b com o gráfico z = f(x,y). angular da reta tangente à curva C 2 no ponto (a,b), onde C 2 é a curva obtida pela interseção do gráfico de f com o plano x = a. Veja as Figuras 2.12 e 2.13.

38 34 Figura 2.11: Significado geométrico de f x (a,b). Figura 2.12: Curva C 2 dada pela interseção do plano x = a com o gráfico z = f(x,y). Exemplo Considere a função f(x,y) = 9 x 2 3y2 2. As derivadas parciais de f em (1, 1) são dadas por f x = 2x = 2, (1, 1) (1, 1)

39 35 Figura 2.13: Significado geométrico de f y (a,b). f y = 6y (1, 1) 2 = 3. (1, 1) As curvas C 1 e C 2 correspondentes, obtidas através da interseção de z = f(x,y) com os planos y = 1 e x = 1, são ilustradas nas Figuras 2.14 e Vemos que no ponto (1, 1) a curva C 1 temos um coeficiente angular negativo na direção do eixo x, enquanto o gráfico da função tem uma inclinação positiva na direção do eixo y Até o momento estudamos superfícies em R 3 dadas pelo gráfico de funções de duas variáveis, isto é, superfícies definidas por equações da forma z = f(x,y). De um modo geral, uma equação a três variáveis F (x,y,z) = define uma superfície em R 3. Podemos, também neste caso, nos perguntar qual é a taxa de variação de z em relação a x ou a y em um determinado ponto; o significado geométrico destas derivadas parciais é o mesmo, ilustrado nas Figuras 2.1 a Isto é feito através de derivação implícita, processo que se assemelha com aquele estudado no cálculo de funções de uma variável. Exemplo Calcule o valor de z/ x no ponto (1,1,1) supondo que a equação xy + z 3 x = 2yz define implicitamente uma função z = f(x,y) na vizinhança do ponto (1,1,1) cujas derivadas

40 36 Figura 2.14: Plano y = 1 e gráfico de z = 9 x 2 3y 2 /2. Figura 2.15: Plano x = 1 e gráfico de z = 9 x 2 3y 2 /2. parciais de primeira ordem existem. Supondo que z é função de x e y, ambos os lados da equação acima dependem da variável x. Suas derivadas parciais em relação a esta variável são iguais, logo, considerando que y é

41 37 uma constante, temos ( xy + z 3 x ) = 2yz x x x xy + x z3 x = 2y z x. Como z é uma variável que depende de x, calculamos as derivadas acima usando a regra do produto e a regra da cadeia: Segue que Portanto, 1 y + ( 3z 2 z ) x + z 3 1 = 2y z x x. 3z 2 x z z 2y x x = y z3 (3z 2 x 2y) z x = y z3. z x = y z3 3z 2 x 2y. Podemos calcular o valor desta derivada parcial no ponto (1,1,1) através da expressão acima: z x (1,1,1) = = = Derivadas Parciais de Funções de Mais de Duas Variáveis Derivadas parciais de funções de três ou mais derivadas são definidas analogamente ao que vimos na Definição 2.2.1: mantemos todas as variáveis constantes e consideramos a variação da função com respeito apenas à restante. Definição Seja f(x 1,..., x n ) uma função de n variáveis e (a 1,..., a n ) R n um ponto interior ao seu domínio. Definimos, para k = 1,..., n, a derivada parcial de f em relação a x k no ponto (a 1,..., a n ) como f f(a 1,..., a k 1, a k + h, a k+1,..., a n ) f(a 1,..., a k 1, a k, a k+1,..., a n ) x k = lim, h (a1,...,a n) h

42 38 caso o limite exista. A derivada parcial de f em relação a x k é definida como a função que associa a cada (x 1,..., x n ) Dom f a sua derivada parcial f/ x k. A derivada parcial de f(x 1,..., x n ) em relação a x k pode ser escrita também como: f x k = f xk = f k = D k f. Nosso foco neste curso se encontra em funções de duas ou três variáveis. Ilustramos a Definição neste último caso: o cálculo da derivada parcial f x de uma função f(x,y,z), por exemplo, é calculada considerando que y,z são constantes e derivando a expressão como uma função de apenas uma variável. Exemplo As derivadas parciais f x, f y e f z da função f(x,y,z) = xz sen(y + 3z) são dadas por f x (x,y,z) = z sen(y + 3z), f y (x,y,z) = xz cos(y + 3z) (1 + ) = xz cos(y + 3z), e f z (x,y,z) = x sen(y + 3z) + xz cos(y + 3z) ( + 3) = x sen(y + 3z) + 3xz cos(y + 3z) Cabe ressaltar que as derivadas parciais de uma função de três variáveis têm interpretações semelhantes àquelas vistas para funções de duas variáveis. Por exemplo, se T (x,y,z) indica a temperatura em cada ponto (x,y,z) de um sólido E do espaço, a derivada parcial T x (a,b,c) indica que variação de temperatura esperamos se caminharmos dentro do sólido E na direção do eixo x, partindo do ponto (a,b,c).

43 Derivadas Parciais de Ordem Superior No estudo de funções de uma variável, a segunda derivada f de uma função f(x) tem grande importância: além de descrever a concavidade do gráfico de f, ela fornece um teste para verificarmos se pontos críticos são extremos relativos. Derivadas parciais de segunda ordem têm um papel semelhante. Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis. A derivada parcial f x da função f é uma função de duas variáveis, logo podemos pensar nas derivadas parciais de f x (x,y) em relação a x ou a y; o mesmo ocorre com f y (x,y). A derivada parcial de segunda ordem de f em relação a x é definida como a função f xx (x,y) que associa a cada ponto (x,y) a derivada parcial da função f x (x,y) em relação a x: f xx = (f x ) x = x ( ) f = 2 f x x = 2 z 2 x. 2 Definimos analogamente as outras derivadas parciais de segunda ordem de f: f yy = (f y ) y = ( ) f = 2 f y y y = 2 z 2 y, 2 f xy = (f x ) y = ( ) f = 2 f y x y x = 2 z y x, e f yx = (f y ) x = x ( ) f = 2 f y x y = 2 z x y. Exemplo Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y) = x cos y + ye x. Temos logo f x (x,y) = cos y + ye x e f y (x,y) = x sen y + e x, f xx (x,y) = ye x,

44 4 f yy (x,y) = x cos y, f xy (x,y) = sen y + e x, e f yx (x,y) = sen y + e x Verificamos que no caso da função f do Exemplo temos f xy = f yx. Isto não foi apenas uma coincidência; esta igualdade ocorre em muitos casos, descritos no teorema abaixo. Teorema Sejam f(x,y) uma função de duas variáveis e (a,b) um ponto interior ao seu domínio. Se as derivadas parciais f xy e f yx existem e são contínuas em um conjunto aberto contendo o ponto (a,b), então f xy (a,b) = f yx (a,b). Obs: Podemos definir derivadas parciais de terceira ordem de uma função f(x,y) da mesma maneira, isto é, como as derivadas parciais das funções f xx, f yy, f xy e f yx. Entretanto, nas aplicações do Cálculo Diferencial e Integral à Física e às Engenharias encontramos mais frequentemente derivadas parciais de primeira e segunda ordem Obs: Derivadas parciais de segunda ordem para funções de três ou mais variáveis, assim como derivadas parciais de ordem superior, são definidas analogamente Planos Tangentes Seja f(x,y) uma função de duas variáveis tais que suas derivadas parciais f x e f y existem e são contínuas em um disco aberto com centro em (x, y ) Dom f. Seja S a superfície definida pelo gráfico de f e considere as curvas C 1 e C 2 obtidas a partir da interseção de S

45 41 com os plano y = b e x = a. Ilustramos com as Figuras 2.11 e 2.13 que f x (x, y ) e f y (x, y ) representam o coeficiente angular das retas T 1 e T 2 tangentes a C 1 e C 2 em (x, y ). Existe um único plano que contém as retas T 1 e T 2, dito o plano tangente a S em (x, y ); veja a Figura Figura 2.16: Planto tangente π ao gráfico z = f(x,y) de uma função. A equação geral do plano de R 3 que contém o ponto (x, y, z ), z = f(x, y ), com vetor normal n = (A,B,C) é A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) =. Se C, podemos dividir a equação por C e reescrevê-la como z z = A (x x ) + B (y y ). (2.1) Quando fixamos y = y na Equação (2.1) obtemos a equação da reta T 1 : z z = A (x x ). O número A na equação acima representa o coeficiente angular da reta tangente T 1, logo a = f x (x, y ). Analogamente, ao fixarmos x = x na Equação (2.1), concluímos que B = f y (x, y ).

46 42 Teorema Seja f(x,y) uma função de duas variáveis com derivadas parciais contínuas em torno de um ponto (x, y ). A equação do plano tangente à superfície z = f(x,y) no ponto (x, y, z ), z = f(x, y ), é dada por z z = f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ). Exemplo Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x,y) = 3x 2 + 6x 2y 2 12y 28 no ponto (2, 2, 12). logo Temos que f x (x,y) = 6x + 6 e f y (x,y) = 4y 12, f x (2, 2) = 6 e f y (2, 2) = 4. Segue que a equação do plano tangente é dada por z + 12 = 6(x 2) 4(y + 2) 6x + 4y + z = 8. Veja as Figuras 2.17 e Obs: Para entender a geometria do gráfico de f, realizamos um procedimento chamado completar quadrados. Temos como objetivo escrever o termo 3x 2 + 6x da expressão que define f como 3x 2 + 6x = a(x + b) 2 + c. Note que 3x 2 + 6x = 3(x 2 2x) = 3 [ (x 1) 2 1 ] = 3(x 1) (2.2) Analogamente, temos 2y 2 12y = 2(y 2 + 6y) = 2 [ (y + 3) 2 9 ] = 2(y + 3) (2.3)

47 43 Figura 2.17: Planto tangente do Exemplo Figura 2.18: Planto tangente do Exemplo Seguem das Equações (2.2) e (2.3) que o gráfico de f é dado por z = 3(x 1) (y + 3) = 3(x 1) 2 2(y + 3) 2 7, isto é, Logo, se então z + 7 = 3(x 1) 2 2(y + 3) 2. x 1 = x 1, y + 3 = y 1 e z + 7 = z 1, (2.4) z 1 = 3x 2 1 2y 2 1. Concluímos que o gráfico z = f(x,y) consiste de uma translação (Equação (2.4)) do paraboloide elíptico z = 3x 2 2y 2 ; veja a Figura Veja a Seção 1.3 de Cálculo Volume 1, James Stewart e os exercícios 65 e 66 de Cálculo Volume 2, James Stewart Aproximações Lineares e Diferenciabilidade Total Seja y = f(x) é uma função de uma variável. Se f é diferenciável em x = x, então seu gráfico possui uma reta tangente bem definida no ponto ( x, f(x ) ). A Figura 2.2 sugere que o valor

48 44 Figura 2.19: Gráfico da função do Exemplo de f(x) para pontos próximos x próximos de x podem ser aproximados pela coordenada y fornecida pela reta tangente. Como esta reta tangente contém o ponto (x, f(x ) e possui coeficiente angular f (x ), a equação da reta é y f(x ) = f (x )(x x ) y = f(x ) + f (x )(x x ). A aproximação de f(x) pela coordenada y fornecida pela reta tangente pode então ser escrita como f(x) L(x) = f(x ) + f (x ) (x x ), para x próximo de x. (2.5) Vejamos uma justificativa alternativa para a aproximação (2.5). ponto x é definida como f (x ) = lim h f(x + h) f(x ) h = lim x x f(x) f(x ) x x, A derivada de f no logo podemos pensar na seguinte aproximação, para x um número real próximo de x (h pequeno): f (x ) f(x) f(x ) x x = f(x) f(x ) + f (x ) (x x ). (2.6) Como L(x) = f(x ) + f (x ) (x x ) é a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = x, a Equação (2.6) nos diz que é possível aproximar os valores de f em torno do ponto

49 45 Figura 2.2: Linearização de f(x) = x 2 em torno de x = 1. x pelos de sua reta tangente em x. Esta aproximação é dita a aproximação linear de f em torno de x = x : f(x) L(x) = f(x ) + f (x ) (x x ), para x x = h pequeno. (2.7) A função L(x) no lado direito da Equação (2.7) é dita a linearização de f em torno de x. A Figura 2.2 ilustra a aproximação linear de f(x) = x 2 em torno de x = 1. Veja a Seção 3.1 de Cálculo Volume 1, James Stewart, para mais informações sobre a linearização e aproximações lineares de funções de uma variável. É possível aproximar os valores de uma função de duas variáveis em torno de um ponto (x, y ) através de uma função linear de duas variáveis; tais funções têm um plano como gráfico. Temos nas Figuras 2.21 e 2.22 ilustrados o gráfico e o plano tangente da função do Exemplo 2.5.2; observe o que ocorre quando damos um zoom nas proximidades do ponto (2, 2, 12).

50 46 Figura 2.21: Planto tangente do Exemplo Figura 2.22: Planto tangente do Exemplo Considere o caso do Exemplo A equação do plano tangente à função f(x,y) = 3x 2 + 6x 2y 2 12y 28 no ponto (2, 2, 12) é 6x + 4y + z = 8. A imagem de f em um ponto (x,y) próximo de (2, 2) pode ser aproximado pelo valor de z que a equação do plano tangente em (2, 2, 12) fornece, como as Figuras 2.21 e 2.22 sugerem. Por exemplo, para (x,y) = (2,1, 1,9), temos na equação do plano tangente 6(2,1) + 4( 1,9) + z = 8 12,6 7,6 + z = 8 z = 3. A aproximação linear afirma neste caso que f(2,1, 1,9) 3. O valor real de f(2,1, 1,9) pode ser calculado através da expressão f(x,y) = 3x 2 + 6x 2y 2 12y 28, o que fornece f(2,1, 1,9) = 3,5. A aproximação linear acima pode ser escrita da seguinte maneira. Quando substituímos um certo ponto (x,y) na equação 6x + 4y + z = 8 do plano tangente e calculamos o z correspondente estamos usando a seguinte função de duas variáveis: como z = 6x 4y 8, temos z = L(x,y) = 6x 4y 8. A função L(x,y) acima é aquela que possui como gráfico o plano z = 6x 4y 8. Então as Figuras 2.21 e 2.22 sugerem que, para pontos (x,y) próximos de (2, 2), a aproximação

51 47 de f(x,y) por L(x,y) é bem precisa: f(x,y) L(x,y) = 6x 4y 8. Definição Seja f(x,y) uma função com derivadas parciais contínuas em torno de um ponto (a,b) Dom f. A linearização de f em (a,b) é definida como a função L(x,y) que tem como gráfico o plano tangente a z = f(x,y) no ponto ( a, b, f(a,b) ) : L(x,y) = f(a,b) + f x (a,b)(x a) + f y (a,b)(y b). A aproximação f(x,y) L(x,y) = f(a,b) + f x (a,b)(x a) + f y (a,b)(y b). é definida como a aproximação linear de f em (a,b). Exercício Determine o plano tangente ao gráfico da função f(x,y) = y sen x+x 2 y 2 e x no ponto (,1,) e use-o para aproximar o valor de f no ponto (.1,.9). Note que, se escrevemos x = a + x, y = b + y, então a aproximação linear de f em (a,b) é escrita como f(a + x, b + y) f(a,b) + f x (a,b) x + f y (a,b) y. Em uma situação como a do Exercício devemos nos perguntar: qual o erro cometido ao fazer tal aproximação? Ou seja, ao aproximarmos o valor de f(x,y) em um ponto (a + x, b + y) pelo plano tangente de f em (a,b), será que a diferença E( x, y) = f(a + x, b + y) [ f(a,b) + f x (a,b) x + f y (a,b) y ] é pequena? Podemos reformular a pergunta da seguinte maneira: será que à medida que x e y se aproximam de zero o erro E( x, y) fica cada vez menor? De certa forma, introduzimos o conceito de diferenciabilidade (total) de funções de duas variáveis para descrever os casos em que esta linearização fornece uma boa aproximação.

52 48 Definição Sejam f(x,y) uma função de duas variáveis e (a,b) um ponto interior ao seu domínio. Dizemos que f é diferenciável em (a,b) se E( x, y) = ε 1 x + ε 2 y onde ε 1, ε 2 quando ( x, y) (,). Podemos reescrever a condição da Definição da seguinte maneira: definimos o incremento de z nesta situação como z = f(a + x, b + y) f(a,b), de modo que f é diferenciável em (a,b) se z = f x (a,b) x + f y (a,b) y + ε 1 x + ε 2 y, onde ε 1, ε 2 quando ( x, y) (,). O teorema a seguir fornece uma condição suficiente para a diferenciabilidade de uma função de duas variáveis; como esta condição é mais simples que a diferenciabilidade, podemos usá-lo para garantir que a linearização fornece de fato uma boa aproximação. Para um resultado mais preciso sobre o erro cometido na aproximação linear de uma função de duas variáveis, veja a Seção 14.6 de Cálculo Volume 2, George Thomas. Teorema Seja f(x,y) uma função de duas variáveis e (a,b) um ponto interior ao seu domínio. Se as derivadas parciais f x e f y existem em um disco aberto contendo (a,b) e são contínuas em (a,b), então f é diferenciável em (a,b). Definição Sejam f(x,y,z) uma função com derivadas parciais contínuas em torno de um ponto (a,b,c) Dom f. A linearização de f em (a,b,c) é definida como a função L(x,y,z) = f(a,b,c) + f x (a,b,c)(x a) + f y (a,b,c)(y b) + f z (a,b,c)(z c). A aproximação f(x,y,z) L(x,y,z) = f(a,b,c) + f x (a,b,c)(x a) + f y (a,b,c)(y b) + f z (a,b,c)(z c)

53 49 é definida como a aproximação linear de f em (a,b,c). 2.7 Regra da Cadeia Sejam f e g funções de uma variável tais que y = f(x) e x = g(t). Então, pela regra da cadeia, dy dt = dy dx dx dt. Por exemplo, se y = cos(t 2 3t), então podemos escrever y = cos x, onde x = t 2 3t. Logo, dy dt = dy dx dx dt = sen x (2t 3) = (2t 3) sen(t2 3t). Este regra de derivação possui um análogo para funções compostas de várias variáveis; a Figura 2.23 ilustra a composição de funções do enunciado do Teorema Figura 2.23: Composição de funções. Teorema Sejam z = f(x,y) uma função diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então é uma função diferenciável de t e z = f ( g(t), h(t) ) = F (t) dz dt = z dx x dt + z dy y dt.

54 5 z x y t t Figura 2.24: Regra da cadeia (Teorema 2.7.1). Demonstração: Provaremos, de acordo com a definição de derivada de função de uma variável, que o limite F (t + t) F (t) lim t t z = lim t t existe e é igual à expressão acima. Um incremento não nulo t na variável t produz incrementos x = g(t + t) g(t), y = h(t + t) h(t) nas variáveis x e y que, por sua vez, produzem um incremento z na variável z. Como f é diferenciável, segue da Definição 2.23 que z = f x x + f y y + ε 1 x + ε 2 y, onde ε 1, ε 2 quando ( x, y) (,). Logo, e, quando t se aproxima de zero, temos z t = f x x t + f y y t + ε x 1 t + ε y 2 t, z lim t t = f x x lim t t + f y y lim t t + lim t Como x = g(t) e y = h(t) são diferenciáveis, temos Portanto, x lim t t = dx dt e y lim t t = dy dt, ( ε 1 x t + ε 2 z lim t t = f x dx dt + f y dx dt + dx dt + dy dt, ) y. t

55 51 isto é, como gostaríamos. Exemplo Encontre o valor de dz dt dz dt = lim z t t = z x dx dt + z y dy dt, ( ) x 2 em t = 1 se z = cos e y x = 2t + 1 e y = t 3. Temos pela regra da cadeia (Teorema 2.7.1) que dz dt = z dx x dt + z dy y dt (2.8) onde z x = ( ) ( ) x 2 x 2 2x x cos = sen y y y, z y = ( ) ( ) ) x 2 x 2 y cos = sen ( x2. y y y 2 Usando as expressões x = 2t + 1, y = t 3 obtemos os seguintes valores para t = 1: ( ) z (2t + 1) 2 2(2t + 1) x = sen t=1 t 3 t 3 = 6 sen 9, t=1 (2.9) ( ) z (2t + 1) 2 ((2t + 1) 2 y = sen t=1 t 3 t 6 = 9 sen 9. t=1 (2.1) Além disso, temos logo dx dt = d dt (2t + 1) = 2 e dy dt = d dt t3 = 3t 2, dx dt = 2 t=1 e dy dt = 3. (2.11) t=1 Segue das Equações (2.8) a (2.11) que dz dt = ( 6 sen 9) 2 + (9 sen 9) 3 = 12 sen sen 9 = 15 sen 9 6,18. t=

56 52 Um resultado semelhante ao Teorema é válido também para funções de n variáveis. Teorema Sejam z = f(x 1,..., x n ) uma função diferenciável de n variáveis, onde x 1,..., x n são funções diferenciáveis de t, isto é, x 1 = g 1 (t),..., x n = g n (t). Então z = f ( g 1 (t),..., g n (t) ) = F (t) é uma função diferenciável de t e dz dt = z dx 1 x 1 dt + + z dx n x n dt. z x 1 x 2 x n t t t Figura 2.25: Regra da cadeia (Teorema 2.7.3). Exemplo Encontre o valor de dw dt em t = se w = xy + z e x = cos t, y = sen t e z = t. (2.12) Temos pela regra da cadeia (Teorema 2.7.3) que Como x = cos t, y = sen t e z = t, temos dw dt = w dx x dt + w dy y dt + w dz z dt. dx dt = sen t, dy dt = cos t e dz dt = 1, logo dx dt =, t= dy dt = 1 t= e dz dt = 1. t=

57 53 Mais ainda, temos w x = y, w y = x e w z = 1. onde x = cos t, y = sen t e z = t implicam em x = 1, y = e z =. Portanto, w w x =, w t= y = 1 e t= z = 1. t= Segue que dw dt = = 2. t= Note que a Equação (2.12) descreve uma hélice no espaço; o significado da derivada que calculamos acima é a taxa de variação de w conforme o ponto (x,y,z) se desloca seguindo o caminho descrito pela hélice Situações envolvendo taxas de variação relacionadas podem ser vistas através do prisma de funções de várias variáveis. Exemplo A lei dos gases ideias afirma que a temperatura T em Kelvin, a pressão P em newtons por metro quadrado e o volume V em metros cúbicos de um gás satisfazem a equação P V = kt, onde k é uma constante de proporcionalidade. Use esta lei com k = 1 para encontrar a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo de um gás no instante em que seu volume é de 12 m 3 sob uma pressão de 8 N/m 2, sabendo que seu volume está crescendo a uma taxa de 2 m 3 /s e a pressão está decrescendo a uma taxa de,1 N/m 2 s. A temperatura do gás pode ser escrita como uma função de duas variáveis T = 1 1 P V, onde P = P (t) e V = V (t) são funções do tempo. Segue da regra da cadeia que dt dt = T P dp dt + T V dv dt, isto é, dt dt = V 1 dp dt + P 1 dv dt.

58 54 Segue que no instante dado temos dt dt = 12 1 (,1) = 1,2 + 1,6 =,4. 1 Então a temperatura do gás está aumentando a uma taxa de,4 K/s neste instante..... O teorema a seguir representando a versão mais geral da regra da cadeia. Teorema Seja y = f(x 1,..., x n ) uma função diferenciável de n variáveis onde cada x i é função diferenciável de t 1,..., t m : x i = g i (t 1,..., t m ). Então y = f ( g 1 (t 1,..., t m ),..., g n (t 1,..., t m ) ) é uma função diferenciável de t 1,..., t m e, para j = 1,..., m, y = y x y x n. t j x 1 t j x n t j y x 1 x 2 x n t 1 t j t n t 1 t j t n t 1 t j t n Figura 2.26: Regra da cadeia (Teorema 2.7.6). Exemplo Seja u = x 4 y + y 2 z 3 onde x = rse t, y = rs 2 e t e z = r 2 s sen t. Encontre o valor de u quando (r,s,t) = (2,1,). s Temos pela regra da cadeia que u s = u x x s + u y y s + u z z s

59 55 onde x s = ret, Segue que, se (r,s,t) = (2,1,), x s =, (r,s,t)=(2,1,) y s = r2se t e y s = 1 (r,s,t)=(2,1,) z s = r2 sen t. e z s = 1. (r,s,t)=(2,1,) Temos ainda que u x = 4x3 y, u y = x4 + 2yz 3 Para (r,s,t) = (2,1,) temos (x,y,z) = (2,2,), logo u u x = 64, (r,s,t)=(2,1,) y = 16 (r,s,t)=(2,1,) e u z = 3y2 z 2. e u z =. (r,s,t)=(2,1,) Segue que u s = = 192. (r,s,t)=(2,1,) Exercício O raio de um cilindro circular reto está decrescendo a uma taxa de 5 cm/min e sua altura está aumentando a uma taxa de 12 cm/min. Determine a taxa de variação do volume do cilindro no instante em que o raio é 2 cm e a altura é 4 cm. Exercício Seja w = x + 2y + z 2 onde x = r/s, y = r 2 + ln s e z = 2r. Determine o valor da taxa de variação de w em relação a r e s quando r = 2 e s = 3. Exercício Seja z = f(x,y) uma função diferenciável tal que x = g(t), g (5) = 1, f x ( 2,15) = 3, g(5) = 2, Determine o valor de dz dt y = h(t), h (5) = 4, f y ( 2,15) = 2, h(5) = 15. quando t = 5. Exercício A produção W de trigo em toneladas em um dado ano depende da temperatura média T e da precipitação anual de chuva R. Cientistas estimam que a temperatura

60 56 média está aumentando a uma taxa de,15 o C por ano e a precipitação está decrescendo a uma taxa de,1 cm por ano. Eles também estimam que, nos níveis atuais de produção, W T = 2 e W R = 8. Determine uma estimativa para a taxa de variação dw da produção dt de trigo em função do tempo.

61 Capítulo 3 Derivadas Direcionais, Vetores Gradiente e Aplicações 3.1 Derivadas Direcionais e Vetores Gradiente Vimos no Capítulo 2 que as derivadas parciais de uma função z = f(x,y) num ponto (x,y ), definidas por e f x (x,y ) = lim h f(x + h,y ) f(x,y ) h f y (x,y ) = lim h f(x,y + h) f(x,y ) h representam a taxa de variação de z em relação às variáveis x e y, respectivamente. Geometricamente, f x (x,y ) e f y (x,y ) representam o coeficiente angular das retas tangentes às curvas obtidas pela interseção do gráfico de f com os planos y = b e x = a; veja as Figuras 2.11 e Veremos agora que é possível determinar a taxa de variação de z em uma direção arbitrária, dada por um vetor unitário u = (a,b). Definimos esta taxa de variação de maneira análoga às definições f x (x,y ) e f y (x,y ). O 57

62 58 vetor com a direção e sentido de u e módulo h é h u = (ha, hb). Consideramos um segmento de comprimento h na direção do vetor u partindo do ponto (a,b). O quociente da variação total de f neste intervalo por h representa a variação média de f neste segmento; como os extremos deste intervalo são dados pelos pontos (x, y ) e (x + ha, y + hb), esta média é dada por f(x + ha, y + hb) f(x, y ). h O limite desta média quando h representa a taxa de variação (instantânea) de interesse. Veja a Figura 3.1 e compare com a Figura 2.8. Figura 3.1: Taxa de variação de uma função f no ponto (x, y ) na direção do vetor unitário u = (a,b). Definição Sejam f(x,y) uma função de duas variáveis e (x,y ) um ponto interior ao seu domínio. Seja u = (a,b) R 2 um vetor unitário. A derivada direcional de f na direção do vetor u no ponto (x,y ) é definida como f(x + ha, y + hb) f(x, y ) D u f(x, y ) = lim, h h se o limite existir.

63 59 Note que se u = i = (1,) ou u = j = (,1) então a derivada direcional D u f(x, y ) coincide com as derivadas parciais f x (x, y ) e f y (x, y ), isto é, D i f(x, y ) = f x (x, y ) e D j f(x, y ) = f y (x, y ). Compare as Definições e nos casos u = i e u = j. Obs: Cabe ressaltar que o conceito de direção apresentado aqui diverge daquele estudado em Geometria Analítica. De acordo com os conceitos de Geometria Analítica, neste contexto de derivada direcional de funções, por direção definida por um vetor u entende-se a direção e o sentido definidos por este vetor O teorema abaixo fornece uma maneira simples de calcular a derivada direcional de uma função. Teorema Seja f(x,y) uma função diferenciável de duas variáveis definida sobre um conjunto aberto. Se (x,y ) Dom f e u = (a,b) é um vetor unitário, então a derivada direcional D u f(x,y ) existe e D u f(x,y ) = f x (x,y ) a + f y (x,y ) b. Demonstração: Considere a função de uma variável g(h) = f(x + ha, y + hb). Segue da definição de derivada de uma função que g () = lim h g(h) g() h = lim h f(x + ha, y + hb) f(x, y ) h = D u f(x, y ). (3.1) Por outro lado, temos g(h) = f(x,y) onde x = x + ha e y = y + hb. Então, pela regra da cadeia, g (h) = f x dx dh + f y dy dh = f x(x,y) a + f y (x,y) b, onde (x,y) = ( x(h), y(h) ) = (x + ha, y + hb). Para h = temos x(h) = x e y(h) = y, então O resultado segue das Equações (3.1) e (3.2). g () = f x (x, y ) a + f y (x, y ) b. (3.2)

64 6 ( Exemplo Calcule a derivada direcional D u f(1,2), onde f(x,y) = x 2 + xy e u = 1 1 2, ). 2 Temos f x (x,y) = 2x + y e f y (x,y) = x, logo f x (1,2) = 4 e f y (1,2) = 1. Segue que D u f(1,2) = = O significado geométrico da derivada direcional é semelhante ao das derivadas parciais. Dados uma função f(x,y), um ponto (x,y ) Dom f e um vetor unitário u = (a,b), a interseção do gráfico de f com o plano b(x x ) a(y y ) = é um curva C cujo coeficiente angular da reta tangente no ponto ( a, b, f(a,b) ) é igual a D u f(x,y ). Veja as Figuras 3.2 e 3.3. Figura 3.2: Significado geométrico da derivada direcional. Cabe ressaltar que o Teorema é válido apenas para vetores unitários. Vetores de mesma direção e módulos diferentes forneceriam derivadas direcionais de diferentes valores, o que não é de nosso interesse. Por esse motivo, se a direção em questão é definida por um

65 61 Figura 3.3: Significado geométrico da derivada direcional. vetor de módulo diferente de 1, é necessário normalizá-lo para usar então aplicar o Teorema Exemplo Determine a derivada direcional da função f(x,y) = ln(x 2 + y 2 ) no ponto (2,1) na direção definida pelo vetor u = ( 1,2). Temos f x (x,y) = 2x e f x 2 + y 2 y (x,y) = 2y x 2 + y, 2 logo f x (2,1) = 4 5 e f y (2,1) = 2 5. O módulo de u é dado por u = = 5. Segue que u tem a direção do vetor unitário v = 1 ( ) 1 2 ( 1,2) =, Segue que a derivada direcional em questão é dada por D v f(2,1) = = =

66 62 Observamos que o Teorema descreve o valor da derivada direcional D u f(x,y ) através do produto escalar dos vetores u = (a,b) e ( f x (x, y ), f y (x, y ) ) : D u f(x,y ) = ( f x (x, y ), f y (x, y ) ) (a,b) = f x (x, y ) a + f y (x, y ) b. O vetor ( f x (x, y ), f y (x, y ) ) é dito o vetor gradiente de f no ponto (x, y ). Definição Seja f(x,y) uma função de duas variáveis. O vetor gradiente ou, simplesmente, o gradiente de f é a função f que associa a cada ponto (x,y) Dom f o vetor f(x,y) = ( f x (x,y), f y (x,y) ) = f x (x,y) i + f y (x,y) j. Com a notação acima, podemos reescrever o Teorema da seguinte maneira: D u f(x,y) = f(x,y) u. (3.3) Mas o que o vetor gradiente de uma função f(x,y) de duas variáveis representa? A resposta desta pergunta envolve a seguinte propriedade do produto escalar de dois vetores: u v = u v cos θ, (3.4) onde θ [, π] é o ângulo de u e v. Portanto, D u f(x, y ) = f(x, y ) u = f(x,y ) u cos θ, e como u é vetor unitário na Equação (3.3), D u f(x, y ) = f(x,y ) cos θ. (3.5) Veja a Figura 3.4: diferentes vetores u formarão diferentes ângulos θ com o vetor gradiente. Segue da Equação (3.5) que a derivada direcional D u f(x, y ) é maximizada quando cos θ = 1. Isto ocorre quando θ =, isto é, quando u tem a mesma direção e sentido do vetor f(x,y ). Em outras palavras, o valor máximo de D u f(x,y ), para (x, y ) fixo, considerando todos os vetores unitários u R 2, ocorre quando u tem a direção de f(x,y ). Isto significa que ao

67 63 Figura 3.4: Ângulo θ formado pelo vetor u que define a derivada direcional e o vetor gradiente f(x,y ). caminharmos no gráfico z = f(x,y) da função f partindo do ponto (x, y ), temos a subida com maior inclinação na direção do vetor gradiente f(x, y ). Mais ainda, usando cos θ = 1 na Equação (3.5) concluímos que a derivada direcional nesta direção tem valor f(x,y ). Note que a Equação (3.5) implica ainda que a derivada direcional D u f(x,y ) é mínima quando cos θ = 1; isto é equivalente a θ = π, isto é, quando u e f(x, y ) têm a mesma direção mas sentidos opostos. Além disso, concluímos também que a taxa de variação de f em (x,y ) é nula em uma direção u se e somente se u é ortogonal a f(x,y ). Teorema Seja f(x,y) uma função diferenciável de duas variáveis e seja (x,y ) um ponto de seu domínio. Então a taxa de variação máxima de z = f(x,y) no ponto (x, y ) ocorre na direção f(x,y ) e este valor máximo é dado por f(x,y ). Exemplo Considere a função f(x,y) = x y2. Determine a direção em que z = f(x,y): (a) cresce mais rapidamente no ponto (2,1); (b) decresce mais rapidamente no ponto (2,1); (c) possui taxa de variação nula no ponto (2,1). O vetor gradiente de f é dado por f(x,y) = (x,6y), logo f(2,1) = (2,6). Segue que a

68 64 direção em que z = f(x,y) cresce mais rapidamente é u = (2,6); aquela em que z decresce mais rapidamente é u = ( 2, 6). As duas direções em que z possui taxa de variação nula são aquelas ortogonais ao vetor gradiente, isto é, aquelas dadas por v = (a,b) onde v f(2,1) =, isto é, 2a + 6b =, isto é, 6b = 2a. Devemos então escolher dois vetores v 1, v 2 com direções opostas que satisfazem a equação 6b = 2a. Segue que as direções em que a derivada direcional é nula são as dos vetores v 1 = (6, 2) e v 2 = ( 6,2) O vetor gradiente de uma função f(x,y) possui uma outra propriedade importante. Não é possível apresentar estas ideias em sua plenitude pois é necessário um conhecimento prévio de parametrização de curvas; veja o Capítulo 13 de Cálculo Volume 2, James Stewart. Teorema Sejam f(x,y) = k uma curva de nível de uma função diferenciável f de duas variáveis e (x, y ) um ponto desta curva. Então f(x, y ) é ortogonal a esta curva de nível no ponto (x, y ). Mais precisamente, o Teorema afirma que f(x, y ) é ortogonal à reta tangente a esta curva de nível no ponto (x, y ); veja a Figura 3.5. Nas Figuras 3.6 e 3.7 temos representados o campo gradiente de duas funções f(x,y): para alguns pontos (x,y) do plano, é representado graficamente o vetor f(x,y). O campo gradiente ilustra o fato que os vetores gradientes apontam para a direção de subida do morro (subida de maior inclinação). Podemos definir de maneira análoga a derivada direcional e o vetor gradiente de uma função de três variáveis. Teoremas semelhantes são provados com os mesmos argumentos. Definição Sejam F (x,y,z) uma função de três variáveis e (x,y,z ) um ponto interior ao seu domínio. Seja u = (a,b,c) R 3 um vetor unitário. A derivada direcional de F na direção do vetor u no ponto (x,y,z ) é definida como F (x + ha, y + hb, z + hc) F (x, y, z ) D u F (x, y, z ) = lim, h h

69 65 Figura 3.5: O vetor gradiente f(x, y ) é ortogonal à curva de nível f(x,y) = k contendo (x,y ). se o limite existir. Definição Seja F (x,y,z) uma função de três variáveis. O vetor gradiente ou, simplesmente, o gradiente de F é a função F que associa a cada ponto (x,y,z) Dom F o vetor F (x,y,z) = ( F x (x,y,z), F y (x,y,z), F z (x,y,z) ) = F x (x,y,z) i + F y (x,y,z) j + F z (x,y,z) k. Teorema Seja F (x,y,z) uma função diferenciável de duas variáveis definida sobre um conjunto aberto. Se (x,y,z ) Dom F e u = (a,b,c) é um vetor unitário, então a derivada direcional D u F (x,y,z ) existe e D u F (x,y,z ) = F (x,y,z ) u = F x (x,y,z ) a + F y (x,y,z ) b + F z (x,y,z ) c. A Equação (3.4) também é válida para vetores u, v de R 3. Segue então do Teorema que o máximo da derivada direcional D u F (x,y,z ), para (x,y,z ) fixo, dentre todos os vetores unitários u R 3, é F (x,y,z ) e ocorre quando u tem a direção e sentido do vetor gradiente F (x,y,z ). Teorema Seja F (x,y,z) uma função diferenciável de três variáveis e seja (x,y,z )

70 66 Figura 3.6: Campo gradiente de f(x,y) = 9 x 2 y 2. Figura 3.7: Campo gradiente de f(x,y) = x 2 y 2. um ponto de seu domínio. Então a taxa de variação máxima de w = F (x,y,z) no ponto (x, y, z ) ocorre na direção F (x,y,z ) e este valor máximo é dado por F (x,y,z ). Já foi discutido anteriormente o conceito de plano tangente ao gráfico de uma função. Entretanto, nem toda superfície S de R 3 representa o gráfico z = f(x,y) de uma função f de duas variáveis. Algumas podem ser descritas como a superfície de nível de uma função F de três variáveis, isto é, S = {(x,y,z) R 3 : F (x,y,z) = k}. Neste caso, é possível provar que se (x,y,z ) é um ponto de S e C é uma curva contida em S que passa por (x,y,z ), então F (x,y,z ) é ortogonal à reta tangente a C neste ponto. É natural portanto definir o plano tangente a S em (x,y,z ) como aquele que contém o ponto (x,y,z ) e tem o vetor F (x,y,z ) como vetor normal. Veja a Figura 3.8. Definição Seja F (x,y,z) uma função diferenciável de três variáveis. Sejam S a superfície de nível definida pela equação F (x,y,z) = k e (x,y,z ) um ponto de S. Suponha que F (x,y,z ) (,,). Definimos o plano tangente π a S em (x,y,z ) como o plano

71 67 z f(a,b) π b y a x Figura 3.8: Reta normal a uma superfície. que contém o ponto (x,y,z ) e tem o vetor F (x,y,z ) como vetor normal: π : F x (x,y,z )(x x ) + F y (x,y,z )(y y ) + F z (x,y,z )(z z ) =. A reta normal r à superfície S no ponto (x,y,z ) é definida como aquela que passa pelo ponto (x,y,z ) e é normal ao plano tangente a S neste ponto: r : (x,y,z) = (x,y,z ) + F (x,y,z ) t, isto é, r : x = x + F x (x,y,z ) t, y = y + F y (x,y,z ) t, z = z + F z (x,y,z ) t. Note que, se f(x,y) é uma função de duas variáveis, então seu gráfico z = f(x,y) corres-

72 68 ponde à superfície de nível F (x,y,z) = da função F (x,y,z) = z f(x,y): z = f(x,y) z f(x,y) = F (x,y,z) =. Assim, de acordo com a Definição , o plano tangente ao gráfico de f num ponto (x,y,z ) é dado por f x (x,y )(x x ) f y (x,y )(y y ) + 1 (z z ) =, isto é, z z = f x (x,y )(x x ) + f y (x,y )(y y ). Esta equação coincide com aquela do Teorema 2.5.1; em outras palavras, podemos enxergar o gráfico de uma função de duas variáveis como uma superfície de nível, se desejarmos. A reta normal ao gráfico de uma função de duas variáveis está bem definida portanto pela Definição Exemplo Determine o plano tangente e a reta normal à superfície y = x 2 z 2 no ponto (4,7,3). A superfície em questão é dada pela equação F (x,y,z) =, onde F (x,y,z) = y x 2 + z 2. Como F x (x,y,z) = 2x = F x (4,7,3) = 8, F y (x,y,z) = 1 = F y (4,7,3) = 1, F z (x,y,z) = 2z = F z (4,7,3) = 6, temos que o plano tangente a S no ponto (4,7,3) é 8(x 4) + 1(y 7) + 6(z 3) = 8x + y + 6z + 7 =. As equações paramétricas da reta normal a S em (4,7,3) são x = 4 8t, y = 7 + t, z = 3 + 6t.

73 Exercício Determine as direções em que a derivada direcional de f(x,y) = ye xy no ponto (,2) tem valor 1. Exercício Determine os pontos do plano em que a direção de maior crescimento de f(x,y) = x 2 + y 2 2x 4y é v = i + j. 3.2 Valores Máximo e Mínimo Estudaremos nesta seção pontos de máximo e mínimo de funções de várias variáveis, definidos a seguir. Definição Sejam f(x,y) uma função de duas variáveis e (x,y ) um ponto interior ao domínio de f. Dizemos que (x,y ) é um extremo local de f se existe um disco aberto D com centro em (x,y ) e raio r > tal que: (i) f(x,y ) f(x,y) para todo (x,y) D, ou (ii) f(x,y ) f(x,y) para todo (x,y) D. Dizemos, respectivamente, que (x,y ) é ponto de máximo ou ponto de mínimo de f. O valor f(x,y ) é dito um valor máximo local ou um valor mínimo local, respectivamente. Para encontrar os extremos locais de funções de uma variável, buscamos os pontos que possuem reta tangente horizontal; na Figura 3.9 temos ilustrados os extremos locais da função y =,1x 3 1,2x. No caso de uma função z = F (x,y) de duas variáveis, procedemos de maneira semelhante: buscaremos os pontos (x,y ) do domínio de F onde gráfico de F possui plano tangente horizontal. Como o plano tangente a z = F (x,y) no ponto ( x, y, F (x,y ) ) tem equação z z = F x (x,y )(x x ) + F y (x,y )(y y ),

74 7 isto equivale a procurar os pontos onde ambas as derivadas parciais de F se anulam. A -2 2 f B Figura 3.9: Função y = f(x) com extremos locais nos pontos A e B. Teorema Sejam F (x,y) uma função de duas variáveis e (x,y ) um ponto interior ao domínio de F. Se (x,y ) é um extremo local de F e as derivadas parciais de primeira ordem de F existem em (x,y ), então F x (x,y ) = F y (x,y ) =. Demonstração: Seja g(x) = F (x,y ). Se (x,y ) é um extremo local de F, então x = x é um extremo local de g(x). A função g é derivável em x = x ; segue do Teorema de Lagrange que g (x ) = F x (x,y ) =. Um argumento análogo mostra que F y (x,y ) =. Cabe ressaltar que o Teorema não afirma que todo ponto onde as derivadas parciais de primeira ordem z = F (x,y) se anulam é extremo local de F ; apenas a recíproca é verdadeira, logo a lista de pontos (x,y) tais que F x (x,y) = F y (x,y) = representam apenas candidatos para extremos locais de F. Como o Teorema não afirma nada sobre os pontos onde alguma das derivadas parciais de primeira ordem de F não existe, estes também compõem candidatos a extremos locais. Dizemos que os candidatos a extremos locais de F são os pontos críticos de F.

75 71 Definição Sejam F (x,y) uma função de duas variáveis (x,y ) um ponto interior a Dom F. Dizemos que (x,y ) é um ponto crítico de F se (i) alguma das derivadas parciais de primeira ordem de F não existe em (x, y ), ou (ii) F x (x,y ) = F y (x,y ) =. Obs: Note que uma função de duas variáveis F (x,y) a condição F x (x,y ) = F y (x,y ) = é equivalente a ao gradiente F (x,y ) se anular neste ponto (x,y ) Dom F ; assim o Teorema afirma que se F possui um extremo local em um ponto (x,y ) onde F x e F y existem, então F (x,y ) = Exemplo Considere a função F (x,y) = x 2 2x + 3y y Como as derivadas parciais de F existem em todo o plano, os pontos críticos de F são aqueles que satisfazem o sistema F x (x,y) =, F y (x,y) =, Segue que o único ponto crítico de F é (1, 2). 2x 2 =, 6y + 12 = Exemplo Considere a função G(x,y) = x 2 y 2. Analogamente, os pontos críticos de G são aqueles que satisfazem o sistema G x (x,y) =, G y (x,y) =, 2x =, 2y =. Concluímos que G, assim como F, possui um único ponto crítico: (x,y) = (,) É possível verificar se os pontos críticos dos Exemplos e são de fato extremos locais: completando quadrados, podemos escrever a função F como F (x,y) = (x 1) (y + 2) = (x 1) 2 + 3(y + 2)

76 72 Como (x 1) 2 e 3(y + 2) 2 para todo (x,y) R 2, temos F (x,y) 3 para todo (x,y) R 2. Segue de F (1, 2) = 3 que (1, 2) é mínimo local de F. Veja as Figuras 3.1 e O ponto crítico do Exemplo não é um extremo local: na direção do plano yz (x = ) a função G assume os valores G(,y) = y 2 ; na direção do plano xz (y = ), temos G(x,) = x 2. Segue que em qualquer disco aberto contendo o ponto (,) a função G assume valores maiores e menores que G(,) =. Veja as Figuras 3.12 e Figura 3.1: Plano tangente à função do Exemplo no ponto (1, 2). Figura 3.11: Plano tangente à função do Exemplo no ponto (1, 2). Assim como no estudo de funções de uma variável, podemos verificar se um ponto crítico de uma função f(x,y) de duas variáveis é um máximo local ou mínimo local usando a segunda derivada da função; neste caso, as derivadas parciais de segunda ordem da função. Teorema (Teste da Segunda Derivada). Sejam f(x,y) uma função de duas variáveis e (x,y ) um ponto crítico de f. Suponha que f possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas em uma vizinhança de (x,y ). Considere D = D(x,y ) = f xx (x,y ) f yy (x,y ) [ f xy (x,y ) ] 2.

77 73 Figura 3.12: Plano tangente à função do Exemplo no ponto (,). Figura 3.13: Plano tangente à função do Exemplo no ponto (,). Então: (i) se D > e f xx (x,y ) >, então (x,y ) é mínimo local de f; (ii) se D > e f xx (x,y ) <, então (x,y ) é máximo local de f; (iii) se D <, então (x,y ) não é extremo local de f. Se D =, nada podemos afirmar com este teste. Obs: Se (x,y ) é ponto crítico de f e D = D(x,y ) <, dizemos que (x, y ) é ponto de sela de f Obs: O discriminante D = D(x,y) no enunciado do Teorema é uma função de duas variáveis; para cada ponto (x,y) Dom f, as derivadas parciais de segunda ordem de f assumem valores possivelmente diferentes e D, portanto, também. Note que D pode ser escrito como o determinante de uma matriz 2x2: f D = xx f yx f xy f yy

78 74 Exemplo Determine os pontos críticos da função f(x,y) = x 4 + y 4 4xy + 1 e classifique-os como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Note que as derivadas parciais de f existem em todo o seu domínio: Dom f = R 2. Segue que seus pontos críticos são dados pelas soluções do sistema f x (x,y) =, 4x 3 4y =, f y (x,y) =, 4y 3 4x =. Da primeira equação concluímos que y = x 3 ; segue da segunda equação que 4x 9 4x = 4x(x 8 1) = x =, x = 1 ou x = 1. Então os pontos críticos de f são os pontos (,), (1,1) e ( 1, 1). Para aplicar o teste da segunda derivada, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem de f: f xx (x,y) = 12x 2, f yy (x,y) = 12y 2, f xy (x,y) = 4. O teste da segunda derivada aplicado em cada um dos pontos críticos fornece: D(,) = f xx (,) f yy (,) [ f xy (,) ] 2 = 16 = 16; D(1,1) = f xx (1,1) f yy (1,1) [ f xy (1,1) ] 2 = = 128 e fxx (1,1) = 12 D( 1, 1) = f xx ( 1, 1) f yy ( 1, 1) [ f xy ( 1, 1) ] 2 f xx ( 1, 1) = 12. = = 128 e Segue que (1,1) e ( 1, 1) são pontos de mínimo de f com valores de mínimo local dados por f(1,1) = f( 1, 1) = 1. O ponto (,) é um ponto de sela de f. Veja a Figura Exercício Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.

79 75 Figura 3.14: Gráfico da função f(x,y) = x 4 + y 4 4xy + 1. (i) f(x,y) = xy + 1 x + 1 y (ii) g(x,y) = e y cos x (iii) h(x,y) = (x 2 + y 2 ) 3 3(x 2 + y 2 ) Funções de três ou mais variáveis. Funções de n variáveis, n 3, satisfazem propriedades semelhantes em relação a extremos relativos; há também uma maneira de verificar se um ponto crítico de uma tal função é de fato um extremo relativo usando derivadas de ordem superior, mas omitiremos este resultado deste texto devido à sua complexidade. Teorema Sejam F (x 1,..., x n ) uma função de n variáveis e (a 1,..., a n ) um ponto interior a Dom F. Se (a 1,..., a n ) é um extremo relativo de F e as derivadas parciais de primeira ordem de F existem em (a 1,..., a n ), então F (a 1,..., a n ) = : F x 1 (a 1,..., a n ) = = F x n (a 1,..., a n ) =. Funções contínuas em conjuntos fechados e limitados. Se f(x) é uma função de uma variável contínua em um intervalo fechado [a,b], então f tem máximo absoluto e mínimo

80 76 absoluto em [a,b], isto é, existem x 1,x 2 [a,b] tais que f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) para todo x [a,b]. Temos um resultado semelhante para extremos absolutos de funções de n variáveis: podemos garantir que uma função F (x 1,..., x n ) contínua assume valores máximo e mínimo absolutos desde que seu domínio seja um conjunto fechado e limitado. Teorema Seja F (x 1,..., x n ) uma função de duas variáveis com domínio D fechado e limitado. Se F é contínua então F possui pontos de mínimo e máximo absolutos em D. Em outras palavras, existem (a 1,..., a n ), (b 1,..., b n ) D tais que F (a 1,..., a n ) F (x 1,..., x n ) F (b 1,..., b n ), para todo (x 1,..., x n ) D. Se um dos extremos absolutos mencionados no Teorema for um ponto interior a D, então ele é extremo local e portanto ponto crítico. Segue que para encontrar os extremos absolutos de uma função F contínua em um conjunto D fechado e limitado devemos procurar pelos pontos críticos de F em seu interior e compará-los com os valores de F nos pontos de fronteira de D. Enunciamos um método para tal abaixo, onde por compacto entende-se um conjunto fechado e limitado de R n. Método 1 (Extremos de Funções Contínuas em Compactos) Para encontrar os extremos absolutos de uma função F de n variáveis contínua em um conjunto D fechado e limitado, seguimos os seguintes passos: 1. encontre os pontos críticos de F no interior de D; 2. encontre os extremos de F na fronteira de D; 3. o maior dos valores de F nos pontos encontrados nos Passos 1 e 2 será o máximo absoluto de F, enquanto o menor será o mínimo absoluto de F. Exemplo Determine os extremos absolutos de F (x,y) = 2 + 2x + 2y x 2 y 2 no conjunto D = {(x,y) R 2 : x 9, y 9 x}.

81 77 O domínio D considerado para a função F é um triângulo, ilustrado na Figura Figura 3.15: Conjunto D do Exemplo Seguindo os Passos 1-3 acima, devemos primeiramente buscar os pontos críticos de F no interior de D: f x (x,y) =, f y (x,y) =, 2 2x =, 2 2y =, Segue que o único ponto crítico de F em D é o ponto (1,1); note que não é necessário aplicar o teste da segunda derivada a este ponto pois iremos comparar o valor de F (1,1) = 4 com os valores de F encontrados no Passo 2. Dividimos a fronteira de D em três segmentos, percorrendo os lados do triângulo no sentido trigonométrico a partir do segmento vertical: L 1 = {(,y) R 2 : y 9}, L 2 = {(x,) R 2 : x 9}, L 3 = {(x,y) R 2 : x 9 e y = 9 x}. Buscamos agora os extremos de F na sua fronteira (Passo 2): L 1 : se g(y) = F (,y) = 2+2y y 2, então g (y) = se e somente se y = 1; consideramos em L 1 os pontos (e valores) F (,9) = 61, F (,) = 2 e F (,1) = 3.

82 78 L 1 : se h(y) = F (x,) = 2+2x x 2, então h (x) = se e somente se x = 1; consideramos em L 2 os pontos (e valores) F (9,) = 61, F (,) = 2 e F (1,) = 3. L 3 : se ϕ(x) = F (x, 9 x) = 2 + 2x + 2(9 x) x 2 + (9 x) 2, então ϕ (x) = 2x x = x = 9 2, ( 9 donde o único ponto crítico de ϕ é 2, 9 ) ; consideramos em L 3 os pontos (e valores) 2 ( 9 F (9,) = 61, F (,9) = 61 e F 2, 9 ) = Segue que o máximo absoluto de F em D é (1,1), com valor máximo 4, e o valor mínimo absoluto 61 ocorre nos pontos (,9) e (9,). Veja a Figura 3.16: nela temos ilustrada o gráfico da função f no retângulo [,9] [,9]; o plano vertical delimita a região do gráfico diretamente acima do triângulo D Multiplicadores de Lagrange Muitas vezes, assim como no Exemplo , a parte mais trabalhosa da busca aos extremos absolutos de uma função de duas variáveis f(x,y) em um conjunto fechado e limitado D R 2 é a análise do comportamento da função em sua fronteira. Frequentemente a fronteira de tal conjunto D é definida através de uma equação da forma g(x,y) = k, como no exemplo abaixo. Considere o problema de encontrar o máximo absoluto da função f(x,y) = xy no conjunto D = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 1}.

83 79 Figura 3.16: Extremos absolutos da função F no conjunto D (Exemplo ). O conjunto D define um círculo de centro na origem e raio 1. O gráfico de f, ilustrado na Figura 3.17 na direção do conjunto D acima, sugere que os valores de máximo e mínimo absolutos são atingidos na fronteira do conjunto. A fronteira de D é definida pela equação g(x,y) = 1, onde g(x,y) = x 2 + y 2. Vemos na Figura 3.18 a fronteira de D e o gráfico de algumas curvas de nível de f: f(x,y) = k para k = 2,3,4,5 e 6. Note que a curva g(x,y) = 1 intercepta a primeira curva de nível de f(x,y) = 2 nos pontos A,B,C e D: estes pontos de interseção representam os pontos (x,y) da circunferência que possuem imagem 2 por f. O mesmo ocorre para as curvas de nível f(x,y) = 3 e f(x,y) = 4: estas curvas de nível interceptam a circunferência em quatro pontos (não estão destacados na figura). A curva de nível f(x,y) = 5 também intercepta a circunferência, mas desta vez através de dois pontos de tangência: F e G. A curva de nível f(x,y) = 6 ilustra o fato que qualquer curva de nível f(x,y) = k com k > 5 não intercepta a circunferência. Segue que os pontos de máximo absoluto (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) de f(x,y) na circunferência x 2 + y 2 = 1 ocorrem nos pontos de tangência mencionados: o valor máximo absoluto atingido é

84 8 Figura 3.17: Gráfico de f(x,y) = xy com domínio D, como no Exemplo Figura 3.18: Gráfico de g(x,y) = 1 e curvas de nível de f(x,y) = xy. f(x 1,y 1 ) = f(x 2,y 2 ) = 5. A curva x 2 + y 2 = 1 pode ser vista como a curva de nível g(x,y) = 1 da função g(x,y) = x 2 + y 2. Assim, os pontos de máximo do problema acima podem ser vistos como os ponto da curva g(x,y) = 1 que interceptam uma curva de nível f(x,y) = k em pontos (x,y) onde os gradientes de g e f são paralelos; em outras palavras, são pontos (x,y) que

85 81 satisfazem f(x,y) = λ g(x,y), g(x,y) = 1. (3.6) para algum número real λ. É possível provar que o extremo absoluto de uma função f de duas variáveis sujeita a uma condição g(x,y) = k sempre satisfaz um sistema como o da Equação (3.6). Mais ainda, o mesmo é válido para extremos absolutos de uma função F (x,y,z) de três variáveis sujeita a uma condição G(x,y,z) = k. Método 2 (Multiplicadores de Lagrange) Para determinar os extremos absolutos de uma função diferenciável F (x,y,z) sujeita a G(x,y,z) = k, onde G(x,y,z) (,,) sobre a superfície G(x,y,z) = k: 1. Determine as soluções (x,y,z,λ) do sistema F (x,y,z) = λ G(x,y,z), G(x,y,z) = k. (3.7) 2. Compare o valor de F nos pontos (x,y,z) encontrados no Passo 1; o maior deles será o valor máximo de F sob a restrição G(x,y,z) = k, enquanto o menor será o mínimo. Cabe ressaltar que F (x,y,z) = λ G(x,y,z) se e somente se F x (x,y,z) = λ G x (x,y,z), F y (x,y,z) = λ G y (x,y,z), F z (x,y,z) = λ G z (x,y,z), de modo que o sistema da Equação (3.7) pode ser escrita como um sistema de quatro equações. Este método se aplica de maneira análoga à funções F,G de n variáveis, n 2. Veremos abaixo que a função que usamos acima como exemplo tem de fato valor máximo z = 5 na circunferência x 2 + y 2 = 1.

86 82 Exemplo Determine os extremos absolutos da função f(x,y) = xy no conjunto D = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 1}. O único ponto crítico de f no interior de D ocorre quando f x (x,y) = f y (x,y) =, isto é, quando y = x =. Segue do Método de Multiplicadores de Lagrange que os extremos de f na fronteira de D (circunferência de raio 1) satisfazem o sistema f x (x,y) = λ g x (x,y), y = 2λx, f y (x,y) = λ g y (x,y), x = 2λy, x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 1. Segue da primeira e segunda equações que (3.8) y 2x = x 2y y2 = x 2. (3.9) Substituindo a Equação (3.9) na terceira equação do sistema obtemos x 2 + x 2 = 1 x 2 = 5 x = ± 5. Concluímos a partir da Equação (3.9) que as soluções do sistema (3.8) são pontos ( 5, 5), ( 5, 5), ( 5, 5) e ( 5, 5). Como f(,) =, f( 5, 5) = f( 5, 5) = 5, e f( 5, 5) = f( 5, 5) = 5, os extremos absolutos de f no conjunto D ocorrem nos pontos: (i) máximo absoluto nos pontos ( 5, 5), ( 5, 5) com valor 5; (ii) mínimo absoluto nos pontos ( 5, 5), ( 5, 5) com valor 5.

87 83 Veja a Figura O Método de Multiplicadores de Lagrange nos permite resolver problemas de cunho prático onde é necessário encontrar o máximo ou o mínimo de uma função de várias variáveis sujeita a uma certa condição. Exemplo Encontre o ponto P do plano π : 2x + y z 5 = mais próximo da origem. A distância de um ponto (x,y,z) à origem é dada por d = x 2 + y 2 + z 2. Devemos minimizar esta função d = d(x,y,z) sujeita à restrição g(x,y,z) = 2x + y z 5 = ; isto é equivalente a minimizar a função f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 sujeita a g(x,y,z) =, pois um ponto (x,y,z ) minimiza d(x,y,z) se e somente se ele minimiza f(x,y,z). Pelo Método dos Multiplicadores de Lagrange, consideramos o sistema f x (x,y) = λ g x (x,y), 2x = λ 2, f y (x,y) = λ g y (x,y), 2y = λ 1, f z (x,y) = λ g z (x,y), 2z = λ ( 1), g(x,y,z) =, 2x + y z 5 =. Segue das três primeiras equações do sistema que x = λ, y = λ 2, z = λ 2. (3.1) Substituindo a Equação (3.1) na quarta equação do sistema obtemos 2λ + λ ( 2 λ ) 5 = 3λ 5 = λ = Segue da Equação (3.1) que o ponto de π que minimiza a distância à origem é ( 5 (x,y,z) = 3, 5 ) 6,

88 84 Exemplo Uma caixa retangular sem tampa é feita de 12 m 2 de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa. Se x,y,z são as arestas da caixa, então seu volume é uma função de três variáveis: V (x,y,z) = xyz. A área total da caixa de papelão, considerando todas as suas faces, é igual a 12 m 2 ; se g(x,y,z) = xy + 2xz + 2yz, então temos g(x,y,z) = 12. Temos portanto que encontrar o máximo absoluto da função V (x,y,z) sujeita a condição g(x,y,z) = 12. Consideramos, pelo Método de Lagrange, as soluções do sistema V x (x,y) = λ g x (x,y), yz = λ(y + 2z), V y (x,y) = λ g y (x,y), xz = λ(x + 2z), V z (x,y) = λ g z (x,y), xy = λ(2y + 2x), g(x,y,z) = 12, xy + 2yz + 2xz = 12. Multiplicando a primeira equação dos sistema por x e a segunda por y vemos que xyz = λ(xy + 2xz) = λ(xy + 2yz). Não podemos ter λ = pois isso implicaria que alguma das outras variáveis se anula. Logo, xy + 2xz = xy + 2yz 2xz = 2yz x = y, (3.11) onde estamos usando o fato que os pontos de interesse satisfazem z ; caso contrário teríamos V =. Temos ainda da segunda e terceira equações que λ(xy + 2yz) = λ(2yz + 2xz) xy + 2yz = 2yz + 2xz y = 2z, (3.12) onde supomos x pelo mesmo argumento. Equações (3.11) e (3.12) na quarta equação do sistema obtemos Substituindo as conclusões obtidas nas x x + 2x x 2 + 2x x 2 = 12 3x2 = 12 = x = 2. Segue das Equações (3.11) e (3.12) que y = 2 e z =

89 85 Exercício Uma companhia possui três fábricas A, B e C produzindo o mesmo produto. O custo total para a Fábrica A produzir x unidades é dado por F A (x) = 3x 2 + 2; o custo total para as Fábricas B e C produzirem y e z unidades é dado respectivamente por F B (y) = y e F C (z) = 2z Determine como a produção deve ser distribuída para minimizar o custo de um pedido de 1.1 unidades. Extremos de funções sujeitas a duas restrições. Considere a curva C de interseção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com o plano x + y + z = 1; como encontrar os pontos de C que estão mais próximos da origem? Em outras palavras, queremos minimizar a função F (x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 para (x,y,z) no conjunto de pontos que satisfazem ambas equações g(x,y,z) = 1 e h(x,y,z) = 1, onde g(x,y,z) = x 2 + y 2 e h(x,y,z) = x + y + z. Veremos a seguir como usar o Método de Multiplicadores de Lagrange para resolver este tipo de problema de otimização. Sejam S 1 e S 2 as superfícies definidas pelas equações g(x,y,z) = k 1 e h(x,y,z) = k 2 e seja C a curva de interseção destas superfícies. Seja P = (x,y,z ) um ponto de extremo de F (x,y,z) sujeita a estas condições. Segue do que foi visto no começo desta seção que F (x,y,z ) é ortogonal a C neste ponto, isto é, F (x,y,z ) é ortogonal à reta tangente a C neste ponto. O plano π ortogonal a esta reta contém todos os vetores ortogonais a C em P ; como C está contida em S 1,S 2 e g(x,y,z ), h(x,y,z ) são ortogonais a S 1, S 2, respectivamente, segue que g(x,y,z ), h(x,y,z ) estão contidos no plano π. Portanto qualquer vetor contido π se escreve como uma combinação linear dos vetores g(x,y,z ), h(x,y,z ). Logo, F (x,y,z ) = λ g(x,y,z ) + µ h(x,y,z ), para algum par de números λ, µ R. Veja a Figura O ponto P = (x,y,z ) deve

90 86 satisfazer portanto o sistema F (x,y,z ) = λ g(x,y,z ) + µ h(x,y,z ), g(x,y,z) = k 1, h(x,y,z) = k 2. Figura 3.19: Extremo de uma função F (x,y,z) sujeita a duas restrições. Método 3 (Multiplicadores de Lagrange) Para determinar os extremos relativos de uma função diferenciável F (x,y,z) sujeita a g(x,y,z) = k 1 e h(x,y,z) = k 2, onde g(x,y,z) (,,) e g(x,y,z) (,,) são vetores linearmente independentes: 1. Determine as soluções (x,y,z,λ,µ) do sistema F (x,y,z ) = λ g(x,y,z ) + µ h(x,y,z ), g(x,y,z) = k 1, h(x,y,z) = k Compare o valor de F nos pontos (x,y,z) encontrados no Passo 1; o maior deles será o valor máximo de F sob as restrições g(x,y,z) = k 1 e h(x,y,z) = k 2, enquanto o menor será o mínimo. Exemplo Determine o ponto da curva C de interseção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com o plano x + y + z = 1 que está mais próximo da origem.

91 87 Se F (x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2, g(x,y,z) = x 2 + y 2 e h(x,y,z) = x + y + z, segue do método de Lagrange que devemos encontrar as soluções do sistema 2x = λ 2x + µ 1, F = λ g + µ h, 2y = λ 2y + µ 1, g(x,y,z) = k 1,, 2z = λ + µ 1, h(x,y,z) = k 2. x 2 + y 2 = 1, x + y + z = 1, Segue de z = µ/2 que A equação acima é satisfeita em dois casos: µ 2 = z = (1 λ)x = (1 λ)y. (1 λ)x = µ/2, (1 λ)y = µ/2, 2z = µ, x 2 + y 2 = 1, x + y + z = 1. (i) λ = 1 e z =, ou (ii) λ 1 e x = y = z/(1 λ). No caso (i), temos z = e assim x 2 + y 2 = 1, x + y = 1, = x 2 + (1 x) 2 = 1 2x 2 2x =, logo (x,y) = (1,) ou (,1). Temos assim os pontos (1,,) e (,1,). No caso (ii) temos x = y, logo a equação x 2 + y 2 = 1 fornece 2 2x 2 = 1 = x = ± 2. Logo, da última equação do sistema temos x + x + z = 1 z = 1 2x. ( 2 2 Temos assim os pontos 2, 2, 1 ) ( e 2, 2, 1 + ) 2. A distância à origem dos pontos encontrados são dadas por F (1,,) = 1,

92 88 F (,1,) = 1, ( 2 2 F 2, 2, 1 ) 2 = = 4 2 2, ( 2 2 F 2, 2, 1 + ) 2 = = Segue que ((1,,) e (,1,) são os pontos mais próximos da origem, enquanto o mais distante 2 2 é o ponto 2, 2, 1 + )

93 Capítulo 4 Integrais Múltiplas Estudaremos neste capítulo a integral definida de funções de duas ou três variáveis. Ambas são definidas de maneira semelhante, mas no caso de funções de duas variáveis temos um significado geométrico bastante intuitivo deste conceito, que é muito semelhante àquele da integral definida de uma função de uma variável. Por esse motivo inciamos um capítulo com uma revisão da definição de integrais definidas em uma variável. Integras definidas de funções de uma variável. Seja y = f(x) uma função de uma variável contínua e não-negativa em [a,b]. Considere o problema de determinar a área da região S entre o gráfico de f e o eixo x, de x = a até x = b (Figura 4.1). Não temos, a princípio, ferramentas para o cálculo desta área, mas podemos abordar o problema fazendo uso da área de uma figura conhecida, como o retângulo. Consideramos uma partição do intervalo [a,b] em n subintervalos através dos pontos a = x < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b, 89

94 9 onde x j x j 1 = x = (b a)/n para j = 1,..., n. Escolhemos um ponto x j em cada subintervalo [x j 1, x j ] e consideramos a soma n f(x j) x. (4.1) j=1 A soma da Equação (4.1) representa uma aproximação para a área de S, pois f(x j) x fornece a área do retângulo de base x e altura f(x j); veja a Figura 4.2. Figura 4.1: Região entre o gráfico de uma função e o eixo x. Figura 4.2: Aproximação da área de uma região: escolha x 4 = x 3 no quarto subintervalo. Conforme ilustrado na Figura 4.3, quanto maior o número de retângulos, mais precisa é a aproximação da área de S. Definimos a integral definida de f(x) em [a,b] como o limite

95 91 das aproximações dadas Equação (4.1) quando n se aproxima de infinito; assim, no caso de uma função contínua e não-negativa em [a,b], a integral definida coincide com a área de S. b n f(x) dx = lim f(x n j) x. (4.2) a j=1 Figura 4.3: Aproximação da área de uma região: quanto maior o número de retângulos, mais precisa é a aproximação. Obs: Cabe ressaltar que a notação usada na Equação (4.2) para a integral definida da função y = f(x) sobre o intervalo [a,b] não foi escolhida por acaso. O símbolo representa o limite de uma soma, conforme discutido acima. Este símbolo é acompanhado por f(x) dx, indicando a soma da área de retângulos de altura f(x) e base infinitesimal dx: quando o número de retângulos se aproxima de infinito, o valor de x se aproxima de zero. Os números a e b que acompanham o símbolo indicam que esta soma é feita para retângulos desde x = a até x = b Integrais Duplas Considere agora uma função z = f(x,y) de duas variáveis contínua e não-negativa no retângulo R = {(x,y) R 2 : a x b, c y d}. Denotaremos tais retângulos por R = [a,b] [c,d]. Considere o volume do sólido S de R 3 situado acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f; veja a Figura 4.4.

96 92 Figura 4.4: Função contínua f(x,y) definida sobre o retângulo R = [a,b] [c,d]. Aproximamos o volume V (S) de S pela soma do volume de figuras conhecidas: paralelepípedos. Dividimos o retângulo R em retângulos menores ao dividir os intervalos [a,b] e [c,d] em n intervalos menores: consideramos as partições a = x < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b e c = y < y 1 < y 2 < < y n 1 < y n = d, onde para j = 1,..., n. x j x j 1 = x = b a n e y j y j 1 = y = d c n, Dividimos assim o retângulo R em n 2 retângulos menores dados por R i,j = [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], para i,j = 1,..., n. Veja a Figura 4.5. Note que cada retângulo R i,j tem área A = x y. Escolhemos um ponto (x i,j, y i,j) em cada retângulo R i,j e consideramos o paralelepípedo com base R i,j e altura f(x i,j, y i,j). O volume deste paralelepípedo é dado por f(x i,j, y i,j) A; veja a Figura 4.6. A soma do volume destes paralelepípedos fornece uma aproximação para o volume V (S) de S:

97 93 Figura 4.5: Partição do retângulo R em retângulos menores. V (S) n n f(x i,j, yi,j) A. (4.3) i=1 j=1 Figura 4.6: Aproximação do volume de um sólido por paralelepípedos. A aproximação dada pela Equação (4.3) fica cada vez mais precisa à medida que o número de retângulos cresce. Escrevemos portanto o volume de S como V (S) = lim n n i=1 n f(x i,j, yi,j) A. j=1

98 94 A integral dupla de f(x,y) sobre o retângulo R é escrita através da mesma expressão. Entretanto, para apresentar a definição formal desta integral dupla consideramos uma situação um pouco mais geral: dividimos os intervalos [a,b] e [c,d] em n e m subintervalos, onde possivelmente temos n m: a = x < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b e c = y < y 1 < y 2 < < y m 1 < y m = d. Definição Seja f(x,y) uma função de duas variáveis definida sobre um retângulo R = [a,b] [c,d]. A integral dupla de f sobre R é definida como R f(x,y) da = lim m,n n i=1 m f(x i,j, yi,j) A. caso o limite exista. Dizemos nesse caso que f é integrável em R. Obs: Ressaltamos que a Definição é válida não só para funções não-negativas e contínuas em um retângulo; apenas neste caso a integral dupla representa o volume de um sólido, mas a definição permanece válida no caso mais geral Obs: O limite através do qual a integral dupla é definida deve independer da escolha dos pontos (x i,j, y i,j). Em outras palavras, para qualquer escolha de pontos (x i,j, y i,j), i = 1,..., n, j = 1,..., m, o limite da Definição deve fornecer o mesmo valor. Se f é de fato integrável em R, então podemos considerar uma escolha que nos seja mais conveniente para os pontos (x i,j, y i,j): podemos escolher (x i,j, y i,j) como o ponto que fornece o máximo ou o mínimo de f no subretângulo R i,j, ou simplesmente (x i,j, y i,j) = (x i,j, y i,j ). Podemos também supor que m = n, de modo que a integral dupla pode ser escrita como R f(x,y) da = lim n n i=1 j=1 n f(x i,j, y i,j ) A. O teorema abaixo garante que funções em uma determinada classe são integráveis Teorema Se f(x,y) é uma função de duas variáveis contínua em R = [a,b] [c,d], então f é integrável em R. j=1

99 95 Teorema Sejam R um retângulo de R 2 e f(x,y), g(x,y) funções integráveis em R. Então: (i) R [ f(x,y) ± g(x,y) ] da = R f(x,y) da ± R g(x,y) da; (ii) c f(x,y) da = c f(x,y) da, para todo número real c; R R (iii) se f(x,y) g(x,y) para todo (x,y) R, então f(x,y) da R R g(x,y) da. Exemplo Calcule a integral f(x,y) da, onde f(x,y) = 5 x e R = [,5] [,3]. R Como f é contínua em R, segue do Teorema que f é integrável em R. Além disso, pelo Teorema temos onde R R (5 x) da = R 5 da R x da, (4.4) 5 da = 5 1 da representa o volume da caixa retangular de base R e altura 5: R 5 da = = 75. (4.5) Para calcular a integral R R x da, considere as partições a = x < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b e c = y < y 1 < y 2 < < y n 1 < y n = d, onde x i = 5i/n e y j = 3j/n. Temos assim R x da = lim n = lim n n i=1 n i=1 75 = lim n n 2 n j=1 n j=1 f(x i,j, y i,j ) A = lim n 5i n ( 5 n 3 ) 75 = lim n n n 3 n 75 n(n + 1) i = lim, n n2 2 i=1 n i=1 n i=1 n x i A j=1 n j=1 75 i = lim n n 3 n n i i=1

100 96 então Segue das Equações (4.4), (4.5) e (4.6) que f(x,y) da = = R R x da = (4.6) Integrais duplas iteradas. Estudaremos a seguir integrais duplas iteradas, que fornecem um método mais simples para o cálculo de integrais duplas. Isto será feito através de integrais iteradas, que veremos a seguir. Sejam F (x,y) uma função contínua no retângulo R = [a,b] [c,d] e x um ponto de [a,b]. Então F (x,y) é uma função contínua de uma variável: g x (y) = F (x,y). Definimos a integral parcial de f(x,y) em relação a y de y = c a y = d como A(x ) = d g x (y) dy = d c c F (x,y) dy. Cabe ressaltar que a expressão acima depende do valor x [a,b] fixado: a princípio, para cada x [a,b] diferente, temos uma função g x (y) diferente e portanto um valor A(x ) diferente. A integral iterada de F (x,y) sobre R é definida como b b [ d ] A(x) dx = F (x,y) dy dx. (4.7) Exemplo Calcule a integral iterada a a c (1 6x 2 y) dy dx. Para cada x [,2] fixo, tratamos a variável x como uma constante na integral abaixo: 2 y=2 A(x) = (1 6x 2 y) dy = (y 3x 2 y 2 ) = 2 12x 2 ( 1 3x 2 ) = 3 9x 2. 1 Segue da Equação (4.7) que 2 2 (1 6x 2 y) dy dx = 2 1 y= 1 (3 9x 2 ) dx = (3x 3x 3 ) x=2 x= = 6 24 =

101 97 O teorema abaixo afirma que integrais duplas de funções contínuas podem de fato ser calculadas como integrais iteradas. Teorema (Fubini). Se F (x,y) é uma função contínua no retângulo R = [a,b] [c,d], então F (x,y) da = b d F (x,y) dy dx = d b R a c c a F (x,y) dx dy. O Teorema pode ser interpretado geometricamente da seguinte maneira. Sejam F (x,y) uma função contínua e não-negativa em R = [a,b] [c,d] e S o sólido entre R e o gráfico de F. Para cada y [c,d], temos que F (x,y ) = h y (x) é uma função de uma variável e A(y ) = b a F (x,y ) dx representa a área entre o gráfico de h e o eixo x de x = a até x = b, isto é, A(y ) representa a área lateral do sólido na Figura 4.7. Figura 4.7: Interpretação geométrica do Teorema de Fubini. Temos por definição que a integral iterada de F se escreve como d c A(y) dy = lim n n A(y i ) y, (4.8) j=1

102 98 onde A(y i ) y é o volume do sólido da Figura 4.7. A soma no lado direito da Equação (4.8) fornece uma aproximação para o volume do sólido S; à medida que n cresce esta aproximação se torna cada vez mais precisa, fornecendo V (s) no limite quando n se aproxima de infinito. Exemplo Calcule a integral de f(x,y) = y sen(xy) sobre R = [1,2] [,π/2]. Temos R y sen(xy) da = = π/2 2 π/2 1 y sen(xy) dx dy = π/2 cos(xy) x=2 x=1 ( cos(2y) + cos y ) dy = ( 1 2 sen(2y) + sen y ) y=π/2 = 1 2 sen π + sen π 2 ( 1 2 sen + sen ) = 1. dy y= Exercício Calcule as integrais abaixo. (i) (ii) (iii) π/2 2 1 ln 2 ln 5 R xy sen y dx dy e 2x y dx dy xy 2 da, onde R = [,1] [ 3,3]. x Exercício Determine o volume V do sólido delimitado pela superfície x 2 + 2y 2 + z = 16, pelos planos x = 2, y = 2 e pelos planos coordenados. Integrais duplas sobre regiões gerais. Seja f(x,y) uma função contínua sobre um conjunto limitado D R 2. Seja R um retângulo do plano que contém D e considere a função F : R R f(x,y), se (x,y) D, F (x,y) =, se (x,y) R D.

103 99 Veja as Figura 4.8 e 4.9. Se a integral de F sobre R existe, então definimos a integral dupla de f sobre D como f(x,y) da = F (x,y) da. (4.9) D R Figura 4.8: Definição de integral dupla sobre uma região geral. D Figura 4.9: Definição de integral dupla sobre uma região geral. Obs: Intuitivamente, a contribuição de F nos pontos (x,y) R D é nula, pois F nestes pontos Obs: Se f(x,y) em D, então f(x,y) da define o volume do sólido situado diretamente acima de D e abaixo do gráfico de f(x,y) A integral dupla da Equação (4.9) tem sua existência garantida se D é uma região do tipo I ou II. Dizemos que D R 2 é uma região do tipo I se existem um intervalo [a,b] e

104 1 funções g 1 (x), g 2 (x) contínuas em [a,b] tais que Veja a Figura 4.1. D = {(x,y) R 2 : a x b e g 1 (x) y g 2 (x)}. (4.1) Figura 4.1: Regiões do Tipo I. Vejamos agora como podemos calcular a integral dupla f(x,y) da, D onde f(x,y) é uma função contínua sobre uma região D do tipo I. Considere um retângulo R = [a,b] [c,d] que contém a região D e uma função F (x,y) como na Equação (4.9). Observe que f(x,y) da = F (x,y) da = b d D R a c F (x,y) dy dx. Note que, conforme ilustrado na figura à direta da Figura 4.11, temos para cada x [a,b] fixo que F (x,y) = Portanto, A(x ) = isto é, d F (x,y) dy = g1 (x ), se c y < g 1 (x ), f(x,y), se g 1 (x ) y g 2 (x ),, se g 2 (x ) < y d. F (x,y) dy + g2 (x ) F (x,y) dy + c c g 1 (x ) g 2 (x ) A(x ) = g2 (x ) g 1 (x ) F (x,y) dy. d F (x,y) dy,

105 11 Veja a Figura Como temos o resultado abaixo. f(x,y) da = b D a A(x) dx, Figura 4.11: Cálculo de integrais duplas sobre regiões do Tipo I. Teorema (Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo I). Se f(x,y) é função contínua sobre a região do tipo I D = {(x,y) R 2 : a x b e g 1 (x) y g 2 (x)}, então f(x,y) da = Exemplo Esboce a região b g2 (x) D a g 1 (x) f(x,y) dy dx. e calcule a integral dupla D = {(x,y) R 2 : x 1 e 1 y e x } D x y da. Um esboço da região D pode ser encontrado na Figura 4.12: é a região delimitada pela exponencial e as duas retas, formando o triângulo com vértices A, B e C. Segue do

106 12 Teorema que D x y da = = 1 e x 1 1 x dy dx = y 1 (x x x ln 1) dx = x ln y 1 y=e x y=1 dx x 2 dx = x3 3 x=1 x= = 1 3. Figura 4.12: Região D do Exemplo Exemplo Encontre o volume V do sólido abaixo do paraboloide z = x 2 +y 2 e acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2. Um esboço da região D pode ser encontrado na Figura Para escrever o conjunto D como uma região do tipo I, como na Equação (4.1), determinamos os pontos de interseção de y = 2x e y = x 2 : 2x = x 2 x 2 2x = x(x 2) = x = ou x = 2. Segue que D = {(x,y) R 2 : x 2 e x 2 y 2x},

107 13 e portanto, 2 2x 2 ) V = (x 2 + y 2 ) da = (x 2 + y 2 ) dy dx = (x 2 y + y3 y=2x D x ) 2 ( ) = (2x 3 + 8x3 3 x4 x6 14x 3 dx = x 4 x6 dx ( ) 7x 4 = 6 x5 5 x7 x=2 = 7 ( x= = ) 21 ( ) = 8 = = 8 27 = y=x 2 dx Figura 4.13: Região D do Exemplo Lembramos que a integral de F (x,y) considerada na definição estabelecida na Equação (4.9) tem sua existência garantida se D é uma região do tipo I ou II; definimos acima o que é uma região do tipo I e apresentamos agora a definição de uma região do tipo II. Dizemos que D R 2 é uma região do tipo II se existem um intervalo [c,d] e funções contínuas h 1 (y), h 2 (y) contínuas em [c,d] tais que D = {(x,y) R 2 : c y d e h 1 (y) x h 2 (y)}. (4.11)

108 14 Segue por argumentos análogos que, se f(x,y) é contínua em D, então d h2 (y) f(x,y) da = f(x,y) dx dy. Veja a Figura D c h 1 (y) Figura 4.14: Cálculo de integrais duplas sobre regiões do Tipo II. Teorema (Integrais Duplas sobre Regiões do Tipo II). Se f(x,y) é função contínua sobre a região do tipo II então Exemplo Calcule D = {(x,y) R 2 : c y d e h 1 (y) x h 2 (y)}. D f(x,y) da = x y 1 = e pela parábola y 2 = 2x + 6. D d h2 (y) c h 1 (y) f(x,y) dx dy. xy da, onde D é a região do plano xy limitada pela reta Podemos escrever D como uma região do tipo II, conforme indicado na Figura Como y 2 = 2x + 6 se e somente se x = 3 + y 2 /2, temos D = {(x,y) R 2 : c y d e 3 + y 2 /2 x y + 1}, onde c,d representam a ordenada dos pontos de interseção da reta e da parábola: 3 + y2 2 = y + 1 y2 2y 8 = y = 4 ou y = 2.

109 15 Segue que D 4 y+1 4 xy da = xy dx dy = y x2 x=y y 2 /2 2 2 dy x= 3+y 2 /2 = 1 4 [ ( )] y y(y y + 1) y y2 + 9 dy = 1 4 ] [ y y3 + 2y 2 8y dy = 1 ( y6 + y ) y=4 y3 4y 2 y= 2 = 1 ( ) ( ) = ( ) ( = ) = 8 = = 36. Figura 4.15: Região D do Exemplo

110 16 A integral dupla sobre regiões gerais satisfaz as seguintes propriedades. Teorema Sejam D, D 1, D 2 R 2 regiões do plano xy e f,g funções integráveis sobre essas regiões. Então: (i) (ii) D D [ f(x,y) ± g(x,y) ] da = c f(x,y) da = c f(x,y) da; D D f(x,y) da ± (iii) se f(x,y) g(x,y) para todo (x,y) D, então f(x,y) da D D D g(x,y) da; g(x,y) da; (iv) Se D = D 1 D 2 e a interseção D 1 D 2, se não-vazia, consiste apenas de pontos de fronteira de D 1, D 2, então f(x,y) da = f(x,y) da + D 1 f(x,y) da. D 2 D Figura 4.16: Ilustração do item (iv) do Teorema Em muitos casos temos a opção de descrever uma região D R 2 como uma região do tipo I ou do tipo II, ou ainda, como uma união de regiões do tipo I ou do tipo II. Nestes casos, podemos fazer a escolha mais conveniente. No exercício abaixo verificamos que a região do Exemplo pode ser escrita como uma união de regiões do tipo I; a resolução feita acima é mais simples. Mais ainda, no exemplo seguinte, vemos que a escolha da ordem de integração pode inviabilizar o cálculo da integral através das técnicas vistas neste texto.

111 17 Exercício Calcule a integral do Exemplo como uma integral do tipo I. Exemplo Calcule e y2 da, onde R é o triângulo do plano xy limitado pelas retas x =, y = 1 e y = x. R Poderíamos facilmente escrever a integral dupla acima como uma integral do tipo I, mas teríamos assim que resolver a integral indefinida e y2 dy, que não pode ser expressa através de funções elementares. Escrevemos então R como uma região do tipo II, como indicado na Figura 4.17: Segue que R e y2 da = R = {(x,y) R 2 : y 1 e x y}, 1 y e y2 dx dy = 1 x=y x e y2 dy = Fazendo a substituição u = y 2 na integral acima concluímos que y=1 e y2 da = ey2 2 = 1 (e 1). 2 R y= x= 1 ye y2 dy Exercício Esboce a região do plano xy sobre a qual a integral abaixo deve ser calculada e troque a ordem de integração para efetuar os cálculos: dy dx. 3 x 1 + y4 Uma das aplicações da integral definida de uma função de uma variável é o cálculo da área de regiões do plano. Através da definição abaixo poderemos fazer isto também por integrais duplas. Definição A área de uma região fechada e limitada R R 2 é definida como A(R) = 1 da, se a integral existir. R

112 18 Figura 4.17: Triângulo R do Exemplo A intuição por trás da Definição é que a referida integral dupla representa o volume de uma caixa cilíndrica S de altura 1, cujas tampa e base têm o formato de R. Seu volume seria portanto V (S) = A(R) 1 = A(R). Veja a Figura Note que no caso de uma região do tipo I a Definição coincide com a definição de área vista no cálculo integral de funções de uma variável: se R é dada por R = {(x,y) R 2 : a x b e g 1 (x) y g 2 (x)}, então A(R) = 1 da = b g2 (x) 1 dy dx = b R a g 1 (x) a y y=g 2 (x) y=g 1 (x) dx = b a [ g2 (x) g 1 (x) ] dx. Valor médio de uma função de duas variáveis. Seja F (x,y) uma função contínua sobre um retângulo R = [a,b] [c,d]. A fim de definir o valor médio F m de F sobre R,

113 19 Figura 4.18: Ilustração da Definição consideramos partições a = x < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b e c = y < y 1 < y 2 < < y n 1 < y n = d, e consideramos a soma abaixo como uma aproximação para F m : F m 1 n n F (x n 2 i,y j ). Em outras palavras, escolhemos um ponto em cada subretângulo R i,j aritmética do valor de F nestes pontos. Note que F m 1 1 n n F (x i,y j ) = x y n n F (x i,y j ) = 1 n n b a d c A(R) i=1 j=1 i=1 i=1 j=1 j=1 n i=1 e fazemos a média n F (x i,y j ) A. Intuitivamente, à medida que n se aproxima de infinito a aproximação acima fica cada vez mais precisa. Como 1 A(R) n i=1 n j=1 estabelecemos a definição abaixo. F (x i,y j ) A n 1 F (x,y) da, A(R) R Definição Seja F (x,y) uma função de duas variáveis definida sobre uma região R R 2. Definimos o valor médio de F sobre R como F m = 1 F (x,y) da, A(R) R j=1

114 11 se a integral existir. Podemos interpretar a Definição da seguinte maneira: F m representa a altura do cilindro com base e tampa dados por R e com volume igual ao do sólido definido originalmente pelo gráfico de F (x,y). Exercício Determine o valor médio da função f(x,y) = x sen y sobre a região D limitada pelas curvas y =, x = 1 e y = x Coordenadas Polares Nesta seção estudaremos uma maneira alternativa de descrever pontos do plano. conteúdo nos ajudará a calcular integrais duplas (e triplas), mas é importante ressaltar que as aplicações de coordenadas polares não se restringem ao cálculo de integrais múltiplas. Podemos descrever a localização de um ponto P do plano através das coordenadas (x,y) usuais: estes números representam a distância de P aos eixos x e y. Este Alternativamente, consideramos um ponto O, dito o polo, e um eixo semelhante ao eixo x, dito o eixo polar; localizamos P no plano através do par (r,θ), onde r representa a distância de P até a origem e θ o ângulo entre o eixo polar e OP no sentido trigonométrico. Veja a Figura Note que podemos representar um mesmo ponto em coordenadas polares através de diferentes pares (r,θ) R 2. Para cada ponto P (r,θ) do plano, os pares (r,θ + 2π), (r,θ + 4π), etc, representam o mesmo ponto P. Outros pares (r,θ) com r < também representam o mesmo ponto P ; veja a Figura 4.2. É comum considerarmos para r valores não negativos e fixar para a variável θ um intervalo da forma [,2π] ou [ π,π]. A transformação de coordenadas polares para coordenadas cartesianas é simples, basta

115 111 Figura 4.19: Coordenadas cartesianas e polares. Figura 4.2: Coordenadas polares. consider na Figura 4.19 o triângulo retângulo de hipotenusa OP. x = r cos θ y = r sen θ (4.12) A mudança de variáveis no sentido contrário se dá através da Equação (4.12), ao observamos que x 2 + y 2 = r 2 (cos 2 θ + sen 2 θ) = r 2 e y/x = tg θ. r 2 = x 2 + y 2 tg θ = y x (4.13) Observamos, no entanto, que dado qualquer número w R existem dois ângulos θ 1, θ 2 [,2π] tais que tg(θ 1 ) = w e tg(θ 2 ) = w; esta escolha deve ser feita com bastante atenção. Exemplo As coordenadas cartesianas para o ponto (r,θ) = (2, π/4) são dadas por 2 x = r cos θ = 2 2 = 2,

116 112 y = r sen θ = = Exemplo Determine coordenadas polares para o ponto (x,y) = ( 3,1). Temos pela Equação (4.13) que r = x 2 + y 2 = θ = tg 1 ( y x ( 3) = 2, ) ( = tg 1 1 ). 3 Como tg(π/6) = 1/ 3, temos que ( tg π π ) ( = tg π ) 3 = Os pontos (r,θ) = (2,5π/6) e (r,θ) = (2, π/6) representam, respectivamente, pontos no segundo e quarto quadrantes. Portanto, o ponto (x,y) = ( 3,1) corresponde a (r,θ) = (2,5π/6) Obs: É absolutamente essencial um conhecimento sólido do círculo trigonométrico: seno e cosseno de ângulos básicos como θ =, 3, 45, 6, 9 e os ângulos correspondentes nos outros quadrantes. O mesmo pode ser dito das propriedades trigonométricas abaixo, principalmente no que diz respeito a integração de funções trigonométricas: cos 2 θ + sen 2 θ = 1, tg 2 θ + 1 = sec 2 θ, cotg 2 θ + 1 = cosec 2 θ, (4.14) cos(a + b) = cos a cos b sen a sen b, sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a

117 113 Uma equação em duas variáveis F (x,y) = descreve uma curva no plano através de coordenadas cartesianas. Da mesma forma, uma equação F (r,θ) = descreve uma curva plano, que consiste em todos os pontos que possuem pelo menos uma representação polar que satisfaz essa equação. Lembramos que um mesmo ponto possui diferentes representações em coordenadas polares: por exemplo, o ponto (x,y) = ( 1,) pode ser representado como (r, θ) = (1, π) ou (r, θ) = ( 1,). Como um primeiro exemplo, observamos que a equação r = k descreve o conjunto de pontos a uma distância fixa do polo (origem), logo a curva em questão é a circunferência de raio r = k. Veja a Figura Vejamos agora o que ocorre com a equação θ = t: esta equação descreve o conjunto de pontos P tais que OP forma um ângulo fixo t com o eixo polar; considerando não só r, mas também valores negativos para r, concluímos que a equação θ = t representa uma reta que contém o polo (origem). Veja a Figura Figura 4.21: Pontos P 1, P 2 pertencentes à circunferência r = k. Figura 4.22: Pontos P 1, P 2 pertencentes à reta θ = t. Obs: Um ponto do plano contém muitas representações polares distintas e escolhemos a mais conveniente em cada situação. No caso de uma reta θ = t, ilustrada na Figura 4.22, optamos por manter o ângulo θ fixo e considerar valores positivos e negativos para r: {(r, θ) R 2 : θ = t, r R}. A mesma reta pode ser descrita também da seguinte maneira: {(r, θ) R 2 : θ = t, r } {(r, θ) R 2 : θ = t, r > }.

118 114 Esta última descrição pode não ser tão conveniente por ter um caráter descontínuo Exemplo Esboce a curva definida pela equação r = 6 sen θ. Faremos uso das Equações (4.12) e (4.13) para tal: como y = r sen θ, temos r = 6 sen θ se e somente se Completando quadrados obtemos: r = 6 y r = r2 = 6y = x 2 + y 2 = 6y. x 2 + y 2 6y = x 2 + y 2 6y = x 2 + (y 3) 2 = 9. Segue que a equação r = 6 sen θ define uma circunferência de raio 3 e centro (,3). Veja a Figura Figura 4.23: Circunferência definida pela equação r = 6 sen θ Algumas regiões planas são descritas mais facilmente através de coordenadas polares; isto nos é bastante útil no cálculo de integrais duplas. Como exemplo, consideramos a região D = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 1}. (4.15)

119 115 A região D consiste do círculo unitário com centro na origem, isto é, a circunferência x 2 +y 2 = 1 e seu interior. Podemos descrever D através de coordenadas polares da seguinte maneira. Para cada θ [, 2π] fixo, consideramos os pontos com distância a origem menor ou igual a 1: D = {(r, θ) R 2 : r 1, θ 2π}. (4.16) Podemos ainda considerar o intervalo [ π, π] para a coordenada θ: D = {(r, θ) R 2 : r 1, π θ π}. (4.17) Veja a Figura As descrição dada pela Equação (4.16) sofre de ambiguidade na fronteira do retângulo da Figura 4.24 no seguinte sentido: todos os pontos do segmento r = correspondem ao ponto (x,y) = (,); mais ainda, os segmentos θ = e θ = 2π correspondem ao mesmo segmento nas coordenadas cartesianas. Veja a Figura Entretanto, para cada ponto (x,y) no interior deste retângulo, temos exatamente um ponto da forma (4.15) e vice-versa. Temos uma situação semelhante para o retângulo definido pela Equação (4.17). Figura 4.24: Região D da Equação (4.15). Considere agora as Equações (4.18) e (4.19) abaixo: D = {(r, θ) R 2 : r 1, 2π θ 2π}, (4.18) D = {(r, θ) R 2 : 1 r 1, θ 2π}. (4.19)

120 116 Figura 4.25: Ambiguidade oriunda da Equação (4.16). Na condição r 1, 2π θ 2π da Equação (4.18) observamos tal ambiguidade também no interior do retângulo: por exemplo, os pontos (r, θ) = (1/2,π/2) e (r, θ) = (1/2,5π/2) correspondem ao mesmo ponto (x,y) = (,1). A condição da Equação (4.19) apresenta um problema semelhante: os pontos (r, θ) = (1/2,π/2) e (r, θ) = ( 1/2, π/2) correspondem ao mesmo ponto (x,y) = (,1). Veremos que será necessário descrever conjuntos em coordenadas polares sem ambiguidade, como nas Equações (4.16) e (4.17). Exemplo Descreva em coordenadas polares a região D do plano limitada pela circunferência x 2 + y 2 = 4 que se encontra à direita da reta x =. Uma representação gráfica desta região é encontrada na Figura A circunferência x 2 + y 2 = 4 possui equação r = 2 em coordenadas polares. Considerando o intervalo [, 2π] para a coordenada θ, podemos descrever esta região como D = {(r, θ) R 2 : r 2, θ π/2} {(r, θ) R 2 : r 2, 3π/2 θ 2π}. A descrição acima, entretanto, possui um caráter descontínuo que pode ser evitado ao se considerar o intervalo [ π,π] para os ângulos que percorrem o círculo trigonométrico: D = {(r, θ) R 2 : r 2, π/2 θ π/2}

121 117 Figura 4.26: Região D do Exemplo Obs: Cabe ressaltar que um intervalo da forma [,2π] é suficiente para descrever os pontos de uma circunferência, mas em alguns casos é necessário considerar um intervalo maior para descrever (sem ambiguidade) uma curva. Este é o caso da curva r = θ, θ [, 8π]. Veja a Figura Figura 4.27: Espiral descrita por r = θ, θ [, 8π]. 4.3 Mudança de Coordenadas em Integrais Duplas Até o momento temos realizado substituições simples: tratamos todas as variáveis como constantes com exceção daquela em relação a qual estamos integrando no momento. Se

122 118 estamos realizando uma integral na variável z, fazemos uma substituição da forma u = g(z) = du = g (z)dz, de modo a facilitar o cálculo da integral. Na seção a seguir veremos que é possível realizar uma troca de coordenadas dupla no seguinte sentido: substituiremos simultaneamente ambas variáveis de uma integral dupla por outras duas. Será possível também realizar uma substituição deste tipo com integrais triplas. Ao considerar a integral de uma função de uma variável f(x), muitas vezes realizamos uma mudança de coordenadas x = g(u) a fim de facilitar nossos cálculos. escreve então da seguinte maneira: f(x) dx = f ( g(u) ) g (u) du. A integral se Por exemplo, podemos encontrar uma primitiva para a função f(x) = x cos(x 2 ) ao considerar a mudança de variáveis x = g(u) = u: temos x = g(u) = u = x 2 = u e g (u) = 1 2 u, logo x cos(x 2 ) dx = u 1 cos u 2 u du = 1 2 Se desejamos calcular uma integral definida, digamos cos u du = 1 2 sen(x2 ) + C. 3 2 x cos(x 2 ) dx, então devemos ajustar o domínio de integração [2,3] à nova variável através da equação b f(x) dx = g 1 (b) a g 1 (a) f ( g(u) ) g (u) du. No exemplo citado, temos x = g(u) = u, logo u = x 2 e x = 2 = u = 4, x = 3 = u = 9.

123 119 Segue que 3 2 x cos(x 2 ) dx = cos u du = 1 2 sen(u) 9 4 = 1 2 ( sen(9) sen(4) ). Veremos agora como efetuar uma mudança de coordenadas em integrais duplas. Considere a integral de uma função f(x,y) de duas variáveis sobre uma região R do plano. Seja T (u,v) uma transformação de R 2 em R 2 : T (u,v) = (x,y), onde x = g(u,v) e y = h(u,v). Suponha que para algum conjunto S do plano uv temos T (S) = R. Veja as Figuras 4.28 e Figura 4.28: Transformação T : R 2 R 2. Figura 4.29: Regiões R e S dos planos xy e uv tais que T (S) = R.

124 12 Exemplo Seja e considere a transformação R = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 4} T (r,θ) = (r cos θ, r sen θ). Se S = {(r,θ) R 2 : r 2, θ 2π}, então T (S) = R. Veja a Figura Suponha que T é uma transformação C 1 (derivadas parciais contínuas) e que T é injetiva no interior de S (note que, no Exemplo 4.3.1, T é injetiva em int S). Veremos agora como a transformação T afeta a integral dupla de f(x,y) sobre R. Na definição de integral dupla consideramos uma partição do domínio da integral em retângulos pequenos e somamos a contribuição de cada um deles; no limite, quando o número de retângulos se aproxima de infinito, temos a integral dupla. Consideramos portanto um retângulo S em S e sua imagem R = T (S ), como ilustrado na Figura 4.3. Figura 4.3: Retângulo S S e sua imagem R = T (S ). Aproximamos a área de R pelo área de um paralelogramo, conforme indicado na Figura A área deste paralelogramo é dada por a b, onde, pela definição de derivada parcial, a = T (u + u, v ) T (u, v ) T u (u, v ) u.

125 121 O mesmo é válido para o vetor b: b = T (u, v + v) T (u, v ) T v (u, v ) v. Segue que a área de R pode ser aproximada por: A(R ) ( T u (u, v ) u ) ( T v (u, v ) v ) = T u (u, v ) T v (u, v ) u v = T u (u, v ) T v (u, v ) A(S ), (4.2) onde T u T v = i j k x u x v y u y v = x u x v y u y v = x y u v y u A Equação (4.2) fornece a relação entre um elemento de área de S e sua imagem no plano xy. Este tipo de relação determina como deve ser feita uma mudança de coordenadas em uma integral dupla; veja o Teorema x v. Figura 4.31: Aproximação da área de R = T (S ) por um paralelogramo. Definição O Jacobiano de uma transformação T (u,v) = ( x(u,v), y(u,v) ) é definido como J(u,v) = (x,y) (u,v) = x u y u x v y v = x y u v y x u v. Teorema Sejam T, R e S como acima e suponha que o Jacobiano de T é não-nulo em S. Então, se f(x,y) é contínua em R, f(x,y) da = f ( x(u,v), y(u,v) ) (x,y) (u,v) da. R S

126 Exemplo Calcule D x2 + y 2 da, onde D = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 4}. Seja T (r,θ) a mudança de coordenadas polares, como na Equação (4.12). Conforme visto na Seção 4.2, temos T (S) = D, onde Então, x2 + y 2 da = D onde Logo, D S S = {(r,θ) R 2 : r 2, θ 2π}. (x,y) 2π (r cos θ)2 + (r sen θ) 2 (r, θ) da = J(r,θ) = (x,y) (r,θ) = x2 + y 2 da = 2π 2 x r y r r r dr dθ = x θ y θ 2 = cos θ r( sen θ) sen θ r cos θ = r. 2π 2 r 3 3 r=2 r= dθ = 2π 122 r 2 (x,y) (r, θ) dr dθ, 8 3 dθ = 8 16π 2π = Obs: Note que o Jacobiano da mudança de coordenadas polares será sempre o mesmo, independente da integral dupla a ser calculada , temos (x,y) (r,θ) De acordo com os cálculos do Exemplo = r. (4.21) Exemplo Se uma placa fina de metal ocupa uma região D do plano e possui densidade de massa pontual dada por uma função f(x,y), para (x,y) D, então sua massa é dada por M = f(x,y) da. D Uma placa de metal ocupa a região do plano exterior à circunferência r = 3 e interior à circunferência r = 6 sen θ. Sabendo que sua densidade de massa é dada por f(x,y) = (x 2 + y 2 ) 1/2, determine sua massa.

127 123 Veja um esboço da região D ocupada pela placa na Figura Temos que D = {(r,θ) R 2 : θ θ π θ, 3 r 6 sen θ}, onde θ é determinado pela interseção das circunferências: 3 = 6 sen θ sen θ = 1 2. Segue que θ = π/6. Portanto, 5π/6 6 sin θ ( M = (x 2 + y 2 ) 1/2 da = (r cos θ) 2 + (r sen θ) 2) 1/2 (x,y) D π/6 3 (r,θ) dr dθ 5π/6 6 sin θ 5π/6 6 sin θ 5π/6 r=6 sin θ = r 1 r dr dθ = dr dθ = r dθ π/6 3 π/6 3 π/6 r=3 5π/6 θ=5π/6 = [6 sen θ 3] dθ = ( 6 cos θ 3θ) π/6 θ=π/6 ( ) ( 3 = 6 3 5π6 ) π = π π 6 = 6 3 2π. Figura 4.32: Região D do Exemplo Exercício Faça uma mudança de variáveis para as coordenada polares nas integrais abaixo e calcule-as.

128 124 (i) 1 1 x x 2 + y 2 dy dx. (ii) y 2 x 16 y 2 y dx dy Integrais Triplas Considere uma caixa retangular B R 3 dada por B = {(x,y,z) R 3 : a x b, c y d, r z s}. (4.22) Denotamos caixas como B daqui em diante por B = [a,b] [c,d] [r,s]. Definimos a integral tripla de uma função de três variáveis f(x,y,z) sobre B de maneira análoga a integrais duplas. Ilustramos esta definição com uma situação prática: a Equação Geral do Balanço Molar; veja a Seção 1.2 do livro Elementos de Engenharia das Reações Químicas, H. S. Fogler. Considere um sistema limitado por uma caixa B como aquela da Equação (4.22) onde ocorre uma reação química envolvendo uma substância química q. Estamos interessados em descrever quantos mols N q = N q (t) desta substância nós temos em B em um dado instante de tempo. Temos que N q depende da taxa de mols de q que entram e saem de B; estas quantidades são denotadas por F q e F q na Figura Mas também devemos contabilizar quantos mols por unidade de tempo G q = G q (t) são produzidos ou consumidos de B através da reação química que ali ocorre. Descrevemos a quantidade G q através do conceito de integrais. Figura 4.33: Reação química em um sistema.

129 125 Se a substância q é produzida em B de maneira uniforme, digamos a uma taxa de r q mols por minuto por cm 3, então G q é facilmente determinado: G q = r q V (B), onde V (B) denota o volume de B. Entretanto, esta taxa com que q é produzida pode ser diferente em cada ponto de B; por exemplo, esta taxa pode depender da proximidade de uma fonte de calor. Seja F (x,y,z) a função que representa a taxa com que q é produzida no ponto (x,y,z) por minuto por cm 3. Consideramos partições dos intervalos [a,b], [c,d] e [r,s] em n subintervalos de mesmo comprimento: onde a = x < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b, c = y < y 1 < y 2 < < y n 1 < y n = d, r = z < z 1 < z 2 < < z n 1 < z n = s, x = b a n, y = d c n, z = s r n. Estas partições dividem a caixa B em n 3 caixas menores B i,j,k, para 1 i,j,k n, ditas subvolumes; veja a Figura O índice i,j,k em B i,j,k indica o subvolume formado pelo i-ésimo intervalo na partição de [a,b], o j-ésimo intervalo na partição de [c,d] e o k-ésimo intervalo na partição de [r,s]. Cada subvolume B i,j,k tem volume V = x y z. Em cada subvolume B i,j,k escolhemos um ponto (x i,j,k, y i,j,k, z i,j,k ) e fazemos a seguinte aproximação: consideramos que a taxa de produção de q em B i,j,k é constante e igual a F (x i,j,k, y i,j,k, z i,j,k ). Assim, o número de mols de q produzidos em B i,j,k por unidade de tempo é F (x i,j,k, y i,j,k, z i,j,k ) V. Veja a Figura Procedendo desta maneira para todo subvolume B i,j,k obtemos a seguinte aproximação para a taxa de produção de q no sistema: G q n n n F (x i,j,k, yi,j,k, zi,j,k) V. i=1 j=1 k=1 À medida que n cresce, o número de subvolumes de controle fica cada vez maior e o volume de cada um deles fica cada vez menor. Veja a Figura Assim, o erro cometido pela aproximação acima (taxa de produção de q constante em cada subvolume de controle)

130 126 Figura 4.34: Aproximamos F (x,y,z) em cada subvolume de controle por uma constante. fica cada vez menor. Intuitivamente temos que este erro se aproxima de zero no limite quando n se aproxima de infinito, donde G q = lim n n i=1 n j=1 k=1 n F (x i,j,k, yi,j,k, zi,j,k) V. (4.23) Figura 4.35: Divisão de uma caixa retangular em caixas menores. A definição de integral tripla se dá de maneira análoga à Equação (4.23), mas nesta definição consideramos uma situação um pouco mais geral: particionamos os intervalos [a,b], [c,d], [r,s] em l, m e n subintervalos, onde não necessariamente temos l = m = n. Definição Seja F (x,y,z) uma função de três variáveis definida em uma caixa retangular B = [a,b] [c,d] [r,s]. Definimos a integral tripla de F sobre B como B F (x,y,z) dv = lim l,m,n l i=1 m j=1 k=1 n F (x i,j,k, yi,j,k, zi,j,k) V, se o limite existir. Dizemos nesse caso que a função F é integrável sobre B.

131 127 Obs: O limite acima deve existir e fornecer o mesmo valor para quaisquer escolha dos pontos (x i,j,k, y i,j,k, z i,j,k ) Temos a integrabilidade de uma função garantida se ela for contínua, assim como no caso bivariado. Temos também a possibilidade de calcular integrais triplas através de integrais iteradas. Teorema Se F (x,y,z) é uma função contínua em uma caixa retangular B = [a,b] [c,d] [r,s], então F é integrável em B. Teorema (Fubini). Se F (x,y,z) é contínua em uma caixa retangular B = [a,b] [c,d] [r,s], então s d b F (x,y,z) dv = F (x,y,z) dx dy dz. B r c a A integral iterada do Teorema pode ser feita em qualquer ordem sem alteração no valor da integral. Podemos escrever, por exemplo, d b s F (x,y,z) dv = F (x,y,z) dz dx dy. B c a r A integral tripla iterada, da maneira que está escrita no Teorema 4.4.3, representa o seguinte processo: fixamos um ponto (y,z ) [c,d] [r,s] e consideramos a função de uma variável F (x,y,z ); a integral definida desta função sobre [a,b] é um número que depende de (y,z ), denotado por V (y,z ): V (y,z ) = b a F (x,y,z ) dx. Calculamos a seguir a integral dupla de V (y,z) sobre o retângulo [c,d] [r,s]: F (x,y,z) dv = V (y,z) da. B [c,d] [r,s] Exemplo Calcule a integral xy sen(yz) dv, onde B é a caixa retangular limitada pelos planos coordenados e pelos planos x = π, y = 1 e z = π/3. B

132 128 Temos que B = [, π] [,1] [, π/3], logo xy sen(yz) dv = π 1 π/3 B xy sen(yz) dz dy dx. A integral na variável z pode ser feita através da seguinte substituição simples: u = yz = du = y dz. Então: Logo, onde 1 Portanto, π/3 π 1 π/3 xy sen(yz) dz = x cos(yz) xy sen(yz) dz dy dx = z=π/3 z= π 1 ( = x cos y π ) + x cos. 3 [ ( x cos y π ) ] + x dy dx, 3 [ ( x cos y π ) ] + x dy = ( x 3π ( 3 sen y π ) ) y=1 + xy = x 3 ( π ) 3 y= π sen + x. 3 B xy sen(yz) dv = π = π2 2 [ x 3 π ] ( x dx = x2 3 ) 3 2 2π + x π + π2 2 = frac3π 34 + π x=π x= Integrais triplas sobre regiões sólidas gerais. Sejam E um conjunto fechado e limitado qualquer de R 3 e f(x,y,z) uma função contínua em E. A integral tripla de f sobre E é definida de maneira análoga ao que vimos na Seção 4.1. Consideramos uma caixa retangular B = [a,b] [c,d] [r,s] que contém E e a função f(x,y,z), se (x,y,z) E, F (x,y,z) =, se (x,y,z) B E.

133 129 Definimos a integral tripla de f sobre E como f(x,y,z) dv = F (x,y,z) dv, (4.24) E B caso a integral à direita exista. A existência desta integral é garantida se E é uma região sólida do tipo I, II ou III, como definiremos a seguir. Uma região sólida E R 3 é dita uma região do tipo I se existem D R 2 e funções u 1 (x,y), u 2 (x,y) contínuas em D tais que E = {(x,y,z) R 3 : (x,y) D e u 1 (x,y) z u 2 (x,y)}. (4.25) Em outras palavras, E é a região sólida de R 3 que se encontra diretamente acima (ou abaixo) da região D do plano xy, acima do gráfico da função u 1 (x,y) e abaixo do gráfico de u 2 (x,y); veja a Figura Por argumentos análogos àqueles vistos na Seção 4.1 temos [ ] u2 (x,y) f(x,y,z) dv = f(x,y,z) dz da. (4.26) E D u 1 (x,y) Figura 4.36: Região sólida do tipo I. Logo, se D é uma região do plano do tipo I, como definido na Equação (4.1), D = {(x,y) R 2 : a x b e g 1 (x) y g 2 (x)},

134 13 então f(x,y,z) dv = b g2 (x) u2 (x,y) E a g 1 (x) u 1 (x,y) f(x,y,z) dz dy dx. Se E R 3 é como na Equação (4.25) e D é uma região do tipo II, D = {(x,y) R 2 : c y d e h 1 (y) x h 2 (y)}, então temos da Equação (4.26) que f(x,y,z) dv = d h2 (y) u2 (x,y) E c h 1 (y) u 1 (x,y) f(x,y,z) dz dx dy. Exercício Calcule as integrais abaixo. (i) π π/2 π/2 xz z ( y ) cos dy dx dz z 2 4y y 2 2 y (ii) dx dz dy Exemplo Calcule z dv, onde E é a região no primeiro octante limitada pelo plano x + y + z = 1. E É necessário entendermos a geometria desta região sólida para descrevê-la adequadamente, como na Equação (4.25). Note que x = y = = z = 1, x = z = = y = 1, y = z = = x = 1. Um esboço da região sólida E se encontra na Figura Como x + y + z = 1 z = 1 x y, podemos descrever E da seguinte forma: E = {(x,y,z) R 3 : (x,y) D e z 1 x y},

135 131 Figura 4.37: Região sólida do Exemplo onde D é a região triangular do plano xy destacada em azul na Figura 4.37; veja também a Figura Temos D = {(x,y) R 2 : x 1 e y 1 x}, logo, E z dv = = 1 2 = x 1 x y 1 1 x 1 z dz dy dx = 1 1 x 1 z 2 2 z=1 x y z= (1 x y)3 3 (1 x y) 2 dy dx = 1 2 (1 x) 3 dx = 1 ) (1 x)4 x=1 ( = x= dy dx y=1 x y= dx Figura 4.38: Região D referente à Figura

136 132 Fazemos uso da integral tripla para definir o volume de uma região sólida geral E R 3. Lembramos que a integral da função constante igual a 1 sobre um intervalo [a,b] R ou sobre uma região D R 2 fornece a medida deste domínio, isto é, o comprimento do intervalo ou a área da região: b a dx = b a e da = A(D). Definimos o volume de um sólido E de maneira análoga, como a integral da função constante 1 sobre E. Definição Seja E uma região sólida de R 3. Definimos o volume de E como V (E) = dv, caso a integral exista. Exercício Calcule o volume da região sólida E indicada na Figura 4.39, delimitada pelo cilindro y = x 2 e pelos planos z = e y + z = 1. E D Figura 4.39: Região sólida E do Exercício e região do plano xy correspondente. Dizemos que E R 3 é uma região do tipo II se existem uma região D do plano yz e funções u 1 (y,z), u 2 (y,z) contínuas em D tais que E = {(x,y,z) R 3 : (y,z) D e u 1 (y,z) x u 2 (y,z)}. (4.27) Cabe ressaltar que uma região sólida E R 3 pode ser vista como uma região do tipo I ou do tipo II, ou ainda como uma região do tipo III, conforme veremos mais à frente; cabe a nós

137 133 fazer a escolha mais conveniente. No exemplo abaixo trataremos a região sólida em questão como uma região do tipo II. Exemplo Calcule x 2 e y dv, onde E R 3 é a região sólida limitada pela superfície z = 1 y 2 e pelos planos z =, x = 1 e x = 1. E Um esboço da região sólida E pode ser encontrado na Figura 4.4. Podemos descrever E como uma reigão sólida do tipo II: E = {(x,y,z) R 3 : (y,z) D e 1 x 1}, onde D = {(y,z) R 2 : 1 y 1 e z 1 y 2 }. Segue que E x 2 e y dv = = 1 1 y y x 2 e y dx dz dy = 2 3 ey dz dy = A integral acima pode ser feita por partes: fazendo temos 1 1 (1 y 2 )e y dy = (1 y 2 )e y y 2 x ey z=1 y2 ze y dy = 2 3 z= u = (1 y 2 ) = du = 2ydy dv = e y dy = v = e y, 1 1 = 2 (ye y e y ) x=1 x= ( 2y)e y dy = dz dy (1 y 2 )e y dy. ye y dy = 2 ( e e ( 1)e 1 + e 1) = 4e 1, onde a última integral também foi feita por partes através da escolha u = y, dv = e y dy. Segue que E x 2 e y dv = 2 3 4e 1 = 8 3e.

138 134 Figura 4.4: Região sólida E do Exemplo e região do plano yz correspondente Dizemos que E R 3 é uma região do tipo III se existem uma região D do plano xz e funções u 1 (x,z), u 2 (x,z) contínuas em D tais que E = {(x,y,z) R 3 : (x,z) D e u 1 (x,z) y u 2 (x,z)}. (4.28) Exemplo Calcule x dv, onde E R 3 é a região sólida limitada pelos planos x + z = 1 e y + 3z = 3. E Temos na Figura 4.41 um esboço da região sólida E. Podemos descrever E como uma região sólida do tipo III: E = {(x,y,z) R 3 : (x,z) D e y 3 3z}, onde D é o triângulo do plano xz situado no primeira quadrante e delimitado pela reta x + z = 1: D = {(x,z) R 2 : x 1, z 1 x}. Logo, x dv = 3 3z x dy da = 1 1 x 3 3z E D x dy dz dx.

139 135 Temos Logo, isto é, E E x dv = x dv = 3 3z 1 1 x 1 x dy = x y y=3 3z y= [3x 3xz] dz dx = = 3x 3xz. 1 (3xz 32 ) z=1 x xz2 dx, z= [ 3 2 x 3 ] ( 3 2 x3 dx = 4 x2 3 ) x=1 8 x4 = 3 x= = Figura 4.41: Região sólida E do Exemplo Exemplo Calcule x2 + z 2 dv, onde E R 3 é a região sólida limitada pelo paraboloide y = x 2 + z 2 e pelo plano y = 4. E Temos na Figura 4.42 um esboço da região sólida E. Podemos descrever E como uma região sólida do tipo III: E = {(x,y,z) R 3 : (x,z) D e x 2 + z 2 y 4}, onde D é o círculo obtido pela interseção do paraboloide com o plano y = 4: D = {(x,z) R 2 : x 2 + z 2 4}. (4.29)

140 136 Logo, x2 + z 2 dv = E D 4 x 2 +z 2 x2 + z 2 dy da. A integral acima pode ser calculada através de substituições trigonométricas, mas ela é bastante simplificada com o uso de coordenadas polares. Calculamos primeiramente a integral mais interna: 4 y=4 x2 + z 2 dv = x2 + z 2 y da, E D x 2 +z 2 y=x 2 +z 2 logo, x2 + z 2 dv = [4 ] x 2 + z 2 (x 2 + z 2 ) 3/2 da. E D A região D descrita na Equação (4.29) pode ser escrita facilmente em coordenadas polares através de x = r cos θ, z = r sen θ e θ 2π, r 2. Como x 2 + z 2 = r 2, segue que 2π x2 + z 2 dv = 2 [ 4r 2 (r 2 ) 3/2] r dr dθ = 2π 2 [ 4r 3 r 4] dr dθ, E logo E Portanto, x2 + z 2 dv = 2π 2 E ) (r 4 r5 r=2 2π [ dθ = ] 2π 48 dθ = 5 r= 5 5 dθ. x2 + z 2 dv = 48 96π 2π = O Exemplo foi resolvido através do uso de coordenadas polares em um dos planos coordenados, mais precisamente no plano xz. Quando descrevemos os pontos do espaço através de uma das coordenadas cartesianas usuais e usamos coordenadas polares para o plano das coordenadas restantes estamos usando um sistema de coordenadas cilíndricas.

141 137 Figura 4.42: Região sólida E do Exemplo Na próxima sessão veremos como podemos calcular integrais triplas em outros sistemas de coordenadas. Serão abordados mais diretamente os sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas. Exercício Reescreva a integral tripla que expressa o volume do sólido do Exercício as ordens possíveis de integração: (i) dz dy dx (ii) dz dx dy (iii) dy dz dx (iv) dy dx dz (v) dx dz dy (vi) dx dy dz Exercício Determine o volume das regiões sólidas abaixo. (i) A região sólida do primeiro octante delimitada pelos plano x + z = 1 e y + 2z = 2. (ii) A região sólida do primeiro octante delimitada pelos plano x = 4 y 2 e y + z = 2.

142 Mudança de Coordenadas em Integrais Triplas Podemos realizar mudanças de coordenadas em integrais triplas de maneira semelhante ao caso de integrais duplas; veja a Seção 4.3. Seja T (u,v,w) = (x,y,z) uma transformação de R 3 em R 3 : x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w). Definimos o Jacobiano de T como J(u,v,w) = (x,y,z) (u,v,w) = x u y u z u x v y v z v x w y w z w. (4.3) Teorema Sejam T (u,v,w) = (x,y,z) uma transformação com derivadas parciais contínuas e R,S regiões sólidas dos espaços xyz e uvw, respectivamente, tais que T (S) = R. Suponha que o Jacobiano de T não se anula em S e que T é injetiva no interior de S. Se f(x,y,z) é função contínua em R, então f(x,y,z) dv = f ( x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w) ) (x,y,z) (u,v,w) dv. R S Sistemas de coordenadas cilíndricas. Veremos neste texto dois tipos adicionais de coordenadas no espaço: coordenadas cartesianas e esféricas. No sistema de coordenadas cilíndricas, descrevemos a localização de um ponto P (x,y,z) do espaço mantendo uma das coordenadas cartesianas e usando coordenadas polares no plano coordenado formado pelas outras duas variáveis. Por exemplo, podemos usar as coordenadas (r,θ,z), onde z é sua cota cartesiana original e r,θ são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy. Temos portanto x = r cos θ, y = r sen θ, z = z, e x 2 + y 2 = r 2, tg θ = y x, z = z.

143 139 Veja a Figura O Jacobiano da mudança de coordenadas cilíndricas é dado por x x x cos θ r( sen θ) (x,y,z) r θ z (r,θ,z) = y y y = sen θ r cos θ = r. (4.31) r θ z 1 z r z θ z z Figura 4.43: Coordenadas cilíndricas. Exemplo Determine o volume do sólido E no primeiro octante limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e pelo plano z + y = 3. Temos na Figura 4.44 um esboço do sólido E, onde o plano z + y = 3 está indicado em vermelho. Podemos escrever a região sólida E como E = {(r,θ,z) R 3 : (r,θ) D, z 3 y}, onde D é a região indicada em rosa na Figura Descrevemos esta região em coordenadas polares da seguinte maneira: D = {(r,θ) R 2 : r 2, θ π/2}. (4.32) Portanto, V (E) = dv = 3 y dz da = [3 y] da. E D D

144 14 Segue da Equação 4.32 que π/2 2 V (E) = [3 r sen θ] (x,y,z) π/2 2 (r, θ,z) dr dθ = [3r r 2 sen θ] dr dθ π/2 ( ) 3r 2 = 2 r3 r=2 π/2 3 sen θ dθ = [6 83 ] sen θ dθ r= = (6θ + 83 ) θ=π/2 cos θ = 3π 8 3. θ= Figura 4.44: Sólido do Exemplo Exemplo Determine o volume do sólido E limitado pelas superfícies z = 4, x 2 +y 2 = 1 e z = 1 x 2 y 2. Veja um esboço do sólido E na Figura Note que as superfícies x 2 + y 2 = 1 e z = 1 x 2 y 2 possuem equações cilíndricas r = 1 e z = 1 r 2, respectivamente. Temos que E = {(r,θ,z) R 3 : (r,θ) D, 1 r 2 z 4}, onde D = {(r,θ) R 2 : r 1, θ 2π}. Segue da Equação (4.31) que V (E) = dv = onde 2π 1 4 E 1 r 2 4 (x,y,z) 2π (r,θ,z) dz dr dθ = 1 r 2 r dz = r ( 4 (1 r 2 ) ) = 3r + r r 2 rdz dr dθ,

145 141 Logo, V (E) = = 2π 1 2π [3r + r 3 ] dr dθ = 7 4 dθ = 7π 2. 2π ( 3r r4 4 ) r=1 dθ = r= 2π [ ] dθ Figura 4.45: Sólido do Exemplo Exercício Determine o volume do sólido E limitado por z =, x 2 + y 2 z = x 2 + y 2. = 2y e Sistema de coordenadas esféricas. para pontos do espaço. Veremos agora um outro sistema de coordenadas Descrevemos a localização de um ponto P = (x,y,z) do espaço através das coordenadas (ρ, θ, φ), onde ρ é a distância de P até a origem, φ é o ângulo entre OP e k = (,,1) e θ é como em coordenadas cilíndricas. O sistema de coordenadas (ρ, θ, φ) é dito o sistema de coordenadas esféricas. Consideramos os intervalos ρ, θ [,2π] e φ [,π], pois esta região do espaço ρθφ é o suficiente para descrever todos os pontos do espaço xyz. Veja as Figuras 4.47, 4.48 e Seja r a projeção do segmento OP no plano xy; veja a Figura Então, assim como

146 142 Figura 4.46: Coordenadas esféricas. Figura 4.47: Coordenadas ρ = ρ e φ = φ fixas, θ [,2π]. em coordenadas cilíndricas, temos x = r cos θ e y = r sen θ, (4.33) onde sen φ = r ρ = r = ρ sen φ. (4.34) Além disso, temos cos φ = z = z = ρ cos φ. (4.35) ρ

147 143 Figura 4.48: Coordenadas ρ = ρ e θ = θ fixas, φ [,π]. Figura 4.49: Coordenadas θ = θ e φ = φ fixas, ρ. Segue das Equações (4.33), (4.34) e (4.35) que x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cos φ. (4.36)

148 144 Note também que OP 2 = x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2. (4.37) Exercício Esboce as superfícies definidas pelas equações abaixo. (i) ρ = 1. (ii) θ = π/6. (iii) φ = π/4. Para facilitar o cálculo de uma integral tripla, podemos fazer uso de coordenadas esféricas através do Teorema O Jacobiano desta mudança de coordenadas é dado por x x x sen φ cos θ ρ sen φ sen θ ρ cos φ cos θ (x,y,z) ρ θ φ (ρ,θ,φ) = y y y = sen φ sen θ ρ sen φ cos θ ρ cos φ sen θ u v w cos φ ρ sen φ. z ρ z θ z φ = ρ 2 sen 3 φ cos 2 θ ρ 2 sen φ cos 2 φ sen 2 θ ρ 2 sen φ cos 2 φ cos 2 θ ρ 2 sen 3 φ sen 2 θ = ρ 2 sen 3 φ(cos 2 θ + sen 2 θ) ρ 2 sen φ cos 2 φ(sen 2 θ + cos 2 θ) = ρ 2 sen 3 φ ρ 2 sen φ cos 2 φ = ρ 2 sen φ(sen 2 φ + cos 2 φ) = ρ 2 sen φ. Como sen φ para φ π, em valor absoluto temos (x,y,z) (ρ,θ,φ) = ρ2 sen φ. (4.38) Exemplo Calcule o volume V de uma esfera de raio R. Temos V = dv, onde E E = {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 R 2 }.

149 145 Temos x 2 + y 2 + z 2 = R 2 se e somente se ρ 2 = R 2 e, como ρ é sempre não-negativo, isto é equivalente a ρ = R. Segue que a esfera E pode ser escrita como E = {(ρ,θ,φ) R 3 : θ 2π, φ π, ρ R}. Logo, V = = 2π π R 2π π ρ 3 = R3 3 2π (x,y,z) 2π (ρ,θ,φ) dρ dφ dθ = ρ=r 3 sen φ 2π π dφ dθ = ρ= φ=π 2π ( cos φ) dθ = R3 3 φ= π R R 3 3 sen φ dφ dθ 2 dθ = 4πR3 3. ρ 2 sen φdρ dφ dθ Exemplo Determine o volume V do sólido limitado inferiormente pelo cone z = x2 + y 2 e superiormente pelo plano z = 1. Veja um esboço deste sólido na Figura 4.5. Note que, para ρ e φ [,π], temos em coordenadas esféricas z = x 2 + y 2 ρ cos φ = (ρ sen φ cos θ) 2 + (ρ sen φ sen θ) 2 ρ cos φ = ρ 2 sen 2 φ(cos 2 θ + sen 2 θ) ρ cos φ = ρ 2 sen 2 φ ρ cos φ = ρ sen φ cos φ = sen φ. A equação acima é válida para φ [,π] se e somente se φ = π/4. Em outras palavras, φ = π/4 é a equação de um cone em coordenadas esféricas. A equação do plano z = 1 é dada por z = 1 ρ cos φ = 1 ρ = 1 cos φ. Segue que o sólido em questão pode ser descrito como E = {(ρ,θ,φ) R 3 : θ 2π, φ π/4, ρ 1/ cos φ}.

150 146 Então, V = = 1 3 dv = E 2π π/4 2π π/4 1/ cos φ 1 sen φ dφ dθ. cos 3 φ ρ 2 sen φ dρ dφ dθ = 2π π/4 ρ 3 Fazendo a substituição u = cos φ na integral iterada acima temos V = 1 2π φ=π/ cos 2 φ dθ = 1 2π [ 1 6 ( 2/2) 1 ] dθ = φ= 3 sen φ 2π ρ=1/ cos φ ρ= [2 1] dθ = π 3. dφ dθ Figura 4.5: Sólido do Exemplo Exemplo Determine o volume do sólido localizado no primeiro octante e limitado inferiormente e superiormente pelas superfícies z = x 2 + y 2 e x 2 + y 2 + z 2 = z, respectivamente. Vimos no Exemplo que z = x 2 + y 2 define um cone no espaço cuja equação em coordenadas esféricas é φ = π/4. Completamos quadrados a fim de entender a geometria desta superfície: x 2 + y 2 + z 2 = z x 2 + y 2 + z 2 z = x 2 + y 2 + z 2 z = 1 4 ( x 2 + y 2 + z 1 ) 2 =

151 147 Logo a equação x 2 +y 2 +z 2 = z define uma esfera de centro (,,1/2) e raio 1/2; note que esta esfera tangencia o plano xy na origem. Devemos determinar sua equação em coordenadas esféricas: para ρ > temos x 2 + y 2 + z 2 = z ρ 2 = ρ cos φ ρ = cos φ. Segue que o sólido em questão é dado por E = {(ρ,θ,φ) R 3 : θ π/2, φ π/4, ρ cos φ}. Portanto, V = = 1 3 dv = E π/2 π/4 π/2 π/4 cos φ cos 3 φ sen φ dφ dθ. ρ 2 sen φ dρ dφ dθ = π/2 π/4 ρ 3 Fazendo a substituição u = cos φ na integral iterada acima temos V = 1 3 = 1 12 π/2 π/2 cos4 φ 4 [ 14 ] + 1 φ=π/4 φ= dθ = 1 12 π/2 dθ = π 2 = π sen φ [ ( ) 4 2/ ] dθ ρ=cos φ ρ= dφ dθ Exercício Determine o volume do sólido limitado superiormente pela superfície z = x2 + y 2 e inferiormente por ρ = 2 cos φ.

152 Figura 4.51: Sólido do Exemplo

153 Apêndice A Topologia de R n Nesta seção estudaremos os conceitos básicos de topologia de conjuntos de R 2 e R 3. A necessidade de tal estudo pode ser justificada ao lembrarmos do seguinte teorema sobre funções de uma variável: se f(x) é função contínua em [a,b], então existem x, x 1 em [a,b] tais que f(x ) f(x) f(x 1 ) para todo x [a,b]. Para a garantia da existência de máximo e mínimo de f em [a,b], é necessário que f seja contínua e que o intervalo em questão seja fechado. Na Figura A.1 temos o gráfico da função f(x) = 1/x. Quando analisamos esta função no intervalo fechado [1,2], como f é contínua em [1,2], temos os pontos C e D representando o máximo e o mínimo da função neste intervalo, respectivamente. Entretanto, se consideramos o intervalo (,1] ou (,1), a função f não possuirá mais pontos de máximo. Isto ocorre devido ao fato de que nenhum destes intervalos é fechado. Conforme vimos nas Seções 1.1 e 1.2, o domínio de uma função de duas ou três variáveis é um conjunto de R 2 ou de R 3, respectivamente. Conjuntos fechados também desempenharão um papel importante na busca por máximos e mínimos de funções de várias variáveis. Ao estudo de conjuntos abertos e fechados damos o nome de topologia. O conceito fundamental no estudo da topologia de R n é a distância entre dos pontos, de 149

154 f 1 C D Figura A.1: Gráfico da função f(x) = 1/x. modo que as definições que apresentamos abaixo para conjuntos de R 2 podem ser adaptadas prontamente para espaços de dimensão n 2, como R ou R 3 ; basta interpretar corretamente o significado do conceito de distância em cada espaço. Definição A.1. Sejam P 1 = (x 1, y 1 ) e P 2 = (x 2, y 2 ) pontos de R 2. Definimos a distância destes pontos como P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. Denotaremos a distância de dois pontos P 1, P 2 também por d(p 1, P 2 ). Com exceção de conjuntos triviais como o conjunto vazio ou um conjunto unitário, um dos conjuntos mais simples de R 2 é um disco. Definimos um disco a partir da noção básica de que uma circunferência é lugar geométrico dos pontos a uma distância fixa de seu centro. Mais precisamente, a circunferência de raio r e centro P de R 2 pode ser descrita como {P R 2 : P P = r}. Um disco fechado de R 2 é um conjunto que contém a fronteira de uma circunferência assim como seu interior. Um disco aberto é um conjunto que contém o interior de uma circunferência, mas não a circunferência propriamente dita. Definição A.2. Sejam P um ponto de R 2 e r >. Definimos o disco fechado de R 2 de

155 151 centro P e raio r como o conjunto B(P, r) = {P R 2 : P P r}. O disco aberto de R 2 de centro P e raio r é definido como o conjunto B(P, r) = {P R 2 : P P < r}. Figura A.2: Disco fechado. Figura A.3: Disco aberto. Exercício A.3. Considere o ponto P = (1,2). Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando. (a) (3,4) / B(P,2) ( ) 3 (b) 2, 3 B(P,2) ( 3 (c) 2, 4 + ) 3 B(P,2) 2 ( 3 (d) 2, 4 + ) 3 B(P,2) 2 Como mencionado acima, basta interpretar corretamente o conceito de distância que as definições e teoremas apresentados nesta seção sejam válidos para R n, n 1. Daremos destaque não só a de conjuntos do plano mas também a conjuntos da reta, já que este espaço nos é bastante familiar. O disco aberta de R 2 de centro P consiste do conjunto de pontos

156 152 do plano a distância menor que r de P ; o conceito análogo de R é o conjunto de pontos a distância menor que r de um número a, ou seja, o intervalo (a r, a + r). Analogamente, discos fechados de centro P e raio r correspondem a intervalos da forma [a r, a + r]. A seguir apresentamos os conceitos de ponto interior e ponto de fronteira de um conjunto. Tome o exemplo do intervalo [,1]: ambos os pontos e 1/2 pertencem ao intervalo [,1], mas o ponto intuitivamente pertence à fronteira deste conjunto, enquanto o ponto 1/2 não. O ponto é ponto de fronteira de [,1] e o ponto 1/2 é ponto interior a [,1]. Definição A.4. Seja A um conjunto de R 2. (i) Dizemos que P é ponto interior a A se existe r > tal que B(P,r) A. (ii) Dizemos que P é ponto exterior a A se existe r > tal que B(P,r) A =. (iii) Dizemos que P é ponto de fronteira de A se P não é ponto interior ou exterior a A. Figura A.4: Pontos interior, exterior e de fronteira de um conjunto. É possível provar que P é um ponto de fronteira de A se e somente se para todo r > o disco B(P,r) contém pontos de A e seu complementar R 2 A. Cabe ressaltar que P é dito um ponto interior a A se existe um disco centro em P que está contido em A. Não é necessário que todos os discos centrados em P estejam contidos em A; basta que um deles esteja e a definição de ponto interior estará assim satisfeita. Veja a Figura A.5.

157 153 Figura A.5: Ponto interior a um conjunto. A partir das definições acima, que tratam da natureza de um ponto em relação a um conjunto, definimos o que são conjuntos abertos e fechados. Definição A.5. Seja A um conjunto de R 2. O interior de A, denotado por int A, é definido como o conjunto de pontos interiores a A: int A = {P R 2 : P é ponto interior a A}. Dizemos que A é um conjunto aberto se todo ponto de A é interior a A, isto é, se int A = A. Podemos entender a definição acima analisando conjuntos já bastante familiares: intervalos abertos e fechados de R. O intervalo A = [,1] não é, intuitivamente, aberto. A definição acima solidifica esta intuição. O ponto não é ponto interior a A, pois nenhum intervalo aberto centrado em está contido em A. Seguindo este raciocínio é possível provar que int A = (,1). Logo, como int A A, este intervalo não é aberto. Por outro lado, o intervalo (,1) é aberto, pois todo ponto de (,1) é interior a ele. Definição A.6. Seja A um conjunto de R 2. A fronteira de A, denotada por A, é definida como o conjunto de pontos de fronteira de A: A = {P R 2 : P é ponto de fronteira de A}. Dizemos que A é um conjunto fechado se A contém todos os seus pontos de fronteira, isto é, se A A. Novamente buscamos entender a definição acima através do exemplo de intervalos em R.

158 154 Considere o intervalo A = [,1]. Os pontos de fronteira de A são e 1, isto é, A = {,1}. Como A contém todos os seus pontos de fronteira, segue que A é de fato um intervalo fechado. Já o intervalo (,1) não é fechado, pois ele não contém seus pontos de fronteira: e 1. Obs: Cuidado! Existem conjuntos que não são nem abertos nem fechados, como é o caso do intervalo [,1) em R. Existem também conjuntos que são abertos e fechados simultaneamente. Veja o exercício abaixo. Portanto, se você já determinou que um conjunto não é aberto, não é verdade que este conjunto é necessariamente fechado. É necessário verificar ambas Definições A.5 e A Definição A.7. Seja A um conjunto de R 2. O exterior de A, denotado por ext A, é definido como o conjunto de pontos exteriores a A: ext A = {P R 2 : P é ponto exterior a A}. O conceito de exterior de um conjunto pode ajudar a consolidar o entendimento do interior e fronteira de um conjunto devido ao seguinte resultado. Teorema A.8. Seja A um conjunto de R 2. Então o interior, a fronteira e o exterior de A são conjuntos dois a dois disjuntos (interseção vazia) tais que ( ) ( ) ( ) int A A ext A = R 2. Exercício A.9. Para cada um dos conjuntos abaixo, determine e esboce seu interior e sua fronteira. Determine também se os conjuntos são abertos e/ou fechados. (a) A 1 = {(x,y) R 2 : 1 x 2, 1 y 2} (b) A 2 = {(x,y) R 2 : 1 < x < 2, 1 < y < 2} (c) A 3 = {(x,y) R 2 : 1 x 2, 1 < y < 2} (d) A 4 = R 2

159 155 (e) A 5 = {(1,1)} Definição A.1. Seja A um conjunto de R 2. Dizemos que P R 2 é um ponto de acumulação de A se, para todo r >, o disco B(P,r) contém um ponto de A distinto de P. Pontos de acumulação são fundamentais para a definição do conceito de limite. Veja o exemplo ilustrado na Figura A.6, onde o domínio da função está destacado em vermelho. O ponto x = 5 não é um ponto de acumulação da função ilustrada. Apesar da função possuir uma descontinuidade no ponto x = 1, é natural pensar em limites laterais e no limite absoluto de f(x) à medida que x se aproxima de 1. A discussão de qualquer tipo de limite de f(x) quando x se aproxima de x = 5 não faz sentido. Figura A.6: Ponto isolado em x = 5. Observamos que um ponto de acumulação de A pode pertencer ou não a A. Exemplo A.11. Considere o conjunto A = {(x,y) R 2 : x > 1}. O ponto (1,2) é ponto de acumulação de A, mas (1,2) / A. Veja a Figura A Exercício A.12. Determine o interior, a fronteira e o exterior do conjunto A do Exemplo A.11. O teorema abaixo fornece uma caracterização de pontos de acumulação. Isto significa

160 156 Figura A.7: Conjunto A e ponto de acumulação de A. que você pode usar a condição da Definição A.1 ou a condição do teorema abaixo como definição de ponto de acumulação; adote aquele com que você se sente mais à vontade. Teorema A.13. Seja A um conjunto de R 2. Um ponto P R 2 é ponto de acumulação de A se e somente se para todo r > o disco B(P,r) contém infinitos pontos de A. Por fim, apresentamos a definição de conjunto limitado. Este conceito é importante no contexto de máximos e mínimos de funções contínuas, discutido no começo desta seção. Uma função contínua de uma variável f(x) admite máximo e mínimo em um intervalo fechado desde que este intervalo seja limitado. Por exemplo, a função f(x) = x é contínua no intervalo [1, + ) mas não admite ponto de máximo neste intervalo. Veja a Figura A.8 Veremos que este intervalo não é limitado com a definição abaixo. Figura A.8: Gráfico da função f(x) = x com domínio [1, + ). Definição A.14. Dizemos que um conjunto A de R 2 é limitado se existe r > tal que A